切线、公切线及切线法应用-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题3T切线、公切线与“切线法”应用

目录

【题型一】“在点”切线1：有切点.......................................................1

【题型二】“在点”切线2：无切点.......................................................3

【题型三】“在点”切线3：双参型.......................................................4

【题型四】“在点”切线4：分段函数切线.................................................6

【题型三过点”切线1...............................................................................................................................9

【题型四】“过点”切线2：切线条数.....................................................11

【题型五】“过点”切线3：最值与范围..................................................13

【题型六】双函数公切线...............................................................15

【题型七】三角函数的切线.............................................................17

【题型八】切线与倾斜角...............................................................18

【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离...................................20

【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值...................................22

【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参...................................24

【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参...................................27

【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参...........................29

【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等...................................32

【题型十五】综合应用.................................................................34

二、真题再现.........................................................................37

三、模拟检测.........................................................................41

热点题型归纳

【题型一】“在点”切线1：有切点

【典例分析】

已知函数/（x）=（ax+3）exT+xlnx（其中e为自然对数的底数）的图象在（1"⑴）处的切线的斜率为8,则

实数a的值为（）

A.1B.2C.eD.3

【答案】B

【分析】求出五尤)的导数，将点的横坐标代入得斜率8,解出实数a即可.

【详解】=(ax+3+a)eYM+In%+1,f'(T)=(2a+3)+1=8,解得。=2.

故选:B.

【提分秘籍】

基本规律

基本规律

以曲线上的点(X0,兀加)(已知X0为具体值)为切点的切线方程的求解步骤:

①求出函数/(X)的导数/(X);

②求切线的斜率((xo);

③写出切线方程y—1Axo)=_f(xo)(x—X0),并化简.

【变式演练】

1.己知函数/。)=2/_矿⑴，则曲线y=/(元)在点(2"(2))处的切线方程为()

A.6x-y-8=0B.6x-y+8=0

C.6x+y+8=0D.6%+y—8=0

【答案】A

【分析】先求导数，令x=l,计算:⑴的值，得到〃*)=2/-2%,尸(x)=4x—2,计算斜率左=,(2),

用点斜式写出直线方程即可.

【详解】因为/'(力=4%-r⑴，令x=l,则/(1)=4一/⑴，所以/'⑴=2,贝|〃X)=2X2-2X,

-⑺=4x-2,左=〃2)=6,

f(2)=4,所以切线方程为：6x-y-8=0

故选：A.

2.已知函数/(x)=/+ta(a<0)在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为:，则实数。的值为

()

A.1B.-1C.-3D.3

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义求得曲线在x=0处的切线为>T=(a+l)x，结合题意，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，函数/(%)="+依(a<0),则/(x)=e*+a,

可得/'⑼=a+l，〃0)=1，即切点坐标为尸(。」)，

所以在X=0处的切线为y-i=(a+i)x,

当x=0时，y=l；当>=。时，%=一一—,

Q+1

因为在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为:，

4

1-11、

可得彳、lx------=—,解得。=1或〃二-3,

2a+13

又因为a<0,所以a=—3.

故选：C.

3.已知函数/(x)=f一/⑴x+2,则/(X)的图象在点(2,”2))处的切线的斜率为()

A.-3B.3C.-5D.5

【答案】B

【分析】利用导函数可求出了'(1),然后利导数的几何意义即得.

【详解】由题可得尸(x)=2x-r(l),令x=l,得-⑴=2--⑴,

所以广⑴=1,即f(%)=x2-%+2,/,(%)=2x-l,

所以的图象在点(2"(2))处的切线的斜率为广(2)=3.

故选：B.

【题型二】“在点”切线2：无切点

【典例分析】

已知四条直线＜：y=x,4：y=3x-2,4：丫=3尤+2,从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数

/。)=尤3的图象相切的概率为()

A.-B.-C.1D.-

6323

【答案】B

【分析】根据切线的斜率可求切线的切点，进而根据点斜式求出切线方程，即可判断三条直线中哪些是

切线，进而根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】由题设，r(x)=3x2,当升解=3,得*=±1,若x=l,则7(1)=1,即切点为(1,1)的切线为

/?：y=3X一2；若％=一1,贝I]/(-1)=-1,即切点为(-1,-1)的切线为。：V=3x+2,当(尤)=1,得x=土也，

3

若x=B,则切点为[坐，手，切线方程为：y=x-2叵，若x=_叵,则切点为-坐，，切

线方程为：y=x+萨，故直线＞与/(x)=V的图象不相切，所以从己知三条直线中任取两条共有

&，)&，)&，/3)三种情况，与的图象相切只有4)，故概率为:.

故选：B

【变式演练】

1.以下曲线与直线e相切的是()

1,

A.x2+y2=1B.y=e，C.y=exInxD.y=—ex

【答案】C

【分析】直线y=e的斜率为e,且经过点(1,0),利用导数的几何意义分别判断，=氏一€是否为选项

中曲线的切线即可.

【详解】直线y=叱-e的斜率为e,且经过点(1,0),

选项A.点(1,0)在曲线G上，但曲线G在点(1,0)处的切线的斜率不存在，故不正确.

选项B.由＞=«1则)/=/,设切点为(吃,-),贝iJe=e%，则%=1

所以切点为(Le),显然点(Le)不再在直线y=ex-e上，故不正确.

选项C,曲线y=e1nx过点(1,0),又y'=e，&+lnx]

当x=l时，y=e,所以曲线＞=6111了在点(1,0)处的切线方程为：y=e(x-l)=ex-e

所以曲与直线y=ex—e相切，故正确.

选项D.由y=gex2,则了=6”，设切点为(占,；"],则4=e=e*1则%=1

所以切点为区J，显然点区；不在直线'2-e上，故不正确.

故选：C

2.若曲线、=。1+工与y=2x+l相切，贝I实数。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【彳析】根据导数求切线方程的即可.

【详解】设切点坐标为（%o,%）,由V=ae"+1,贝ijae司+1=2,且ae殉+/=%=2%+1,将“6瓶=1代入

得飞=。，故a=1.

故选：A

3,直线y=与曲线y=-gx+lnx相切，则Z?的值为（）

A.2B.-2C.-1D.1

【答案】D

【分析】求出y'=+g,设切点（%,%）,由y（x0）=；求出（%,%）,代入y=可得答案.

11/、./x111

【详解】/=设切点（%,%），由>（%）=-不+—=彳，

2X2/2

所以%=1,%=—g，代入y=，得〃=1.

故选：D.

【题型三】“在点”切线3：双参型

【典例分析】

已知6为正实数，直线y=与曲线y=ln（x+»相切，则工+工的最小值为（）

ab

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】设切点为（%，%）,则由题意可得%=ln（%+b）,从而可求出〃+h=l,所以

、％+b

41+!］（。+份，化简后利用基本不等式可求得其最小值

abyab）

【详解】设切点为（/，%）,由>=也（尤+。），得y'=」7，因为直线y=与曲线y=ln（%+。）相切于点

x+b

（%，%），

\Xf.=a

所以%=lna+b）,解得所以a+b=l,因为a,6为正实数，所以

I%=0

xo+b

l+l=fl+l\a+Z,)=2+-+->2+2.p^=4,当且仅当£=2,即时取等号,

ab\ab)abyabba2

所以工+g的最小值为4,故选：B

ab

【提分秘籍】

基本规律

多参数，对应方程恒成立求参

【变式演练】

1.若曲线y=d+依在点(1"⑴)处的切线方程为y=6x-相，则机=()

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】C

【分析】由广⑴=6求得。值，然后利用(1J⑴)是切点可求得机值.

【详解】f'(x)=3x2+a,由已知/(1)=3+a=6,a=3,即/(x)=/+3x,

/(D=4,

所以4=6-〃?，”2=2.

故选：C.

2.已知函数/(劝=加-刃11X在点⑴)处的切线为y=l,贝露+6的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得.

【详解了：函数/⑴=依?^!^,'/。了?幺—3〃1)=匹・・・/(乃在点。，/⑴)处的切线为y=i,

{f(l}=2a-b=0……

\,解得a=l,b—2,a+b=3.故选：C.

［a=l

3.已知函数/(x)=aln尤-而的图象在*=1处与直线＞=高相切，则函数/⑴在［l,e］上的最大值为

()

A.-1B.0C.—D.1

2

【答案】c

广⑴=。

【分析】求出函数的导函数,依题意可得＜心1，即可求出。、b,从而得到函数解析式，再利用导

数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值;

【详解】解：由/(x)=〃lnx——2,得/(%)=_^一2",

x

7"）=°-26=0a=l

所以/w=-^=4，解译71；

b=—

2

所以/（x）=lnx一＜％2,/（%）=）_%=1^=一（尤―1）（丁+1）

2xxx

xe(l,e)时，f'{x)＜0.

.••/(尤)在［1,可上单调递减，则/(无)皿*=/(l)=-g.

故选：C

【题型四】“在点”切线4：分段函数切线

【典例分析】

已知函数图像关于原点对称，则/(X)在x=T处的切线方程为()

/«=3

,g(x),x<0

A.3x-y+2=0B.3x-y-2=0C.3x+y+4=0D.3尤+y-4=0

【答案】A

【分析】令x=2先求出/(2)的值，再利用函数关于原点对称可求出g(x),再利用导函数的几何意义即可求

出了(x)在无=一1处的切线方程.

【详解】由题意知："2)=牛x22-2n〃2)=6.所以/(x)=F7f：°；

3[g(x),x<。

令x<0,则一%>0.

所以ND=2x2+x.

又函数/(九)图像关于原点对称，即/(-%)=-/(%).所以当x<0时，fM=-2x2-x.

所以当x<0时，fM=-4x-l.

八一1)=4—1=3,/(-1)=-2+1=—1；

所以了(%)在x=—1处的切线方程为：y+1=3(x+l)=>3x—y+2=0.

故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

分类讨论决定切点的位置和切点的个数。

【变式演练】

1.已知函数〃尤)=已°+?'尤>°,曲线y=/(x)与直线y=；-!+ln2有且仅有一个交点，则实数上的

[fcv,x<022

取值范围为()

A.B.[，+0°]C.(l,+oo)D.[1,+co)

【答案】A

【分析】令g(x)=：Y-51+ln2-ln(x+l),xe(O,+s),利用导数求出函数g(x)的单调区间及最值，从而可

得出当x>0时，函数g(x)零点的个数，即曲线y=〃x)与直线y=1-]+ln2交点的个数，从而可得出

答案.

X111

【详解】解：令g(无)=5-5+ln2-ln(尤+1),无e(0,+co),g'(x)=]-------,xe(0,+oo),

乙乙乙-I-A

当0<x<l时，g'(x)<0,当x>l时，g'(x)>0,

所以函数g(x)在(。,1)上递减，在(1，欣)上递增，

所以ga"g(i)=o,当且仅当x=i时，取等号，

Y1

所以当x>0时，函数g(x)=5-5+1112-In(x+1)只有一个零点，

Y1

即当尤>0时，曲线y=〃x)与直线y=]-/+ln2有且仅有一个交点,

所以当X40时，曲线y=与直线>-g+ln2没有交点,

\,ax+a,x<-\

2.已知函数“X)满足〃x+l)函数g(x)=/(x)-/(-x)恰有5个零点，则实数。的取值

[ln(x+l),x>-l

范围为()

a-H'°)b-H)c-d-g+H

【答案】A

【分析】画出“X)、〃T)的图象，因为产冰与y=一冰，y=lnx与y=ln(r)的图象关于y轴对称,

且产水与y=一依交于原点，要使〃力=〃_”恰有5个零点,

y=1nxJ^y=-ax的图象必需有两个交点，求出y=Inx与y=一依相切时a的值可得答案.

/、ax+a,x<-l,、(ax,x<0

【详解】因为〃尤+1=」所以了》=

'In(尤+I),x>-1'，[ln.x,x>0

,、\-ax,x>0,.,.,、

〃-尤)=jln(-x)x<0'因为函数g(x)=/(x)—/(T)恰有5个零点,

所以“力、f(r)的图象恰有5个交点，画出“力、的图象，由图象可得，

因为y=ax与y=-依，、=山工与>=111(-*)的图象关于)轴对称，

且>=加与_y=一以交于原点，要恰有5个零点，

贝ljy=ax与y=ln(—x),y=lnx与丁=一依的图象必有两个交点，

当y=lnx与y=-依的图象相切时，设切点(根,〃)，

11〃

此时切线的斜率为V=—=—=—,可得〃=1,l=ln〃?得加=e,所以切点(e,l),

xmm

即一。=工，交点。=-1，

ee

所以要使函数g(x)=〃x)-〃-x)恰有5个零点，则

x2+x+a,x<0

3.已知函数/(》)=1的图象上存在不同的两点A3,使得曲线y=/(x)在这两点处的切线重

——,x>0

合，则实数。的取值范围是.

【答案】-2<a<!

4

【分析】设AG，%),B(x2,y2),占7%，不妨设W<三，利用导数的几何意义判断出国<。<为2，写出函

1(1丫2

数/(x)在A,B两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去4，得a=±3_l,换元得。

4(无2)%

=!「一!/一2/+!，构造函数g0)=!「-：/-2f+!,(0</<1),利用导数可求出结果.

424424

【详解】当x<0时，f\x)=2x+\,

当尤>0时，f\x)=\,

x

设AC7%),2(%,%),x^x2,不妨设士<马，

若为<0且/<。，则由曲线y=/(x)在A3两点处的切线重合，得2%+1=2%+1,

得%=%,与&二々矛盾，

若玉>0且超>。，则由曲线y=/(x)在A3两点处的切线重合，得/■=!，

得王=马，与占w%矛盾，

所以当<0,x2>0,

所以曲线y=F(x)在点A处的切线方程为y-(x；+无]+。)=(2西+l)(x-匹),即y=(2再+l)x-x；+a,

1112

x

所以曲线y=〃x)在点8处的切线方程为y+—=~(x-x2),即y=——,

%X?X2X2

/\C1122

由曲线y=F(犬)在A5两点处的切线重合，得2再+1=7且-％+a=~—,

1

所以4=斗士一1],因为再<0,所以-r=2%+16(0,1),

X

41%2)2“2

令"二J，因为％2>。，所以。VZV1,

所以a=，(产_1)2_2/=工/4_工/_2/+工，

4424

令8(/)=工/4一工»一27+工，(0<?<1),

424

32

g'(t)=t—t—2,令夕(/)=/一/一2,jjjlj(p'(t)—3t—1f

令d(f)>0,得且</<1,令“⑺<0,得0<r(走，

33

所以。⑺在(0,#)上单调递减，在(日』)上单调递增，

即g”)在(0,络)上单调递减，在吟,1)上单调递增，

又g'(0)=-2<0,g'(l)=-2<0,

所以g'3<o在(o,1)上恒成立,所以g(t)在(0,1)上单调递减，

所以g⑴<g⑺<g(0),即一2Vg⑺<!，

所以-2<a<；故答案为：

【题型三】“过点”切线1

【典例分析】

设与>1,曲线/(x)=aln♦3x+2a在点P(%,0)处的切线经过点(O,2e),贝壮+毛=()

A.eB.^/2eC.-^3eD.2e

【答案】D

【分析】根据已知得至11(3x0—26)111X0+3x0-46=0,^g(x)=(3^-2e)lm:+3^-4e,再利用导数求出函数

的单调性和零点得解.

【详解】解：由题得/'(%)=0,即ok叫一3x0+2a=0①，

又「(同=9一3,所以尸(尤o)=-----3=,即3尤()—a=2e②，联立①②得(3x()-2e)liu：o+3x()—4e=0,

X/一%o

令g(x)=(3x-2e)lnx+3x—4e,所以短⑺=31m:+6-彳,则g'(x)在区间(0,+。)内单调递增，

又g'g[=3-2e2<0,g，⑴=6-2e>0,由零点存在性定理可知存在相《[，j，使得g'W)=。，

当xe(O,机)时,g'(x)<0,所以g(x)单调递减;当xe的+00)时,g〈x)>0,

所以g(x)单调递增，又厮>1,且g(e)=。，所以X°=e,代入②得-e,所以a+毛=2e.故选：D

【提分秘籍】

基本规律

曲线切线方程的求法:

(1)以曲线上的点(初，加0))为切点的切线方程的求解步骤:

①求出函数人尤)的导数了(无)；

②求切线的斜率/(xo)；

③写出切线方程y—fixd)—f(x(j)(x—xd),并化简.

%=/(%)

(2)如果已知点(尤/,")不在曲线上，则设出切点(xo,加)，解方程组，%_、得切点Cw,yo),进

一J

而确定切线方程.

【变式演练】

cinX

1.写出。的一个值，使得直线X+冲-。=0是曲线y=吧式的切线，则。=.

【答案】乃(答案不唯一)

【分析】首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点(0,1),利用导数的几何意义，列式求

参数。的值.

【详解】设切点为尸伍，几），直线》+舒-。=0恒过定点（0,1）,

sinx

,x-cosx—sinx…01

y=---------—,则xx0cosx0-smx0,

V----0-------2

则sin%—%=x0cosx0-sinx0,可得其中一个根鼠=»,

y|=--,此时一一•-,得。=».

x=;r7ia7i

故答案为：乃（答案不唯一）

2.已知直线丁=狈（。£即与曲线y=lnx相交于两点，则a的取值范围是___________

【答案】（0,£|

【分析】先求出直线与曲线相切时。的值，再根据函数图象可求出。的取值范围

【详解】设直线y=ax（aeR）与曲线y=lnx相切于点尸（尤0,%）,

由y=lnx,得了=一,

X

1

CL----

%।

所以，解得〃=-，

e

%=山1玉）

曲线y=lnx与直线y=«XawR）的图象如图所示,

，故答案为:

3.函数f（x）=e2'过原点的切线方程是.

【答案】2ex-y=0.

【分析】设切点为（尤0,e"。），根据导数的几何意义求出函数切点为的切线方程，再根据切线过原

点求出为,即可得解.

【详解】解：设切点为（％,e乐），

/f(x)=2e2\则/(x°)=2e2Ao

故切点为（^^领）的切线方程为y-e2M=2e2"x-M）,

又因此切线过原点，

所以-e?而=义工心?*。，解得

过原点的切线方程是y-e=2e，-；

所以函数/（x）=e"

BP2ex-y=0.

故答案为：2ex-y=0.

【题型四】“过点”切线2：切线条数

【典例分析】

若过点(SJ)可以作曲线y=ig的两条切线，贝I()

A.s>ln。B.5<lnZC.Z<lnyD./

【答案】D

【分析】设切点为(Xo，lnxo),(%>0),等价于Q+l)Xo-XolnXo=s有两个不同的实数根%,求出g(x)单调

区间和最大值即得解.

【详解】解：设切点为(%,lnx°),(%>0),由题得y'=L,所以切线的斜率为工，

元须)

所以切线方程为y-ln%0='(%-/)，

%

一一11zx

所以%-lnx0=一(5-％0)=-S--1,

%%

所以。+l)Xo-Xoln/=s有两个不同的实数根%,

设g(x)=Q+l)x-xlnx,(%>0),「.gr(x)=t-lnx,

当0<x<e'时，g'(%)>0,g3)单调递增；当%>e'时，g'(%)〈O,g(%)单调递减.

所以g(X)max=g(e')=e'，

所以s<e',Ins<>Ins.

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

“过点”切线条数，可以通过设切点坐标，写出切线方程，转化为求切点横坐标的根的个数或者根的

范围。

【变式演练】

1.已知函数/(x)=(x+l)e*,过点M(l,力可作3条与曲线y=/(x)相切的直线，则实数f的取值范围

是()

【答案】D

【分析】设切点为(a,(a+l)e。)，利用导数的几何意义求出切线的斜率左=广①)，利用点斜式写出切线方

程，将点M的坐标代入切线方程，可得关于。的方程有三个不同的解，利用参变分离可得f=(3-/)e。，

令g(x)=(3-/)e*,利用导数求出g(无)的单调性和极值，则根据y=g(x)与》=/有三个不同的交点,即

可求出实数1的取值范围

【详解】设切点为(a,3+l)e"),由〃x)=(x+l)e，,得广(x)=e*+(尤+l)e*=(x+2)e，,

所以切线的斜率为k=『'(a)=(a+2)e",所以切线方程为y-(a+l)e"=(a+2)e"(A〃)，因为点M(l,f)

在切线上，

所以f-(a+l)e°=(a+2)e"(l-a),化简整理得/=(3->)/《令g(x)=(3-/)e1则

g'(%)=(3-2x—x2,)e》=—(x—l)(x+3)ex,

所以当％<-3或%>1时，g'(x)<0,当一3Vx<1时，g'(x)〉O,

所以g(x)在(F,-3)和(1,+®)上递减，在(-3,1)上递增，所以g(x)的极小值为g(_3)=(3-9)1=-g,极

e

大值为g⑴=2e,

当x<-3时，g(x)<0,所以g(x)的图象如图所示，

因为过点M(l,f)可作3条与曲线y=〃x)相切的直线，所以y=g(x)的图象与直线y=r有三个不同的

交点,

6八

一一<^<0

所以由图象可得e73

2.若过点(利,")可以作曲线y=log2X的两条切线，贝！|()

A.>log2nB.ri>log2mC.<log2nD.<log2m

【答案】B

【分析】作出函数y=iog2》的图象，由图象观察得出结论.

【详解】作出函数y=iog?x的图象，由图象可知点(加,〃)在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切

线，

所以log27",

A.(0,1)B.(一8,1)C.(-=0,1]D.(0,1]

【答案】A

【分析】设切点P(x。，儿)，进而求得切线方程，进而得到人=。-%)广，构造函数g(x)=(l-x)e”分析

g(x)=(l-x)e”的单调性与取值范围即可判断6=(1-%)e*有且仅有两根时b的取值范围即可

【详解】设切点为P(x。，几)，y=e\故过九)的切线方程为七)，即

y=e&x+(l-%)e拓.故6=(1-%)炉)有且仅有两根.设g(x)=(l-x)e*,则g，(x)=-xe*，令g'(x)>0则尤<0,

令g'(x)<0则x>0,且g(O)=e°=l,又当x<0时，g(x)>0,g(l)=0.故b=(l_M)e-有且仅有两根贝”

b的取值范围为(。,1)

【题型五】“过点”切线3：最值与范围

【典例分析】

已知函数『(x)=e*+〃的一条切线为则"的最小值为()

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义，可求得"二片足。，设g(x)=x21nx(x>0),利用导数求得g(x)的单调性

和最值，分析即可得答案.

【详解】由题意得r(x)=e*,设切点为(为,%),

M=a

所以《人，，解得％o=lna,b=axQ=alna,

Iy0=+b=ax0+a

所以=片ina,

设8(%)=/1口%(％〉°)，贝UW=2xlnx+x=x(21nx+l),

令夕(%)=0,解得

(J.、

当XE0,e2时，g，(x)<0,则g(%)为减函数，

\7

当xee2,+co｝寸，g'(x)>0,则g(x)为增函数，

(11

所以g(x)1mn=ge2卜一二，所以"的最小值为-丁.故选：A

【变式演练】

1.己知曲线/Q)=|lnx|在点(占,〃占))与仁,〃％))处的切线互相垂直且相交于点尸(4,儿)，则()

X.x2

A.阳“2=-1B.X-X=ec.=———1D.%=------

x22%+%2

【答案】D

2

【分析】利用导数求出切线斜率，再由切线垂直可得尤述2=1,利用切线公共点可得％=不丁.

【详解】因为曲线/(尤)=|lnx|=:;:尤<1在点(4/(羽))与(移f(%))处的切线互相垂直，

所以当0〈无<1时，f\x)=--,当冗>1时，yz(x)=-,

不妨设。<玉<1<%2，因为在点(%,/(%))与(%2，/(%2))处的切线互相垂直，

则一■----二-1,即石入2=1，故AB错误；

x2

在点(玉J(%J)的切线方程为y+ln%]=—g(x—玉)，即>=一：九一111%+1,

在点伍，〃无2))处的切线方程为y-ln%=」(x-%),即V=-^x+lnx2T,

0^2"^2

因为切线相交于P(/，几)，代入切线方程可得一‘X。-In占+1=‘X。+In马-1,

玉x2

(\1>2

即—I%=—In项—In々+2,由石马=1化简可得玉)二.

I玉^2)%

故选：D

2.若曲线y=(%+〃)e”有两条过坐标原点的切线，则〃的取值范围是.

【答案】(T,T)W(O,+8)

【分析】设出切点横坐标与,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于％的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】；y=(x+a)e",y'=(x+l+a)e”,

设切点为(％%),则为=(x()+a)e*，切线斜率k=(〜+l+a)e%,

切线方程为：y-^+a)^=5+l+a)e"尤-玄)，

:切线过原点，，一(x(,+a)e阳=(%+l+a)e~(-1),

整理得：X；+ax0—«=0,

•切线有两条，A=o2+4a>0,解得a<-4或a>0,

的取值范围是(-s,T)U(O,y),

故答案为：(《T)U(0，y)

3.过直线y=x-l上一点P可以作曲线/(x)=x-lnr的两条切线，则点尸横坐标1的取值范围为()

A.0<?<1B.\<t<e

C.0</<eD.—</<1

【答案】c

［分析］根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程t=2毛-X。InX。的根的个数问题转化为函数V-与

函数g(x)=2x-xlnx的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.

【详解】解：由题意得PQ,1-1),设切点为4(%,%),%>0,

•,­/,(x)=l--,-(尤o)=l-工

X%0%

则过点P的切线方程为无()+比%='」(％-%)，整理得>=血」彳-111%+1,

/尤。

由点尸在切线上，贝1］/-1='」^一111%+1,即/=2%-尤°In%,

xo

因为过直线>=无-1上一点尸可以作曲线/(x)=xTnx两条切线，

所以关于“的方程t=2x0-x0In/有两个不等的实数根，

即函数y=r与函数g(x)=2x-xlnx的图象有两个交点，

gr(x)=2—Inx—1=1—Inx,

g'(x)>0n0<x<e,g'(x)(0=>x)e,

则函数g(x)在(o，e)上单调递增,在(e,+oo)上单调递减,且g(e)=e,

工一0时，g(X)­。；Xf+oo时，g(无)--CO,

则函数y=t与函数g(x)=-xlnx+2x的图象如下图所示：

由图可知,0</<e,故选：C.

【题型六】双函数公切线

【典例分析】

若函数/(x)=3x+：-3(尤>0)的图象与函数g(x)=rxe，的图象有公切线/,且直线/与直线y=龙+2

互相垂直，则实数f=()

A.—B.e1C.—或2^/^D.—或

eee

【答案】D

【分析】根据垂直性质可得勺=2,再求导根据导数的几何意义可得切线/的方程为y=2x-l,再设函数

g(x)=tw"与直线/切于点(1,%),列式求解即可

【详解】由题知，片=2,令尸又x>0,解得x=l,因为"1)=1,所以切线/的方程为

X

y=2x-l,g〈%)=t(x+l)e\

设函数g(x)=*与直线/切于点(5,%),所以;故<

乙—41n-11e

et=4册

【提分秘籍】

基本规律

公切线，要注意从以下两方面考虑

L两个曲线有公切线，且切点是同一点

2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

【变式演练】

1.若函数7(x)=f+l与g(x)=2alnx+l的图象存在公共切线，则实数。的最大值为()

A.—B.eC.sfeD.e2

【答案】B

【分析】分别设公切线与7(》)=炉+1和C：g(x)=2alnx+1的切点(尤(9,2aln%+1),根据导数

的几何意义列式，再化简可得。=2后-2x；In%,再求导分析h(x)=2x2-2x2Inx(x>0)的最大值即可

【详解】/，(x)=2x,g'(x)=?，设公切线与小)一+1的图象切于点+与曲线

C:g(x)=2〃lnx+l切于点(x2,2«lnx2+1),

，2寸义=(2。”+1)-储+1)=2.1眸7,故0"%,所以2人—",...

x2x2-X]x2-xlx2-x{

%=2X2-2X2lnx2,■/a=xtx2,故a=2xf-2尤;Inx2,

设h(x)=2x2-2x2-Inx(x>0),则h'(x)=2x(1-2Inx),

/z(x)在(0,五)上递增，在(公,+00)上递减，r.〃(x)1mx=版&)=e,

实数。的最大值为e

故选：B.

2.若直线>是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+l)的切线，贝1|左=()

A.2B.4C.e2D.

【答案】A

【分析】分别写出两条切线方程，合二为一，联立方程即可.

【详解】对于y=lnx+2,设切点为（为,无），y=^~,

贝IJ切线方程为＞一弘='（无一尤i）