2023-2024学年广东省深圳高级中学初中部八年级下学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题初二下数学寒假作业反馈一、单选题（每小题3分，共30分）1.下列选项中，是最简二次根式的是（）．A. B. C. D.2.以下六个数：，，3.14，，，0.100010001，无理数的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.43.△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A. B.∠A＝∠B+∠CC.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D.a＝6，b＝8，c＝104.甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.0300.01901210.022则这四人中发挥最稳定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.下列命题的逆命题是真命题的为（）．A.如果，，则 B.直角都相等C.两直线平行，同位角相等 D.若，则6.如图，已知，，，则等于（）A. B. C. D.7.如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）图象相交于点，下列判断不正确的是（）A.关于的方程的解是B.关于的方程组的解是C.当时，函数的值比函数的值大D.关于的不等式的解集是8.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（）A. B. C. D.9.已知为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（）A. B. C. D.10.一条公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①A、B两村相距；②出发后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了时两人相距．其中正确的个数是（）A.个 B.个C.个 D.个二、填空题（每小题3分，共15分）11.已知直角三角形两边长分别为3、4．则第三边长为________．12.如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则方程组的解为_________．13.已知，则的平方根等于______．14.如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为________．15.如图，中，，，，，点E是线段AB上的动点，连接CE，并将线段CE绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD，则BD的最小值为______．三、解答题（16题5分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分）16计算：．17.2022年11月5日，第二十三届深圳读书月盛大开幕，本届读书月以“读时代新篇创文明典范”为年度主题，2300余场文化活动“阅”动全城．春海学校积极响应深圳读书月的号召，在校内推广课外阅读活动．为了解七、八年级学生每周课外阅读的情况，分别从两个年级随机抽取了10名学生进行调查，并对调查数据进行整理分析．现将参与调查的每个学生每周课外阅读的时间用x（小时）表示，并将两个年级的调查数据分别分成四组：A．，B．，C．，D．，以下是相关的数据信息：七年级学生调查数据：3，14，8，9，9，11，8，11，16，11八年级学生调查数据位于C组中的是：9，10，10，10

平均数众数中位数七年级10ab八年级910c七、八年级抽取的学生每周课外阅读时间统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中________，________，________；（2）若七、八年级共有1000名学生，请你估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的共有________人．18.如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是___________；（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为___________；（3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．19.如图，在中，是平分线，于，于，在上，．求证：（1）；（2）如果，，，求的面积．20.某班学生计划在社区内开展图书义卖活动，并将所得善款捐给希望工程，拟购进A、B两种畅销书，经调查，购进4本A种图书所需费用与购进5本B种图书所需费用相同，若购进100本A种图书与200本B种图书共需费用6500元．（1）求A、B两种图书的进价分别是多少元？（2）若义卖活动中，A种图书的定价为30元/本，B种图书的定价为28元/本，本班研究决定需要采购两种图书共500本，且A种图书的数量不低于B种图书数量的2倍，为能获得最大利润，请问本班需要采购A、B两种图书各多少本？21.点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点．（1）已知点Q的坐标为，①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标________；②如下图所示，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标；（2）如下图所示，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．22.【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．∴∠BCA+∠ACD＝+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴，∴AE＝BD＝5．∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．∵AD＝3，∴CD＝DE＝．【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．初二下数学寒假作业反馈一、单选题（每小题3分，共30分）1.下列选项中，是最简二次根式的是（）．A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】A、是最简二次根式，故A选项符合题意；B、，故不是最简二次根式，故B选项不符合题意；C、，故不是最简二次根式，故C选项不符合题意；D、，故不是最简二次根式，故D选项不符合题意；故选：A【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．2.以下六个数：，，3.14，，，0.100010001，无理数的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查的是无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．【详解】解：在，，3.14，，，0.1010010001中，3.14，，，0.1010010001是有理数，，，是无理数，共2个，故选：B3.△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A. B.∠A＝∠B+∠CC.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D.a＝6，b＝8，c＝10【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A.∵，∴，∴，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C.设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠C=5×15°=75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D.∵，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．4.甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.0300.0190.1210.022则这四人中发挥最稳定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．【详解】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B【点睛】此题主要考查了方差的意义，解题关键是明确方差的意义是方差越小，数据越稳定，由此解题即可，此为简单题，常考题.5.下列命题的逆命题是真命题的为（）．A.如果，，则 B.直角都相等C.两直线平行，同位角相等 D.若，则【答案】C【解析】【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．【详解】解；A、如果a＞0，b＞0，则a+b＞0；逆命题是：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D、若a=6，则|a|=|6|的逆命题是若|a|=|6|，则a=6，是假命题．故选：C．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6.如图，已知，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和，可以得到和的和，再根据三角形内角和，可以得到和的关系，然后即可求得的度数．【详解】解：连接，如下图所示，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（）A.关于的方程的解是B.关于的方程组的解是C.当时，函数的值比函数的值大D.关于的不等式的解集是【答案】D【解析】【分析】根据两直线的交点坐标即可判断A、B，根据图象即可判断C、D．【详解】解：∵两直线相交于点，∴方程的解是，方程组的解是，故A、B正确，不符合题意；∵当时，直线在直线的上方，∴当时，函数的值比函数的值大，故C正确，不符合题意；∵当时，直线在直线的上方，∴当时，，整理得：，故D不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用图像法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法和步骤．8.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长水，长木还剩余1尺，列出方程组即可．【详解】解：设木长为x尺，绳子长为y尺，根据题意得：，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．9.已知为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据为第四象限内的点，可得，从而得到，进而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，即可求解．【详解】解：∵为第四象限内的点，∴，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、三象限．故选：A【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．10.一条公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①A、B两村相距；②出发后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了时两人相距．其中正确的个数是（）A.个 B.个C.个 D.个【答案】C【解析】【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，当s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，结合一次函数的图象与性质逐一判断即可得答案．【详解】由图象可知A村、B村相离10km，故①正确，当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故②正确，当0≤t≤1.25时，设一次函数的解析式为s=kt+b，把（0，10）和（1.25，0）代入得，解得：，∴一次函数的解析式为s＝﹣8t+10，∴甲的速度比乙的速度快8km/h．故③正确当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6），设一次函数的解析式为s＝k1t+b1代入得，解得，∴s＝8t-10，由1.5﹣1.25＝0.25h＝15min，当t＝1.5时，得s＝8t﹣10，解得s＝2故④不正确．故正确为①②③，共3个故选C【点睛】本题考查一次函数的应用，正确理解图中信息，熟练运用待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】5或【解析】【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：；∴第三边的长为：或5，故答案为：或5．12.如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则方程组的解为_________．【答案】【解析】【分析】先将点代入正比例函数求得，则交点的坐标即为方程组的解．【详解】解：将点代入正比例函数，得点为一次函数与正比例函数的图象的交点的解为故答案为：【点睛】本题考查了两直线交点与二元一次方程组的关系，理解交点的坐标即为方程组的解是解题的关键．13.已知，则的平方根等于______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及求平方根，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式，根据平方根的定义解答即可．详解】解：由题意得，且，解得，，则，，36的平方根是，所以的平方根是．故答案为：14.如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为________．【答案】130°【解析】【分析】利用基本作图得到OD=OE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OED=70°，再判断△DEC为等边三角形得到∠CED=60°，然后计算∠OED+∠CED即可．【详解】解：由作法得OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵DE＝DC＝EC，∴△DEC为等边三角形，∴∠CED＝60°，∴∠OEC＝70°+60°＝130°．故答案为130°．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．15.如图，中，，，，，点E是线段AB上的动点，连接CE，并将线段CE绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD，则BD的最小值为______．【答案】#0.6【解析】【分析】在AC上截取CF=CB=3，连接EF，证明△ECF≌△DCB，得到EF=DB，根据垂线段最短，当FE⊥AB时，BD最小，计算即可．【详解】在AC上截取CF=CB=3，连接EF，∵CE=CD，∠DCB=∠ECF=90°-∠BCE，∴△ECF≌△DCB，∴EF=DB，根据垂线段最短，当FE⊥AB时，BD最小，设FG⊥AB，故当E与G重合时，EF最小，也就是BD最小，过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据题意，得，CM=MG=MD，且，∴，∴，∴，∴BD的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握旋转性质，勾股定理，垂线段最短是解题的关键．三、解答题（16题5分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】先用绝对值、负整数次幂、算术平方根、零次幂化简，然后再运用二次根式的加减运算法则计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、绝对值、负整数次幂、算术平方根、零次幂、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．17.2022年11月5日，第二十三届深圳读书月盛大开幕，本届读书月以“读时代新篇创文明典范”为年度主题，2300余场文化活动“阅”动全城．春海学校积极响应深圳读书月的号召，在校内推广课外阅读活动．为了解七、八年级学生每周课外阅读的情况，分别从两个年级随机抽取了10名学生进行调查，并对调查数据进行整理分析．现将参与调查的每个学生每周课外阅读的时间用x（小时）表示，并将两个年级的调查数据分别分成四组：A．，B．，C．，D．，以下是相关的数据信息：七年级学生调查数据：3，14，8，9，9，11，8，11，16，11八年级学生调查数据位于C组中的是：9，10，10，10

平均数众数中位数七年级10ab八年级910c七、八年级抽取的学生每周课外阅读时间统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中________，________，________；（2）若七、八年级共有1000名学生，请你估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的共有________人．【答案】（1）11，10，9.5（2）200【解析】【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；（2）用1000乘样本中每周课外阅读时间不低于12小时所占比例即可．【小问1详解】从小到大排列：3，8，8，9，9，11，11，11，14，16七年级10名学生数据中，11出现的次数最多，故众数，把七年级10名学生数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为9、11，故中位数，把八年级10名学生数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为9、10，故中位数，故答案为：11，10，9.5；【小问2详解】（人），即估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的大约共有200人．故答案为：200．【点睛】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的意义是正确解答的关键．18.如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是___________；（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为___________；（3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．【答案】（1）见解析，4（2）（3）或【解析】【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于y轴对称点的性质，三角形的面积公式等知识．（1）直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积即可得出答案；（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；（3）根据三角形面积公式得到，进而得到点P的横坐标为或，即可求出点P的坐标．【小问1详解】解：如图所示：的面积为．故答案为：4；【小问2详解】解：点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：；故答案为：；【小问3详解】解：∵P为x轴上一点，的面积为1，∴，∴点P的横坐标为：或，故P点坐标：或．19.如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证：（1）；（2）如果，，，求的面积．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）根据角平分线的性质可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论；（2）由可得，然后分别求得、，然后再根据求解即可．【小问1详解】证明：平分，，，、，在和中．，，；【小问2详解】解：，，，、，，，，．20.某班学生计划在社区内开展图书义卖活动，并将所得善款捐给希望工程，拟购进A、B两种畅销书，经调查，购进4本A种图书所需费用与购进5本B种图书所需费用相同，若购进100本A种图书与200本B种图书共需费用6500元．（1）求A、B两种图书的进价分别是多少元？（2）若义卖活动中，A种图书的定价为30元/本，B种图书的定价为28元/本，本班研究决定需要采购两种图书共500本，且A种图书的数量不低于B种图书数量的2倍，为能获得最大利润，请问本班需要采购A、B两种图书各多少本？【答案】（1）A种图书的进价是25元，B种图书的进价是20元（2）本班需要采购334本A种图书，166本B种图书【解析】【分析】（1）设A种图书的进价是x元，B种图书的进价是y元，根据“进4本A种图书所需费用与购进5本B种图书所需费用相同，购进100本A种图书与200本B种图书共需费用6500元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设本班采购了m本A种图书，则采购了本B种图书，根据采购A种图书的数量不低于B种图书数量的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种图书全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每本图书的销售利润×销售数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【小问1详解】设A种图书的进价是x元，B种图书的进价是y元，根据题意得：，解得：．答：A种图书的进价是25元，B种图书的进价是20元；【小问2详解】设本班采购了m本A种图书，则采购了本B种图书，根据题意得：，解得：．设购进的两种图书全部售出后获得的总利润为w元，则，∵，∴w随m的增大而减小，又∵，且m为正整数，∴当时，w取得最大值，此时．答：本班需要采购334本A种图书，166本B种图书．【点睛】本题考查了二元一次方程组应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．21.点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点．（1）已知点Q的坐标为，①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标________；②如下图所示，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标；（2）如下图所示，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．【答案】（1）①或②或（2）【解析】【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可；（2）过点作直线，过点作，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，为的长，进行求解即可．【小问1详解】解：①∵点P为原点，点Q的坐标为，∴轴，∴或；故答案为：或；②当点在轴负半轴上时：过点作，则：，∴，又，∴，∴，即：点的纵坐标为，∵点在直线上，当时，，∴；当点在轴正半轴上时：过点作，同法可得：，∴，即：点的纵坐标为，当时，，∴；综上：或；【小问2详解】如图，过点作直线，过点作，∵，点在直线上，∴，同（1）②法可得：，∴，∴点的横坐标为，即：点在直线上运动，作点关于直线的对称点，∴，∴当三