人教版九年级数学常见题型专练：实际问题与一元二次方程（6种题型）（原卷版+解析）

第06讲实际问题与一元二次方程（6种题型）

【知识梳理】

列一元二次方程解应用题

i.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；

设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；

列（根据题目中的等量关系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答（写出答案，切忌答非所问）.

要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

【考点剖析】

题型1：增长率问题

列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次

数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

⑴增长率问题：

平均增长率公式为a（l+x）"=6（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.）

⑵降低率问题：

平均降低率公式为a（l-X）"（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）

例1.（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2

元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x,根据题意列出方程,

正确的是（）

A.6.2（1+无）2=8.9

B.8.9(1+无)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9

D.6.2(l+.r)+6.2(1+x)2=8.9

例2.(2022•上海)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，

则增长率为.

例3.随着国家"惠民政策"的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中

的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百

分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率.

例4.(2023・湖南・湖南师大附中校联考模拟预测)今年五一"网红长沙"再次火出"圈"，27个旅游景区五天

累计接待游客194.98万人，成为全国十大必到城市之一.长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火

锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4天营业额为14.4万元，据估计第3天、第4天

营业额的增长率相同.

⑴求该网红店第3,4天营业额的平均增长率；

(2)若第1天的营业额为4.6万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的10%,求该网红

店第5天营业额.

题型2:面积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的

面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

例5.如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的

门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米.求鸡场的长和宽各多少米？

例6.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材

料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,

猪舍面积为80m2?

住房墙

例7.（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35祖，15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽

增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.

（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；

（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积.

例8.（2022•泰州）如图，在长为50/77,宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草

坪.要使草坪的面积为1260川，道路的宽应为多少？

50m

题型3：数字问题

⑴任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，

它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……,数位上的数字只能是0、1、2、……、

9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位

的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a,十位上数

为b,百位上数为c,则这个三位数可表示为：100c+10b+a.

（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

如：三个连续整数，设中间一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1.

几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差2.

如：三个连续偶数（奇数），设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2.

例9.已知两个数的和等于12,积等于32,求这两个数是多少.

例10.一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位

数放在这个两位数的右边所成的三位数大252,求这个两位数.

题型4:利润（利息）问题

利息问题

（1）概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

⑵公式：

利息=本金X利率义期数

利息税=利息乂税率

本金x（l+利率X期数）=本息和

本金X[1+利率X期数义（1-税率）]=本息和（收利息税时）

利润（销售）问题

利润（销售）问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价（成本）

总利润=每件的利润义总件数

利润率=%口X100%,标价X已等二售价

进价（或成本）10

进价x（l+利润率）=标价x臂臀

例11.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖

出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销

售单价定位多少元？

例12.商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70

件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件.据此规律，请回答：

①当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？

②在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600

元？

例13.（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生

产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100

吨.

（1）求4月份再生纸的产量；

（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加初％.5月份每吨再生纸的利

润比上月增加巨％,则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求m的值；

2

（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸

产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利

润是多少元？

题型5：比赛统计问题

比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环.

例14.（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进

行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）

A.8B.10C.7D.9

例15.首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了105场，那

么参加第一轮比赛的共有几名选手？

题型6：传播问题

传播问题：

a（l+xy=A,。表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，”表示传染的轮数或天数，A表示最终的

人数.

例16.（2023秋•浙江台州•九年级统考期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每

轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染X个人.根据题意列出方程为（）

A.1+x+x2=121B.l+x（x+l）=121

C.l+x+x（x+l）=121D,+x（%+l）=121

例17.（2023・全国•九年级专题练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病

毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023・湖南湘西・统考三模）在"双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022

年上学期每天书面作业平均时长为lOOmin,经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上

学期平均每天书面作业时长为70min,设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程

为（）

A.70（l+x2）=100B.70(1+x)2=100

C.100（1-4=70D.100（1-x2）=70

2.（2023•新疆喀什•统考三模）为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形

绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（）

A.x（x+30）=1000B.x（x-30）=1000C.2x（x+30）=1000D.2x（x-30）=1000

3.（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考二模）NK中学秋季运动会上安排了8行12列的鲜花仪仗队，后

来又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，设增加了无行，则可列方程为（）

A.（8+x）（12+x）=69B.8x+12x=69

C.（8+x）（12+x）=69+8xl2D.8元+12x—2元？=69

4.（2022秋•天津武清•九年级校考阶段练习）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字

大3,则这个两位数是（）

A.25B.36C.25或36D.64

5.（2023•山东淄博•统考二模）如图，在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相

等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为5310m2,那么水渠应挖

多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（）

A.（92-2x）（6。-尤）=5310B.92x60-2x60x-92x-2x2=5310

C.92x60-2x60x-92x=5310D.92x60-2x92x-60x+2x2=5310

6.（2023•宁夏银川•校考一模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一

个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染尤个人，可到方程为（）

A.l+2x=81B.1+炉=81C.1+x+x2=81D.（1+x）2=81

7.（2023秋・云南昆明•九年级统考期末）中国男子篮球职业联赛（简称：CBA）,分常规赛和季后赛两个阶

段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）.2022-2023CB4常规赛共要赛

240场，则参加比赛的队共有（）

A.80个B.120个C.15个D.16个

8.（2022秋•河南商丘•九年级统考期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3x3

个位置相邻的数（如6,7,8,13,14,15,20,21,22）.如果圈出的9个数中，最小数X与最大数的积

为161,那么根据题意可列方程为（）

日一二三四五六

A.x(x+8)=161B.x(x+16)=161C.(x-8)(%+8)=161D,x(x-16)=161

二、填空题

9.（2022秋•辽宁沈阳•九年级校考期中）若某两位数的十位数字是方程Y-7x=0的根，则它的十位数字

是.

10.（2023秋・广东肇庆•九年级统考期末）在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同

学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有x人，根据题意，可列方程是

11.（2023•江苏苏州•苏州市振华中学校校考二模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均

每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天

可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价元.

三、解答题

12.（2023•吉林长春•长春市解放大路学校校考三模）某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努

力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，求该城市绿化面积的增长率.

13.（2023•山东德州•校考一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，

由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的

进价多了10元.

⑴该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？

⑵该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10

元，则多卖出20件.依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应

为多少？

14.（2023•陕西咸阳,统考三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为30m,20m.现计划对其进行扩充，

将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.若扩充后的矩形绿地面积为1200m2,求新的

矩形绿地的长与宽.

15.（2023•广东广州•统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加

到12.1万人.

⑴求这两个月游客人数的月平均增长率；

（2）若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？

16.（2022秋•福建泉州•九年级校考阶段练习）为了响应"践行核心价值观，青春正能量”的号召，小颖决定

走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，假定从一开始号召，每一个人每周能够号召相同的加个

人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者.”

⑴求出机的值；

（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，

不是每一次号召都可以成功，他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%,第

一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了〃人.

①分别求出他们三人号召的成功率；

②求出n的值.

17.（2022秋•广东阳江•九年级统考期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在

战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民"的真实写照，如表是

该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）

影片《万里归途》的部分统计数据

发布日期10月8日10月11日10月12日

发布次数第1次第2次第3次

票房10亿元12.1亿元

⑴平均每次累计票房增长的百分率是多少？

⑵在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票

18.（2022秋•四川成都•九年级统考期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医

院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A、3两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知

A点平均每人采样720份，8点平均每人采样700份.

⑴求A、5两点各有多少名医护人员？

（2）9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商

户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从8点抽调部分医护人员到A点经调查发现，8点每减

少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B点抽调

了多少名医护人员到A点？

19.（2022秋•陕西西安•九年级校考期中）如图，已知A、B、C、。为矩形的四个顶点，AB=16cm,

AD=6cm,动点尸、0分别从点A、C同时出发，点尸以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点

。以2cm/s的速度向点。移动.问：

(1)尸、。两点从出发开始几秒时，四边形尸3CQ的面积为33cm2?

(2)几秒时点尸点Q间的距离是10厘米？

(3)产，。两点间距离何时最小？

20.(2023春・山西长治•九年级校联考阶段练习)小米又称栗米，古称栗，是中国古代的“五谷"之一，"人

说山西好风光，地肥水美五谷香"、我省晋中、晋东南、阳泉盛产小米、某超市计划用12元/kg的价格购进

一批优质小米，根据销售经验，当该小米的售价为14元/kg时，月销售量为980kg,每千克小米售价每增

长1元，月销售量就相应减少30kg.

⑴若使这种小米的月销售量不低于800kg,每千克小米售价应不高于多少元？

（2）在实际销售过程中，每千克小米的进价为15元，而每千克小米的售价比（1）中最高售价减少了a%,

月销售量比（1）中最低月销售量800kg增加了5a%,结果该店销售该小米的利润达到了4000元，求在实

际销售过程中每千克小米的价格.

21.（2023秋・山西太原•九年级期末）某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知

该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台.

⑴求该商店口，12两个月的月均增长率；

（2）调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4

台.该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价.

22.（2020秋•广东揭阳•九年级统考期末）校运动会前夕，某班家委会准备为班级学生团体操表演方阵购买

x件表演服装，商家给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买

多于10件，那么每增加1件，则购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.若商家每件运

动服的进价为40元，家委会一次性购买这种服装付了1200元.

⑴当x=10时，购买单价为元；当x=15时，购买单价为元；

⑵求家委会共购买了多少件服装？

⑶若不考虑其它因素，本次销售商家的利润率是多少？

23.（2023,湖北孝感•统考三模）随着疫情防控全面放开，"复工复产"成为主旋律.中航无人机公司统计发

现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架.

⑴求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；

⑵该公司还生产5型无人机，己知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架B型无人机的成本是300

元.若生产A3两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产8型无人

机多少架？

第06讲实际问题与一元二次方程（6种题

型）

【知识梳理】

列一元二次方程解应用题

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；

设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；

歹U（根据题目中的等量关系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答（写出答案，切忌答非所问）.

要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

【考点剖析】

题型1:增长率问题

列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及

增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础

上增长或降低两次.

（1）增长率问题：

平均增长率公式为a（l+x）〃=b（a为原来数，X为平均增长率，n为增长次数，b为增长后

的量.）

⑵降低率问题：

平均降低率公式为a（l-x）"=6（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后

的量.）

例1.（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油

价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的

增长率为x,根据题意列出方程，正确的是()

A.6.2(1+x)2=8.9

B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9

D.6.2(1+尤)+6.2(1+x)2=8.9

【分析】利用该地92号汽油五月底的价格=该地92号汽油三月底的价格X(1+该地92

号汽油价格这两个月平均每月的增长率/，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得6.2(1+x)2=8.9,

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的感觉.

例2.(2022•上海)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月

的增长率相同，则增长率为.

【分析】设平均每月的增长率为x,根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为

36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答.

【解答】解：设平均每月的增长率为X,

由题意得25(1+x)2=36,

解得xi=0.2,x2=-2.2(不合题意，舍去)

所以平均每月的增长率为20%.

故答案为：20%.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于尤的一元二次方程是

解题的关键.

例3.随着国家"惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打

药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖

98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率.

【思路点拨】设该种药品平均每场降价的百分率是x,则两个次降价以后的价格是200(1

-x)2,据此列出方程求解即可.

【答案与解析】

解：设该种药品平均每场降价的百分率是X,

由题意得：200(1-x)2=98

解得：xi=1.7(不合题意舍去),X2=0.3=30%.

答：该种药品平均每场降价的百分率是30%.

【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目

给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.判断所求的解是否符合题意，舍

去不合题意的解.

例4.（2023•湖南•湖南师大附中校联考模拟预测）今年五一"网红长沙"再次火出"圈"，27

个旅游景区五天累计接待游客194.98万人，成为全国十大必到城市之一.长沙美食也吸引

了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第2天营业额达到10万元，第4

天营业额为14.4万元，据估计第3天、第4天营业额的增长率相同.

（1）求该网红店第3,4天营业额的平均增长率；

（2）若第1天的营业额为4.6万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的

10%,求该网红店第5天营业额.

【答案】⑴该网红店第3,4天营业额的平均增长率为20%；

⑵该网红店第5天营业额为4.1万元.

【分析】（1）设该网红店第3,4天营业额的平均增长率为了,连续增长两次，根据第2天

的营业额为10万元可列出方程求解；

（2）求得前四天营业总额，根据“第五天的营业额是前四天总营业额的10%"列式计算即可

求解.

【详解】（1）解：设该网红店第3,4天营业额的平均增长率为无，则

10（l+x）2=14.4

解得西=0.2,无2=-2.2（舍）

答：该网红店第3,4天营业额的平均增长率为20%；

（2）解：前四天营业额为：4.6+10+10（1+20%）+14.4=41万元.

第五天营业额：41xl0%=4.1万元，

答：该网红店第5天营业额为4.1万元.

【点睛】本题考查了一元二次方程中求增长率的方法.若设变化前的量为m变化后的量

为6,平均增长率为尤，则经过两次变化后的数量关系为。（1+无产=6.

题型2：面积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图

形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与己知量的内在关系并列出方程.

例5.如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面

有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米.求鸡场的长和宽各

多少米？

|18米|

^~~I

________________________________________I

-------12米|------

解答方法：通过列出篱笆的长和宽来求解面积

解：设鸡场的宽为X。

%(33-2%+2)=150

2%2-35%+150=0

(2%-15)(%-10)=0

x=7.5(舍，不符合题意)或x=10

答：鸡场的长为15米，宽为10米。

答案：10米。

例6.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用

25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩

形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?

住房墙

解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2X+1)

m,

由题意得

x(25-2x+l)=80,

化简,#x2-13x+40=0,

解得：Xl=5,X2,8,

当x=5时，26-2x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2x-10<12,

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为81n.

【总结升华】L结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；

2.注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意.

例7.(2022•德州)如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35ml5日现计划对其进行扩充,

将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.

(1)若扩充后的矩形绿地面积为800%求新的矩形绿地的长与宽；

（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积.

【分析】（1）设将绿地的长、宽增加切z,则新的矩形绿地的长为（35+x）相，宽为（15+x）

如根据扩充后的矩形绿地面积为800灯，即可得出关于尤的一元二次方程，解之即可得

出尤的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；

（2）设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为（35+y）m,宽为（15+y）m,

根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3,即可得出关于y的一元一次方程，

解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积.

【解答】解：⑴设将绿地的长、宽增加初2,则新的矩形绿地的长为（35+x）m,宽为

（15+x）m,

根据题意得：（35+%）（15+x）=800,

整理得：x2+50x-275=0

解得：xi=5,X2=-55（不符合题意，舍去），

.,.35+x=35+5=40,15+尤=15+5=20.

答：新的矩形绿地的长为40加，宽为20%

（2）设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为（35+y）m,宽为（15+y）m,

根据题意得：（35+y）：（15+y）=5：3,

即3（35+y）=5（15+y）,

解得：y=15,

（35+y）（15+y）=（35+15）X（15+15）=1500.

答：新的矩形绿地面积为1500层.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.

例8.（2022•泰州）如图，在长为50加、宽为38%的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,

余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260京，道路的宽应为多少？

【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面-所修路面积=草

坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可.

【解答】解：设路宽应为x米

根据等量关系列方程得：（5。-2x）（38-2x）=1260,

解得：x=4或40,

40不合题意，舍去，

所以尤=4,

答：道路的宽应为4米.

【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列

出方程，再求解.

题型3：数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、

百位、千位……,它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……,数位

上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多

位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形

式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a,十位上数为b,百位上数为c,则这

个三位数可表示为：100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差L

如：三个连续整数，设中间一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2.

例9.已知两个数的和等于12,积等于32,求这两个数是多少.

【答案与解析】设其中一个数为x,那么另一个数可表示为(12-x),依题意得x(12-x)=32,

整理得X2-12X+32=0

解得xi=4,X2=8,

当x=4时12-x=8；

当x=8时12-x=4.

所以这两个数是4和8.

【总结升华】数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x,那么另一个数便可以用x表

示出来，然后根据题目条件建立方程求解.

例10.一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数,

比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252,求这个两位数.

解答方法：通过数位的分析，列出方程进行求解。本题难点是设X。

设这个一位数为X。

(100X+X2)-(10X2+X)=252

X2-11X+28=0

(x-4)(x-7)=0

无=4或x=7

答案：4或7

题型4：利润（利息）问题

利息问题

⑴概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

（2）公式:

利息=本金X利率X期数

利息税=利息乂税率

本金X（1+利率X期数）=本息和

本金X[1+利率X期数X（1-税率）]=本息和（收利息税时）

利润（销售）问题

利润（销售）问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价（成本）

总利润=每件的利润X总件数

利润率=%之X100%,标价X已髻=售价

进价（或成本）10

进价x（l+利润率）=标价X当臀

例11.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1

元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家

还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

【答案与解析】

解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20X）件，

根据题意得，（60-x-40）（300+20x）=6080,

解得Xl=l,X2=4,

又顾客得实惠，故取x=4,级定价为56元，

答：应将销售单价定位56元.

【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意.应

舍去，必须进

行检验.

例12.商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时,

每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件.据

此规律，请回答：

①当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？

②在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈

利可达到1600元？

解答方法：（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；

（2）设商场的日盈利达到1600元时，每件商品的售价为X元，根据日盈利可求出方程求

解。

答案：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，即

170-130=40（元），

则每天可销售商品30件，商场的日盈利为（170—120）x30=1500（元）；

（2）设商场的日盈利达到1600元时，每件商品的售价为4元，

2

（x-120）［70-（x-130）］=1600X-320X+25600=0

x=160

答：当销售价定为160元时，商场的日盈利可达到1600元。

例13.（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使

再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生

纸产量是3月份的2倍少100吨.

（1）求4月份再生纸的产量；

（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加加％.5月份

每吨再生纸的利润比上月增加巨％,则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求相的

2

值；

（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率

与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了

25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？

【分析】（1）设3月份再生纸的产量为尤吨，则4月份再生纸的产量为（2x-100）吨,

根据该厂3,4月份共生产再生纸800吨，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求

出x的值，再将其代入（2x-100）中即可求出4月份再生纸的产量；

（2）利用月利润=每吨的利润X月产量，即可得出关于根的一元二次方程，解之取其正

值即可得出结论；

（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为》5月份再生纸的产量为。吨，根

据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%,即可得出关于y的一元二次方程，化简

后即可得出6月份每吨再生纸的利润.

【解答】解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2尤-100)

吨，

依题意得：x+2x-100=800,

解得：x=300,

：.2x-100=2X300-100=500.

答：4月份再生纸的产量为500吨.

(2)依题意得：1000(1+—%)X500(1+m%)=660000,

2

整理得：/TAGOO/W-6400=0,

解得：9=20,m2=-320(不合题意，舍去).

答：山的值为20.

(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨，

依题意得：1200(1+y)2-a(1+y)=(1+25%)X1200(1+yAa,

.*.1200(1+y)2=1500.

答：6月份每吨再生纸的利润是1500元.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正

确列出一元一次方程(或一元二次方程)是解题的关键.

题型5：比赛统计问题

比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环.

例14.(2022•黑龙江)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，

单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？()

A.8B.10C.7D.9

【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，

求解即可.

【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，

根据题意，可得x(,l)=45,

解得尤=10或X=-9(舍)，

共有10支队伍参加比赛.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的

关键.

例15.首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共

下了105场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？

解答方法：设人数为8人，理解握手的单向性，列出方程求解

答案：设人数为8人

x(D-]05

2

炉—x—210=0

(%—15)(尤+14)=0

x=15或x=14(舍，不符合题意)

答：棋手共有15人。

题型6：传播问题

传播问题：

a(l+x)"=A,a表示传染前的人数,x表示每轮每人传染的人数,n表示传染的轮数或天数，

A表示最终的人数.

例16.(2023秋・浙江台州•九年级统考期末)一人患了流感，经过两轮传染后共有121个

人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个

人.根据题意列出方程为()

A.1+x+x1=121B.l+x(x+l)=121

C.1+x+x(x+1)=121D,1+(x+1)+x(x+1)=121

【答案】C

【分析】第一轮传染后总传染人数为(l+x),第二轮后总传染人数为l+x+x(x+l),由此

可解.

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染X个人，

则第一轮传染后总传染人数为(1+X),第二轮后总传染人数为1+x+x(x+1),

因此l+x+龙(x+1)=121.

故选C.

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键.

例17.(2023•全国•九年级专题练习)有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256

人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人.

【答案】15人

【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮

传染中平均每人传染了尤人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结

论.

【详解】设每轮传染中平均每人传染了X人，

依题意，得l+x+x(l+x)=256,

即(1+无产=256,

解方程，得占=15,X2=-17(舍去).

答：每轮传染中平均每人传染了15人，

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键.

【过关检测】

一、单选题

1.(2023•湖南湘西・统考三模)在"双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长

明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为lOOmin,经过2022年下学期和2023

年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为70min,设该校这两学期平

均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为()

A.70(1+X2)=100B.70(1+x)2=100

C.100(1-x)2=70D.100(1-A:2)=70

【答案】C

【分析】利用2023年上学期平均每天作业时长=2022年上学期每天作业平均时长x(l-该

校平均每天作业时长这两学期每期的下降率『，即可得出关于尤的一元二次方程，此题得

解.

【详解】解：根据题意得：100(1-X)2=70,

故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

2.(2023•新疆喀什•统考三模)为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为

1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为

()

A.x(x+30)=1000B.30)=1000C.2x(x+30)=1000D.2x(x—30)=1000

【答案】B

【分析】设绿地长为x米，则宽为(％-30)米，根据矩形绿地的面积为1000平方米列出方

程即可.

【详解】解：设绿地长为x米，则宽为"-30)米，根据题意得:

x（x-30）=1000,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的面积公式.

3.（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考二模）NK中学秋季运动会上安排了8行12列的

鲜花仪仗队，后来又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，设增加了无行，则可列

方程为（）

A.（8+无）（12+无）=69B.8x+12x=69

C.（8+x）（12+x）=69+8x12D.8x+12x-2x?=69

【答案】C

【分析】根据游行队伍的总人数=行数x列数，即可得出关于x的一元二次方程.

【详解】解：依题意，得（8+x）（12+x）=69+12x8.

故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系，正确列出一元二次

方程是解题的关键.

4.（2022秋•天津武清•九年级校考阶段练习）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位

数字比十位数字大3,则这个两位数是（）

A.25B.36C.25或36