江西省南昌市2024-2025学年高三年级上册数学复习训练题：解析几何（一）

南昌市2024—2025学年度高三数学一轮复习卷

《解析几何1》

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线4：双+2y—4=0,直线4:%+（a+l）y+2=0,贝!j"々=1"是"乙//[”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.若直线/:〃++3=0始终平分圆+%++2y+1=。，则相〃的最大值为（）

7979

A.—B.—C.—D.—

2244

2

2VL

3.若双曲线。：尤——=1的右焦点到直线y=x+l的距离是2&,则C的离心率为（）

a

A.2B.73C.3D.y/5

4.抛物线有如下光学性质：经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴（或在对称轴

上）；反之，平行于抛物线对称轴（或在对称轴上）的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线E：

y2=2px（l<p<5）,一条平行于x轴的光线从点A（1O,20）射出，经抛物线E上的点B处反射后，与抛物线E交于

点、C,若AA5C的面积是10,则p的值为（）

7

A.2B.3C.-D.4

2

22

5.设椭圆。:=+2=13>6>0）的左、右焦点分别为耳，F,,过坐标原点的直线与C交于A,B两点，

ab

\F2B\=2\F2A\,耳彳.m=一手，则C的离心率为（）

A"B行c丛D及

3333

6.己知圆加：（无-1/+（y-31=4与圆C?:炉+y2+2尤+2冲+/储-8=0,则下列说法错误的是（）

A.若圆C?与x轴相切，则|加|=3

B.直线版—y—2左+2=0与圆C]始终有两个交点

C.若圆G与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+（2/〃+6）y+疗-14=0

D.若圆G与圆G只有一个公共点，则〃7=—3+J五

7.已知A（2,0）,B（l,0）,动点尸（x,y）满足1PAi=应|尸网,则下列结论错误的是（）

A.点P的轨迹上有且仅有三个点到直线x+y=l的距离都等于—

B.|PB|的最小值为亚-1

C.过点（―的直线与点尸的轨迹交于点M,N,则的最小值为2形

D.是P的任意两个位置点，则/耳隹”]

22

8.已知焦点在x轴上的椭圆C：—+2L=l（Z,>0）的内接平行四边形的一组对边分别经过

4b

其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则b的取值范围是（）

A.[72,2）B.（0,2）C.（1,2）D.[1,2）

二'多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2

9.己知椭圆^+丁2=1与抛物线丁=数有相同的焦点R。为原点，点尸是抛物线准线上一动点，点A在抛物线

上，且|A厂|=3,贝HOAI+IP尸I的长可以是（）

A.572B.2A/15C.3娓D.8

10.已知点4（5,1）,耳，区分别为双曲线。：f—丁=2的左、右焦点，P为C的右支上一点，贝。（）

A.|PA|+|P^|<5A/2B.|B4|+|P^|>3V2

C.-VIO<|PA|-|P7；|<VIOD.|PA|+^-|P^|>6

11.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，设抛物线

C:y2=2px（p>0）,其焦点为F,过抛物线C上不同的两点A,2分别作C的切线，两条切线的交点为。，则

△ABQ为其阿基米德三角形.直线AB与x轴的交点为N,AB的中点为H,下列结论一定成立的是（）

A.当点N与点F重合时，存在点Q,使得西•。豆>0

B.当点N与点F重合时，A2-A5=|AA^IIABI

C.当点N与点F不重合时，Q"〃x轴

D.当点N与点F不重合时，NQFA=/QFB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线尤+y=a(a>0)与圆f+y2=6交于A3两点，且向+西=闾函-丽，其中0为坐标原点，贝U

正实数a的值为.

22

13.已知双曲线二-与=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为耳、F2,若过点骂的直线与双曲线的左、右两支分别交

ab

于A、3两点，且|A耳|=忸用=近.又以双曲线的顶点为圆心，半径为由的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲

线的离心率为.

14.己知M是椭圆,+丁=1上一点，线段M是圆C:/+(y_6)2=4的一条动弦，且网=拒\则两.砺的

最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本题13分)设耳、鸟分别为椭圆c：「+〈=l(a>6>0)的左、右两个焦点，椭圆上的点«1,|)到耳、F2

两点的距离之和等于4,求：

(1)写出椭圆C的方程；

(2)过耳且倾斜角为45。的直线/,交椭圆于两点，求A用肠V的面积.

16.(本题15分)如图，由部分椭圆二+2=1(。>6>0,>40)和部分双曲线二-雪=1()；20),组成的曲线c称

abab

为“盆开线”.曲线c与X轴有A(2,0)、3(-2,0)两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为乎.

(1)设过点(1,0)的直线i与曲线c相切于点河，求点加的坐标及直线/的方程；

(2)过A的直线/与C相交于点尸、4。三点，求证：ZPBA=ZQBA

17.(本题15分)在平面直角坐标系皿y中，O为坐标原点，4(1,0)、3(-1,0),动点P满足的&,即8=3，设点P

的轨迹为曲线

(1)求曲线「的方程；

(2)过点C(l,l)的直线/与曲线「在y轴右侧交于不同的两点M,N,在线段MN上取异于点的点。，满足

\CM\-|ZW|=\MD\-•证明：点D在定直线上.

18.(本题17分)在平面直角坐标系叼中，抛物线C:f=2/(p>0)的焦点为*0,1)

(1)动直线/过尸点且与抛物线C交于M,N两点，点M在y轴的左侧，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为

__A1__3

M一点E在线段M尸上，且满足该=§前，连接"①并延长交y轴于点。，的面积为求抛物线C

的方程及点。的坐标；

(2)点尸为抛物线C准线上任一点，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB,切点为A、B,求AR4J5面积的最小

值.

19.(本题17分)在平面直角坐标系叼中，重新定义两点4(占,%),巩尤2，%)之间的“直角距离”为

|AB|=|占一引+花一％|，我们把到两定点耳(-。，。)，"(c⑼(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫

“椭圆”.

(1)到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程及所围成的封闭图形的面积；

(2)设点4(1,0)，点B是直线/：x-衣y+2=0上的动点，求“直角距离”|A邳的最小值及此时点3的坐标；

⑶设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,设C的左顶点为4,过工作直线交C于

两点，的阿的外心为。，求证：直线OQ与的斜率之积为定值.

高三数学一轮复习卷《解析几何1》参考答案

题号1234567891011

答案BBCDCDCABDBDBCD

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线/1：ax+2y-4=0,直线l2：x+(a+l)y+2=0,贝!J"a=1"是"<//[”的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

解：由/]//。可得2=a(a+l),解得a=—2或a=l.

当a=-2时/]：—2x+2y—4=0,Z2:x—y+2—0,显然重合,

当a=l时4:x+2y-4=0,Z2:x+2y+2=0,显然平行,

故4/〃2时。=1，

因此“a=l”是“4//A”的充要条件，故选：B.

2.若直线/:〃ix+〃y+3=O始终平分圆C:/+x+y2+2y+l=。，则根”的最大值为()

7979

A.—B.—C.一D.—

2244

【答案】B

解：根据圆方程可得圆心坐标为（-J,-1）,

因为直线平分圆，则直线必过圆心（一工,—1）,则—工根—〃+3=0,所以!根+"=3

222

11,9

所以7版=根（3-5加）=-3"+3m,当帆=3时，加”取到最大值为5.故选：B.

2V2L

3.若双曲线C：/——=1的右焦点到直线y=x+l的距离是2亚，则C的离心率为（）

a

A.2B.6C.3D.6

2y2/-----

【答案】c解：根据题意，双曲线C：V—-=1的右焦点为（、6开,0）,

a

到直线y=x+l的距离是2点，则有---『=2A/2,得°=8

72

2V2

则双曲线C：X-\=1的离心率e=3；故选：C.

O

4.抛物线有如下光学性质：经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴（或在对称轴

上）；反之，平行于抛物线对称轴（或在对称轴上）的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线及

y2=2px（l<p<5）,一条平行于x轴的光线从点A（10,2p）射出，经抛物线E上的点8处反射后，与抛物线E交于

点C,若AABC的面积是10,则p的值为（）

7

A.2B.3C.-D.4

2

【答案】D

【解析】由题知抛物线的焦点尸（三,。］,AB//X轴，

将y=2夕代入V=2内，得尤=2〃，则B（2p,2p）,由

题可知3,F,C三点共线，所以直线BC的方程为y=-国万即y=代入抛物线方程并整

2P~2

理，得内+。则莅，匕=—

8f—1722=0,+%=9由SABC=10得

8（i

I1。

=4或〃=1（舍去'故选D.

~\AB\］yB-yc\=--（10-2p）［2p-（-^）］=10,解得p：

22

5.设椭圆C:三十斗=l（〃〉b〉O）的左、右焦点分别为可，耳，过坐标原点的直线与。交于A,5两点,

ab

\F2B\=2\F2A\,可限祁=一率，则C的离心率为（）

A"B旦cBD也

3333

【答案】C

解：:。为A8中点也是片G中点,A乙班为平行四边形,

，|£4|=|48|=2|44|,

又|%4|+|44|=2。,F2A\=\卒|=学|44H^B|=y.

口/777J_2〃4〃/4J78。/AD4〃

F、A,KB=—,—cos^.A,F,BD=---cosB=-----,

-3399

/.cosAAF{B=——,/.cosAFXAF2=g

在MAg中，耳琢=A42+AF2_2AK.AF2COSZ^AF,

2

、24a216<7_2a4a1

即Rn(2c)2=——+------2---------

99332

即4，=父「.e多故选C.

3

6.已知圆G：(%-1)?+(y-3)2=4与圆G：/+V+2%+2my+m\8=0,则下列说法错误的是（）

A.若圆C2与x轴相切，则\m\=3

B.直线近—y—2左+2=0与圆a始终有两个交点

C.若圆。与圆。2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+（2机+6）y+病-14=0

D.若圆G与圆。2只有一个公共点，则根=—3+®

【答案】D

解：圆G：（x-iy+（y-3）2=4,圆心G（1,3）,半径为2,

圆。2化为标准方程为（x+l）2+（y+〃?）2=9，圆心。2（T-7"），半径为3,

对于4,若圆C?与无轴相切，则圆心到x轴的距离等于半径3,即|帆|=3,故A正确;

对于2,因为直线区—y—2左+2=0,即左（x—2）—（y—2）=0,所以直线恒过点（2,2）,

又因为点(2,2)与圆G(1,3)圆心的距离为)(2-1)2+(2-3)2=应＜2,所以点(2,2)在圆G内，

故直线版-y—2左+2=0与圆G相交，所以直线日-y-2左+2=0与圆G始终有两个交点，故2正确;

对于C,两圆方程相减得4x+(2机+6)y+/-14=0,即为两圆公共弦，故C正确；

对于。，若圆G与圆只有一个公共点,则两圆外切或内切，所以J(1+1)2+(3+耐=5或J(1+1)2+(3+胆)2=1,

得根=—3土®.故。错误；故选D

7.己知4(2,0),2(1,0),动点P(x,y)满足1PAi=应|尸网,则下列结论错误的是()

A.点P的轨迹上有且仅有三个点到直线x+y=\的距离都等于

B.|P四的最小值为0-1

C.过点的直线与点P的轨迹交于点M,N,则的最小值为2拒

D.片,鸟是尸的任意两个位置点，贝T

【答案】C

解：由|PA|=0|尸同得：(x-2)2+y2=2[(x-l)2+y2],即无2+^=2,

点尸的轨迹为圆心。(0,0),半径「=四的圆，

1_A/2

对于A：点尸的轨迹：/+产=2,圆心到直线x+y=l的距离为d=而厂=应，所以点P的轨迹上有

且仅有三个点到直线x+y=l的距离都等于,故A正确;

对于2：点B在圆内，易知当点P位于(应,0)时，|P目的最小值为0-1,故2正确,

对于C：过点[-3，；)的直线与点尸的轨迹交于点M,N,要使弦长MN最小，设。[―J，；)，则当所作直线与

OQ垂直时，MN最小.d=OQ=与,r=0,由垂径定理得MN=

2y/r2-d2=46,故C错误;

对于D因为|。4|=2,r=也,所以过A向圆引切线，切线长等于则两条切线夹角为工，故。正确.

112

故选：C.

22

8已知焦点在,轴上的椭圆c、+》叱。）的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这

A.[^2,2)B.(0,2)C.(1,2)D,[1,2)

【答案】A

OA2-------

解：当直线AB与x轴垂直时，=\BC\=2c=2y/4-zb2,

2

此时矩形ABCD的面积S=b-2,43

当直线AB与x轴不垂直时，设AB所在直线方程为x=（Y—c,

x=ty-c

联立x2/_,得伊5+4)y2—2/g+氏2_4方2=0

,TV=1

设，则X+%=《2二'，心=等：：.

.•・朋=衍・Q.4b可亘

11(b2t2+4)2/产+4入2+4

直线AB与CD的距离d=-F^=-

Vr+1

■­.平行四边形ABCD的面积S=.4叫：+丁2^

%+4717?

yjb2t2+b1

=8bc-

b2t2+4

令[b2t2+b?=m..b则b2t2=m2—b29

\/b2t2+b2_m1

b2t2+4=

m-\---

m

-----4-b2

要使得s最大值，则只需c2的值最大，即加+土2的值最小即可.

mH----m

m

根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大.

即当，=0时S有最大值，也即是相=/?时机+J最小.

m

由函数y=x+f(〃>0)在仅,上单调递减，在(6,y)上单调递增.

所以函数>=机+2在(O,C)上单调递减，在(C,+8)上单调递增.

m

函数y="?+土在［仇+⑹上当m=》时取得最小值，则b..c.

m

解得：b..j2,又b<2,所以&„b<2.故选：A.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

龙2

9.已知椭圆二十丁2=1与抛物线丁=以有相同的焦点R。为原点，点尸是抛物线准线上一动点，点A在抛物线

上，且|AF|=3,贝HPAI+IP尸I的长可以是()

A.5A/2B.2A/15C.3加D.8

【答案】BD

解：；椭圆二+产=1,；.°2=5-1=4,即c=2,则椭圆的焦点为(±2,0),不妨取焦点(2,0),

:抛物线y2ax,抛物线的焦点坐标为(7,0),

2

•••椭圆女+尸=1与抛物线产=数有相同的焦点尸，，二=2,即4=8,

则抛物线方程为V=8x,准线方程为x=—2,

由抛物线的定义得，|4尸|=/+2=3,所以4。,±2&),不妨取点A的坐标4(1,2&)；

F关于准线的对称点的坐标为H(-6,0),

则|PA|+1尸产白上包+1尸〃|..JAH|,

即H,P,A三点共线时，|PA|+|P/q有最小值，

最小值为IAH|=々+(2收了=历.即|PA|+|PF住后

故选3D

10.已知点4(5,1),耳分别为双曲线。：/一丁=2的左、右焦点，。为。的右支上一点，则()

A.|B4|+|P用<5&B.|PA|+|P闾23直

C.-Vld<|PA|-|P^|<A/i0D.|PA|+^-|P^|>6

【答案】BD

解：当P的横坐标为无穷大时，|/训+|尸片|也为无穷大，故A错误；

由双曲线的定义可知归制一|P闾=2后，^|PA|+|P^|=|B4|+|P^|-2A/2..|A^|-2V2=3V2,故8正确；

双曲线C的一条渐近线的斜率为1,大于直线48的斜率，所以直线4工与双曲线右支只有一个交点，由三角形

三边关系可知俨阊归4闾=河，-Ji5v|PA|-|P国KJid(当AP,8共线时取等号)，故C错误；

A(5,l),4(―2,0),P(x,y),-^-|P/^|=-^-^(x+2)+y2=J—[(x+2^+(x2—2)]=\/x2+2x+l=|x+l|,

所以|PA|+日|P£|的几何意义是点P到A的距离与到直线x=-l的距离之和，最小值为6,故D正确.

11.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，设抛物线

C:y2=2px(p>0),其焦点为F,过抛物线C上不同的两点A,8分别作C的切线，两条切线的交点为。，则

△A8Q为其阿基米德三角形.直线与x轴的交点为N,的中点为H,下列结论一定成立的是()

A.当点N与点F重合时，存在点Q,使得函万>0

B.当点N与点F重合时，AQ-AB=^AN\\AB\

C.当点N与点F不重合时，。〃〃》轴

D.当点N与点F不重合时，/QFA=NQFB

【答案】BCD

解：直线AB的斜率不为0,设AOi，%),B(x2,y2),设直线A8与工轴的交点N«,0)：x^my+t,

x=my+1

联立彳。，化为_2p“y_2p/=0,

y2=2px

得至|JY+%=2Pm，=-2p，.

当点N与点F重合时,x+%=2p加，%为二一忧

由导数知识得过点A的切线斜率为k=L过点B的切线斜率为k=Z

%%

ppp__.

1•,kQA-kQB=------=-----=-1,:.QAQB^O,故A错；

X%乂为

可得A,8处的切线方程分别为：%>=°（》+%），y2y=P（x+X2）,

可得Q（?,中），，左中=一根，

2p22p

当加=0时，.•.％8=0,直线AB斜率不存在，两直线垂直，尸，；.4。2=4尸.42,

当机W0时，又因为直线AB的斜率为AB±QF,AQ2=AF-AB,:.AQAB=AQ2=AFAB.

m

故8正确；

当点N与点F不重合时，设的中点为H,则由如：也，而：%）二。//〃x轴.故C正确;

22p2

作抛物线准线的垂线A4',88',连接A'。,B'Q,。尸,4尸,BE

呜刃=4%寸

显然％,•G=-1,,所以E4UQA,

又因为由抛物线定义，得|A4［=］AF'故知QA是线段FA'的中垂线，得到|出［=|。司则NQAA=/QE4

同理可证：|QB［=|。目,ZQB'B=ZQFB,

所以|出［=］沙［=此阿，即ZQAB'=ZQB'A',

所以ZQA'A=ZQA'B'+900=ZQB'A'+90'=/QB'B,即ZQFA=ZQFB.故。正确；故选BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线尤+y=a（a>0）与圆Y+y2=6交于A3两点，且便+词=百匹一丽，其中O为坐标原点，则

正实数a的值为.

【答案】3

解：取A8中点C,连接OC,所以OC与直线垂直，

..\OA+OB\=y/3\OA-OB\

•,

1»

“\OA+OB\

工^-----=也

AC^\OA-OB\

i逅g还

22

即。点到直线x+y—a=°的距离为述，

2

.|叽3小

a2,解得：4=3或4=—3（舍去）

22

13.已知双曲线=1（。＞0乃＞0）的左、右焦点分别为耳、F2,若过点尸2的直线与双曲线的左、右两支分别交

于A、8两点，且恒娼=忸用=近.又以双曲线的顶点为圆心，半径为君的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲

线的离心率为.

【答案】屈

解：如图，

・"A闻=忸周=/，|陷|一|明1=24=|%|-忸町,

|AF21=+2a,\BF21=-Ji—2a,

4AB\=\AF2\-\BF2\=4a,

以双曲线的顶点为圆心，半径为73的圆恰好经过双曲线虚轴的端点,

a2+b2=(A/3)2=c2,

c2=3,

-]F1F2|=2A/3,

在ABGg中，

cos-(62+(,一2二)一(2后

2x，7x(j7—2a)

在AA43中,cosZABF=

12xy/lx4a

・・・AF{BF2=7i-AABFx,

cos/F[BF2=—cosAABFX,

(")2+(凤2a)2—(2百产(4。y+(⑺,-(司

2x用x(币-2。)2x@x4a

14.已知/是椭圆器+丁=1上一点，线段M是圆C:尤?+(y_6)2=4的一条动弦，且|4却=旧，则如.施的

最大值为.

【答案】57

解：如图，设中点为N,

|AB|=旧n|叫=半\CN\=^\ACf-\ANf=当

故点N的轨迹为以(0,6)为圆心，叶=浮为半径的圆,

Wi-MB=(MN+NA)-(MN+NB)

=(MN+NA)-(MN-NA)=\MN^-网2

=|w|2-1

WMC+f

Ilmax=llmax-设”(McOS0,sin，)，

则

=J10（l-sin2e）+sin2e-12sine+36=小Esin20-12sin9+46

=^-9(sin6»+|)2+50

2

当且仅当sin。=——时，

3

.-.|MC|max=屈=5叵

:.\MN\=\MC\+r=5V2+—=

IImaxIImax21

(MAMB\=M2-Z=^-Z=57

'/maxIL222

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本题13分)设大、工分别为椭圆C:彳+捺=1(。>6>0)的左、右两个焦点，椭圆上的点«1,|1到片、F2

两点的距离之和等于4,求：

(1)写出椭圆C的方程；

(2)过耳且倾斜角为45。的直线/,交椭圆于两点，求AgMN的面积.

【答案】解：(1)由题意2a=4,上=2

9

又是椭圆上的点，工+4=1，解得6=3.

I2)4b1

22

所以椭圆的方程是C：土+匕=1.

43

x=y-1

(2)联立尤22,

——+—=1

143

整理得7y2一6>-9=0,

69

bi-^l="(%+%)2-町%=，

所以=g忸曰lx当2=当2.

2222

16.(本题15分)如图，由部分椭圆)+多=1(。>6>0,>40)和部分双曲线--斗=l(y20),组成的曲线0称

abab

为“盆开线”.曲线C与X轴有A(2,0)、8(-2,0)两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为平.

(1)设过点(L0)的直线i与曲线c相切于点M,求点M的坐标及直线I的方程；

(2)过A的直线/与C相交于点P、4。三点，求证：ZPBA=ZQBA

【答案】解：由题设可得正寿77彳岳'

--------X---------=---

aa4

得a=2,b=\，

故椭圆方程为］+y2=i(y,,0),

双曲线方程

为?-丁=l(y..O)；

⑴由图可知，切点加在双曲

线^-/=l(y..O)上.

设,则切线/的方程为苧—%y=l,

因为直线/过点(1,0),

所以无。=4,

将％=4代入——y2=1(y.0),

得力=6,

所以M(4,V3),

直线/的方程为x-6y-l=0;

(2)证明：由题意可得尸。的斜率存在且不为零，

设PQ方程为y=%(x—2),

y=k(x-2)

联立尤22,、

=1(%。)

整理得(1一4k2)X2+16左2兀_16左2_4=0,

i，Ti/Ftc_8k~+2

解得x=2,或无=—、---,

4/一1

8/+24k)

即

Q4F-T4F-1)

y=k^x-2）

联"1+y2=i（y，，。）

整理得(1+4公)£一16公x+16父一4=0,

Xk2-2

解得x=2,或x=

4^2+1

8%2-24k）

即P4"+1'-43+11

4k4k

4左2+1।4左2一1一0

k-Lk

氏BP丁^BQ2

8左2-2c8k+2c一

4k2+14k2-1

所以kBP=~kBQ，

所以ZPBA=ZQBA.

17.(本题15分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(-1,0),5(1,0),动点P满足怎4•瓯=3,设点P

的轨迹为曲线「.

⑴求曲线「的方程;

(2)过点C(L1)的直线/与曲线「在y轴右侧交于不同的两点M,N,在线段MN上取异于点M,N的点。，满足

|CN|-|ON|=|M0-|QV].证明：点。在定直线上.

【答案】解：⑴设点尸的坐标为(x,y),

2

由kPA-kpB=3得」——L=3,化简整理得尤2-21=1(无H+1),

x+1x-13

2

所以曲线r的方程为/一\=1(尤*±1)；

(2)证明：若直线/的斜率不存在，则直线/与曲线「无交点，不符合题意,

所以直线/的斜率存在，设为左，

方程为yT=Hx—i),

设点Ma，M)，N(X2，%)，O(x，y)，

y_l=k（xT），

2

联立方程组2V

x"---=1,

3

（3—K）厂+（2k~-2左）x—（《一2k+4）=0,易知左。w3,

公=（2犷-24+4（3-阴俨-2/+4）＞0，

解得k＜2,

11c-Ik八

x.+x=-7------>0

勺92k2-3

k2-2k+4

>0

k2-3

解得左〈一百或女〉百，

综上左〈一百或百＜左＜2，

因为|CM|=J1+山归-1|=gk2&-1）,

同理由|CM|-|DN|=|MD|-|aV|,

得（为一1）（%-尤）=（%一D（x一占），

化简整理得-（无1+々）=（为+X2-2）X,

°k2-2k+42k2-2k

2x----------------------------

k1-3片一3

化简整理得左=土二±,代入y-l=々（x—1）,

x-1

化简整理得3x_y_3=0,

所以点。在定直线3x-y-3=。上.

18.（本题17分）在平面直角坐标系皿y中，抛物线C:/=2/5＞0）的焦点为-0,1）

（1）动直线/过p点且与抛物线C交于M,N两点，点M在y轴的左侧，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为

.1—.3

M1,点E在线段板上，且满足=连接并延长交y轴于点。，AMED的面积为万，求抛物线C

的方程及点D的坐标；

（2）点尸为抛物线C准线上任一点，过点P作抛物线C的两条切线24、PB,切点为A、B,求AR4B面积的最小

值.

【答案】解：⑴因为尸(0,1),所以抛物线c：/=4y,

—.1—.3

设£>(0,加)，因为=§斯，S^MED=-,=6,所以

1/1、/口口一12

--xM(m-l)=6,即税=---；，又因

2m-l

I|m—4

为.MM'EfFDE,\MM1|=-|DF|=-(m-l),推出加=：—,M在

抛物线C上，(-3)2=4X~^,得机=7,所以

772-13

。点的坐标为(0,7).

⑵设点4(%,M),8(々，%)，尸(/,—1),由。：犬=4',即'

得V=工x,所以抛物线C:公=4y在点4(%,M)处的切线PA的方程为y-%=B(X-占)，

2