绝对值的化简与绝对值方程 专项讲练（原卷版）

重难点02.绝对值的化简与绝对值方程专项讲练

.▲素养目标

1.掌握绝对值的几何意义和代数意义，化简绝对值的一般步骤；

2.能利用绝对值的性质解方程；

3.回归数学思想，在课堂中充分渗透整体思想、分类讨论、数形结合等数学思想解决问题。

1\

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题型探究

题型1、根据字母取值范围化简求值..............................................................2

题型2、已知点在数轴上的位置化简求值..........................................................3

题型3、绝对值化简（二型）：.................................................................3

1^1

题型4、采用零点分段讨论化简求值..............................................................4

题型5、含绝对值的方程（几何法与代数法）......................................................6

题型6、含绝对值的不定方程（绝对值的几何意义求解）............................................7

培优精练

A组（能力提升）..............................................................................8

B组（培优拓展）.............................................................................11

知识梳理

40

1.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即时=。；②0的绝对值是0,即|0|=0；③负数的绝对值

是它的相反数，即时=-。；④绝对值具有非负性，即时20。

2.已知范围的绝对值化简步骤：

①判断绝对值符号里式子的正负；

a-b：大的数一小的数＞0,转化到数轴上：右一左＞0；小的数一大的数＜0,转化到数轴上：左一右＜0。

a+bt正数+正数＞0,化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数+负数＜,化到数轴上：原点左侧两数

相加＜0；正数+负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号。

②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；

若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）。

③去括号：括号前是“+”，去括号，括号内不变；括号前是“一”，去括号，括号内各项要变号。

④化简（合并同类项）.

3.绝对值化简（二型）：.当x＞0时，二=1;当x＜0时，工=-1。

1^1R|%|

4.零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到

问题的答案。

题型探究

题型1、根据字母取值范围化简求值

【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的

正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）。

例1.（2023•广东七年级期中）已知-19W2,则化简代数式|x-3|-2|x+l|的结果是（）

A.1-3xB.l+3xC.-1-3xD.-1+3x

变式1.（2023•成都市七年级期中）点力,2在数轴上分别表示有理数a、b,4、2两点之间的距离表示为

AB,在数轴上/、8两点之间的距离48=|"耳，若x是一个有理数，且—3<x<l,则|x-l|+|x+3|=

变式2.（2023•肇源县七年级期末）当2。<5时，化简：|2x-10|--2|的值为.

题型2、已知点在数轴上的位置化简求值

【解题技巧】已知点在数轴上的位置的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值

符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）。

例1.（2022•江苏•七年级专题练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

______I_______I_____I________I.

aQbc

⑴判断正负，用或“V”填空：b-c0,a+b0,c-6z0.

（2）化简：［-c|+|a+/?|-\c-a\.

变式1.（2023•四川•七年级期末）已知有理数。、b在数轴上表示的点如图所示，化简「-3-|〃+2臼+|-。-臼=

（）

.1141

b-10a1

A.aB.-a-4bC.3a+2bD.a-2b

变式2.（2023•陕西•七年级期末）已知。、6两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|+b+U的

结果是（）

ba

-1012

A.ci—1B.2QC.2D.2。一2

题型3、绝对值化简（二型）：

【解题技巧】.当x>0时，—=1;当x<0时，—=-1o

|x||x|

例1.（2023•河北七年级期中）有理数a,6在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式

+1||<v|b-a1-b

----------------1--------------------的值是（）

Q+1aa—b\—1|

ab

-101

A.-1B.0C.1D.2

例2.(2023・福建泉州•七年级校考期中)己知：加=小+生日+也且Mc>0,a+6+c=0.则加

cab

共有X个不同的值，若在这些不同的加值中，最大的值为则x+7=.

变式1.(2023・上海杨浦•期中)若a,6各表示一个有理数，且处H0,则算式回-回的可能值有()

ab

A.1个B.2个C,3个D.4个

变式2.(2023•浙江•七年级课时练习)已知非零有理数a,b,c,满足回+.+忖=1,则事等于

abc\abc\

()

A.-1B.0C.±1D.1

题型4、采用零点分段讨论化简求值

【解题技巧】零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起

来，得到问题的答案。

例1.(22-23七年级上•北京西城•阶段练习)当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，

世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。

距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度.我们可

以从图形和代数化简两个角度来计算距离：

①已知点8在数轴上分别表示有理数a,b,A,8两点之间的距离表示为a-bI，例如|x-2|表示x

到2的距离，而Ia+1H。-㈠)|则表示a到一1的距离；

x{x>0)

②我们知道：|x|=,(x=0),于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.

-x(x<0)

例如化简+"+时,可先令x+1和工一2=0，分别求得x=—1,x=2(称-1和2分别为1%+1|+1%-2|

的零点值)，在实数范围内，零点值尸-1和、=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①

%<-1；②-l〈x<2；③22.从而化简++2|可分以下3种情况：

①当工<-1时，原式=一(1+1)-(％-2)=-2工+1；

②当-l〈x<2时，原式=x+l-(x-2)=3；

③当X》2时，原式=%+1+1-2=21-1.

—2x+l(x<—1)

综上，原式=[(-"x<2)

2x-l(x>2)

结合以上材料，回答以下问题：⑴化简代数式|x+"+|x-2|；⑵化简代数式+

变式1.(2023・广东•七年级培优)已知x为实数，且段-1|+融-1|+|5>1|+--+|17工-1|的值是一个确定的

常数，则这个常数是().

A.5B.10C.15D.75

a^a>0)

变式2.(2023七年级上•绵阳•专题练习)学习了绝对值我们知道，同=0(«=0),用这一结论可化简含

-a^a<0)

有绝对值的代数式.如化简代数式卜+1|+,-3|时，可令x+l=0和x-3=0,分另I]求得尸-1和x=3,我们

就称-1和3分别为卜+1||和k-3||的零点值在有理数范围内，零点值x=-1,x=3可将全体有理数分成不重

复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：

II[I]lI141

-5-4-3-2-1012345

①当x<T时，原式=(一x—l)+[-(x—3)]=2-2x；

②当x=-l时，原式=4；

③当一l<x<3时，原式=(x+l)+[-(x-3)]=4；

④当x=3时，原式=4；

⑤当x>3时，原式=(x+l)+(x-3)=2x-2.

2-2x(%<-1)

综上所述，原式=4(-lWx<3),以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、

2x-2(x>3)

区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：

(1)化简代数式-2|x+2]；(2)卜-1|-2,+2|的最大值是.(请直接写出结果)

题型5、含绝对值的方程(几何法与代数法)

【解题技巧】代数法：同题型4；几何法：利用绝对值的几何意义求解。

例1.(23-24七年级上•广东•期中)综合应用题：的几何意义是数轴上表示旭的点与表示〃的点之

间的距离.(1)k|的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；上||x-0|(>,=,<)；

(2)12-11的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；贝力2-1|=；

(3)1x-3］的几何意义是数轴上表示^的点与表示的点之间的距离，若|x-3|=l,则》=.

(4)|x+2］的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若|x+2|=2,则》=.

(5)找出所有符合条件的整数x,使得卜+5|+1x-21=7这样的整数是.

例2.(23-24七年级上•内蒙古•阶段练习)阅读下面的材料：

在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；

|5+3|=|5-(-3)I，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离；［5］=|5-0|,所以忖表示5在数轴

上对应的点到原点的距离.一般地，点48在数轴上分别表示有理数或b,那么48两点之间的距离可以

表示为H4=|。-勿.

回答下列问题：(1)数轴上表示6与-9的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是

.⑵若|x-3|=3,贝口=.(3)满足|x+2|+|x-3|=5的有理数x有个.

变式1.(23-24七年级•江苏•假期作业)点/、8在数轴上分别表示有理数a、b,4、2两点之间的距离表

示为4B,则在数轴上/、2两点之间的距离=所以式子,-2|的几何意义是数轴上表示尤的点与

表示2的点之间的距离.借助于数轴回答下列问题：

AB

—•-------------1_•—>

a0b

⑴数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是.

⑵如果|x+l|=3,那么x=.⑶若|。-3|=2*+2|=1,且数a,6在数轴上表示的数分别是点点

B,则43两点间的最大距离是,最小距离是.

(4)①若数轴上表示x的点位于-3与1之间，则|1|+卜+3|=；②若上一3|+卜+1|=8,则

x=.

变式2.(23-24七年级上•江西赣州•期中)【阅读】|4-1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距

离：|4+1|可以看做表示4与-1两数在数轴上所对应的两点间的距离.

-5-4-3-2-1012345

(1)|4-(-1)|=；(2)在数轴上，有理数5与-3所对应的两点之间的距离为；

⑶结合数轴找出所有符合条件的整数x,使得|x+l|=3,则工=；

(4)利用数轴分析，若x是整数，且满足|x+3|+|x-2|=5,则满足条件的所有x的值的和为.

题型6、含绝对值的不定方程(绝对值的几何意义求解)

例1.(2023秋•陕西西安•七年级校考期末)实数a,6满足卜+1|+|2-司=8-|6+3卜|6+8|,则a+6的最小

值为.

变式1.(23-24七年级上•湖北武汉•阶段练习)已知(归+1|+归-2］乂2-2|+2+1|)(匕-3|+|z+1)=36,求

x+2y+3z的最大值与最小值的差_____________.

变式2.(23-24七年级•陕西•阶段练习)已知式子|x+l|+|x-2|+伙+3|+心4|=10,则2x+y的最小值

是

培优精练

A组（能力提升）

I.（2023•江苏•七年级期末）已知a,6的位置如图，贝帅-。|-卜+耳的值为（）

-------1-------1------------1~>-

b0〃

A.0B.12bC.12aD.2b—2a

2.（2023•河南周口•七年级期末）有理数。，6在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式回+0-忖则

ab-\a+b

的值是（）

-4r_on>

A.-1B.1C.3D.-3

3.（2023・广东•七年级校考期中）如图，A、5、。、。是数轴上的四个整数所对应的点，且

B-A=C-B=D-C=\,而数冽在A与3之间，数〃在C与。之间，若同+卜〃|=3,且A、B、C、。中

有一个是原点，则此原点可能是（）

mn

•••♦••・

ABCD

A.A点或。点B.8点或。点C.A点D.D点、

4.（2023•山东•七年级期末）已知有理数凡九。在数轴上的位置如图所示，且满足同〈上|<网.则下列各

abac........................

式:@-b>-a>-c②同一同=°；（3）|«+ft|=|«|+|ft|；@\a-b\-\c-b\+\a-c\=0.其中正确的有

（）

baoc>

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.（2023・重庆•七年级期末）有理数a,6,c在数轴上对应的点的位置如图所示，其中同<卜|,则下列各

式：@abc>0；@a-b+c<0；@—+j||+—=-1；@\a+b\-\b-c\+\a-c\=-2c,正确的有（）

dIc

，，♦'・----------•-------•~~>

bc0a

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.（2023・广东•一模）如图，在关于x的方程=bQ,6为常数）中，x的值可以理解为：在数轴上,

到N点的距离等于6的点X对应的数.例如：因为到实数1对应的点/距离为3的点X对应的数为4和-2,

所以方程,-1|=3的解为x=4,x=-2.用上述理解，可得方程,-3|=2的解为.

X\AX1

----------------------►

xiq---Xi

7.（2023•广东•七年级统考期末）有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，贝I]|"耳+匕-。|+忸-。|

的值为.

।_______Il1A

aObc

8.（2023秋・江苏•七年级统考期末）已知。，b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|-|a-2b|-|c-2bl

的结果是.

।111A

bQ0c

9.（2023,广东•七年级期末）如图，已知〃、b、c在数轴上的位置.

____।_______________।।.

-a0b?

（1）a+b0,abc0,_0.填（“>”或“<”）

c

（2）如果a、c互为相反数，求<=.（3）化简：\b+c\-2\a-b\-\b-c\.

c

10.（2023•浙江•七年级期中）如图，点N和8表示的数分别为。和b,若C是绝对值最小的数，"是最大

的负整数.（1）在数轴上表示c=,d=.（2）若|x+3|=2,则x的值是多少？

（3）若-l<x<0,化简：\x-Z>|+|x+a|+|c-x|.

AB

_________i________________________i________—

-1a01b

11.(23-24七年级上•北京西城•期中)先阅读，再探究相关的问题：|5-2|表示5与2差的绝对值，也可理

解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作表示5与-2差的绝对值，也

可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.

(1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，

得到点C,则2,C两点间的距离是；

BCA

-2.502.5

(2)点。和E分别在数轴上表示数x和-1,如果。，E两点之间的距离为3,那么x为—；

(3)借助数轴思考，当x为一时，卜+4|与卜-2|的值相等.

12.(23-24七年级上•广东河源•期中)对于数轴上的两点尸，。给由如下定义：P,。两点到原点的距离之

差的绝对值称为P,。两点的“绝对距离”，记为II尸。01.例如，P,。两点表示的数如图1所示，则

||尸尸。一。。|=|2-1|=1.

POQOAB

—।~~i~।~I_I~।~~I—>—।।~।~k~~1~।~i—►

-3-2-10123-3-2-10123

图1图2

(1)/,2两点表示的数如图2所示.①求/,3两点的“绝对距离"；②若点C为数轴上一点(不与点。重

合)，且||/O8||=2||NOC||,求点C表示的数；(2)点N为数轴上的两点.(点M在点N左侧)且

MN=2,\\MON\\=1,请直接写出点M表示的数为.

13.(23-24七年级上•贵州黔东南•期中)阅读下面材料：

在数轴上2与-1所对应的两点之间距离为=3；在数轴上-2与3所对应两点之间的距离为卜2-3|=5；

在数轴上-3与-1所对应的两点之间的距离为|(-1)-(-3)|=2.

归纳：在数轴上点4,8分别表示数a,b,则48两点之间的距离或

回答下列问题：(1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为」数轴上表示数x和JI勺两点之间的距离

表示为k+2|；(2)试说明当表示数x的点在-2与3的对应点之间移动时，归-3|+,+2|的值总是一个固定的

值，并求出这个固定值.

B组（培优拓展）

1.（2023•江苏•七年级期末）若有理数°、6满足等式|6—a|—|a+6|=26,则有理数数a、6在数轴上

的位置可能是（）

>II111»

A.aobB.0a

tAIIII

c.ObaD.ab0

2.（2023春•广东河源•七年级校考开学考试）满足卜-1|一同一,一1+国=1的x的值是（）.

13,3

A.0B.±-C.-D.±-

444

3.（2022秋・山东七年级课时练习）已知有理数a,c,若|"2|=18,且3|〃-4=卜|,则所有满足条件的数c

的和是（）

A.-6B.2C.8D.9

4.Q2-23七年级上•江苏南京•阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P=|l-4x|+|1-5x|+|1-6x|

+|1-7x|+|1-8x|的值恒为一常数，则此值为.

5.（23-24七年级上•四川成都・期中）对于有理数x,y,m,n,若||+1y-机1=〃，则称x和了关于

加的“绝对关联数”为〃,|2-1|+|3-1|=3,则2和3关于1的“绝对关联数”为3

⑴-3和5关于2的“绝对关联数”为—；⑵若x和2关于3的“绝对关联数”为4,求x的值；

⑶若%和为关于1的“绝对关联数”为1,占和%2关于2的“绝对关联数”为1,入2和与关于3的“绝对关联数”为

1,…，％和X61关于61的“绝对关联数”为1,…①天+再的最小值为②再+迎+七+…+%的最小值

为

6.（23-24七年级上•山东烟台・期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距

离，叫做这个有理数的绝对值例如：|2|-|2-0|,它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴

上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即同=|2-0|=2（如图1）.

同样的，数轴上表示机和表示〃的两个有理数之间的距离可以用帆-〃|来表示.例如：数轴上表示-3的点

到表示2的点的距离用卜3-2|表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，

即卜3—2|=5（如图2）.

-3-2-10123-3-2-10123

图1图2

以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的'数形结合”的方法.请你根据以上学到

的方法完成下列任务解答：

任务一：请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示-7的点之间的距

离；

任务二：根据绝对值的意义求字母的值：（1）若|尤-3|=2,求x所表示的有理数.根据绝对值的意义，

“卜-3|=2”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是.（2）若

|x+l|=4,求x所表示的有理数.根据绝对值的意义，“,+1|=4”指数轴上表示x的点到表示的点

的距离是4个单位长度，x表示的有理数是.

任务三：设点尸在数轴上表示的有理数是x,借助数轴解答下列问题：

-6-5-4-3-2-10123456

（1）当x取哪些有理数时，,-4|+,+1|的值最小？最小值是多少？

（2）若卜-4|+归+1|=8,求x所表示的有理数；（3）若卜-2卜|尤+3|=0,求x所表示的有理数.

7.Q023•江苏苏州•七年级统考期末