平面向量（六大考点）（解析版）

考点巩固卷10平面向量(六大考点)

考点01：共线定理

考点02:投影向量的求算

考点03:奔驰定理解决三角形面积比问题

考点04:平面向量之三角形四心问题

考点05:极化恒等式解决向量数量积问题

考点06:等和线解决平面向量系数和问题

龙桀技巧及考点物【称

考点01:共线定理

定理1：B^PC=2PA+z/PB>^2+4/=1,MA,B、。三点共线；反之亦然

若点A、B、。互不重合，尸是A、B、。三点所在平面上的任意一点，且满足

~PC=xRA+yPB,则A、B、。三点共线=x+y=l.

证明：(1)由x+y=lnA、B、。三点共线.由x+y=l得

PC=xPA+yPB=xPA+(l-x)PB^PC-PB=x(PA-PB)^BC=xBA.

即前，函共线，故A、B、。三点共线.

（2）由A、B、。三点共线nx+y=l.

由A、B、。三点共线得BC,朋共线，即存在实数x使得5c=4B4.

^BP+PC=2（BP+^4）^PC=2PA+（l-2）PB.^x=2,y=l-2,则有尤+y=L

1.已知M，N,尸，。是平面内四个互不相同的点，a,6为不共线向量，”N=2023a+20256,

NP=2024tz+202.4b,PQ=-a+b,贝|（）

A.M,N,P三点共线B.M,MQ三点共线

C.M,P,。三点共线D.N,P,Q三点共线

【答案】B

【分析】利用向量共线充要条件求出结果.

[详解]NQ=NP+PQ=-a+b+2024a+20246=2023a+2025b,

所以MN=NQ,所以三点共线，即B对.

同理，其它各项对应三点均不共线.

故选：B.

2.已知向量a,6不共线，且c=2a+b，d=a+^-1）b,若"与d同向共线，则实数2的

值为（）

A.1B.--C.1或D.-1或-工

222

【答案】A

【分析】由共线定理可知存在〃（〃>。）使得c=〃4,然后由平面向量基本定理可得.

【详解】因为c与1同向共线，所以存在M（〃>0）使得c=〃d,

即2a+6=〃[o+（2X_l）b]=+〃（22-1）6,

pl=〃1

又向量。/不共线，所以%=皿24_1），解得力=—2（舍去）或％=L

故选：A

3.在々ABC中，。为边AC上一点且满足AO=；OC,若P为边3。上一点，且满足

AP=AAB+JLIAC,4,4为正实数,则下列结论正确的是（）

A.女的最小值为1B.%的最大值为《

C.J+；的最大值为12D.；的最小值为4

【答案】BD

【分析】根据民DP三点公式求得4+3〃=1,结合基本不等式判断即可.

【详解】因为AO=；OC,所以AC=3AD，

又AP=AAB+〃AC=AAB+3juAD,

因为尸、B、。三点共线，所以几+3〃=1,

又2,〃为正实数，所以〃/=?x3〃[x]笥^：=:,

当且仅当a=3〃，即2=（,〃=）时取等号，故A错误，B正确；

26

-+—=[-+—^（2+3//）=2+^+—>2+21^--=4,

23〃（X3“'23/zN23〃

当且仅当当=S，即％=：,〃=9时取等号，故C错误，D正确.

43〃26

故选：BD

4.下列说法中不正确的是（）

A.若A3=C£>，则=|c£>|,且43、C、D四点构成平行四边形

B.若〃?为非零实数，且;〃。=泌，则。与6共线

/\

ARAC

在一中，若有那么点。一定在角的平分线所在直线上

C.ABCAO=f【1网_r+|K~I|J,A

D.若向量&J6,则。与b的方向相同或相反

【答案】AC

【分析】根据四点共线即可判断A,根据共线定理即可求解B,根据单位向量的定义以及向

量加法的运算法则，即可由角平分线求解C,根据零向量即可求解D.

【详解】对于A,线段AD上，2,C为线段相>的三等分点，满足AB=CO,且,,=口4,

但A,8,C,。四点不能构成平行四边形，A错误；

对于B,因为加为非零实数，且加〃=漏，所以〃=—b,所以&与Z?共线，B正确;

m

ADARAC

对于C,因为上巴、▲分别表示向量AB、AC方向上的单位向量，所以上巴+上父的

\AB\\AC\\AB\\AC\

ABAC

方向与NBA。的角平分线重合，又49=/----1-----,可得向量所在直线与—BAC的

角平分线重合，所以点。一定在角A的平分线所在直线上，C正确;

对于D,若向量ab,则d与Z7的方向相同或相反，或。与6中至少有一个为零向量，D错

误.

故选：AC

5.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点。，过点。的直线与AB,AD所在直线

分别交于点Af，N,满足=AN=nAD，(〃z>0,〃>0),若〃?〃=；,则%+〃的

值为.

7

【答案】7

0

【分析】用向量AM,AN表示区。，再利用点M,O,N共线列式计算作答.

【详解】因平行四边形A8CD的对角线相交于点。，则=+

22

7771

而AB=mAM,AN=nAD,(m>0,n>0),于是得AO=—AMH-----AN,

2In

又点M,O,N共线，

1112

因此，—mI----=1,即/m+l=2〃，又mn=—,解得用=一,〃=一,

22n323

所以根+〃=一.

6

7

故答案为：—

6

6.如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点.过点G的直线/与线段交于

点。，与线段AC交于点£设AO=XA3,AE=^iAC,且4w0,〃w0.

A

(I)^AG=|AB+|AC,求

55^AABC

⑵若点G是△ABC的重心，设△AOE的周长为q,△ABC的周长为。2.

(i)求;+'的值；

(ii)设年加，记求的值域.

C2

【答案】(1):；(2)(i)3；(ii)—.

5\_yo

2n?ITI

【分析】(1)连接AG并延长，交BC于点F,设4歹=机AG，则AP=gA8+1AC,由

B,F,C三点共线可求得利=：,则有=fAG,可求赳H合建，

333^AABC、4FAB

即可得出结果.

(2)(i)由题意得AF=」(AB+AC),AG=IAF=^-AD+^-AE,又D,G,E三点共

2、)3323//

线，所以5+；=1,即可得解；(ii)设△ABC的边长为1,则AD=4,AE=JLL,在△ADE

3z3〃

中，由余弦定理得DE="2+储一澳,所以AJ+〃+"-+/―〃/,结合:+工=3化

简？=3勿+」9(7)2-3加,因为，=加，所以/。)=，三，结合》的范围及二次函数的

性质求解即可得出/(0的值域.

【详解】(1)连接AG并延长，交BC于点F,

^AF=mAG，则AE=gA8+《AC,

rn

又B,F,C三点共线，所以9三m+£=1,m=|5,

2111

^AF=-AB+-AC,BPAF-AB=-AC一一AB,

3333

则有8歹=ggC,所以_BF_1

S/\ABCBC3

5SAG3S«AR1

又AP=WAG,所以黄A幽=R=三，所以皆=三.

3^AFABA"。^AABC。

(2)(i)连接AG并延长，交BC于点F,

因为G为重心，所以F为BC中点，所以AF=；(AB+AC),

332、'314JLIJ3Z3//

又D,G,E三点共线，所以5+J-=l,则:+'=3.

3Z3/z4〃

(ii)设AABC的边长为1,则AT>=4,AE=JLL,(2,//G(0,1])

在aADE中，DE2=AD1+AE2-2ADxAExcos60°=A2+ju2-AjU,

所以。石二万斤=，所以g=AD+AE+DE

。233

因为不■1—=3=>4+〃=3/1//,Z2+//2=(Z+//)2—22//=9(，/)2—22//,

z〃

4+4+J力2+42―丸434〃+，9(4〃)2一3九N

所以土=

。233

因为仁加，所以f(t)a；一3tt;

36

又"J0则有1*2,

因为0<441,0<〃Vl,所以

A5*

因为〃=/7，所以32-12__L（13丫9，

32-1%储+-

因为2<-f---Y+-<-,所以物的最小值为:，最大值为;,

2U2）4492

所以r=Me

所以〃r）e，即/«）的值域为.

969o

7.设a,b是不共线的两个非零向量.

⑴若。4=4"26，OB=6a+2b，OC=2a-6b，求证：A,B,C三点共线；

（2）若£=（7,2）,6=（-3,5）,c=（6,7）,且（a+h）〃仅一a）,求实数上的值.

41

【答案】⑴证明见解析（2）-荔

OO

【分析】（1）首先求出AS,AC，根据平面向量共线定理得到林〃泥，即可得证;

（2）首先求出a+h，6-a的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】（1）因为0A=4a-2b，OB=6a+2b，OC=2a-6b,

所以AB=OB-OA=6a+26-（4a-2b）=2a+4。，

AC=OC-OA=2a-6b-^a-?.b）=-2a-4b,

又a，b是不共线的两个非零向量，所以A8=-AC，所以茄〃股，且有公共点A,

所以A,B,C三点共线；

(2)因为:=(7,2),归=(-3,5),*=(6,7),

所以2+左】=（7,2）+左（6,7）=（7+6左,2+7左）,=（-3,5）-（7,2）=（-10,3）,

又R+无）//0-句,所以3（7+6左）=—10（2+7左），解得太=一费.

8.如图，在一ABC中，已知AB=2,AC=6y[2,NBAC=45。,3C边上的中点为点N

是边AC上的动点（不含端点），AM,BN相交于点尸.

(1)求Nfi4M的正弦值；

⑵当点N为AC中点时，求,MPN的余弦值.

⑶当MVNB取得最小值时，设BP6BN,求4的值.

【答案】(1((2)与『(3)八

【分析】(1)解法1、先利用余弦定理求得BC,再根据ZBMA与互补，由

cosZ.BMA+cosZ.CMA=0,求得40=5,然后在中，利用余弦定理求解；解法2、

由AM=；(AB+AC),求得=5，再利用一的面积为ABC面积的y求解；解法3：

以A为坐标原点，以AC所在直线为％轴，以过点A的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

利用向量的夹角公式cos"AM=阿词求解；

(2)方法1、在一中，利用余弦定理，求得BN=而，再由尸为ABC重心，得到

BP=^BN=3远,AP=-AM=—,然后在AS尸中，利用余弦定理求解；解法2：由

3333

BN=BA+AN^-AB+^AC,求得,叫=加，再利用向量的夹角公式

八,八“AM-BN

cosNMPN=求解;解法3：以A为坐标原点，以AC所在直线为无轴，以过点A的

\AM\\BN\

垂线为y轴，建立平面直角坐标系，再利用向量的夹角公式COS/MPN=GG需求解；

(3)设|网=无，由乂4-A®=W4.(M4+AB)=Y-岳，则户亭即|叫=,时，NA-NB

取最小值，得到凶=乙班+、2。，再由那=2溺，BP=/LBN(OW%W1),得到

BP=^-ABA+^ABM,由A,P,M三点共线求解；

126

【详解】(1)解法1、由余弦定理得3c2=AB?+AC?ACcos/BAC,

BPBC2=22+（6A/2）2-2X2X6A/2X^=52,所以BC=2旧,

所以8M=CM=18C=a,

2

BM2+AM--AB2AM'+9

在ABN中，由余弦定理，得cos/BM4=

IBM-AM~4l3-AM'

C”+A"一AC?A”-59

在△ACM中，由余弦定理，得cos/CMA=

2CM-AM-Vn-AM'

因为NBMA与NCW互补，所以cos/3MA+cos/CW=0,解得AM=5,

在，ABA/中，由余弦定理，得cosZBAM=----------=-----=-

2AB-AM5

因为所以sin/BAM=Jl-cos?NBAM=g.

解法2、由题意可得，ABAC=|Afi|xJAC|xcos45°=12,

由AM为边BC上的中线，则AM=；（A3+AC）,

___，2|___»21___-2|一

两边同时平方得，AM"^-AB'+-AC+-ABAC=25,

442

故|阿=5,

因为M为BC边中点，则.ABN的面积为ABC面积的J,

所以工A8xAMxsinZa4M=LxLABxACxsin/8AC,

222

Bp|x2x5xsinZBAM=|x|x2x6V2xsin45o,

3

化简得，smZBAM=~.

解法3：以A为坐标原点，以AC所在直线为％轴，以过点A的垂线为,轴，建立平面直角

坐标系

则2（五,@,C（672,0）,[津,*],

I22J

所以AB=（应,后），AM=jm1,日，

ABAM8_4

所以cosZBAM=

|AB||AM|2^5-5

因为,所以sin/BAM=Jl-cos?NBAM=g.

（2））解：方法1、在ABN中，由余弦定理,

得3储=AB?+■—2A3•腑•cos45°,

所以BN=瓦,

由AW,BN分别为边BC,AC上的中线可知尸为11ABe重心，

可得BP=2BN=区叵,AP=-AM=—,

3333

PA+PBAB

在，ABP中，由余弦定理，McosZAPB=''-~=122^2

2PAPB50

又由NMPN=NAP8,所以COSNMPN=COSNAPB=£59

50

解法2：因为3N为边AC上的中线，所以BN=B4+AN=-A8+；AC,

AMBN=-(AB+AC]-\-AB+-AC\=--AB2--ABAC+-AC2=13,

2、'\2J244

BN2=^~AB+^AC^=AB2-AB-AC+^AC2=10,即|叫=屈.

AM-BN1313M

所以cosZMPN=

4M|网5xV1050

解法3：以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴，以过点A的垂线为y轴，建立平面直角

则网戊⑹，()(756、

c672,0,N@0,o),M

所以AM=［孚凰,BN=(2丘,-吟.

而-3N_1313M

所以cosZMPN=

丽忸N「5x而50

(3)设网=尤，NA-NB=NA-^NA+AB^=NA2+NA-AB=x2-y/2x,

当x即|NA|=时，N4.NB取最小值-彳，

2।I22

BN=BA+AN=BA--(BA-BC)=—BA+—BC,

12、'1212

BC=IBM-BP=ABN[Q<A<\),

:.BP=A\-BA+-BM=-ABA+-ABM,

126126

A,P,M三点共线,

—A+-2=l:.A=—

12613

9.设a,。是不共线的两个非零向量.

(1)若0A=4a-26,OB=6a+2b,OC=2a—6b,求证：A,&C三点共线；

JTr1

(2)已知|a|=5,|b|=4,q,b的夹角为问当上为何值时，向量鼠-6与5+36垂直？

CQ

【答案】⑴证明见解析(2)%=j|

【分析】(1)根据已知条件结合向量加减法求出AB、BC,进而得出AB//BC即可得证.

(2)先求出.山，根据向量垂直得(总-b).(a+3b)=0,再结合向量运算法则计算即可得解.

【详解】(1)因为。4=4”26,。8=64+26,(%：=2(/-66,

所以AB=O3-OA=6a+26-(4a-2》)=2a+46,

BC=OC-OB=2a-6b—(6a+2b)=-4a-8b=一2(2。+4b)=-2AB,

所以A3〃3C，又AB与8。有公共点8，

所以A,B,C三点共线.

(2)由|&|=5,|6|=4,(a,6)=三得=|a||b|cos(a,b)=5x4><g=10,

因为向量履-6与W+3b垂直，

以(kct—/?)•(〃+3b)=ka?—a.b+3ka*b—3Z?2=0,UP25k—10+3kx10—3x42=0,

CQ

整理得55"58=0n%=g

2一

10.如图，在中，AQ为边3C的中线，AP=-AQ,过点尸作直线分别交边A5,AC

于点M,N,且AN=juAC,其中X>0,4>0.

(1)当MN〃3。时，用AM，AN表示A。;

(2)求＜+’的值，并求22+〃最小值.

【答案】⑴=■

44

（2）y+—=5,2>+〃最小值为2忘+3

九〃5

【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合AQ为边BC的中线求解即可；

uun1,uunuum

（2）结合（1）可得AP=g（A3+AC）x,再根据AM=2AB,AN=〃AC求得

AP=^-AM+^-AN,结合M,N,P三点共线即可求出J+1，再根据基本不等式中“1”的

5/15/14JLL

整体代换即可得解.

【详解】（1）因为AQ为边BC的中线，所以AQ=；A3+gAC,

272

因为MN/IBC，AP=-AQ,所以AM=《43,AN=-AC,

所以

2222

即AQ=-AM+-AN；

44

（2）由（1）可得AP=1AQ=：［J4B+；AC）=：（AB+AC）,

JJ\乙乙JJ

因为AM=；IAB,AN=juAC,

uum1uun

所以AC=—AN,

2A

AP=—AM+—AN,

5252

由”,N三点共线,得：+Jl，

所以＜+^=5,

z〃

2x/2+3

贝lj24+〃=y(24+〃)

5

当且仅当5="，即〃=屈=叵口时，取等号,

A5

所以22+〃最小值为逑±1.

5

考点02:投影向量的求算

1、投影向量的定义

如图：如果向量AB的起点A和终点B在直线I上的投影分别为A'和8',

那么向量人力叫做向量A3在直线/上的投影向量（简称为：投影）；

理解：一个向量人在一个非零向量。的方向的投影，就是向量b在向量。的任意一条所在直

线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量b在一个非零向量。的方向的投影是唯

一确定的；

特殊地，如图，若两个向量共起点。；

即：。4=。，OB=b,过点8作直线Q4的垂线，垂足为2,

则。2就是向量b在向量a上的投影向量；

2、投影向量的计算公式

以一点。为起点,；

作：。/=。，08=6,把射线的夹角称为向量。、向量8的夹角，记作：＜a,6＞；

<a,6〉e[0,万]；

<a,b>^\0,；|；

＜a,b＞=—,又称向量。，8垂直，记作aJ.b；

2

当＜a,6〉为锐角(如图(1))时，。5'与方向相同,

|b|cos<a,b>

2=|OBHb|cos<a,b>,所以OB=\b\cos<a,b>ao=------z------a；

\a\

当＜a,6〉为直角(如图(2))时，2=0,所以。8=0；

当<a,6〉为钝角(如图(3))时，。8’与方向相反，

所以彳=一|。3|=-1Z>|cosBOB=-\b\cos(^-<«,>)=||cos<a,b>

.八八…,\b\cos<a,b>

所CCI以>OB=|b|cos<a,b>ao=-------------a；

\a\

-\b\

当<a,6〉=0时，2=|/?|,所以08=\b\ao=—a;

\a\

当<a,/?〉=万时，A,--\b\,所以OB=|b\cos兀ao.

|a|

综上可知，对于任意的<a,6>e[0,〃],都有

...,\b\cos<a,b>-

OB=|b|cos<a,b>ao=------：------a；

\a\

3、数量投影的定义与求法

据图：如果令为=’-。为向量a的单位向量，那么

\a\

向量b在向量a方向上的向量投影为：g|cos<a,b>ao」"8s：k"±a；

其中，实数161cos(*)称为向量人在向量。方向上的数量投影;

理解：(1)当<。，6>610,叁1时；实数位|cos<a,6>(*)大于0；

JT

(2)当<〃，/?>=一时；实数|b|cos<Q,Z?>(*)等于0；

2

(3)当时；实数M|cos<a,b〉(*)小于0；

特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该

投影的模，因此，这个数量投影等于0；

11.向量a=(l,0),Q与非零向量匕的夹角为60,则d在b上的投影数量为()

A"B.也C.1D.-V3

22

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得.

1

【详解】依题意，。在B上的投影数量为|a|cos〈a,»=lxcos60=-.

故选：A

12.若a=(2,1),6=(-4,2),c=(2㈤，c〃分，贝人在c方向上的投影向量为()

【答案】D

【分析】由://力求得左值，根据投影向量的定义公式计算即得.

【详解】由c//b可得，-4左=2x2,解得左=一1,则4=(2,-1),

a在3方向上的投影向量为n器.c<=3]=(6£―3).

|c|555

故选：D.

13.若向量a=(2,3),&=贝山在°上的投影向量的坐标是()

、(、

A-(23B.后<2句3AC.23D.C[-值2-柿3A

【答案】B

【分析】根据向量的坐标运算可得问=旧，。2=1,再结合投影向量的定义运算求解.

【详解】因为a=(2,3),b=(-l,l),则问=12?+32=a,a.6=-2+3=1,

所以6在a上的投影向量化七,三].

(aJ1311313)

故选：B.

14.已知向量a=(缶osc,而ina),6=(2sin02cos£)120:-6卜4,贝同在a上的投影向量为

()

【答案】D

【分析】由模长公式可得4)=-1,即可由投影向量的公式求解.

【详解】因为|2。-,=4,所以4a?+//一4a2=16,又因为|a『=2,g/=4,所以。力=-1，

所以6在&上的投影向量为驾■•。=-:源

故选:D.

15.空间向量4=（1,0,1）在6=（0』,1）上的投影向量为（）

A.0,1]B.[鼻。当C/。,"I。’制

D.

U2）（22JI22；

【答案】C

【分析】根据投影向量公式计算即可.

【详解】a-b=l,1=1+1=2，

由投影向量的定义和公式可知4在6的投影向量为46=1（0,1,1）=（。，!，!

b2<22

故选：C.

16.下列关于向量的说法正确的是（）

A.若q〃b,bHc,贝

B.若单位向量2,b夹角为B，则向量。在向量B上的投影向量为

c.若a与人不共线，且5〃+加=0,贝|s=，=。

D.若•。且ewO,则&

【答案】BC

【分析】根据向量的线性运算及数量积的几何意义可判断各选项.

【详解】A：当〃=0时，若〃〃〃，bile，则4与3不一定平行，A错误；

Ixlxcos^厂

B：向量a在向量B上的投影向量为华2=________6/?=V3z7,B正确；

WM1X12

C：若。与6不共线，且s4+rb=O，贝i|s=f=O,C正确；

D：a-c=b-c，则同•|c〉cos〈a,c）=Wjd-cos（6,c）,又4片0，

则同y05<4©=|43卜,0）,显然d=b不能确定，D错误；

故选：BC.

17.已知向量。=(-1,5),b=(-3,4),则向量匕在人方向上的投影向量的坐标为

42

【答案】(-丁-1)

【分析】利用向量的坐标运算，结合投影向量的定义求解即得.

【详解】由〃=(一1,5),b=(-3,4),得

则|〃一/?|=逐，b・(〃一b)=-3x2+4xl=-2,

所以向量力在〃”方向上的投影向量勺b^a土-b子}3-3=-2：(2,1)=(-4三-2：).

\a-b\555

42

故答案为：

18.已知a=(加一1,2),b=(l,m).

(1)若卜+。卜2且m<o,求a在人方向上的投影向量；

(2)若。与b的夹角为钝角，求实数机的取值范围.

【答案】⑴4(2)(-8,-1)(T；)

【分析】(1)根据模长的坐标运算求得加=-2,再结合投影向量的定义分析求解;

(2)根据题意可知〃.0<0且〃与人不共线，结合向量的坐标运算分析求解.

【详解】(1)因为〃=(加一1,2),Z?=(l,m),贝lJ5+0=(m,加+2),

若卜+川=2旦根<0,则/苏+("+2)=2,解得机=_2,

m<0

则a=(—3,2),Z?=(1,-2),可得=人=一7,卜=石,

所以4在〃方向上的投影向量

(2)因为&=(m—l,2),Z?=(l,m).

若a与6的夹角为钝角，则〃小<0且&与〃不共线,

[m-l+2m<01

则0'解得机<：且

所以实数m的取值范围为(-巩T)

19.已知向量〃二（1,指），b=

Im,——3mJmeR.

（1）若m=3,求卜+囚；

⑵若。，上一■!“，求z,在“上的投影向量（用坐标表示）

【答案】（1）,+0=2"（2）

【分析】（1）把相=3代入人中，再根据a+b的坐标去求模长即可；

（2）根据-1”,把坐标代入计算求出加的值，再列式求得6在a上的投影向量.

【详解】（1）当机=3时，6=9,石），a+6=（4,2不），

卜+6卜,+（2同=2近.

（2）•；a_L[a—-/b]=0,:.a——a-/?=0,

34f4

即1+3—]（加+加）=0,m=~y即〃=j,

在“上的投影向量为丝括）=（2,亚、

忖忖gVU33、1（33J

20.已知同="忖=1,°与6的夹角为45.

⑴求》在&方向上的投影向量；

⑵求"+可的值.

【答案】（1）；。；（2）713.

【分析】（1）根据向量在向量上的投影向量的概念求解；

（2）根据数量积的运算法则求模即可.

JIxlx衣

【详解】（1）b在。方向上的投影向量为〃7H〃1.

--•a=---------------a=—a

IaI222

8+4xV2xlx^+l=>/13.

（2）|2a+|=7（2a+Z?）2=^4a2+4a-b+b2=

考点03:奔驰定理解决三角形面积比问题

奔驰定理…解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点A（占，%）,B（X2,y2）,C（x3,%），则△ABC的重心坐标为

cXl+x2+x3yt+y2+y3

133'

注意：（1）在人钻。中，若。为重心，贝UQ4+OB+OC=0.

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示:.

奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,则△AOB、△AOC、加。。的面积

之比等于4以：4

奔驰定理证明：如图，令，4OC=OG，即满足

OA\+OB\+OC\—0

Sgoc

[、9故^/\AOB-S"0C-Sgoc=%：：4・

1?

21.点。在一ABC的内部，且满足：AO=-AB+-ACf贝的面积与AOB的面积之

比是（）

75

A.—B.3C.—D.2

22

【答案】C

4

【分析】利用向量的平行四边形法则可知点。在的中线上，且03=^50,从而可得

41

根据SAM=]SA6C即可求解.

【详解】

12

因为AO=MA5+《AC,

所以A0=g（08_0A）+|（0C_0A）,即OB+2OA+2OC=0.

取AC中点为点。，

UULUUUUUU1

则OA+OC=2OD，即4OD=-OB，

4

所以。在中线5D上，且。3

过0,0,分别作边A5上的高，垂足为M,N,

OMOB4

贝niIl——=—=-,

DNBD5

41

所以SAOB=MSABD,SABD=3,ABC，

2

所以SAOS=gSABC，

q5

所以产=

»,AOB乙

故选：c.

22.设点。是,ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是()

A.若O4+OB+OC=0，贝！J。为,ABC的重心；

B.^(OA+OB)AB=(OB+OC)-BC=0,贝UO为‘ABC的垂心;

工+旦）衣=。,旦・匹」

C.则ABC为等边三角形;

\AB\\AC\|BA|\BC\2

D.若Q4+2QB+30c=0,则△BOC与△ABC的面积之比为：S"BC=上6.

【答案】B

【分析】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂

心定义判断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得ABOC与

△ABC的面积之比判断选项D.

【详解】对于A,如图，取AB边中点。，连接A8边上的中线。，则。4+05=2如，

又：O4+OB+OC=0，•*-2OD+OC=0,\OC\=2\OD\,

，。为ABC的重心，故选项A正确;

c

对于B,如图，取AB边中点。，8C边中点E,连接0。，0E,

则OA+O8=2OD，OB+OC=7.OE，

•：（OA+OB）AB=（OB+OC）BC=0,

2OD-AB=2OE-BC=。，

ODAB=OEBC=0^0DLAB，OELBC，

：.OD±AB,OELBC,

：.0D,0E分别是AB,BC边上的垂直平分线，

：.OA=OB=OC,。为；ABC的外心，故选项B错误；

对于C,作角A的内角平分线AE与8C边交于点E,

uum

ABAC

•・•丽为AB方向的单位向量，明为AC方向的单位向量,

ABAC一厂

I-----1+I-----1=%AE

网回(2>0),

/、

ARAC

1----r+i-----r,BC=AAE-BC=0(A>0),

AAE_LBC^：.AEA.BC,：.AC=ABf..ABC为等腰三角形,

BABCBABC

=cosB=—且3e(O,兀)，；.8=],

BA||BC|MM2

ABC为等边三角形，故选项C正确;

c

对于D,OB'=20B，OC'=3OC，

由。4+2O3+3OC=0，得。4+OB+OC=0，

则由选项A可知，。为△AB'C'的重心，设△AB'C的面积SAB，c，=a,

•"SAOC=SAOB'=SB'OC'=—«,

又；OB=LOB，,oc^-oc,