几何压轴突破之几何最值问题、费马点、瓜豆模型-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

重难点17几何压轴突破四几何最值问题

费马点与瓜豆模型

（2种模型详解+5种题型汇总+针对训练）

【题型汇总】

费马点模型

类型一费马点

费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.

结论：

1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点;

2）对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120。）

【解题思路】运用旋转的方法，以AABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短,

得出最短长度.

【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

如图所示，以边AB、AC分别向AABC外侧作等边三角形，连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点.

图形结论

等腰三角形A①NAPB=/BPC=/APC=120°；

②4ABP与4ACP全等；

③4BCP为等腰三角形；

©△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

等边三角形D一aE①AP=BP=CP；

②NAPB=/BPC=NAPC=120°；

③4ABP、AACP,Z\BCP全等；

W④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；

⑤点P是4ABC各边的中线的交点；

⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的

交点；

⑦4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

直角三角形E①4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小；

②NAPB=/BPC=NAPC=120°

Bc

【进阶】

加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是1,如果现在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【模型拓展】

类型一单系数类

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

2）另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

类型二多系数类

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例；

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

在的三角形。

例：已知：在RtZkABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,Z\ABC内部有一点P,连接PA,PB,PC

A

问题求解图形作法

求PA+PB+PC最D△CAP绕点C顺时针旋转60°得4CDE

盛

小值BD长度即为所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=闹

BC

求PA+PB+V2PCX△CAP绕点C顺时针旋转90°得4CDE

最小值此时4PCE为等腰直角三角形，即PE=VIPC

因止匕原式=PA+PB+&PC=ED+PB+PE,则当B、P、E、D

C四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在Rt^BFD

B6OF

622

3廿・•・・....八/3中有勾股定理可得BD=VBF+FD=V91

求PA+PB+V3PCE△CAP绕点C顺时针旋转120°得4CDE

最小值此时APCE为等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,贝1|当

B2

B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，

V--

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

760+30V3

求

AL思路：原式=2(PA+ipB+^PC)

22

2PA+PB+V3PC

D将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PFLCE于

最小值

/点F,则PF=^PC;2)利用三角形中位线来处理；3)

PA前的系数是1,不需要转化，所以旋转APCB.

过程：ABCP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后过

D点P作PFJ_CE于点F,此时4PCE为等边三角形，即

PF=@PC,过点F作FG〃DE,贝!]FG=工PB,则当A、P、

22

F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V34，原式

=2(PA+1PB+^PC)=2734

求D过程：AACP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后过

2PA+4PB+2V3PC点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，即

最小值

pF=V3pc)过点F作FG〃DE,则FG=-AP,则当B、P、

22

F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求，在Rt

B另：△BCG中有勾股定埋可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=4

(-PA+PB+^PC)=26

22

备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.

题型01普通费马点模型

1.(2024・广东・二模)若锐角三角形2BC内的点P满足乙4PB=N8PC="Pa=120。，则称点P为AaBC的

费马点.如图，在AaBC中，AB=AC=V7,BC=有,则△48C的费马点P到A,B,C三点的距离之和为

A

B.2C.2+2V3D.2+V3

2.（21-22九年级上•四川成都•阶段练习）如图，在AABC中，^CAB=90°,AB=AC=1,P是AABC内一

点，求P4+PB+PC的最小值为

3.（2021九年级.全国•专题练习）如图，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为2C

边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为

4.（2024.陕西榆林.二模）如图，在团4BCD中，AD=6,连接AC,ABAC=5,以点C为圆心，笆。长为

半径画弧，弧分别交BC、AC.CD于点M、H、N,点P是由V上方△4CD内一动点，点Q是由V上一动点，连

接4P、DP、PQ,贝IMP+DP+PQ的最小值为.

5.（2024.湖北•模拟预测）阅读以下材料并完成问题

材料一：数形结合是一种重要的数学思想如亦可看做是图一中4B的长，J（a+l）2+b2可看做是力。的

长.

材料二：费马点问题是一个古老的数学问题.费马点即在AABC中有一点P使得P4+PB+PC的值最小.著

名法学家费马给出的证明方法如下:

将A4BP绕B点向外旋转60。得到AaiBiCi，并连接PPi易得APPiB是等边三角形、PA=PrAr,则PB=PrPr,

则PA+PB+PC=+PPi+PC,所以PA+PB+PC的值最小为&C.

请结合以上两材料求出+y2_|_+y2+1_2x+x2+y2+12-4V^y的最小值

B1D

题型02加权费马点模型-单系数

6.(2023・湖北随州•中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线

上的三个点A,B,C,求平面上到这二个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆

利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三

角形的某个顶点)

当△力BC的三个内角均小于120。时，

如图1,将△力PC绕，点C顺时针旋转60。得到连接PP',

由PC=P'C,/.PCP'=60°,可知APCP'为①三角形,ikPP'=PC,又P'4=PA,故P4+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2,最小值为4B,此时

的尸点为该三角形的“费马点”，且有“PC=lBPC=^APB=⑶；

已知当AABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NB4CN120。,

则该三角形的“费马点”为生点.

(2)如图4,在△ABC中，三个内角均小于120。，且2C=3,BC=4,乙4cB=30。，已知点尸为△ABC的“费

马点”，求24+P8+PC的值；

AA

A

图4图5

(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.现欲

建一中转站尸沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄A,B,C的铺设成本分别为a

元/km,。元/km,元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为____________元.(结果用

含a的式子表示)

7.(23-24八年级下.重庆铜梁•期中)在回中，^ABC=45°,连接4C,已知4B=4C=鱼，点E在线

段AC上，将线段DE绕点。顺时针旋转90°为线段OF.

\京0

G

图1图2图3

(1)如图1,线段4C与线段8。的交点和点E重合,连接EF,求线段EF的长度；

(2)如图2,点G为DC延长线上一点，使得GC=EC,连接FG交4D于点H,求证：无AH=CD；

(3)如图3,在(2)的条件卜，平面内一点P,当HP+CP+鱼BP最小时，求4HPB的面积.

8.(2024・广东广州•一模)如图，在矩形ABCD和矩形4GFE中，AD=4,2E=2,AB=V3AD,AG=有AE.矩

形4GFE绕着点A旋转，连接8G,CF,AC,AF.

CDCD

BmABoA

番用图

⑴求证：LABG-KACF-,

(2)当CE的长度最大时，

①求BG的长度；

②在AaCF内是否存在一点P,使得。2+4。+8。尸的值最小?若存在，求。2+4。+百。尸的最小值；若

不存在，请说明理由.

题型03加权费马点模型-多系数

9.（2023九年级下•全国・专题练习）如图，正方形ZBCD的边长为4,点尸是正方形内部一点，求PA+2PB+

迷PC的最小值.

10.（2024.湖北武汉.模拟预测）如图，在AABC中，乙4cB=30。，BC=4,在AABC内有一点。，连接。4

OB,OC,若204+OB+有。C的最小值为4小，贝的值为.

11.（2021九年级•全国・专题练习）如图，A48C中，ZBAC=45°,AB=6,AC=4,P为平面内一点，求2mBp+

V5XP+3PC最小值

12.（2024•重庆.二模）已知AABC中48=BC,点。和点E是平面内两点，连接BD,DE^BE,乙BED=90°.

图2备用图

(1)如图1,若BD=BA,乙4BC=2ND,BE=2,求力C的长度;

(2)如图2,连接力。和CD,点F为4D中点，点G为CD中点，连接EF和BG,若EF=BG,求证：4BAC=4DBE；

(3)若乙4BC=60°,AB=2,当+CD取得最小值，且2E取得最大值时，直接写出ABDE的面积.

【针对训练】

1.(2021•辽宁丹东•中考真题)已知:到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC

是锐角(或直角)三角形，则其费马点尸是三角形内一点，且满足乙4PB=乙BPC=NCP4=120°.(例如：

等边三角形的费马点是其三条高的交点).若AB=AC=近,BC=2四,尸为AABC的费马点，贝|P2+PB+

PC=；若48==2,4C=4,尸为△ABC的费马点，贝“PA+PB+PC=.

2.(2021九年级•全国・专题练习)如图，在AABC中，^ACB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,

连接尸4、PB、PC.(加权费马点)求：

(1)P力+PB+PC的最小值；

(2)PA+PB+&PC的最小值

(3)P4+PB+百PC的最小值；

(4)2PA+PB+WPC的最小值

(5)|P4+PB+?PC的最小值；

(6)2PA+4PB+2百PC的最小值

(7)4P4+2PB+2百PC的最小值；

(8)3PA+4PB+5PC的最小值

3.(2024•陕西西安・模拟预测)(1)问题背景

如图1,P为AABC内部一点，连接P4、PB、PC,将AAPC绕，点C顺时针旋转60。得至以4PC,连接PP，,

由PC=P'C,乙PCP'=60°,可知△PCP'为三角形，故PP'=PC,又P0=PA,故24+PB+

PC=PA'+PB+PP'>A'B,由___________可知，当B,P,P',a在同一条直线上时，PA+PB+PC取最

小值，如图2,最小值为48,此时的尸点为该三角形的“费马点”.

（2）问题解决

如图3,在AABC中，三个内角均小于120。，且4C=3,BC=4,^ACB=30°,求P4+PB+PC的最小值;

（3）问题应用

如图4,设村庄4B,C的连线构成一个三角形，且4C=6km,BC=4V3km,乙4cB=30。.现欲在△力BC

内部建一中转站P沿直线向4B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄4B,C的铺设成本分别

为1000元/km,1000元/km,1000百万元/km,是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若

存在请求出成本的最小值.

4.（2024•福建厦门.二模）根据以下思考，探索完成任务

费马点的思考

17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶•德・费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点,

问・

使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”.

解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段P4PB,PC行转化：

素如图：把AZPC绕点A逆时针旋转60度得到△AP'C',连接PP',这样就把确定P4+PB+PC的最小

材1值的问题转化成确定82+。「，+「£，的最小值的问题了.当B,P,P',L四点共线时，线段BC，的长

为所求的最小值，容易证明乙4PB=N8PC=NCP2=120。，此时点P为ANBC的“费马点”.

/

二P

BC

图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A,B,C,。分别为办公区、生产区、物流区和生活区，

正方形边长为2km,准备在厂区内修建一研发区E,且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A,

素生产区2和物流区C修路的成本为200元/米.

ADAD

材2L

B1CBC

任

请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性.证明：PA+PB+PC=

务感悟证明定理

BP+PP'+P'C

任在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（）

务初步探索位置A.△力8c内的区域

B.△4CD内的区域

任

为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，

务拟定恰当方案

最少费用为多少？

5.（21-22八年级上•江苏苏州•期中）背景资料：在已知A/IBC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶

点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被

人们称为“费马点”.如图1,当△ABC三个内角均小于120。时，费马点尸在A4BC内部，当乙4PB=〃PC=

乙CPB=120。时，则PA+PB+PC取得最小值.

AA

A

B

(1)如图2,等边△ABC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求乙4PB的度数，为了

解决本题，我们可以将AABP绕顶点A旋转到AACP，处，此时△4CP，mAABP这样就可以利用旋转变换，

将三条线段24、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出乙4PB=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与△力BC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

(2)如图3,△ABC三个内角均小于120。，在△ABC外侧作等边三角形△ABB1连接CB，，求证：CB，过AaBC

的费马点.

(3)如图4,在RT△力BC中，ZC=90°,AC=1,4ABe=30°,点尸为AABC的费马点，连接力P、BP、CP,求

PA+PB+PC的值.

(4)如图5,在正方形ABC。中，点E为内部任意一点，连接ZE、BE、CE,且边长4B=2；求4E+BE+CE的

最小值.

6.(2023•贵州遵义三模)(1)【问题发现】如图①，在AOAB中，若将AOAB绕点。逆时针旋转120。得到

AOA'B',连接BB，；求乙OBB'=_；

(2)【问题探究】如图②，已知△力BC是边长为4国的等边三角形，以BC为边向外作等边三角形BCD,P

为ATIBC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60。，点尸的对应点为点0.

①求证：&DCQ三ABCP；

②求P4+PB+PC的最小值;

（3）【实际应用】如图③，在矩形48CD中，28=600,2D=800,P是矩形内一动点5心4。=2SNBC，Q为

△4DP内任意一点，是否存在点尸和点Q,使得4Q+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，请说

类型二瓜豆模型

型定义：瓜豆模型也叫“主从联动模型”,即：一个动点随另一动点的运动而运动，分别叫做“主动点”与

“从动点”，它们的运动轨迹相似。出自成语”种瓜得瓜,种豆得豆”，在几何上叫“种线得线,种国得圆”.

【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件（”一定两动、定角、定比”）;

①有一个定点、两个动点，且一个动点（从动点）因另一个动点（主动点）的运动而随之运动;

②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角;

③两个动点到定点的距离的比值是定值.

1）本模型一般出现在选择题或填空题的压轴题中，可以直接利用结论秒杀.

2）在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段

最值.

3）部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于“瓜豆”模型，就可以利用路径之比等于相似比，根据主动

点的轨迹长直接求得.

【模型一】点在直线上

（a/0）且篙=k,如果A点的运动轨迹是直线

结论：B点的运动轨迹也是直线，*=需=匕直线BB，与直线AA，的夹角为a

【模型二】点在圆上

条件;如图，点。是定点，点A、B是动点，/AOB=a且二=k,A点在。01上运动

结论：

1）当a=0,①B点的运动轨迹是圆，②A,B,0始终是一条直线，③主动圆与从动圆的半径之比为震=

k（定值）.

2）当a#0,①B点的运动轨迹是圆，②主动圆与从动圆的半径之比为襄=k,

③主从动圆的圆心与定点连线构成的夹角为a（定值）.

【总结】

1）在线段最值问题中，有时可先利用“瓜豆”模型确定动点的轨迹，再根据点线最值，点圆最值来求线段

最值；

2）部分求动点轨迹长的问题中，只要确定属于"瓜豆”模型，就可以利用路经之比等于相似比，根据主动

点的轨迹长直接求得

题型01点的运动轨迹是直线

1.（2021•山东泰安・中考真题）如图，在矩形4BCD中，AB=5,BC=5百，点P在线段BC上运动（含8、

C两点），连接4P,以点A为中心，将线段4P逆时针旋转60。到力Q,连接DQ,则线段DQ的最小值为（）

A.|B.5V2C."D,3

2.（2022•安徽合肥・三模）如图，在放A4BC纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点。，E分别在BC,

A8边上，连接。E,将△BOE沿。E翻折，使点8落在点E的位置，连接AF,若四边形是菱形，则

AF的长的最小值为（）

A.V5B.V3C.-D.-

22

3.（2023•广东广州二模）如图，正方形4BCD的边长为4鱼，E为BC上一点，且BE=VLF为4B边上的一

个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为—.

4.（2024.河北邢台・模拟预测）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点.连接CE,

将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.连接4F,贝IJNCAF=,连接DF,则ACDF周长的最小值是.

5.（2023•江苏徐州•模拟预测）等边AABC边长为6,。是BC中点，E在4D上运动，连接BE,在BE下方作等

边ABEF,则ABD尸周长的最小值为.

A

6.（2024江苏扬州・中考真题）如图，点4、B、M.E、F依次在直线I上，点4B固定不动，且4B=2,分

另I」以4B、EF为边在直线洞侧作正方形ABC。、正方形EFGH,乙PMN=90°,直角边MP恒过点C,直角边MN

恒过点H.

（1）如图1,若BE=10,EF=12,求点M与点B之间的距离；

（2）如图1,若BE=10,当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；

（3）如图2,若BF=22,当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH,点。是的中点，连接HB、MO,

贝IJ2OM+的最小值为.

题型02点的运动轨迹是圆

1.（2024•安徽淮北•三模）如图，线段力B=4,点M为4B的中点，动点P到点M的距离是1,连接PB,线段PB

绕点P逆时针旋转90。得到线段PC,连接4C,则线段4C长度的最大值是（）

A.3B.4C.2V2D.3夜

2.（2023•浙江宁波•模拟预测）如图，△4BC中，AABC=90°,tanNBAC=%点。是48的中点，尸是以A

为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC,则会的最大值为（）

A

3.（2023•山东泰安・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，口△4。3的一条直角边。3在无轴上，点4的坐

标为（—6,4）；RtACOD中，ACOD=90°,OD=4A/3,ZD=30°,连接BC,点M是BC中点，连接AM.将

世△COD以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

B.6V2-4C.2713-2

4.（21-22九年级上•江苏南京•期中）如图，在RS4BC中，乙4cB=90。，AC=16,BC=12,点尸在以A8

为直径的半圆上运动，由点B运动到点A,连接CP,点M是CP的中点，则点M经过的路径长为—.

5.（2022・山东日照•中考真题）如图，在平面直角坐标系尤Oy中，点A的坐标为（0,4）,尸是x轴上一动点,

把线段B4绕点P顺时针旋转60。得到线段PR连接。尸，则线段。尸长的最小值是.

A

6.（2023・四川宜宾•中考真题）如图，M是正方形2BCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP,线段BP以

B为中心逆时针旋转90。得到线段BQ,连接MQ.若4B=4,MP=1,则MQ的最小值为.

7.（2020.江苏连云港.中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的。。与x轴的正半轴交于点4,

点B是。。上一动点，点C为弦4B的中点，直线y=|x—3与无轴、y轴分别交于点。、E,贝必CDE面积的最

小值为•

8.（2024.四川泸州・二模）如图，正方形ABCD的边长为5,以C为圆心，2为半径作OC,点P为OC上的动

点，连接BP,并将BP绕点B逆时针旋转90。得到BP，，连接CP，，在点P运动的过程中，CP，长度的最大值是

9.（21-22九年级上•浙江绍兴・期末）如图，在RdABC中，zACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以点B

为圆心，2。长为半径作圆，点£为08上的动点，连结EC,作PC1CE,垂足为C,点/在直线BC的上

方，且满足CF=}CE,连结BF.当点E与点。重合时，B尸的值为.点E在OB上运动过程中，BF

存在最大值为

E

c----------------nt-------BI

10.（2024•吉林长春.二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，O。的半径为2,点2是

。。外的一个定点，。4=4.点P在O。上，作点P关于点4的对称点Q,连接PA、AQ.当点P在。。上运动

一周时，试探究点Q的运动路径.

【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②,延长。4至点M,使4M=OA,

连接。P、MQ,通过证明AOAP三AMAQ,可推出点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆.下面是

部分证明过程：

证明：延长。4至点M,使4"=。4连接。P、MQ.

1。当点P在直线。4外时，

证明过程缺失

2。当点P在直线。4上时，

易知。P=MQ=2.

综上，点Q的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆.

请你补全证明中缺失的过程.

【结论应用】如图③，在矩形4BCD中，点E、F分别为边AB、CD的中点，连接EF,点。是EF中点，点M是

线段OF上的任意一点，AB=4,BC=8.点P是平面内一点，2P=2,连接4P.作点P关于点M的对称点Q,

连接PM、MQ.

（1）当点M是线段。尸中点时，点Q的运动路径长为.

（2）当点M在线段。尸上运动时，连接EQ.设线段EQ长度的最大值为a,最小值为b,贝b+

b=.

闻①图②网曲f。

【针对训练】

1.（2022•山东泰安・二模）如图，矩形力BCD的边力B=羡,BC=3,E为力B上一点，且4E=L/为4D边上

的一个动点，连接EF,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,贝|CG的最小值为（）

A.V5B.|C.3D.2V2

2.（2024.河南周口.一模）如图，平行四边形4BCD中，AB=16,AD=12,乙4=60。，E是边力。上一点，

且4E=8,F是边48上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60。，得到EG,连接BG、CG,则8G+CG的

最小值是（）.

A.4B.4715C.4V21D.V37

3.如图，等腰R3ABC中，斜边AB的长为2,。为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ1OP交BC于

C

4（2023・四川成都•一模）如图，四边形2BCD为矩形，对角线4c与BD相交于点。，点E在边OC上，连接4E,

过。做DF14E,垂足为F,连接OF,若ND4E=30。，DE=10,贝|。尸的最小值为.

5.（21-22九年级下•福建福州•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=1x+2上的一个动点，将

Q绕点PGLO）逆时针旋转90。，得到点。，连接。（7,则。Q，最小值为

6.（23-24九年级上•辽宁沈阳・期末）【问题初探】

数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问题:

四边形4BCD是边长为3的正方形，点£是边4。上的一动点，连接CE,以CE为一边作正方形CEFG（点C,

E,F,G按顺时针方向排列），连接BF,DG.

（1）如图1,求点G至UCD的距离，请写出解答过程；

【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：

（2）如图2,当BF经过点。时，求DG的长，请写出解答过程；

【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”,

于是给同学们留了一道思考题：

（3）求代数式鱼DG+BF的最小值.经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路；

解题思路：如图3,作等腰直角△ACa,使4016=90。，连接AC,CF,AF,则点C,D,a三点共线，

由乙4CF=NDCG,—=—=V2,可得△ACP-ADCG,

DCCG

由=yi=||=V2,可得△C&FCAE,

请完成“……”部分的解答过程.

7.（2024.安徽合肥.模拟预测）如