解三角形（八大题型）（讲义）（原卷版）

第04讲解三角形

目录

真题感悟

考点要求考题统计考情分析

高考对本节的考查不会有大的变化，仍

(1)掌握正弦定理、余弦定将以考查正余弦定理的基本使用、面积

理及其变形.公式的应用为主.从近五年的全国卷的

2023年/卷〃卷第17题，10分

(2)能利用正弦定理、余弦考查情况来看，本节是高考的热点，主

2023年甲卷第16题，5分

定理解决一些简单的三角形要以考查正余弦定理的应用和面积公

2023年乙卷第18题，12分

度量问题.式为主.

2022年/卷〃卷第18题，12分

(3)能够运用正弦定理、余

弦定理等知识和方法解决一

些与测量和几何计算有关的

实际问题.

abc„„

------=-------=------=2R

sinA--sinBsinC

=62+c2-26ccosA

b2—c2-ha2—2accosB

c2=a2+fe2—2abcosC

=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

..a.b.c

正弦定理变形sinA=——,smB=——,sinC=——

2R'2R2R

解三角形

J>2+_a2

cosA=---------------

2bc

c2+a2—b2

cosB=----------------

2ac

余弦定理变形

a2+b2—c2

cosC=.......-；------

2ab

仰角和俯角

方位角

方向角

城角与坡度

夯基•必备基础知识梳理

知识点一：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

公式=-=2ab2=c2+a1—2QCCOSB；

sinAsinBsinC

c2=tz2+&2-2abeosC

b1+C1—a

cosA=---------------；

(1)a=2RsinA,〃=2HsinB,c=27?sinC；2bc

c2+a2-b1

常见变形(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

2R2R2Rlac

_+Z72-c2

cosC=---------------.

2ab

(2)面积公式：

S^ABC=-^absmC=^bcsinA=-^acsmB

S^ABC=—=-(a+b+c)-r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,r.)

△4R2

知识点二：相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边oQ:Z?:c=sinA:sin5:sinC

②大边对大角大角对大边

Q>boA>5osinA>sin5ocosA<cosB

③合分比：—a+6+c—=a+6==…=」=上=二=2二

sinA+sin5+sinCsinA+sinBsin3+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC内角和定理：A+6+C=»

®sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin3oc=々cosB+/?cosA

同理有：Q=Z?COSC+CCOS5,》=ccosA+QCOSC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=一面1'土面1'一。tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC

1-tanA-tanB

®sin(A±l)=COsf;Cos(^)=sinf

⑤在AABC中，内角AB,。成等差数列=5=e,A+C=二.

33

知识点三：实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.

铅

垂

线

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角＜9为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）.坡度又称为坡比.

【解题方法总结】

1、方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

C

cX

/A

图形

AB；.....-'BA

AB

bsinA<a<b、7a>b

关系式a=6sinAa>ba<b

解的个

一解两解一解一解无解

数

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,

要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有。,ac的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用至UA+3+C=%.

3、三角形中的射影定理

在△ABC中，a=Z?cosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=〃cosA+acos^B.

一提升•必考题型归纳

题型一：正弦定理的应用

jr57r

例1.（2023•福建龙岩•高三校联考期中）在AABC中，角A仇。所对的边分别为。也。，若。=4,A=；,C=2,

412

则Z?=（）

A.2A/3B.2盯C.2A/6D.6

nhc

例2.（2023•全国・局三专题练习）在4WC中，设命题p：——=——二——，命题q：4WC是等边三

sinCsinAsinB

角形，那么命题p是命题q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例3.（2023•河南•襄城高中校联考三模）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=sinBcosC

c+a

且c=26,A=y,则)

6sinC+sinA

A.8A/3B.4A/3C.8D.4

变式1.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，内角A,B,C的对边分别是。力,c,acosB-bcosA=c,

-TT

且。=5，则N5=（）

,兀r兀一3乃—2兀

A.—B.-C.—D.—

105105

变式2.（2023•河南郑州•高三郑州外国语中学校考阶段练习）a,b,。分别为△ABC内角A,3,C的

对边.已知々=4,"sinAsinC=csin6,则AANC外接圆的面积为（）

A.16%B.647rC.128万D.2567r

变式3.（2023•甘肃兰州•高三兰州五H^一中校考期中）△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为。，b,

b

c,^tzsinAsinB+Z?cos2A=sj3a,则一=（）

a

A.后B.百C.2A/2D.

变式4.（2023•宁夏•高三六盘山高级中学校考期中）在AABC中，内角A,B,。所对的边分别是。，b,

2,,2sin2B-sin2A/、

c.右a=2b,则------、------的值为（）

sirrA

A.—B.—C.1D.—•

242

变式5.（2023•河南•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,

c,已知6cosA=a（石-cosB）,a=2,贝ijc=（）

A.4B.6C.2-72D.2A/3

【解题方法总结】

（1）已知两角及一边求解三角形；

（2）已知两边一对角；.

'大角求小角一解（锐）

［两解一sinA<1（一锐角、一钝角）

小角求大角一〈一解一sinA=l（直角）

无解一sinA>1

（3）两边一对角，求第三边.

题型二：余弦定理的应用

例4.（2023•全国•高三专题练习）已知AABC的内角A&C所对的边分别为。，"c满足6+02一6=/且

A.2B.3

C.4D.24）

例5.（2023•河南•高三统考阶段练习）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,"c,若

.sinBsinC

tanA二一z---------；----------；—，则A=（）

sin2B+sin2C-sin2A

n

A.—c—ng—D.*

3-766

例6.（2023•全国•高三专题练习）设AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=sinB,且

c2=2a2（1+sinC）,则C=（）

变式6.（2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,

111

c,a1+b2=3c2,则+)

tanAtanBtanC

A.0B.1C.2D.1

变式7.（2023全国•高三专题练习）在AABC中，角AB,C的对边分别为a,b,〜且乎+您C=2

bcsinC

则b的值为（）

A.1B.gC.—D.2

2

【解题方法总结】

（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，

〉0,则AABC为锐角三角形

若余弦值<=0,则AABC为直角三角形.

<0,则AABC为钝角三角形

题型三：判断三角形的形状

例7.（2023•甘肃酒泉•统考三模）在AABC中内角的对边分别为0力,c,若，=sinAcos8,则.c

bsinBcosA

的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

例8.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且c-AcosA<0,

则血?C形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

例9.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，若小"==2空，贝UAABC的形状为（）

c-cosB1-cos2C

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

变式8.（2023•全国•高三专题练习）设AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,^b2^c2+a2一CCL，

且sinA=2sinC,则AABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形等腰三角形

变式9.（2023•河南周口•高三校考阶段练习）已知AABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,4c.若

sin2A+csinA=sinAsinB+ZjsinC,则该三角形的形状一定是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

变式10.（2023•全国•高三专题练习）设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

a2cosAsinB=i>2sin4cos民则AABC的形状为（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

变式11.（2023•北京•高三101中学校考阶段练习）设AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

若42cosAsin8=廿sinAcos3,则AABC的形状为（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等边三角形

【解题方法总结】

（1）求最大角的余弦，判断AABC是锐角、直角还是钝角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.

题型四：正、余弦定理与的综合

例10.（2023•河南南阳•统考二模）锐角AABC是单位圆的内接三角形，角A,5c的对边分别为°,4c,

Ma2+Z?2-c2=4a2cosA-2accosB,贝。。等于（）

A.2B.20C.73D.1

例11.（2023•河北唐山•高三开滦第二中学校考阶段练习）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为

b,,c,-a-b-s-in-A-+-a-b-s-i-n-B=/+2//,2一片.2

2sinB2sinA

jr

⑴求证：0<C<-;

例12.（2023•重庆统考三模）已知AABC的内角A、5、C的对边分别为〃、b、c,sin（A-B）tanC=sinAsinB.

22

/［、+

⑴求Cl丁+C

2

(2)若COSB=—,求sinA.

3

变式12.（2023•山东滨州•统考二模）已知AABC的三个角A,B,。的对边分别为。，b,。，且

2cos(B-C)cosA+cos2A=1+2cosAcos(5+C).

⑴若6=C,求A；

⑵求h中2+的r2值.

变式13.(2023•全国•高三专题练习)在AABC中，(a+c)(sinA—sinC)=b(sinA—sinB),则NC=()

712兀5兀

A.-IC.—D.

I3~6

变式14.（2023•青海•校联考模拟预测）在AABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若eLBC

的面积是6（“+°2—"2），则A=（）

4

兀一2兀「兀一5兀

A.—B.—C.-D.—

3366

变式15.（2023•全国•校联考三模）已知小b,c分别为AABC的内角A,B,。的对边，

a2+c2=ac[3cos2--sin2—.

I22）

（1）求证：a,b,c成等比数列；

（2）若「1/2=>,求cosB的值.

sit?A+sin2c4

变式16.（2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在AABC中，角A,B,C所对的

边分别为。，b,c,已知csin'+C=asinC

2

（1）求角A的大小;

(2)若b=l,sinB=叵,求边c及cos(23+4)的值.

7

【解题方法总结】

先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.

题型五：解三角形的实际应用

方向1：距离问题

例13.（2023•全国•高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1）,其主体建筑

采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“s”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的

科技创新.如图2,为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶8之间的距离，无人机在点C测得点A

和点8的俯角分别为75。，30°,随后无人机沿水平方向飞行600米到点。，此时测得点A和点8的俯角分

别为45。和60。（A,B,C,。在同一铅垂面内），则A,B两点之间的距离为米.

CD

例14.（2023•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考期中）一游客在A处望见在正北方向有一塔8,在

北偏西45。方向的C处有一寺庙，此游客骑车向西行1km后到达。处，这时塔和寺庙分别在北偏东30。和北

偏西15。，则塔8与寺庙C的距离为km.

例15.（2023•河南郑州•高三统考期末）如图，为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上的B,。两

点，测出四边形43CD各边的长度（单位：km）：AB=5,3c=8,CD=3,DA=5,且四点共

圆，则AC的长为km.

变式17.（2023•山东东营•高三广饶一中校考阶段练习）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯

塔底部C在北偏东15。方向上，匀速向北航行20分钟到达8处，此时测得灯塔底部C在北偏东60。方向上,

测得塔顶尸的仰角为60°,已知灯塔高为2瓜m.则巡逻船的航行速度为_____km/h.

方向2：高度问题

例16.（2023•重庆•统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先

在山脚A处测得山顶C处的仰角为60。，又利用无人机在离地面高300m的“处（即Affi>=300m）,观测到

山顶C处的仰角为15。，山脚A处的俯角为45。，则山高3C=m.

例17.（2023•河南•校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图

1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目

着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几

何?假设古代有类似的一个问题，如图2,要测量海岛上一座山峰的高度A”，立两根高48丈的标杆BC和

DE,两竿相距8D=800步，D,B,〃三点共线且在同一水平面上，从点8退行100步到点R此时A,C,

尸三点共线，从点。退行120步到点G,此时A,E,G三点也共线，则山峰的高度步.（古

制单位:180丈=300步）

A

I”入'、]E

HBFDG

图1图2

例18.（2023•全国•高三专题练习）为了培养学生的数学建模和应用能力，某校数学兴趣小组对学校雕像

“月亮上的读书女孩”进行测量，在正北方向一点测得雕塑最高点仰角为30°,在正东方向一点测得雕塑最高

点仰角为45。，两个测量点之间距离约为44米，则雕塑高为

变式18.（2023•全国•模拟预测）山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国

古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范.如图2,某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近

找到一建筑物A8,高为7百米，塔顶P在地面上的射影为。，在地面上再确定一点C（B,C,。三点共

线），测得BC约为57米，在点A,C处测得塔顶尸的仰角分别为30。和60。，则该小组估算的木塔的高度为

__________米.

图1图2

方向3：角度问题

例19.（2023•福建厦门•高三厦门一中校考期中）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场

的2底线宽AB=72码，球门宽跖=8码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，

往往需要找到一点尸，使得NEPF最大，这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点。

处（OA=4氏A3）时，根据场上形势判断，有两条进攻线路可供选择.若选择线路08,则甲

带球码时，到达最佳射门位置.

B

例20.（2023•全国•高三专题练习）当太阳光线与水平面的倾斜角为60。时，一根长为2m的竹竿，要使它

的影子最长，则竹竿与地面所成的角a=.

例21.（2023•全国•高三专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A

沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从3沿直线步行到C.现有甲、乙两位游

客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的T倍，甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C

处.经测量，AB=1040m,BC=500m,贝!JsinNBAC等于.

变式19.（2023•全国•高三专题练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故

最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点8离地面6米，在离地面c（c<6）

米的C处看此树，离此树的水平距离为米时看A,B的视角最大.

【解题方法总结】

根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.

题型六：倍角关系

例22.(2023•全国•高三专题练习)记AABC的内角A3,C的对边分别为。，"c,已知acos6=b(l+cosA).

(1)证明：A=2B；

(2)若C=2/7,Q=石，求ziASC的面积.

例23.(2023•全国•模拟预测)在AABC中，角A,B,。的对边分别为。，b,。(〃，b,c互不相等)，且

满足。cosC=(2b-。)cos5.

(1)求证：A=26；

(2)若c=Oa，求cos5.

例24.(2023•江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)在AABC中，角A、B、C的对边分别为

〃、b、c,若A=2瓦

⑴求证：a2-b2=bc;

23

(2)若cos3=§,点。为边A3上一点，AD=-DB,CD=2瓜,求边长b.

变式20.(2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知分别是AABC的角ABC的对

边,bsinB—asinA=sinC(2bcos2B—c).

(1)求证：A=2B；

(2)求£的取值范围.

a

变式21.(2023•四川•成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)已知。，4c分别为锐角AABC内角4B,C

的对边，b-2acosC=a.

(1)证明：C=2A；

（2）求*的取值范围.

变式22.（2023•福建三明•高三统考期末）非等腰AABC的内角A、B、C的对应边分别为。、b、c,且

a-cosB_sin3

a-cosCsinC

⑴证明：a2=b+c;

2

(2)若5=2C,证明：b>~.

题型七：三角形解的个数

例25.（2023•贵州•统考模拟预测）AABC中，角A,B,C的对边分别是。也。,4=60。,a=6.若这个三

角形有两解，则b的取值范围是（）

A.y/3<b<2B.框<b<2

C.l<b<2y/3D.l<b<2

例26.（2023•全国•高三专题练习）在△ABC中，。=18,b=24,/A=45。，此三角形解的情况为（）

A.一个解B.二个解C.无解D.无法确定

例27.（2023•河南南阳•高三统考期中）在“BC中，C=30°,b=也,。=x.若满足条件的AABC有且

只有一个，贝”的可能取值是（）

A.1B.8C.1D.白

22

变式23.（2023•全国•高三专题练习）在“ABC中，内角A民C所对的边分别为a,"c,则下列条件能确

定三角形有两解的是（）

_JI

A.Q=5,Z7=4,A=一

JI

B.a=4,b=5,A=—

C.a=5,b=4,A=

71

D.a==5,A=一

3

变式24.（2023•北京朝阳•高三专题练习）在下列关于㈤?C的四个条件中选择一个，能够使角A被唯一

确定的是：（）

①sinA=—

2

41

②cosA=——；

3

（3）cosB=~—,b=3a；

4

④/C=4516=2,c=4.

A.①②B.②③C.②④D.②③④

变式25.（2023•全国•高三专题练习）设在AABC中，角A、8、C所对的边分别为。，b,c,若满足

。=6,匕=3=J的AABC不唯一，则加的取值范围为（）

6

A.B.（0,V3）

C.匿）D.（川

变式26.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，a=2,B==卷，若该三角形有两个解，贝后边范围是

6

（）

A.（2,4）B.（73,4）C.（6,2）D.（1,2）

-]T

变式27.（2023•全国•高三专题练习）若满足NABC=—,AC=6,BC=左的AABC恰有一个，则实数上的

4

取值范围是（）

A.（0,6]B.（0,6]U{6夜}C.（6,6A/2）D.（6,6A/2）

【解题方法总结】

三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对

角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

题型八：三角形中的面积与周长问题

例28.（2023•全国•高三对口高考）在AABC中，若荏.前=-2,且48=60°,则AABC的面积为（）

A.2石B.括C.立D.76

2

7T

例29.（2023•河南•襄城高中校联考三模）在AABC中，内角A,3,C所对的边分别为。，c,ZBAC=-

。为BC上一点，BD=2DC,AD=BD=—,则AABC的面积为（）

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A,正R9A/3「9代n9g

3281632

ccqRh

例30.（2023•四川成都校考模拟预测）在AABC中，c分别为角A,8,C的对边，己知上空

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