两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布七大题型-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题46两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布七大题

型汇总

题型1两点分布..................................................................1

题型2超几何分布................................................................6

题型3二项分布.................................................................15

题型4正态分布.................................................................24

题型5超几何分布与二项分布....................................................36

题型6超几何分布与正态分布....................................................47

题型7二项分布与正态分布.......................................................56

题型1两点分布

【例题1】(2023上•江苏镇江•高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习)若随机变量X服从

两点分布，其中P(X=0)=gE(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正

确的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

2

C.D(3X+2)=4D.D(x)=§

【答案】C

【分析】根据随机变量x服从两点分布推出P(X=1)=|,根据公式先计算出伙X)、D(X),

由此分别计算四个选项得出结果.

【详解】随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=1,P(X=1)=1，

122

£(X)=0x-+lx-=-,

22

ow=(o-|)x|+(i-|)x|=i

在A中，P(X=1)=E(X),故A正确；

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=4,故B正确；

在C中，D(3X+2)=9D(X)=9x§=2,故C错误；

在D中，D(X)=g,故D正确.

故选：C.

【变式1-1]1.(2021•浙江杭州•浙江省杭州第二中学校考模拟预测)有3个人在一楼进入

电梯，楼上共有4层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯,

设电梯中的人走空时电梯需停的次数为f,则E(f)=

【答案】§

【分析】设随机变量盘』:飓皤科普晟(i=1,2,3,4),可求得随机变量两个取值所

对应的概率，由此得到分布列，从而计算得到仅⑺，由伙9E&)可求得结果.

2―11=1

【详解】由题意知：大楼共5层，

设随机变戴=｛。佛皤『1飘a=123,4),赃=工和

••・P©=0)=(1三丫=焉P&=1)=1-(1-3、含

则”的分布列如下：

273737

•••^)=0x-+lx-=-

•••町=E(W"/)=W"户S=4x*

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯不停时，无人能走出电梯，从而结合

对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.

【变式1-1】2.(2018•浙江•校联考模拟预测)已知随机变量S满足P©=0)=%，P&=1)

=1-Pi,且0<Pt<，i=L2.若E(f。<后(0)，则().

A.Pi<p2,且B.p1>p2l且D©)>Da)

C.Pi<P2,且。&)>。&)D.pi>p2,且

【答案】B

【分析】根据已知写出对应的两点分布的分布列，根据公式求出期望，由伙JD<E(f2)可得Pi

>P2,根据方差公式构造二次函数，借助函数的单调性即可得出结果.

【详解】由题知变量打，心的分布列均为两点分布.变量fl,f2的分布列如下：

函数y=x(l—X)在(0,3上单调递增，所以D(fi)>。仔2).

故选:B.

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差.本题的关键要识别出变量服

从两点分布，运用相应数学期望和方差公式计算，其次运用二次函数的性质来比较大小，属

于中档题.

【变式1-1】3.(2019上•浙江温州•高三温州中学校考阶段练习)已知随机变量f满足

P(f=O)=l—p,=1)=p,其中0<P<1.令随机变量〃=If—贝!]()

A.E⑺〉E®B.E(〃)<E⑹

C.D⑺〉D(f)D.。⑺<D(f)

【答案】D

【分析】根据题意，列表求得随机变量f及〃的分布列，可知均为两点分布.由两点分布的均值及

方差表示出伙f),D(f)和Eg)D(r/),根据0<p<1比较大小即可得解.

【详解】随机变量f满足P(f=0)=1-p,P(f=1)=p,其中0<p<L

则随机变量f的分布列为：

所以E(f)=P，D(J)=P(1-p)

随机变量〃=|"

所以当4=0时用=If—E(9|=P,当f=1时簿=If—E⑷I=1-p

所以随机变量〃=If-E(J)|的分布列如下表所示(当p=0.5时力只有一个情况才既率为1):

则Eg)=p(i-p)+(1-p)p=2p(i-p)

D(r])=[p—2P(1—p)]2•(1—p)+[1—p—2P(1—p)]2-p

=p(l—p)(2p—I)2

1

当E(f)=E(〃)即p=2p(l-p),解得p=5.所以A、B错误.

Q(f)一0①)

=p(l—p)—p(l—p)(2p—l)2

=4P2(1—p)2>0恒成立.

所以C错误,D正确

故选:D

【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法，属于中档题

【变式1-1】4.(2020・安徽•校联考二模)某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概

率均为P,现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工

厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立.若每件产

品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k个(k45)一组

进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说

明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验

1次或1+k次.设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)试说明，当p越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

(ii)当P=0.1时，求使该方案最合理时k的值及1000件该产品的平均检验次数.

【答案】(1)见解析，1—(1—(2)(i)见解析(ii)k=4时平均检验次数最少，

约为594次.

【解析】(1)由题意可得P(X=£)=(1—p)k,X的可能取值为冷口一，分别求出其概率即

可求出分布列，进而可求出期望.

(2)(i)由(1)记/(P)=I—(i—PT+S根据函数的单调性即可证出；(ii)记g(k)=i—

(l-p)fe+i=l-0.9fc+i当g(k)<1且取最小值时，该方案最合理，对k进行赋值即可求

解.

【详解】(1)p(x=3=(I—p)〃由题，X的可能取值为苦口牛

P(x=^)=l-(l-p)k,故X的分布列为

1

(2)(。由(1)记f(p)=1—(1—p)k+口因为k>0,

所以/(P)在Pe(0,1)上单调递增，

故P越小，/(P)越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理

(ii)iBg(fc)=i-(i-p)fc+1=i-oa+1

当g(k)<1且取最小值时，该方案最合理，

因为9(1)=Ll，g(2)=069,g(3)«0.604,5(4)-0.594,g(5)-0.61

所以k=4时平均检验次数最少，约为1000x0.594=594次.

【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能

力，属于中档题.

题型2超几何分布

【例题2】(2023•全国•模拟预测)课堂上，老师为了讲解"利用组合数计算古典概型的问

题"，准备了x(%>3,%eN*)个不同的盒子，上面标有数字1,2,3,每个盒子准备

装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励"的字样，另一部分卡片写有"谢

谢惠顾"的字样.第1个盒子放有1张“巨额奖励"，x-1张"谢谢惠顾"，第2个盒子放

有2张“巨额奖励"，"-2张"谢谢惠顾"，…，以此类推.游戏时，老师在所有盒子中随

机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回,

连续抽取3次.

⑴若老师选择了第3个盒子，%=7,记摸到"谢谢惠顾”卡片的张数为X,求X的分布列

以及数学期望E(X)；

(2)若久=5,求该同学第3次抽到"谢谢惠顾”的概率.

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=?

(2)|

【分析】(1)利用超几何分布的知识表示出分布列，计算期望即可；

(2)当％=5时，记从第k个盒子中第3次抽到"谢谢惠顾"为事件4(k=123,4,5),结

合古典概型，分别计算其对应的概率，即可得到答案，

【详解】(1)当乂=7时，老师选择第3个盒子，则有3张“巨额奖励”的卡片和4张"谢

谢惠顾”的卡片，则X的所有可能取值为0,123,

则P(X=0)=fj=JP(X=1)=曾=装

P(X=2)=管=£P(x=3)=fj=亲

X的分布列为

X0123

112184

P

35353535

数学期望E(X)=OX2+1X导2x^+3x£=争

(2)当％=5时,记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾"为事件4伏=1,2,3,4,5).

n/，、44x3x14、2x1x3,2x3x2x2,3x2x13»,、3x2x2,3x2xlx22

P51)=l-=PQ2)=贰旃+5X4X3+贰诟=W，。缶3)=合而+5X4X3，，

P(4)=毁IV，PQ45)=0・

故该同学第3次抽到“谢谢惠顾"的概率p=|\5P0D=

【变式2-1】1.(2023上•江苏南京•高三南京市江宁高级中学校联考期中)为弘扬中国共

产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有力

和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道4类试题得10分；每答对1道8类试题

得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题

抽后不放回).已知某同学4类试题中有7道题能答对，而他答对各道8类试题的概率均为|.

(1)若该同学只抽取3道4类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布

和期望；

(2)若该同学在4类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=21

⑵磊

【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求

解,

(2)根据相互独立事件的概率，即可求解.

【详解】(1)Xejo,10,20,30)

尸3=。)=旨=高，P(x=io)=譬=言=看

21产(X=30)=C7357

P(x=io)=詈粉401高=面24

所以X的分布为

X0102030

17217

P

120404024

-17217

所以E(X)=°x痂+10X行+20X高+30X五=21

(2)记"该同学仅答对1道题"为事件M.

7123,1219

^(M)=—x(-)+XC2

103,390

•••这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为需

【变式2-1】2.(2022上・广东广州•高三广州六中校考期末)某地区共有200个村庄，根

据扶贫政策的标准，划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的GDP(国内生

产总值)(单位：万元)情况，利用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，并

绘成如图所示的茎叶图.

非贫困村的GDP贫困村的GDP

138

2578

93124

9764

74325

53216

(1)(i)分别求样本中非贫困村与贫困村的GDP的平均值;

(ii)利用样本平均值来估算该地区2018年度的GDP的总值.

(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研，设X表示被调研的村中GDP低于⑴

中贫困村GDP平均值的村的个数，求X的分布列及数学期望.

【答案】⑴⑴非贫困村的GDP的平均值为54万元；贫困村的GDP的平均值为26万元;

(ii)8560万元

（2）分布列见解析，数学期望为|

【分析】（1）⑴由平均数公式求解即可；（ii）由题意直接列式计算即可；

（2）首先结合超几何分布的概率公式求概率，进而可得分布列，再由数学期望公式求数学

期望即可.

【详解】（1）⑴非贫困村的GDP的平均值为

9+6+7+9+2+3+4+7+1+2+3+5+304-40x3+50x4+60x4--.------、

------------------------------------------------------------=54（万兀）.

贫困村的GDP的平均值为

3+8+5+7+8+1+2+4+10x2+20x3+30x3__---------、

--------------------------------------------=26（万兀）.

（ii）•.•贫困村与非贫困村的抽样比为2:3,

该地区贫困村的个数为80,非贫困村的个数为120,

,该地区2018年度的GDP的总值约为26x80+54x120=2080+6480=8560（万

元）.

（2）由题意及⑴知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个，

则X的所有可能取值为0,1,2,3,贝U

P（X=0）=|j=HP（X=I）=詈4，P（X=2）=詈*，P（X=3）=詈=三

-X的分布列为

X0123

1331

P

147714

13313

E（X）=0X—+lXy+2Xy+3X—=-

【变式2-1】3.（2023・全国•高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一

个"AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用,

为了解"Al作业"对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向

量数量积"知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校乙校

使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业

基本掌握32285030

没有掌握8141226

假设每位学生是否掌握"向量数量积"知识点相互独立.从样本中没有掌握"向量数量积"

知识点的学生中随机抽取2名学生，用§表示抽取的2名学生中使用"AI作业”的人数，求

珀勺分布列和数学期望；

【答案】分布列见解析，巴a=|；

【分析】根据题意由表格数据可得使用"AI作业"的人数为20人，不使用"AI作业”的

人数为40,利用超几何分布即可求得分布列，得出期望值.

【详解】依题意，没有掌握"向量数量积"知识点的学生有60人，

其中，使用"AI作业"的人数为20人，不使用"AI作业"的人数为40,

易知6=0,1,2,且P(f=o)=管

prr,n-C2oCio__doC%_21

产器一1)一do-177，2一2)—C2Q-177，

所以f的分布列为：

012

268019

P

59177177

故数学期望E(f)=lx修+2X券号

【变式2-1】4.（2023上•全国•高三专题练习）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应,

支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年

度为计费周期，月度滚动使用.第一阶梯：年用电量在2160度以下（含2160度），执行第

一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4200度内（含4200度），超出

2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出

4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度.

某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下:

用户

12345678910

编号

年用电量/

1000126014001824218024232815332544114600

度

⑴计算表中编号为10的用户该年应交的电费；

（2）现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数

的分布列.

【答案】（1）2822.38

（2）分布列见解析

【分析】（1）根据阶梯电价的计算标准，分段计算编号为10的用户一年的用电费用，即得

答案;

（2）确定第二阶梯的户数，设取到第二阶梯的户数为X,确定其可能的取值，根据超几何

分布的概率计算，求出每个值相应的概率，即可得分布列.

【详解】（1）（因为第二档电价比第一档电价每度多0。5元,

第三档电价比第一档电价每度多0.3元,

编号为10的用户一年的用电量是4600度，

所以该户该年应交电费为

4600x0.5653+(4200-2160)X0.05+(4600-4200)X0.3=2822.38(元).

(2)设取到第二阶梯的户数为X,

易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

D/V1八cici_86cici3

«X=0)二石"三，尸5=1)=高=五，尸(％=2)=石=7

(=［、=—4、==1

pX—3)C%=—35，'P((YX—4)c%210，

故X的分布列为

X01234

18341

P

1421735no

【变式2-1】5.(2022上•辽宁铁岭•高三校联考期末)双十一购物狂欢节，是指每年11

月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动,

时至今日已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业.某营销

调研机构进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量

就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：

返还点数t12345

销量(百件)/天0.50.611.41.7

(1)经分析发现，可用线性回归模型y=6t+0.08拟合当地该商品销量y(百件)与返还点数t

之间的相关关系.试预测，若返还6个点时，该商品每天的销量；

(2)已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销调研机构对其中200名消费者对返点

数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表:

返还点数预期值区间(百分比)口3)[3,5)57)[7,9)[9,11)[11,13)

频数206060302010

(i)求这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值的样本平均数及50%分

位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替：估计值精确到0.1)；

(ii)将对返还点数的心理预期值在［L3)和［11,13)的消费者分别定义为"低欲望型"消费

者和“高欲望型"消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机

抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中"低欲望型"消费

者的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

【答案】(1)返回6个点时该商品每天销量约为2百件

(2)(i)5.7;(ii)分布列见解析，2

【分析】(1)根据样本中心点求得必进而求得预测值.

(2)(i)根据百分位数的求法求得正确答案.(ii)利用超几何分布的分布列计算公式求

得分布列并求得数学期望.

0.5+0.6+1+1.4+1.7

【详解】⑴』1+2+”+5=3,9==1.04,

5

代入y=bt+0.08,得1.04=3b+0.08,6=0.32,

则y关于t的线性回归方程为夕=0.32J+0.08,

当"6时，夕=2.00,即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.

(2)(i)根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心里预期值的平均值元

的估计值为:

x=2x0.1+4x0.3+6X0.3+8X0.15+10X0.1+12x0.05=6,

50%分位数的估计值为5+2XI%"。=5+1。5.7.

（ii）抽取6名消费者中"低欲望型"消费者人数为6x9=4,

"高欲望型"消费者人数为6xg=2.

P(X=1)=甯=9,P(X=2)=警=|,P(X=3)=晋=?,

故随机变量X的分布列为:

X123

131

P555

E(X)=3x-4=2.

题型3二项分布

、।,'^^r,4

f.丰•、、、<

1.独立重复试验的特点，

①每次试验中，事件发生的概率是相同的；!

②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例.3

2.判断随机变量X服从二项分布的条件（*~B[n,夕））

①的取值为0,1,2,...,〃；

②f\X=a=W"（k=G,1,2,n,夕为试验成功的概率）.

注意：在实际应用中，往往出现数量"较大""很大""非常大"等字眼，这表明试验可视为，

独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.:

【例题3】（2024•云南楚雄・云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）盐水选种是古代劳

动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种

种子的密度（单位：g/cm3）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密

度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8

和0.5.

⑴估计这批种子密度的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

(2)用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的

种子数为X,求随机变量X的分布列和数学期望(各种子的萌发相互独立).

【答案】⑴1.24g/cm3

(2)分布列见解析；1.36

【分析】(1)求出每组的中点值然后即可求解.

(2)根据题意从这批种子中选取2粒在自然情况下种植萌发的种子数X符合二项分布X〜B

(2,p),从而可求出分布列，求出期望值.

【详解】(1)估计种子密度的平均值为

(0.7x0.5+0.9x0.6+1.1x0.9+1.3x1.44-1.5x1.1+1.7x0.5)x0.2=1.24(g/cm3);

(2)由频率分布直方图知优种占比为(1.4+1.1+0.5)x0.2=1,

任选一粒种子萌发的概率P=|x^+(i-|)x|=||.

因为这批种子总数远大于2,所以萌发的种子数X符合二项分布X〜B(2,p),

所以X可取的值为0,1,2,

所以p(x=0)=cM°(i—PA=、x—=蒜,

P(X=l)=dp(l-p)=2xgxA=|Z|i

P(X=2)=cip2(l-P)0=gX§=

所以X的分布列为:

X012

64272289

P625625625

所以期望E(X)=ox怒+lxW|+2x^=|^=1,36,

故期望值为1.36.

【变式3-1]1.(2023・贵州・清华中学校联考模拟预测)某工厂的质检部门对拟购买的一批

原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：

方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则

认为这批原料合格，予以接收；

方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中

不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，

并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收.

假设拟购进的这批原料的合格率为P(0<p<1),并用P作为原料中每件产品是合格品的概率.

若每件产品所需的检验费用为3元，目费用由工厂承担.

(1)若「=|,即方案二中所需的检验费用为随机变量X,求X的分布列与期望；

(2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采

取哪种检验方案?说明理由.

【答案】⑴分布列见解析，E(X)=19.94

(2)方案一的概率为Pi=p9(io-9p),方案二的概率为P2=p5[i+5P4。_p)]；

采取方案二，理由见解析.

【分析】(1)随机变量X的值可能取值是15,30,分别求出概率即可求出分布列，进而可

求出数学期望；

(2)分别求出方案一和方案二的概率，由作差法可得f(p)=-4p5+5p4—1,利用导数讨

论函娄好(P)的性质，即可求解.

【详解】(1)由题意，随机变量X的值可能取值是15,30,

X=15对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，都合格或不合格品件数超过

1个，

X=30对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后

又抽取了容量为5的样本，全部检验，

所以P(X=30)=d(/d=^,P(X=15)=1-P(X=30)=1-墨=髭,

X的分布列为：

RRR

0S

所以E(X)=15X蟾+30X果-19.94;

(2)方案一通过检验的概率为Pi=p10+Clo(l-P)p9=p9(10-9p),

方案二通过检验的概率为P2=o'+Cs(l-p)P4P5=p5[l+5P4(1_p)],

9554

Pi—P2=p(10—9p)—p[l+5P”(I—p)]=p[p(10—9p)—1—5P4(I—p)](其中。<

P<1,

令/(P)—P4(10—9p)—1—5P4(I—p)=­4p5+5p4—1,

43

则1(p)=-20p+20p=20P3(i_p)>o,

所以函娄好(p)在(0,1)上单调递增，故f(P)</(1)=0,

即Pl<「2,

故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高.

【变式3-1】2.(2023上•山东青岛•高三青岛二中校考期中)一个袋子里有大小相同的黑

球和白球共10个，其中白球有a(0<a<10,aeN*)个，每次随机摸出1个球，摸出的球再

放回.设事件4为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球".

(1)当a取的时，事件4发生的概率最大，求劭的值；

(2)以(1)中确定的的作为a的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，

摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X,求X的数学期望伙X).

参考：(1)^P(X=k)=ak(k=则E(X)=limVkak；(2)limn-

n-^+ri7+8乙

=0.

【答案】⑴5

⑵2

【分析】(1)根据二项分布的概率公式表示出P(A)=6•得看)/，进而根据基本不等

式求解即可；

(2)根据题意可知P(X=k)=ak=?进而结合错位相减法求出2：邛在，再根据E(X)=

n

ka々求解即可.

Zk=l

【详解】⑴每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为己摸到黑球的概率为1-2，

所以P(4)=43)•(1-热)=6•亲(1-弓)，

因为心(1—2)4亚屋)2=3当且仅当捻=1—含即a=5时等号成立，

则P⑷=6•舟(-2)]<6x(1)=看

所以当的=5时，事件力发生的概率最大.

(2)由(1)知，每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为与摸到黑球的概率为也

则P(X=1)=ai=|,P(X=2)=«2=|x1=^,

P(X=3)=a3=|x|x!=^,

1

则P(X=fc)=ak=—,

W二m=w1^=1+1+1+-+^

贝岭W仁/以=专+5+(+…+*+券，

日iV171,11,1,1,,1nn.n+2

两式相减得，万之心/以=]+顼+*+不+…+而-亦T=:J，-诉~=1一亦?，

所以W攵Jak=2-噤,

所以E(X)=limka^—lim(2—三?=2.

7

?lT+8^^k=ln->4-00x乙

【变式3-1】3.(2023・全国•模拟预测)某超市推出了一项优惠活动，规则如下：

规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；

规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖

品.顾客每次抽奖是否中奖相互独立.

(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p.记中奖2次

的概率为f(P),求f(P)取得最大值时，P的值Po.

(2)若某顾客有3次抽奖的机会，目中奖率均为po,则该顾客选择哪种规则更有利？请说明

理由.

【答案】(1)Po=g

(2)选择规则二更有利，理由见解析

【分析】(1)根据题意列出f(p)表达式，通过求导分析出单调性，进而求出"P)取得最大值

时，P的值Po.

⑵根据二项分布可求出规则二的获奖期望，对比两个规则获奖高的更有利.

【详解】(1)由题意知，3次抽奖有2次中奖的概率

f(p)=cip2(l-p)=-3P3+3p2(o<p<1),

则广(P)=-9P2+6p=_9p(p_|).

当pe(0,|)时，/(p)>0,则/(p)单调递增，

当pe(|,i)时，((p)<0,则-p)单调递减.

所以当p=|时，f(p)取得最大值，则P0=|.

(2)①该顾客选择规则一，其获利为30元；

②该顾客选择规则二，由第一问知Po=|,

则其中奖次数X服从二项分布B(3,|),

所以E(X)=3xg=2,

所以该顾客获得奖品金额的期望值为2x20=40(元).

因为40>30,

所以该顾客选择规则二更有利.

【变式3-1]4.(2023下・贵州贵阳•高三校联考阶段练习)某校为了庆祝建校100周年，

举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产

生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.

已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的

概率均为。甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.

⑴分别求甲、乙两名学生恰好答对2个问题的概率；

(2)设甲答对的题数为X,乙答对的题数为丫，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生?

请说明理由.

【答案】(1)甲、乙恰好答对2个问题的概率分别为之I

(2)选择学生甲，理由见解析

【分析】(1)由古典概率求出甲恰好答对2个问题的概率，再由独立事件的乘法公式求出

乙恰好答对2个问题的概率；

(2)求出X的可能取值及其对应的概率，再由期望、方差公式求出E(X),D(X),因为

(3,由二项分布的期望、方差公式求出E"),D(y),比较它们的大小即可得出答案.

【详解】(1)由题意，知甲恰好答对2个问题的概率为Pi=甯=|,

乙恰好答对2个问题的概率为P2==：.

(2)X的可能取值为1,2,3,

则P(X=1)=誉="；P(x=2)=等=*;P(X=3)=警=(.

<-6°<-6°<-6°

1al1717

所以E(X)=1W+2x[+3xq=2,D(X)=(1—2)2x抖(2—x]+(3—2/xg=1.

易知Y~B(3,I),

所以E(y)=3x(=|,D(y)=3x|x(l-l)=1.

因为E(X)>E(y)且D(X)<D(y),

甲的平均水平更好，也比乙更稳定.

所以选择学生甲.

【变式3-1】5.(2023上•湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)在学校大课间体育活动

中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投一次，若一方命中且另一

方未命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别

为等住，目每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.

(1)求1局投篮比赛，甲、乙平局的概率；

(2)设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X,求X的数学期望E(X).

【答案】⑴芫

(2)2

【分析】(1)根据互斥事件概率加法公式结合独立事件概率乘法公式分析求解；

(2)由题意可知随机变量X〜利用二项分布的期望公式运算求解.

【详解】(1)设事件A表示甲命中，事件B表示乙命中，则PQ4)=±P(B)=}

所以1局投篮比赛，甲、乙平局的概率为PQ4B)|x|+(1-1)(1-=g.

(2)1局投篮比赛，甲获胜的概率为PQ瓦)=?x(1—q)=：,

因为进行了10局投篮比赛，各局比赛也互不影响，

可知随机变量X〜B(10,1),所以E(X)=10xg=2.

【变式3-1】6.(2023・全国•模拟预测)5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通

信技术的关键之一.我国某科创企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自

动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片的次品率为1.5%,且每个芯片是否为次品相

互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测方法：

方法1：对10000个芯片逐一进行检测.

方法2:将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个

芯片组，对该芯片组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品,

如果不通过，那么再逐一进行检测.

(1)按方法2,求一组芯片中恰有1个次品的概率(结果保留四位有效数字)；

(2)从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.

参考数据:0.9858«0.8861,0.9859«0.8728,O.98510«0.8597.

【答案】⑴0.1309

(2)方法2较好，理由见解析

【分析】(1)由题意根据二项分布的概率公式直接计算即可.

(2)对于方法一，其检测次数为10000,对于方法二，分析得出每组芯片需要被检测的X

次数的所有可能取值为1,11,分别求出P(X=1),P(X=11),再结合均值公式即可得解，

比较大小即可判断.

【详解】(1)因为每个芯片是否为次品相互独立，

所以所求概率P=CioX0.015x(1-0.015)9=0.15X0.985970.1309.

(2)方法1的检测次数为10000.

方法2:对于某组芯片，如果进行一次检测且通过，那么对这10个芯片只检测1次；

如果检测不通过，那么需对这10个芯片再逐一进行检测，这时共需进行11次检测.

每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1,11,

且若一组芯片均为正品，则X=l;若含有次品，则X=ll.

因此P(X=1)=O.98510X0.8597.

P(X=11)=1-P(X=1)«0.1403,

所以E(X)=1x0,8597+11X0.1403=2.403,

所以1000组芯片的检验次数的均值为1000x2.403=2403.

因此方法2较好.

题型4正态分布

(1)P(X<p)=P(X>|J)=50%;

(2)P(|X-|j|<o)=P(u-o<X<p+a)-68.3%;

(3)P(|X-|j|<2o)=P(u-2a<X<p+2a)-95.4%;

(4)P(|X-u|<3o)=P(u-3a<X<p+3a)-99.7%.

【例题4】(2023上•全国•高三专题练习)零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零

件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的

直径进行了统计整理，得到数据如下表:

零件直径(单位：厘米)[1.0,1,2)口.2,1.4)[14,1.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

零件个数1025302510

已知零件的直径可视为服从正态分布N(〃尸2),出块分别为这100个零件的直径的平均数

及方差(同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表).

参考数据：V0^52«0.228；若随机变量f〜N(〃,02),则P(〃—。Wf=0.6827,P

(〃-2o<f<〃+2。)x0.9545,P(ji—3d<f</z+3。)右0.9973.

⑴分别求”2的值;

(2)试估计这批零件直径在［1.044,1.728］的概率；

(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在［1.044,1.728］的个数

【答案】⑴4=1.5,a2=0.052;

(2)0.8186

(3)1637

【分析】(1)根据平均数与方差的公式即可求解.

(2)根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.

(3)根据区间［1.044,1.728］上的概率计算即可.

【详解】(1)由平均数与方差的计算公式分别得：

1

〃=——x(10x1.1+25x1.3+30x1.5+25x1.7+10x1.9)

100,、,

1

=­x［10x(1.1+1.9)+25x(1.3+1.7)+30x1,5］

1

=100X15°

=1.5.

〃=焉x［10x(1.1-1.5)2+25x(1.3-1.5)2+30x(1.5-1.5)2+25x(1.7-1.5)2+10x(1.9-1.5)2］

=—x［10x0.16+25x0.04+30x0+25x0.04+10x0.16］

=—x5.2

100

=0.052.

故〃=1.5,a2=0.052.

(2)设f表示零件直径，则f〜N(〃Q2),即f〜NQ.5,0.2282).

P(〃一aWfW〃+cr)=P(1.5-0.228<f<1,5+0.228)=0.6827,

由对称性得,2P(1,5<f<1.728)=0.6827,即P(1.5WfW1.728)=0.34135.

同理，P(M-2cr<f<g+2cr)=P(1.5-2x0.228<f<1.5+2X0.228)=0.9545,

2P(1.044<1.5)=0.9545,即P(1.044<f<1.5)=0.47725.

P(1.044<f<1,7.28)=P(1.044<f<1,5)+P(1.5<f<1,728)=0.47725+0.34135=

0.8186.

故这批零件直径在［1,044,1.728］的概率为0.8186.

(3)由(2)知，P(1.044<f<1.7,28)=0.8186,

所以在这2000个零件中，零件的直径在［1,044,1.728］的有2000X0.8186«1637个.

【变式4-1】1.(2024上•广东江门•高三统考阶段练习)某公司建有1000个销售群，在

某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布N(〃e2),其中〃=376.2=12100,

公司把销售件数不小于596的群称为"A级群"，销售件数在［266,596)内的群为"B级群"，

销售件数小于266的群为“C级群

(1)若P(x<a)>P(X>2a-l),求a的取值范围；

(2)该公司决定对每个"A级群"奖励1000元，每个"B级群"奖励500元，每个"C级

群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取整数)

附：若，X〜N(〃,o2),贝[jp5—bVXV”0.6827,P(〃-2。<X<〃+2。)=0.9545,

PQi—3a<X<fi+3<T)«0.9973.

【答案】⑴a2251

(2)464100

【分析】(1)根据正态分布的对称性，分2a-376和2a-1<376两种情况求解可得；

(2)根据3b原则求出P(X2596)和P(266WX<596),然后求出各级群个数，即可求出所

需奖金

【详解】(1)由正态分布的对称性可知，若P(X<a)2P(X>2a—1),

当2a-1237