空间向量与立体几何（八大题型8大易错题）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题13空间向量与立体几何（八大题型8大易错题）

述题型专练

【题型1用基向量表示指定向量的方法】

1.（24-25高二上•天津滨海新•阶段练习）如图在三棱锥P-4BC中，”是4B的中点，若P4a,PB=b,

PC=c,则下列向量中与CM相等的向量是（）

Ai,ir-

A.—ct—b-cB.-CL-b+c

22

「ITlr.-»

C.—CL—bcD.a+b—c

22

【答案】A

【分析】结合图形，由空间向量的运算求解即可;

【详解】M是AB的中点，所以西刀+而）=|（PX-PC+RB-PC）=|（a-c+—c)=|a+

7-落

故选：A.

2.（24-25高二上•海南•阶段练习）如图，空间四边形0ABe中，~0A=a,OB=b,OC=c,点”为3。中

点，点N在侧棱04上，且。N=2NA,则标=（

A2-117*,1f2firi-

A.——a+-b+-cBD.—CL—b—c

322322

「1.1t1-c1-2-1T

C--a+-b——cD.——a——b+-c

222232

【答案】B

【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算求解即可.

【详解】MN^ON-0M^OA-1(OB+OC)=|a-|h-|c.

故选：B.

3.（23-24高二上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，空间四边形0ABe中，0A=a,OB=b,方=落点〃在

04上，且丽=|瓦5,点N为BC中点，则而等于（）

A1^,17*1-

A--a+-D——cB.-|a+jb+|c

222

「2Tl2TITC2^,2^IT

C--a+-b——cD.——a+-b——c

332332

【答案】B

【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.

【详解】回点N为BC中点,

---->---->---->---->1---->---->1---->---->1----->1----->1—>1.

WN=0B+BN=0B+-BC=0B+-(0C-0B)=-0B+-0C=-b+-c,

=0N-OM=0N--OA=-b+-c--a=--d+-b+-c.

3223322

故选：B.

4.（24-25高二上•陕西咸阳•阶段练习）如图，三棱锥。—ABC中，OAa,OB=b,OC=c,点M为8C中

点，点N满足加=2涵，则而=（）

O

11T211T2

TT5+T

-a--b--c---b-c

A.233B.233

【答案】c

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

【详解】JlN=M0+0N=-|（0B+oc）+|ol=|OX-|OB-|oc=|a-1h-|c.

故选：c.

【题型2三点共线和空间四点共面的问题】

5.（24-25高二上•四川・期末）已知向量a=（2,-1,一3）,b=（A,2,/z）,若窗I共线,则2-〃=（）

A.-2B.2C.-10D.10

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得结果.

【详解】依题意可得;=三=5,解得4=一4,11=6,

所以a-[1=—io.

故选：c.

6.（24-25高二上•安徽蚌埠•阶段练习）设e「02是空间两个不共线的非零向量，已知近=2京+k石，丽=

评+3孩，虎=2瓦（—孩，且4、B、。三点共线，则实数k的值为（）

A.-2B.-4C.-8D.8

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算表示而，根据4、B、。三点共线可得同=4而，建立等量关系可得k的

值.

【详解】团AB=24+ke2,=0+3e2^DC=2er—%,

^iAD=AB+BC—DC=（2"+ke2）+（q+3e2）—（2e1一,2）=+（k+4）。？，

国4、B、。三点共线，

MAe/?,使得荏=a而，

即2e1+k,62=A[0+（k+4）3]=入出+A.（k.+4）92，

团A=2,2（fc+4）=fc,解得k=-8.

故选：c.

7.（24-25高二上•山西•阶段练习）若何石，针构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.a+b,c,a+b+c,B.a—c,a,a+c

C.b+c,b,c—hD.a+b,b+c,c+a

【答案】D

【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合向量共面逐项分析判断.

【详解】对于A,因为五+另+5=伍+3)+*所以B+另+之a+b,3共面，故A错误；

对于B,因为N=-均+*3+均，所以江一己a,2+m共面，故B错误；

对于C,因为b=仅一b),所以3+泊b,0一3共面，故C错误；

对于D,假设三个向量共面，则存在实数x,y,使得2+b=x仅+6)+y仅+成立，

,x—1,

贝用y=l,显然方程组无解，所以日+^b+c,3+2不共面，故D正确.

.x+y—0.

故选：D.

8.(24-25高二上•贵州六盘水•期末)已知向量丽=(2,1,2),丽=(-2,1,1),而=(8,6,4),若。,M,N,P四

点共面，则向量诃在而上的投影向量的模为()

AYr-22-44r44

A-12B-Tc-TD-T

【答案】D

【分析】根据O,M,N,P四点共面，可得而，而，而共面，再根据空间向量共面定理求出;I,再求出向量而

在丽上的投影长度即可.

【详解】因为O,M,N,P四点共面，

所以而，赤，而共面，

则存在唯一实数对(x,y),使得赤=xOM+yON,

即(8,6,A)=x(2,l,2)+y(—2,1,1),

-8=2x-2y(x=5

所以-6=x+y,解得y=1,

.A=2x+yU=11

所以(8,6,11),

向量而在丽上的投影向量的模即为向量而在而上的投影长度，

所以向量存在南上的投影向量的模为4需=?

故选：D.

9.(24-25高二上•河南•阶段练习)已知三个向量日=(1,1,0),3=(—1,0,2),(招2,5)共面，则久=()

【答案】c

【分析】根据向量共面设出对应向量关系式，解方程组可求出结果.

（X=m—n

【详解】因为另,5共面，所以设=根2+71人所以］2=m,解得尤=一工，

t5=2n

故选：C.

10.（24-25高二上,贵州贵阳,阶段练习）。为空间任意一点，若赤=2瓦？+工4+t反，若4B,C,P四点

48

共面，贝！k=<)

A.1B-1c-1D-;

【答案】C

【分析】根据空间向量共面的基本定理可得答案.

【详解】若4B,C,P四点共面，贝吟+：+t=l,

48

解得”"

O

故选：C.

【题型3空间向量数量积的应用】

11.（24-25高二上・北京•阶段练习）在正方体A8CD中，ACC\BD=0,D±OnBrD=P,

则直线pa与直线PB夹角的余弦值为（）

A.渔B.如C.匹D.返

6352

【答案】A

【分析】作出相关图象，建立空间坐标系，利用空间向量求解直线P4与直线PB夹角的余弦值，即可求

解.

【详解】由题意作出相关图象，如下图，

以点D为坐标原点，D4DC,。％所在直线为与y,z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2,

贝i」D(O,O,O)4(2,0,0),5(2,2,0),0(1,1,0),Di(0,0,2),

连接易得与ADP。相似，又由正方体性质2。。=%。1，

所以DiP=2P。，从而可得P(|，|，|)，

故P4=(%—1，_|)，PB=G，［,—|),

所以，

设直线24与直线P8夹角为。，则cos8=f,故A正确.

故选：A.

12.(24-25高二上•贵州贵阳,期中)若日=(-1,2,1)石=(1,2,3),贝U伍+司•(2之一反)=()

A.4B.5C.21D.26

【答案】A

【分析】先求2+3,2石-3的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.

【详解】因为五=(-1,2,1)5=(1,2,3),

所以Z+6=(0,4,4),2d—b=(—3,2,—1),

贝Ij(a+司•(22-司=0x(-3)+4X2+4X(-1)=4.

故选：A.

13.(24-25高二上•四川眉山•期中)棱长为1的正四面体4BCD中，点E是2。的中点，则瓦？•瓦=()

【答案】A

【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得B4-CE=BA-CA+BA-AE,结合数量积定义可

得结论.

【详解】因为而=刀+族，

所以BA-CE=BA-（G4+AE）=BA-CA+BA-AE,

又卜力=|cx|=1,|>4E|=I,，，

所以BA-CE=1x1xcos-+1x-xcos—=

3234

故选：A.

14.（24-25高二上•北京•阶段练习）已知空间向量d石*满足1+1+1=6,且⑷=2,1山=3,同=4,则

cos(a,b)=()

A.-B.五C.立D.-

2224

【答案】D

【分析】由题可知2+3=-落然后两边同时平方，代入已知数据计算即可.

【详解】因为2+3+8=6,

所以d+[=—c=>(a+fo)=(―c)2=>a2+62+2a-=c2,

得4+9+2x2x3cos但而=16=cos但b)=

故选：D

15.(2024高三・全国•专题练习)空间四边形。48c中，OB=0C,^AOB=AAOC=p则cos(瓦C同)的值

是()

A.—B.—C.——D.0

222

【答案】D

【分析】利用。B=0C,以及瓦心前的数量积的定义化简cos(色，品)的值，

【详解】。8=。。，故亦阮=H画-函)=H瓦-H砺

“Tn"7T"TT"TE

=0A-0Ccos——0A-OBcos—=0A•OBcos——0A•OBcos—=0

3333

所以.

故选：D.

16.(24-25高二上•安徽黄山•期中)如图，在平行六面体力BCD一件BiQO]中,AB=AD=1MQ=4,4%=3,

^ArAB=^ArAD=p则/BAD=()

A..H-B_.—2TTC_.7-1D_.-T[

3342

【答案】B

【分析】由图及空间向量加法可得福*二方+而+京，后由题意及模长公式可得答案.

【详解】设2艮4。=0,因为六面体-A/iGA是平行六面体，

所以温=AB+AD+AAl，因为ZB=AD=1,AC1=4,A41=3,

代入计算可得：

>2/>>>、2>->2------>,>>>>

22

ACr={AB+AD+AA^=AB+AD+AAr+2AB-AD+2AD-AA1+2AA1-AB,

故有：16=1+1+9+21AB|•\AD\cos/.BAD+2|AD|•[AA^^os^AD+2\AA^\■[AB^os^AB,所

以16=11+2COSB+6cosm+6小，

所以cos。=—5,因为。G(O,Tt)i所以8=—.

故选：B

【题型4利用空间向量证明空间线面位置关系】

17.(20-21高二上•山东荷泽•阶段练习)如图，正方形ADEP与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD1CD,

AB//CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.

(1)求证：BM3平面AOEP；

⑵求证：BC，平面BDE.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）依题意可以。为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明元1的，即

可证明BM〃平面ADEF；

（2）由空间向量数量积为零可证明BC1D8,BCLDE,再由线面垂直的判定定理即可证明BC，平面

BDE.

【详解】（1）根据题意可知平面1平面48CD,平面C平面48CD=A。，

又4DEF是正方形，所以2D1ED,EDu平面ZDEF,

所以EDI平面4BCD,从而可得瓦?，DC,屁两两垂直；

以。为原点，分别以瓦?，DC,南分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

则。(0,0,0),4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2),

又M为CE的中点，所以“(0,2,1),

则的=(-2,0,1),且平面4DEF的一个法向量为元=(0,1,0),

因为元•前=0,可知元1丽，

又BM仁平面4DEF,所以8M回平面4DEF.

(2)因为丽=(-2,2,0),RB=(2,2,0),DF=(0,0,2)

易知阮•丽=-4+4=0,所以BCJ.DB；

又玩•砺=0,可得BC1DE；

又DBCDE=D,u平面8DE,

所以BC，平面BDE.

18.（23-24高二上•新疆阿克苏•阶段练习）如图，在正方体力BCD—4/1。1必中，E,F,G分别是棱CD

的中点.

(1)证明：EF||&G；

(2)证明：ArF1GE；

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，根据共线即可求解,

(2)根据向量垂直满足的坐标关系即可求解.

【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则

E(2,1,0),尸(1,2,0),4式2。2)6(0,2,2),

故乩=(-2,2,0),EF=(-1,1,0),

由于用瓦=2而，故砧7/丽，显然EF,4G不重合，故EFII46；；

(2)A^F=(-1,2,-2),亨=(2,-1,-2)

故,C]E=(—1,2,—2)-(2,—1,—2)=—2—2+4=0,

因此审1C^E,故为F1GE

19.(2024高三・全国•专题练习)如图，在四棱锥P—ABC。中，PA1AB,底面4BCD是矩形，且4B=4,

AD=3.侧面PBC是面积为日的直角三角形，其中BC1BP.点E,F分别为线段力B,PC的中点，连接EF.

（1）证明：直线EF〃平面PAD；

（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

陪.

【分析】（1）法1,取PC的中点G,利用线面平行的判断，结合平行四边形性质推理得证.法2,利用

垂直关系证明直线两两垂直，以4为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证

明推理即得.

（2）法1,过点E作EQ1PB交PB于点Q,利用定义法求出线面角的正弦值.法2,由（1）中空间直线

坐标系，求出平面P8C的法向量，再利用线面角的向量求法求解.

【详解】（1）法1,取PD的中点G,连接GF,G4.

由尸为PC的中点，得GF〃DC且GF=^DC,由四边形4BCD为矩形，^AB//DCRAB=DC,

贝UGF//4B且GF=得48,又E为ZB的中点，贝UGF//AE且GF=4E,

四边形4EFG为平行四边形，于是EF〃4G,而EFC平面PAD,4Gu平面PAD,

所以EF〃平面PAD.

法2：取PD的中点G,连接G4由BC1BP,BCLAB,ABCPB=B,

力B,PBu平面PAB,得BCJ•平面PAB,5LAD//BC,于是AD_L平面PAB,

而P4u平面PAB,贝IjAD1PA,又PA1AB,AB1AD,贝I］直线PA,AB,2D两两垂直,

以力为原点，直线P44BMD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

Z)

AEBx

在RtAPBC中,SAPBC=3BC,PB=*BC=3,贝UPB=5,

在RtAP4B中，AB=4,PA=<PB2-AB2=3,

则2(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3),E(2,0,0),F(2,|,|),G(0,|,|),

则E=(0,|,|),而=即前=而，因止匕EF//4G,

又EFC平面PAD,AGu平面PAD,所以EF〃平面PAD.

(2)法1：过点E作EQ1PB交PB于点Q,连接QF.

由BCJ.8P,BC1AB,ABCiPB=B,AB,PBu平面P48,得BC1平面PAB,

而EQu平面PAB,贝UEQIBC,又BCCPB=B,BC,PBc^®PSC,贝UEQ_L平面尸BC,

因此NE”即为直线EF与平面PBC所成的角，

在RtAPBC中，S^BC=|-5C-PB=y,由BC=3,得PB=5,

在RtAPAB中，AB=4,PA=<PB2-AB2=3,

而PAu平面PAB,贝IJ8C1P45LAD//BC,于是_LPA,

在RtAPAD中，PA=AD=3,G为PD中点，贝MG=EF=早，

由NPAB=乙EQB=90°,4ABp=乙QBE,得AEQBPAB,

则H=警，艮哼=g，解得EQ=(,在RtAEQF中，sin/EFQ=|^=竽,

所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为野.

法2：由(1)得配=(0,3,0),BP=(-4,0,3),而=(0,|,|),

设平面PBC的法向量为元=(x,y,z),则［三BC=3y=0,令％=3,得元=(3,0,4),

5•BP=-4x+3z=0

设直线EF与平面PBC所成的角为仇

则sine=\cos(EF,n)\=*焉=矗=乎，

2

所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为半.

【题型5用向量法求异面直线所成角】

20.（23-24高二上•山西吕梁•阶段练习）如图，在直三棱柱中，AB1BC,AB=BC,=

AC=2V2,点E为棱&&的中点，点尸是棱BC上的一点，且BF=3FC,则直线4E与C】F所成角的余弦

值为（）

A16「8V33口16回

A.——C.-------

99-it99・99

【答案】D

【分析】求出ZB、BC的长，以点B为坐标原点，BC、BA,所在直线分别为x、y、z轴建立空间直

角坐标系，利用空间向量法可求得直线力E与GF所成角的余弦值.

【详解】因为4B1BC,AB=BC,AA±=AC=2&,贝1］心=ABi+8c2=2.=8,

故2B=BC=2,

在直三棱柱48C-a/iG中，BBi1底面4BC,

以点B为坐标原点，BC、BA.BBi所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为点E为棱的中点，点尸是棱BC上的一点，且BF=3FC,

则力（0,2,0）、£（0,l,2V2）,G（2,0,2V2）＞F（|,0,0）,

AE=（0,-l,2V2）,C^F=（-|,0,-2V2）,

所以，cos延序）=窗篇=湛=—喏.

2

因此，直线4E与所成角的余弦值为噂.

故选：D.

21.(24-25高二上•辽宁大连•期中)如图所示，在棱长为2的正方体4BC0中，E为BC的中点,

CF=^CC「则异面直线EF与劣名所成角的余弦值为()

AB.叵

-I6

【答案】C

【分析】以。为原点，分别以所在直线为居y,z轴，建立空间直角坐标系，则而=

(-1,0,1),=(2,2,0),然后根据线线角的向量公式即可求出结果.

【详解】如图，以。为原点，分别以D4DC,。氏所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

因为正方体的棱长为2,且E为BC中点，CF=2CCi，

则。1(0,0,2),Bi(2,2,2),£(1,2,0),F(0,2,1).

所以丽=(-1,0,1),OT=(220),

设异面直线EF与Bi。1所成角为。，

贝(丽丽)1=9=置方，

所以异面直线EF与所成角的余弦值为|.

故选：C.

22.(24-25高三上•吉林・期末)正三棱台ABC—DEF中，AB=2AD=2DE,G,H分别为AB,DE的中点,

则异面直线GH,BF所成角的余弦值为()

【答案】c

【分析】先做E77/GH,得出NTBE=g,再得出BF=百，进而应用空间向量的线性表示及数量积公

式计算，最后应用异面直线所成角的向量法求解.

【详解】

设=24。=2DE=2,过点E做£T〃GH,T是GB中点，

因为G,“分别为AB,DE的中点，所以GH1AB,所以ET1AB,

因为87=触£1=1,所以砥=£7'=Jl-i=y,

所以4739=或因为正三棱台48C-DEF中，三个侧面是全等的等腰梯形,

所以NBEF=y,BF2=l+l-2xlxlxCOS4BEF=3,BF=V3

所以炭•EF=-EB-FF=-1X1Xcos/BEF=|,BE-BG=1X1Xcos乙GBE=

—一1——1

EF-BG=-BC-BG=1x1xcosZ.ABC=-

22

又因为丽=元=前—丽=屁―：前,RF=SE+£T,

所以旗.而=（BF+EF）•（BE-|BG）=~BE2-^BG-BE+SE-£T--EF=l-;+|-;=1>

设异面直线GH,BF所成角为。

|GH-BF|_12

所以COS。=

\GH\-[BF\~^xV33

故选：C.

23.(24-25高二上,四川成都•期末)如图，在平行六面体4BCD-&/的/中，AB=AD=1,AA1=

2,/.A±AD=乙4遇8=p^BAD=]则异面直线4G与所成角的余弦值为(

A.iB.农

23

【答案】D

【分析】设屈=a,AD=b,AA[=c,利用空间向量的夹角公式可求异面直线4cl与BBi所成角的余弦

值.

【详解】设2B=a,AD=b,4A1=c,ACr=a.+b+c,BB1-c,

22

ACr-BB1=(a+fe+c)-c=a-c+fo-c+c=lx2xj+lx2x|+2=6,

•••|宿|=J(a+b+c)2=Ja2+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c.

=Jl2+l2+22+2x0+2xlx2x|+2xlx2x1=V10，.“宿|=V10.

••・异面直线2C1与BB1所成角的余弦值甯.

故选：D.

24.(24-25高二上广东东莞•期中)若空间中三个点4(-1,0,0),8(0,1,2,—1,2),则直线力B与直线AC

夹角的余弦值是()

A.-迥B,巫C.=D.i

3333

【答案】B

【分析】求出向量荏,灰，利用向量夹角公式求解可得.

【详解】因为4(—l,0,0),B(0,l,—1),C(—2,—1,2),所以屈=(1,1,—1),前=(―1,—1,2),

记直线与直线力C的夹角为仇

则cos。=\C0S(AB,AC)\==V-

故选：B

【题型6用向量法求解直线与平面所成角】

25.（24-25高二上•河南驻马店•阶段练习）如图，在四棱锥中，平面4BCD_1平面PAD,AB14。,

AB=BC=CD=AD=PA=PD=2,点E是线段PA的中点

⑴求异面直线CE与P8所成角的余弦值；

⑵求直线P4与平面BCE所成角的正弦值.

【答案】⑴?

（2）返

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得PF，平面4BCD,即可建立空间直角坐标系，利用向量的夹角

求解，

（2）求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解.

【详解】（1）取4。的中点F,连接PF.

因为P2=PD,所以PF14。.

因为平面2BCD1平面P4D,平面ABC。C平面PAD=AD,PFu平面PAD,

故PF1平面ABCD.

以尸为坐标原点，刀，反，而的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

贝U4(1,0,0),B(l,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,V3),E

故G=P5=(l,2,-V3),

故18s固而）|=箭=春=拳

故异面直线CE与PB所成角的余弦值为".

（2）由（1）得方=（2,0,0）,EB=

设平面BCE的法向量为沅=Q,y,z）,贝山沆,竺二仇即（1,：”一[，n

im-EB=0,[-x+2y-yz=0,

易知久=0,令y=V5,则z=4,即布=（0,遮,4）.

设直线PZ与平面BCE所成的角为氏易得Q=（-1AV3）,

贝Usin。=|cos（猊沆）|=保焉=标=警，

故直线P4与平面BCE所成角的正弦值为誓.

26.（24-25高二上•山东泰安•阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC^,AB=BC=2vLPA=PB=PC=AC=

4,。为AC的中点.

⑴证明：P。！平面ABC；

（2）若点M在棱8c上，且二面角M—P2—C为30。，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

（2）?

【分析】（1）连接。8,证明出0P14C,PO1OB,然后利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立；

（2）以点。为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设而=4而，

其中0<2Wl,利用空间向量法可求出2的值，然后利用空间向量法可求得PC与平面P4M所成角的正

弦值.

【详解】（1）因为2P=CP=2。=4,。为4C的中点，所以。P12C,且OP=2V5.

连接。8,因为48=8。=2应，AC=4,贝IJ4B2+8。2=人。2,可得AB_LBC,

所以△48C为等腰直角三角形，

因为。为2C的中点，则。B14C,且。8=称"=2,

由。p2+OB2=PB2知P。1OB.

因为。PlAC,PO1OB,OBdAC=0,OB、ACu平面ABC,所以，P。_L平面ABC.

(2)因为。Pl平面力BC,OB1AC,

以点。为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

由已知得。(0,0,0)、B(2,0,0)、4(0,—2,0)、C(0,2,0),P(0,0,273),

所以，AP=(0,2,273),易知平面P2C的一个法向量为记=(1,0,0),

设加=XCB=A(2,-2,0)=(2A.-2/1,0),其中0<4W1,

则俞=芯+两=(0,4,0)+(22,-22,0)=(2A,4-24,0),

n-AP=2y+2V3z=0

设平面PAM的法向量为元=(x,y,z),则

n-AM=2Ax+(4-2A)y=0'

取久=日(2—2),可得元=(百(2—2),—百4"),

由题意可得|cos优创=繇|V3(2—A)|_y/3

J3(2—2)2+442-2

因为0<4WL解得"不所以，n=

可取平面PAM的一个法向量为N=(2V3,-V3,1).

又因为血=(0,2,-2V3),cos呼㈤=磊=吉=—亨,

所以，PC与平面P4M所成角的正弦值为

4

27.(24-25高二上•河南南阳,阶段练习)在图1的直角梯形A8CD中，乙4=功=90。,4B=BC=2,DC=3,

点E是DC边上靠近于点。的三等分点，AC交BE于点F,以8E为折痕将△BCE折起，使点C到达前的

位置，且力G=V6,如图2.

图1图2

⑴求四棱锥Cl-力BED的体积U；

（2）求G8与平面前4。所成角的正弦值.

【答案】（1）|；

⑵乎

【分析】（1）根据边长可得NC=60。，^ABC=120°；进而可得四边形力BCE为菱形，即可根据勾股

定理得4F1QF,可证C/_L平面4BED,即可根据体积公式求解，

（2）建立空间直角坐标系，求解法向量，即可根据向量夹角求解.

【详解】（1）根据题意，由直角梯形边长ZB=BC=2,DC=3,

可知cosC=啜=|,故〃=6。。，=120°；

又点E是DC边上靠近于点。的三等分点，所以EC=2,可得△BCE为等边三角形；

连接4E,如下图所示：

C,

可得四边形4BCE为菱形，所以力C1BE,

即折起后GF1BE,

2

如图所示，易知4F=QF=V3,又AC】=V6,满足4尸2+C1F=ACj,

即力尸1GF；

又AFCBE=F,AF,BEu平面ABED,

所以GF1平面2BED,且梯形ABED的面积为［x（1+2）xB=誓，

所以U=」x逋=2

322

（2）以D为坐标原点，分别以瓦?，屁为x,y轴，属*方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，如下图

所示：

则0(0,0,0),4(8,0,0),B(V3,2,0),E(0,l,0)£g,|,⑹,

可得蒜=住彳,—旬，西=(今|,⑹，瓦?=(遮,0,0),

设平面C14D的法向量访=（x,y,z）,则pfx+gy+8z=0

IV3x=0

令y=-2,则得沅=（0,-2,旧）为平面GAD一个法向量，

设BG与平面GAD所成的角为氏

所以sin。=|cos保，西）|=舄鬻=夏=终

【题型7利用向量法解二面角问题】

28.（2024•浙江温州•一模）如图，在三棱柱力BC-A/iCi中，平面ABC11平面ABC,力Q_L平面BCC1%.

（1）求证：BG1BC；

⑵若二面角4一为。1一%的正弦值为当且力B=2BC=2,求力C「

【答案】⑴证明见解析

（2）竿

【分析】（1）过G作GE14B于点E,然后根据面面垂直的性质定理得GE1面ABC,然后再利用线面

垂直的性质定理得GE1BC,同理4Q1BC,然后再利用线面垂直的判定定理得BCL面力BQ,然后用

线面垂直的性质定理得BQ1BC；

（2）以B为原点，BA,BC分别为％,y轴建立空间直角坐标系，然后利用坐标计算确定Q位置，计算2C1

的长度即可.

【详解】(1)过Cl作C1E14B于点E,

因为平面2BQ1平面力BC,所以GE1面2BC,

因为BCu面ABC

所以6E1BC,

又因为力Q_L平面BCG%,所以4cl1BC,

而4GnGE=C^AC^CiEu面2BC1，

所以BC1面ABC1，

因为8Gu面AB前

所以BQ1BC

(2)如图，以8为原点，BA,8c分别为x,y轴建立空间直角坐标系,

二面角4—-的平面角与二面角Ci-AC-B的平面角互补，记为a,

设J4B=8,有4(2,0,0),G(2-2cos20,0,2cos0sin0),C(0,1,0),

2

AC=(—2,1,0),ACt=(-2cos0,0,2cos0sin0)

设面"G的法向量为沅=(x,y,z),有恒.丝二°,

[m-ACr=0

即[「+y=0，令％=L得沆=(i,2,朕)，

I—2COS20X+2cos6sin6z=01sm"

又面ZBC的法向量为元=(0,0,1),

_>TIcosdl

所以|cosa|=|cos(流砌=|^|==2

3

解得tan。=I，所以AR=2cos0=卓.

29.（24-25高二上•河南南阳,阶段练习）如图，在四棱锥P-4BCD中，底面四边形A8CD为正方形，E为

棱尸。的中点，。为边AB的中点.

⑴求证：4E〃平面POC；

⑵若侧面P4B，底面ABCD,且NP4B=1,AB=2.PA=4,求二面角P—BD-4的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵W

【分析】（1）取线段PC的中点M,连接OM,EM,证得四边形AOME为平行四边形，得线线平行后

可得线面平行；

（2）取0A中点为Q,CD上靠近点D的四等分点为M证得PQ,QM4B两两垂直，以Q为原点，分别以

QB,QN,QP所在直线为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求面面角的余弦值.

【详解】（1）取线段PC的中点M,连接。M,EM,

在△PCD中，E,M分别为尸£）,PC的中点

SEM//CD,5.EM^\CD,

又回底面ABC。是正方形，且。是的中点,

0XO//CZ）,SLAO=\CD,

SEM//AO,且EM=2。

回四边形AOME为平行四边形，贝U0M〃4E,

又OMu平面POC,AE，平面POC,

ME〃平面POC.

p

c

(2)由。力=PA=2,/.PAB=60°,可知APOa为等边三角形,

设。4中点为Q,则PQ104

又回平面P4B1平面ABCD,平面P4Bn平面4BCD=OA,PQu平面P4B,

所以PQinABCD,

设CO上靠近点D的四等分点为N,则QN14B,PQ1QN,

以Q为原点，分别以。2,QN,QP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Q-比yz,

贝l」P(0,0,旧)，5(3,0,0),0(—1,4,0),PB=(3,0,-V3),BD=(-4,4,0),

设平面PBD的法向量为元=(X,y,z),贝■竺=3x—=°,

[n-BD=-4x+4y=0

取工=1,得y—1,z—V3,

所以元=(1,1,旧)为平面PBD的一个法向量.

取平面ABD的法向量为沅=(0,0,1)

设平面P8O与平面所成的平面角为仇且。为锐角，

1l„।।In-mII1X0+1X0+V3X1IV15

则mcos。=|cos(n,m)|=|丽|=|一获一|=年

所以二面角P——4的余弦值为卓.

30.(24-25高三上•广西•阶段练习)如图在三棱柱ABC—&B1G中，平面/GCB1平面ABC,△48c是等

边三角形，B1cl=CCi=2,NBCQ=120°.

c,

n

AB

（1）求棱锥B—ACC1的体积；

（2）若。为棱&G的中点，求二面角A-BiD-C的正弦值.

【答案】⑴1

（2呼

【分析】（1）根据已知条件得出BiGCB是菱形，做BC边上的高/。，根据面面垂直性质定理得出名。垂

直底面，即当。也是棱柱的高，根据等体积转化求出三棱锥体积；

（2）结合（1）中条件，建立空间直角坐标系，分别求出平面CD%