解三角形综合压轴小题归类（16题型提分练） 原卷版-2025年高考数学

解三角形综合压轴小题归类（16题型提分练）

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目录

题型一：三角形几解求参.........................................................................1

题型二：判断三角形形状：化角为边型..............................................................2

题型三：判断三角形形状：化边为角型..............................................................3

题型四：面积公式的应用..........................................................................3

题型五：求边长或者周长..........................................................................4

题型六：解三角形求角度..........................................................................5

题型七：范围与最值：知角和边求周长..............................................................6

题型八：范围与最值：知角和边求面积..............................................................7

题型九：范围与最值：判断角型....................................................................8

题型十：范围与最值：无长度求比值型..............................................................9

题型十一：范围与最值：正切型最值................................................................9

题型十二：正余弦定理与三角形外心...............................................................10

题型十三：正余弦定理与角平分线.................................................................11

题型十四：正余弦定理与中线.....................................................................12

题型十五：正余弦定理与三角形高.................................................................14

题型十六：解三角形综合应用.....................................................................15

^突围・檐;住蝗分

题型一：三角形几解求参

指I点I迷I津

判断三角形解的个数有2种：

画图法：以己知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。

①若无交点，则无解；

②若有一个交点，则有一个解；

⑥若有两个交点，则有两个解；

④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。

公式法：运用正弦定理进行求解。

（l）a=bsinA,A=0,则一个解;

②a>bsinA,A>0,则两个解；

③aVbsinA,A<0,则无解。

1.（23-24高三•陕西榆林・）在ZS/BC中，角C的对边分别为a,b,c,若8=60。，b=30LABC

只有一个解，贝壮的取值范围为（）

A.（0,373）B.（0,36]C.（36,6）D.（0,3Q]U{6}

TT

2.（23-24高三•江苏南通•）已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若满足条件/=：,

6

c=2的有两个，则〃的取值范围为（）

A.（1,2）B.（2,+8）C.[1,2）D.（1,2]

3.（2023・四川绵阳•模拟预测）命题）：“若△ZBC与SEF满足：

4

AB=DE=x,BC=EF=2,cosA=cosD=-,则△ZBC三△。石尸”.已知命题?是真命题，则工的值不可以是

（）

107

A.1B.2C.—D.-

33

7T

4.（23-24高三下•浙江•）在448。中，ZA=-,AB=4,BC=a,且满足该条件的△48C有两个，则。的取

值范围是（）

A.（0,2）B.（2,273）C.（2,4）D,（273,4）

5.（22-23高三•北京）已知在△4BC中，48=60。,6=6，若满足条件的三角形有且只有一个，则°的取

值范围是（）

A.{a|O<a<>/3}B.{0|0<0<&或。=2}

C.{a|0<a<V3}D.{a10<a4G或。=2}

题型二：判断三角形形状：化角为边型

"旨I点I迷I津

正余弦定理：化角为边型

若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理"角化边"；

AQ

1.（2021高三•全国・专题练习）设△ZBC的三边长为3C=a,CA=b,AB=c,若tan—=—,

2b+c

D1-

tan—=------,则△48C是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

2.（20-21高三・上海浦东新•）已知△48C的三条边。,6,c和与之对应的三个角4瓦C满足等式

acos3+6cosC+ccos4=bcosZ+ccosB+acosC贝ij止匕三角形的形》犬是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

3.（18-19高三•四川雅安•阶段练习）在△NBC中，£空=竺&上整，则A48C的形状是（）

a-bsin（4—5）

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.（23-24高三・江苏徐州）在ZU8C中，若l-cos.J-cosy,则△”c的形状为（）

c-cosnb-cosC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

5.(23-24高三•安徽芜湖•)已知a,6,c分别是△/8C三个内角44C的对边，下列关于的形状判断

一定正确的为()

A.sin2A+sin2B=sinC,则△NBC为直角三角形

B.sin2+sin25=sinC,则△4BC为等腰三角形

C.si/N+silB+sin2c=2，则UBC为直角三角形

D.sin271+sin25+sin2C=2,则△4BC为等腰三角形

题型三：判断三角形形状：化边为角型

:指I点I迷I津

正余弦定理：化边为角型

(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边"；

1.(22-23高三•上海青浦•阶段练习)已知△4BC中，角/,B,C的对边分别是a,b,c,下列命题中，真

命题的个数是()

(1)若/tanB=6?tan/,则△48C是等腰三角形；

(2)若sin/=cos3,则△48C是直角三角形；

(3)若cos/cos5cosc<0,则△48C是钝角三角形；

(4)若cosQ-8)cos(3-C)cos(C-N)=l,则a/BC是等边三角形.

A.1B.2C.3D.4

2.(22-23高三•福建福州・)△/BC中三个角的对边分别记为a、b、c,其面积记为S,有以下命题：①

s=12sm£smC_②若2cos3sin4=sinC,则△/8C是等腰直角三角形；③

2sinZ

sin2C=sin2A+sin2B-2smAsinBcosC;@(a2+62)sin(y4-S)=(a2-Z>2)sin(/4+5),则LABC是等腰或直角

三角形.其中正确的命题是

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

3.(23-24高三•重庆•)ZUBC中，角43,C所对应的边分别是a,6,c,c=acosB+ccosA,则△/3C的形

状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

4.（23-24高三・广东广州•）在△N8C中，角/、B、C所对的边为0、从c若*=强0，则△48C的形状

ctanC

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

5.（2024•山东•二模）在△48C中，设内角4/C的对边分别为。也。,设甲：b-c=a（cosC-cosB）,设乙:

△4BC是直角三角形，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

题型四：面积公式的应用

指I点I迷I津

三角形面积，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：

111abe

(T)SAABC=-absinC=-bcsinA=-acsinB=----

2224R

1

(2)SAABC=—(a+b+c)-r(r是切圆的半径)

□

1.(23-24高三・重庆•)已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,ZUBC的面积为S,

S=f^2-c2\in^,—则/=()

(2JtanAtanCtan5

A.120°B.135°C.150°D.165°

2.（2023•江西景德镇•模拟预测）已知△45。中，设角A、B、。所对的边分别为Q、b、c,△45C的面积

为S,3sin2B+2sin2C=sin（sin+2sin5sinC）,则i的值为（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

3.（2023•海南•二模）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知

a=石,（〃+/-3）tanA=V3bc,2cos2=（后-1kosc，则AABC的面积

A3-V3c3V2+V6c3V2-V6n3+V3

A.--------D.------------C.------------D.--------

2444

TT

4.(21-22高三上・江西宜春•)在。43。中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知/>=2,/=§,且

ch

-——-=—贝IJA4BC的面积为

1-cosCcosA

A.V3B.2gC.递或后D.

G或

3

5.(23-24高三•广西百色)ZUBC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知

bsinC+csinB=4asinSsinC,b1+c2-a2=8,则△/5C的面积为()

A2R2V3r88A/3

333

题型五：求边长或者周长

指I点I迷I津

解三角形，主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式，同角间的三角

函数关系，正切函数性质等等.注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边应伉。的齐次式

或关于角的正弦sin4sin?,sinC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题，通

常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论.

I.（23-24高三•湖北黄冈•）在△NBC中,内角4瓦。的对边分别为a,b,c,已知26sin/=3百，a=3,

为钝角，b-c=2,贝同=（）

A.5B.6C.7D.8

2.（23-24高三•江苏淮安•）在△N8C中,角4B,C所对的边分别为a,b,c,若N=60。，a=瓜,

a2+b2-c2=6ab，贝!J。=()

A.1B.2C.4D.6

3.（23-24高三•山西长治•）在△NBC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,a=2c=2,

4+BC.p...、

tan--------btan-=4,贝()

22

A.V2B.V3C.2D.V5

4.（23-24高三•四川成都）在△4BC中，a,b,c分别为内角N,B,C的对边，若

3

3sin2C=sin2A+sin2B+2smAsinB,cosC=-,^^ABC=»贝!Jc=()

A.坟B.4C.9D.5

33

jr

5.(23-24高三•江苏南京)在“BC中，角/,B,C对边分别为a,b,c.若2bcosC=2a-c,/=—,

4

6=3,则实数a的值为()

A.6B.3C.V6D.G

题型六：解三角形求角度

i----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"旨I点I迷I津

求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借助

其他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。

ah

1.（23-24高三下•江苏南京）在中，己知。也c分别为角4SC的对边.若7+―=3cosC,且

ba

cos(4-5)=一—,则cosC=()

6

A.一逑B.—C.—D.立或_逑

99229

2.（23-24高三•青海西宁）在△ASC中，内角45C所对的边分别是。也c,若

asmA+bsinB-csinC八.一,.,,、

--------------..............=2sinC,则C的大小w为（z）

3.（23-24高三・安徽蚌埠）在LABC中，角48,C的对边分别为3瓦c,已知cos8+cosC=2sinZsin8,0=标,

则。=()

7171_7171

A.-B.-C.-D.一

6432

4.(2024•江西宜春•模拟预测)在△/5C中，角A,B,。所对的边分别为b,。，若

(a2+3c2-Z)2)tanB=43ac,则cos55=()

5.(24-25高三・江苏•假期作业)记△/5C的内角A,B,。的对边分别为。，b,c.若

a2tanB=b2tanA,(a+c)(a-c)=b(b-V3c),则5=()

71_d兀71-兀、2兀71,、.71

A.一或一B.-C.一或一D.一或一

6262363

题型七：范围与最值：知角和边求周长

指I点I迷I津

解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度

有关的范围问题，

常用处理思路：

①余弦定%结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制,

通常采用这种方法；

⑶巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

1.（23-24高三•江苏淮安）在△48C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,若〃=石，且

V3cosfi+sinfi=c,则△48C的周长的取值范围为（）

A.（6,2月］B.［73,273］C.（26,3月］D.12百,3石］

2.(23-24高三•黑龙江大庆)在△ABC中，角B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，a=2,

且2s=R-3-C)2,则a/BC的周长的取值范围是()

A.(2,275]B.(4,275+2]C.(6,275+2]D.(4,75+2]

3.(2024•全国•模拟预测)在锐角△4BC中，若Gsin/W+%9=sin8sinC,且gsinC+cosC=2,

ac

贝IJa+6能取至IJ的值有（）

A.5B.4C.2GD.3

4.（22-23高三•福建福州）设锐角MBC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=l,/=2C,则△4BC

周长的取值范围为（）

A.（3,2+V2]B.（3,3+V3]C.（2+在3+⑨D.（2+72,3+73]

5.（22-23高三上•福建泉州•开学考试）在锐角△48C中，角4瓦。的对边分别为见仇。，S为△ASC的面积,

°=2,且2s=/-伍-则ZUBC的周长的取值范围是（）

A.（4,6]B.（4,275+2]

C.（6,2^/5+2]D.（4,若+2]

题型八：范围与最值：知角和边求面积

i指I点I迷I津

；三角形面积，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：

；111abc

\^）S/\ABC~~~flbsinC~~-Z?csinA.---tzcsinB~~

2224A

!②联/80=5（。+6+。＞«尸是切圆的半径）

1.（23-24高三•山东淄博）在△/BC中，角。所对的边分别为〃也c,若

sin2A-sin2C+sin2B=smAsinB,且c=3,则△Z5C面积的最大值为（）

A.V3B.咂C.—D.273

44

2.（23-24高三・山东聊城）在△45。中，角4,B,C的对边分别为mb,c,c=2,

a2+b2=^y^-«Z）sinC+4,则△45。面积的最大值为（）

A.B.1C.V3D.2百

2

3.（23-24高三・陕西渭南•阶段练习）在△/3C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,若。=2,4=30°,

则△4BC面积的最大值为（）

A.3百B.273C.3+百D.2+百

4.（22-23高三下•山西•阶段练习）在中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,C=1,

asmA+2bsinB=sinC,则△ZBC面积的最大值是（）

5.（20-21高三・安徽•阶段练习）在△A8C中，角4瓦。的对边分别是a,6,c,且

sin（8+C）+2sin/cos3=0.若6=2,则△ASC面积的最大值为（）

273473

A.—D.2^/3

3-I-丁

题型九：范围与最值：判断角型

指I点I迷I津

求复合型角,

1.以给了函数值的角度为基角来拆角。

2.讨论基角的范围，确认基南的正余弦值符号

1.（23-24高三•广东湛江•阶段练习）记UBC的内角48,C的对边分别为a,6,c,已知

a2-b2a2+b2-c2

,若△ABC为锐角三角形，则角8的取值范围是（）

c2ab

717171兀兀71

A.B.C.D.

%6'4453

2.（23-24高三•湖南株洲•期末）在锐角△4BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,若。=C-2（2COSB，

则“sin?'的取值范围为（）

4sin4—sinC

A.[2近,+s）B.（2女,+8）C.[272,3]D.（2近,3）

3.（23-24高三・江苏连云港）在中，内角A,B,C所对的边分别为b,c,若

V2sin4=sin（C-5）,则角A的最大值是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.（23-24高三・上海）△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,满足〃2_伍-c/vbe,则角A的

范围是（）

71

6,71

2bsirU+sinC

5.（2024・安徽合肥・模拟预测）已知△,角4B、C的对边分别为.、氏,满足二则角

5的最大值为（）

2兀

T

题型十：范围与最值：无长度求比值型

指I点I迷I津

解三角形：最值范围

1、可以用余弦定理+均值不等式来求解。

2、可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范

围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制

I.（23-24高三•江苏南京•阶段练习）在锐角△A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若

sinH―伊三，则片的取值范围是（）

2V4Z>b+c

2.（23-24高三•吉林）已知锐角△/BC是单位圆的内接三角形，角4,B,C的对边分别为Q,b,c,且

sin2A+sin2C-sin2B=4sin2AcosB-2sinAsinBcosC,则一的取值范围是()

a

C.(后26)

3.（23-24高三•陕西商洛）记△45。的内角B,C的对边分别为a,b,c,若bsinZ+V^acosB=0,

仔=—则£=（）

V2]_

B.—C.D.

2~4~3

4.（23-24高三・湖北•阶段练习）在锐角△45。中，角4民。的对边分别为。也c,且△45。的面积

2

S=6c（l-cos/）,则L的取值范围为（）

be

5.（23-24高三•江苏南通）在△48C中，角所对的边分别为,若c-b=26coJ,则一^的取

a-b

值范围是（）

A.（-1,2）B.[a]C.g，31D.（2,3）

题型十一：范围与最值：正切型最值

指I点I迷I津

1.正切主要恒等式：

tana+tanB

tan(a+P)=--------------------(T(a+P))

1-tanatariP

tana-tan0

tan(a-p)=-..................(T(a-p»

1।tanatariP

正切和差公式变形：

tana±tanP=tan(a±P)(l+tanatariP),

tana+tanPtana-tan(3

tanatari0=1---------------------=----------------------1.

tanma+阳tan团0团

2.在三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

A-RC

1.（23-24高三上•四川南充•阶段练习）△ZBC的周长为18,若cos—^-=2sin,,则的内切圆半径

的最大值为（）

A.1B.V3C.2D.4

2.（2022•黑龙江哈尔滨•二模）在锐角中，角力,B,C的对边分别为〃，b,c,△/吕。的面积为S,

2V1

若sin（/+C）=v~1，则tan/+的取值范围为（）

b-a3tan（8-N）

3.（23-24高三上•山东德州•阶段练习）在锐角△4BC中，角B,C的对边分别为a,b,c,S为AABC

A2_i_2

的面积，且2s=/一9-c）一9,则2上Jr的取值范围为____.

be

4.（22-23高三下•四川南充・开学考试）已知△/台。的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若

s’11/sin。=£-丁：,则tanC的取值范围为

sinBb+c—a

5.（21-22高三上•江苏南通・）在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

a2+2abcosC=3b2，则tanAtanBtanC的最小值是.

题型十二：正余弦定理与三角形外心

;指I点I迷I津

:三角形所在的外接圆的处理方法：

1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角

;形斜边中点上。

:钝角三角形外心在三角形外。

abc

2.正弦定理：--=--=--=2R,其中R为外接圆半径

sinAsinBsinC

1.（2023高三上•全国•专题练习）在A/BC中，。为边NC上一点，AB=AC=6JD=4,若△N8C的外心

恰在线段2D上，则2C=—.

2.（21-22高三上•河南•阶段练习）在钝角三角形/BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知

,,a=2,点。为A42c的外3△05C的面积为G，则△048与△CMC的面积之和的最大值为.

3.（17-18高三•湖南•开学考试）若点。是等腰△NBC的外心，且/8。。=120°,底边BC=2,贝I]的

面积是•

4.（22-23高三•四川达州）已知△4BC的内角川瓦C所对的边分别为内6,c,满足a=3,b+6cosB=2c,

A

若M为△48C的外心，的延长线交BC于。，且=火，则人=—；△48C的面积为.

2—

5.（22-23高三•湖北•阶段练习）在△JBC中，已知/B=2,/C=5,N34C=6O。，尸是A42C的外心，则//尸3

的余弦值为.

题型十三：正余弦定理与角平分线

指I点I迷I津

内切圆圆心，是三角形三个内角角平分线的交点，A/BC的三边长分别为见"c,△Z3C的面积为S,内切圆半

2s

r=-------

径为厂，贝寸a+b+c,

SA=；（a+6+c）ro

1.（2023•江西•模拟预测）如图，若/。是△NBC的角平分线，贝U4D2=/B./C_2Z）.CD,该结论由英国

数学家斯库顿发现，故称之为斯库顿定理，常用于解决三角形中的一些角平分线问题.若图中

在&ABC内任取一点P,则点P恰好落在△/AD内的概率为

A

DD

53_44

A.—B.-C.一D.-

9595

2.（2023•青海玉树•模拟预测）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、6、。，若

asmA=bsinB+（c-b）sinC,AD为AABC的角平分线,且c=2b,则a的值为（）

A.2gB.3gC.477D.677

3.（22-23高三•浙江杭州•期中）在△48C中，ABAC=90°,4D是NA4c的角平分线，AB=3,NC=4,

£是NC的中点，则DE的长度为（）

A2历口2行「历D.叵

A.----------D.----------C.--------

7777

4.（21-22高三上•浙江•阶段练习）已知内接于半径为2的OO,内角4,5,C的角平分线分别与。。

相交于E,F三点,若/。-0$7+8£*-057+。尸-05万=/1（5111/+51115+5诂。），则4=

A.1B.2C.3D.4

JT

5.（21-22高三•河北保定）在448C中，B=1,"为NC边上的一点，且的W=2,若由/为—4BC的角平

分线，则二27-二17的取值范围为

题型十四：正余弦定理与中线

指I点I迷I津

中线的处理方法

------►1».--------►21/.2*,**2

AD=-（AB+AC）AM=-\AB+2AB-AC+AC

1.向量法：2'o4\

2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理

2.余弦定理法（补角法）：

如图设式）=OC,

在中，由余弦定理得48?①

在△/口）中，由余弦定理得NC?+r）c2-2*4Dxr）Cxcos/4DC，②

因为NAMB+NAMC=兀，所以cosZADB+cosZADC=0

所以①+②式即可

3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

1.（23-24高三•海南海口）△48C中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,

sin25+sin2C-sin2^4=sin5sinC,a=4,2c边上的中线为旗,则△48C的面积为（）

A.V3B.2GC.3D.4

2.（23-24高三•江苏镇江•阶段练习）在△4BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,

b2+c2-a2=bc,若3c边上的中线49=疗，则△NBC的外接圆面积是（）

A.4兀B.8兀C.12TID.16兀

3.（22・23高三•四川成都）如图，在△ZBC中，已知43=2,4c=5,ZBAC=60°fBC,4C边上的两条

中线/M,3N相交于点尸，则N4P2的余弦值为（）

V132V13„2回4>/9I

DD.

13139191

4.（20-21高三四川自贡•开学考试）如图，在△NBC中，ZACB=90°,AC=BC,4。为中线，过点C作

CE1.4。于点E,延长CE交48于点尸，若/C=l,则C户的值为（）

V5

D.

3

5.（2022高三・全国・专题练习）在等腰△/8C中，4C=BC,3c边上的中线/。=4,则△4BC面积S的最

大值为（）

c283264

B.—C.—D.

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