累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式（4大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题11累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式

o------------题型归纳•定方向-----------♦>

目

题型01累加法.................................................................................1

题型02累乘法.................................................................................2

题型03构造法.................................................................................3

题型04递推法.................................................................................5

o------------题型探析・明规律-----------♦>

题型01累加法

【解题规律•提分快招】

1、累加法

形如%+1=%+“〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造：

a2-at=f(l)

将上述相?个式子两边分别相加，可得：an=/(M-l)+/(n—2)+.../(2)+/(1)+<Z],(M>2)

①若/(")是关于“的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于"的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若/(")是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(")是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

【典例训练】

一、填空题

1.(2024高三.全国•专题练习)已知在数列｛%｝中，q=l,an+1=an+2,则数列也｝的通项公式为4=.

2.(2024高三•全国・专题练习)已知4=。，an+l=an+2n-l(«eN*),则通项公式%=.

3.(2025高三•全国・专题练习)若数列%是首项为1,公比为3的等比数列，则数列｛%｝的

通项公式是.

4.（2024高三・全国・专题练习）在数列｛《,｝中，％=：,。用-4“=:（二二-丁二），则该数列的通项公式

222n-12n+1

为%=•

5.（2024•四川德阳•模拟预测）已知数列｛4｝满足％=1,且对任意〃EN*,有。用=q+（-1广〃，则出2=.

题型02累乘法

【解题规律•提分快招】

1、累乘法

a,」

形如，以=/（〃）型的递推数列（其中/（〃）是关于〃的函数）可构造：区

\an）

将上述加2个式子两边分别相乘，可得：4=/（〃-1）"（H-2）...."（2）/Xl）a],（〃之2）

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

【典例训练】

一、单选题

1.（23-24高三下•河南南阳•阶段练习）已知数列｛%｝满足为+[="|2，％=1,贝（）

ami

2.（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）已知数列｛%｝满足=（-If+cos—，若4=1,则«2023=

anJ

337337D

A.-4B.4〜C•-j3--3-7---严

二、填空题

3.（23-24高三上.内蒙古・期末）在数列｛““｝中，％=0,，则%=

4.（2024•黑龙江齐齐哈尔•一模）数列｛%｝中，％=1,当〃22时，。“=2"-，则数列｛q｝的通项公式为.

5.（2024高三・全国•专题练习）已知数列｛。〃｝满足*--=2«,幻=1,则痣。23=

a,^-a„

6.（23-24高三下•安徽马鞍山•开学考试）已知数列｛。"｝满足q=L%=3，%%+2=4匕1，则为的最小值

题型03构造法

【解题规律•提分快招】

1、形如%+4(其中PM均为常数且0*0)型的递推式

(1)若P=1时，数列｛4｝为等差数列；

(2)若4=0时，数列｛%｝为等比数列；

(3)若pwl且4丁0时，数列｛a.｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

如下两种：

法一'：设a“+]+4=〃(%+㈤，展开移项整理得a“+]=m“+(P-1)2,与题设a“+i=+4比较系数(待定

系数法)得彳=—^,(p*0)=>4+]+—^=〃(％+—^)=>a“+—=p(4_]+—^:)，即:]构成

p—1p—1P—1P—1P—11，一1J

以a+，_为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出。“+=的通项整理可

p-i〔PT

得a“.

法二：由an+l=pan+“得=pan_x+q(几之2)两式相减并整理得——=p,即｛an+l—an｝构成以g-％为首

an~an-\

项，以夕为公比的等比数列.求出｛a用—%｝的通项再转化为类型ni(累加法)便可求出外.

2、形如an+l=pan+/(")(p。1)型的递推式

(1)当了(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设4+A〃+6=H%_I+A(〃-D+同，通过待定系数法确定的值，转化成以q+A+3为首项，

以A"=，>、为公比的等比数列｛a“+A〃+B｝,再利用等比数列的通项公式求出｛all+An+B]的通项整理

(n—mjl

可得」

法二：当/(")的公差为d时，由递推式得：an+1=pa*+f(n)>an=pan_x+f(ii-1)两式相减得：

an+J—an=p(an-an_t)+d,令2=%+「4得:b“=pbnX+d转化为类型V㈠求出bn,再用类型HI(累加法)

便可求出4.

(2)当/(")为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设4=通过待定系数法确定力的值，转化成以生+2/(1)为首项，以

4"=，"！为公比的等比数列｛%+2/(〃)｝,再利用等比数列的通项公式求出｛%+//(〃)｝的通项整理可

〃(n—m)!

得。小

法二：当/(〃)的公比为0时，由递推式得：an+l=pan+/(n)----①，an=pan_x+f(n-1),两边同时乘以q得

anq=pqan_x+qf（n-1）---②，由①②两式相减得％讨-为q=p｛an-qan_x），即~~空,=p,在转化为类

an-Qan-X

型V㈠便可求出4.

法三：递推公式为4+】=〃%+7（其中P，q均为常数）或。用=0%+%〃（其中P，q，r均为常数）时，

要先在原递推公式两边同时除以"…，得：4=22+l,引入辅助数列｛2｝（其中勿=生），得：

q*qq"qnnq"

b+i=^b+工再应用类型V㈠的方法解决.

qq

（3）当/（〃）为任意数列时，可用通法：

在4+I=加,+/（〃）两边同时除以〃向可得到第=3+噜，令3=2,则心|=包+与，在转化为类

ppppP

型III（累加法），求出bn之后得%=〃％,.

3、倒数变换法

形如为「%=〃％”（，为常数且pxO）的递推式：两边同除于4q,转化为_L=—匚+〃形式，化归

anan-l

为a〃+i=+4型求出」•的表达式，再求々〃；

还有形如〃用=*」的递推式，也可采用取倒数方法转化成」-=二工+'形式，化归为％+1+“型

〃PA+q%+iq册p

求出_L的表达式，再求心.

an

4、形如4+2=pan+i+4a，型的递推式

用待定系数法，化为特殊数列｛%-%-｝的形式求解.方法为：设q+2-3用=/2（%+1-如“），比较系数得

h+k=p,—hk=q,可解得力、左，于是｛。用-垢“｝是公比为力的等比数列，这样就化归为a,#]=〃”“+q型.

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用

归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式％.

【典例训练】

一、单选题

2

1.（2024高三・全国・专题练习）已知数列｛%｝满足“用=§%+4,且％=1,则｛g｝的通项公式为（）

2.（24-25高三上・福建宁德•阶段练习）已知数列｛%｝的首项且满足4用=/=（〃€V），则出。的

值为（）

A.—B.—C.—D.—

79697875

3.（2024・广东茂名.一模）已知（为正项数列｛为｝的前〃项的乘积，且4=2,"=。片，则％=（）

A.16B.32C.64D.128

二、填空题

4.（2024高三.全国・专题练习）已知数列｛%｝满足%M=3a“+3”（〃eN*）,且％=1,则数列｛。“｝的通项公式

为.

5.（2024高三.全国.专题练习）已知数列｛%｝的前“项和为S“，且S“+2a”=〃，则为=.

6.（2024•江苏南京.模拟预测）已知数列｛。“｝满足4=1,20“+1-%+°/用=05€叶），则数列｛4｝的通项公

式为.

7.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知数列｛%｝满足：4=1,%=弓，且4+2="向（〃eN*）,则数列｛。“｝

的通项公式是

8.（24-25高三上•宁夏银川•阶段练习）已知数列｛%｝中，％=3,an+l=2a„-2n+3,S“为数列｛见｝

的前项和，则数列｛4｝的通项公式%=;Sg=.

题型04递推法

【解题规律•提分快招】

1、求数列｛4｝的通项%可用公式4=、„,构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种

可能，一种是“一分为二即分段式；另一种是“合二为一即％和4合为一个表达，（要先分九=1和九22两

种情况分别进行运算，然后验证能否统一）

【典例训练】

一、单选题

1.（2024高三.全国•专题练习）在数列｛巩｝中，已知对任意正整数小有生+%+。“=2"-1,则

a；+a：++a.=（）

A.Q,一I）。B.|（2"-1）2C.4n-lD.|（4"-1）

2.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛%｝的前"项的和为S“，%=1.当“22时，a„+2S„,1=«,则SZOK=

（）

A.B.1006C.1007D.1008

2

3.（2024•西藏•模拟预测）已知数列｛%｝对任意左eN*满足4」/包=2。则%。期二（）

2

4.（24-25高三上•重庆•阶段练习汜知数列｛叫的首项q=2025，前〃项和然，满足S“=na„，则a2024=（）

A.—B.C.D.—

2025202410121013

5.（24-25高三上•湖南•阶段练习）已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“,G=4,且%=£+6］（〃22）,

贝!J。2024=（）

A.4049B.4047C.2025D.2024

6.（2024.贵州贵阳•三模）设数列｛%｝的前〃项之积为］，满足q+2<=l（〃eN+）,则心必=（）

7.（24-25高三上•辽宁沈阳•开学考试）已知数列｛。“｝的前〃项和为5“.若%+a同=2九+5,%=1,贝”&=

A.48B.50C.52D.54

二、填空题

8.（2024高三・全国・专题练习）已知数列｛%｝的前“项和为%若q=1,25“用，则数列｛%｝的通项公

式.

9.（24-25高三上•新疆乌鲁木齐•期中）设S“为数列｛%｝的前，项和，若S"=3"+2〃+l,则数列｛4｝的通项

公式%=•

10.（2024高三•全国・专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足4+3S„S„_,=0（心2且〃eN*）,%=；,

则$"=.

11.（24-25高三上・江苏泰州•阶段练习）已知数列｛%｝满足一+『+『++—=\<则｛%｝的通

6/j2a2HC1rl4

项公式为.

o-----------题型通关•冲高考-----------*>

一、单选题

1.（23-24高三上•广东湛江•阶段练习）在数列｛%｝中，4=1,“用=蜷=，贝鹏4=（）

3411

A.----B.—C.-----D.100

103104100

2.（24-25高三上・重庆•期中）已知数歹（）｛4｝满足％+2。2+3。3++nan=n（n+2）,贝lj〃i6=（）

161616

3.（23-24高三下•广东•期中）设S“为数列｛a,｝的前〃项和，且%=2S,+5,则S23=（）

A.-2024B.2024C.-5D.0

4.（24-25高三上•湖南长沙•期中）已知数列｛%｝的前n项和为S“g=6,5,+1,则下列说法正

确的是（）

A.数列,“｝为等比数列B.数列｛S,J为等比数列

C.<?„=2-3"-1D.3=3"+1

5.（23-24高三上.山东济宁•期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后

人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球..…第〃层有。“个球，则数列

40382019

A.B.c.D.

iiT1121

6.（24-25高三上・吉林•期中）已知数列｛4｝满足4=33,〃用-4=2"，则”的最小值为（）

33

A.—B.2底-1D.

2y

7.（2024.江苏盐城.模拟预测）若数列｛叫满足2%+2〃-&+・-+26=4〃，｛%｝的前〃项和为S〃，则（）

2,n=1

4〃—，5

A.s4"-4B.

n-------,n>23

13

4〃+2

cD.S=

Tn3

二、多选题

8.（23-24高三下•广东•期中）已知数列｛%｝的首项卬=1,前〃项和为S〃，且。用=4%+3"则（）

A.%=7B.3｝是递增数列

2010

C.｛%+3〃｝是等差数列D.^10=2-3

9.(2024高三•全国•专题练习)已知数列｛%｝满足〃1=1,ci=a｛+—a+—a+H----且〃EN*),

n2233n—1

则()

1,〃=1,

an_»n

A.%=1B.C.anD.册n,

«„-i"一12—,n>2

12

10.（24-25高三上.云南昆明.阶段练习）已知数列｛。“｝的前〃项和为5,,｛%｝满足彳+*+*+*+...+黑=”,

乙乙乙乙乙

则（）

A.数列｛%｝为等比数列B.数列｛lg%｝为等差数列

C.邑=254D.数列｛S“+l｝是等比数列