人教版九年级数学常见题型专练：一元二次方程（原卷版+解析）

第01讲一元二次方程

【知识梳理】

一.一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次

数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

二.一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式/+法+。=0QW0）.这种形

式叫一元二次方程的一般形式.

其中派2叫做二次项，a叫做二次项系数；法叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任

意实数，二次项系数。是不等于0的实数，这是因为当。=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就

不是一元二次方程了.

（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

三.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这XI,尤2是一元二次方程办2+bx+c=0（aWO）

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

ax-r+bxx+c—O（aWO）,ax^+bxi+c—O（a#0）.

【考点剖析】

--一元二次方程的定义（共6小题）

1.（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x?T=l

X

B.a^+bx+c—O（a,b,c均为常数）

C.尤（3尤+2）=5

D.⑵+1）2=4?-3

2.（2023•大连一模）若方程依2-2无+1=0是关于x的一元二次方程，则左的取值范围是（）

A.k>0B.左WOC.左<0D.左为实数

3.（2022秋•宜阳县期末）关于x的方程“u2-3尤=2_?+尤-1是一元二次方程，则相应满足的条件是（）

A.mWOB.m乎-2C.根W2D.m=2

4.（2023春•沙坪坝区校级期中）若方程（a+4）xaJM_3x+8=0是关于％的一元二次方程，则。的值

为.

5.（2022秋•河池期末）关于x的一元二次方程（加-1）/+5x+%2-3加+2=0的常数项为0,求他的值.

6.（2022秋•青云谱区校级月考）若关于尤的方程Ck-1）那川+2了=3是一元二次方程，求上的值.

--一元二次方程的一般形式（共10小题）

7.（2023春•拱墅区校级期中）方程3/-2x-6=0,一次项系数为（）

A.-2B.-2xC.-6D.6

8.（2023•东莞市校级模拟）将方程4f+8%=25化成〃/+泳+°=0的形式，则mb,c的值分别为（）

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.1,2,25

9.（2022秋•泸溪县期末）一元二次方程2?-％+1=。的二次项系数是（）

A.2B.1C.0D.-1

10.（2022秋•林州市期末）方程2/-3%=1化为一般形式后，常数项为（）

A.2B.-3C.1D.-1

11.(2022秋•简阳市期末)把一元二次方程尤2-9=8无化成一般形式后，一次项系数的一半为()

A.8B.4C.-8D.-4

12.(2022秋•新会区期末)把方程尤(x+1)=3(%-2)化成一般式ad+fcr+cn。(a>0)的形式，则°、

b.c的值分别是()

A.a=l,b=-2,c--3B.a=l,b--2,c=-6

C.〃=1,b=-2,c=3D.a=lfb=-2,c—6

13.(2021秋•南江县校级月考)已知关于x的一元二次方程(/-1)?+5x+m2-3机+2=0的常数项为0,

求Ml的值.

14.(2021秋•龙岗区校级期末)把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数

项.

(1)(2x-1)(3尤+2)=7+2；

(2)(2^2-x)(2V2+x)=(3+x)2-

15.(2022秋•海东市期中)关于尤的一元二次方程2(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2/-3x

-1=0,试求6,c的值.

16.(2022秋•同心县期末)已知关于x的一元二次方程(机-1)/+5.什"2-3相+2=0的常数项为0.

(1)求机的值；

(2)求此时一元二次方程的解.

三.一元二次方程的解（共10小题）

17.（2023春•邦州区校级期中）已知一元二次方程x2+fcv+4=0有一个根为1,贝廉的值为（）

A.4B.5C.-4D.-5

18.（2023•南沙区一模）若a是关于一元二次方程37-尤-2023=0的一个实数根，则2023+2“-6/的值

是（）

A.4046B.-4046C.-2023D.0

19.（2023•陇南模拟）关于x的一元二次方程2;<2+m=4的解为犬=1,则a+机的值为（）

A.9B.8C.6D.4

20.（2023春•沙坪坝区校级期中）已知x=2是关于尤的一元二次方程--加+3=0的一个解，则-4a

的值为.

21.（2023•天河区二模）己知代数式.

（1）化简A；

（2）若机是方程/-2%=0的根，求A的值.

22.（2023•兴庆区校级一模）先化简，再求值:，其中x是方程2%-3=0的根.

23.（2023•佛冈县二模）先化简，再求值：，若x是方程/-2尤=0的正整数解.

2

24.（2023•广陵区一模）先化简再求值：（1-1、.d-4x+4,其中X是方程/-2x=o的一个根.

X-1x2-11

25.（2023•越秀区一模）已知p=

2

a+3a-9

(1)化简P;

（2）若。为方程Jx2-x-5=0的一个解，求P的值•

3

26.（2022秋•梁山县期末）已知机是方程/+x-3=0的解，求式子/+2%2-2加+2022的值.

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋•辽宁盘锦•九年级统考期末）将方程2/-l=3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系

数、一次项系数、常数项分别为（）

A.2,1,3B.2,-1,3C.2,-3,-1D.2,-3,1

2.（2022秋•四川成都•九年级统考期末）把一元二次方程/-9=8无化成一般形式后，一次项系数的一半为

（）

A.8B.4C.-8D.-4

3.（2023•广东东莞冻莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程4元2+8x=25化成a?+6x+c=0的形式，

则。，b,c的值分别为（）

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,—25D.1,2,25

4.（2022春•甘肃兰州,九年级校考阶段练习）若（祖-1）/+1-2%+5=0是关于x的一元二次方程，则加的值

是（）

A.±1B.1C.-1D.不能确定

5.（2023秋•广东湛江•九年级校考期末）若关于尤的一元二次方程（〃-1）尤2+2尤+病-1=0的常数项为0,

则m的值是（）

A.-1B.1C.+1或-1D.0

6.（2023•广东惠州•统考一模）关于x的一元二次方程（4-1）1+工+a2_1=0的一个根是0,则。的值为

（）

A.1B.1或-1C.-1D.0.5

7.（2023春•广东广州•九年级统考开学考试）若。是方程2/一无一5=0的一个解，贝的值是（）

A.10B.5C.一5D.-10

8.（2023•江西抚州•金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2-1=0B.2x+y=lC.x+—=3D.4x+5=6x

x

二、填空题

9.（2022秋•福建泉州•九年级统考期末）一元二次方程2--3彳+1=0的一次项系数为.

10.（2022秋•江西赣州•九年级统考期末）用公式法解一元二次方程x（x-4）=2-8x时，应先将其化成“一

般形式"为.

11.（2022秋•河南南阳•九年级统考期末）若关于尤的一元二次方程S+1）M-办+/-1=0的一个根是0,

则a的值为.

12.（2022秋・四川乐山•九年级统考期末）若（租-1）铲刊-3x+5=0关于x的一元二次方程，则m=

13.（2023•山东东营•统考一模）已知x=〃，是一元二次方程Y一无+1=0的一个根，则代数式

2m-2m2+2021的值为.

14.（2023春•江西吉安•九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若。是方程/+*-1=0的一个解，则代数

式工的值是.

三、解答题

15.（2022秋,山东青岛•九年级校考阶段练习）若关于x的方程（〃-2），时+2丈-2根=0是一元二次方程，求不

等式：（〃7+l）x-机＞1的解集.

16.（2022秋•河南开封•九年级校考阶段练习）已知关于尤的方程k2-1卜?+（左+1）*-2=0.

⑴当人取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；

（2）当左取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数

项.

17.（2023秋•山东济宁•九年级统考期末）己知机是方程炉+%-3=0的解，求式子用+2〃，-2〃?+2022的

值.

18.（2022秋•河北唐山•九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程内?+法+c=0有两个实

数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程

⑴请判断方程Y—6x+8=0是不是倍根方程，并说明理由；

（2）若是（％-8）（十一〃）=0倍根方程，贝.

19.（2023秋・重庆永川•九年级统考期末）先化简，再求值：仁一㈡+，一°,其中。是一元二次

a。+1〃+2a+1

方程/一工一1=0的根.

20.（2023•北京西城•统考一模）已知。是方程京+2%-1=0的一个根,求代数式3+京+。（。+2）的值.

21.（2021秋•江苏,九年级专题练习）设p,q是整数，方程Y-px+g=0有一个根为6一2,求p-q的

值.

22.（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，在AABC中，ZABC=90°,从点C为圆心，CB长为半径画弧

交线段AC于点。，以点A为圆心AD长为半径画弧交线段AB于点E,连结3D.

（1）若NA=NABD,求/C的度数：

（2）设3C=a,AB=b.

①请用含a,。的代数式表示AD与班的长；

②AD与班的长能同时是方程d+2办=。的根吗？说明理由.

AEB

23.(2022秋•全国•九年级专题练习)已知等腰直角AABC中，?B90?,AB=3C,点。为3c边上动

点，连接AD,过点。作/4£>F=ZADB,交AC于点尸，拖动点£).

(1)若DFJ.AC,垂足为点尸，求证：2BD?=CD?

(2)若AD=AF且瓦>=1,求A8的长度

24.(2022秋•九年级单元测试)当初为何值时，关于x的方程(加+1)Gn-3)x=5.

⑴为一元二次方程；

(2)为一元一次方程.

第01讲一元二次方程

【知识梳理】

--一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析:

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；

“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

二.一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一个关于尤的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c^0

（a力0）.这种形式叫一元二次方程的一般形式.

其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；6尤叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数6和

常数项c可取任意实数，二次项系数。是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就

没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

三.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解•又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这XI,尤2是一元二次方程af+bx+c

=0QW0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axi2+Z?xi+c=0（aWO）,ax21+bx2+c=0（aWO）.

审【考点剖析】

一.一元二次方程的定义（共6小题）

1.（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（）

B.a^+bx+c=O（a,b,c均为常数）

C.x（3x+2）=5

D.（2x+l）2=4?-3

【分析】根据形如〃/+bx+c=O（〃W0）（。，b,。均为常数）的整式方程判断即可.

【解答】解：4乂2*=1中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；

X

B、a^+bx+c—O（aWO）是一元二次方程，故不符合题意；

C、x（3x+2）=5整理得3/+2x-5=0是一元二次方程，故符合题意；

D、（2x+l）2=4/-3整理得4x+4=0不是一元二次方程，故不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，形如^b,c均为常数）

的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键.

2.（2023•大连一模）若方程^-2%+1=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是

（）

A.k>QB.左WOC.k<0D.k为实数

【分析】根据是一元二次方程的条件：二次项系数不为0,即可确定左的取值范围.

【解答】解：根据题意得：kWO.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整

式方程叫做一元二次方程，一般形式是"2+bx+c=OQWO）.特别要注意aWQ的条件.这

是在做题过程中容易忽视的知识点.

3.（2022秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2-3x=2x2+x-1是一元二次方程，则m应满足

的条件是（）

A.mWOB.mW-2C.mW2D.m=2

【分析】首先移项、合并同类项，再根据一元二次方程的条件即可解答.

【解答】解：由原方程得：（"Z-2）x2-4x+l=0,

:该方程是一元二次方程，

.,.机-2W0,解得机W2,

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程成立的条件，掌握在一元二次方程办2+bx+c=O中，a

wo是解决本题的关键.

4.（2023春•沙坪坝区校级期中）若方程（a+4）xa'T4_3x+8=0是关于x的一元二次方程，

则a的值为4.

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可求出a的值.

【解答】解：•••方程Q+4）xa2T4-3x+8=0是关于x的一元二次方程，

'.er-14=2J!La+4W0,

解得：＜2=4.

故答案为：4.

【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关

键.

5.（2022秋•河池期末）关于尤的一元二次方程（“Z-1）7+5.计病-3加+2=0的常数项为0,

求m的值.

【分析】常数项为0,即根2-3相+2=0,再根据方程是一元二次方程，须满足“L1W0,

问题可求.

【解答】解：由题意，得："P-3〃z+2=0①，1W0②，

解①得：m=2或1；解②得：〃层1,...m=2.

【点评】本题考查对一元二次方程的掌握情况，要特别注意二次项的系数不为0这个隐

含条件.

6.（2022秋•青云谱区校级月考）若关于x的方程1）即F+2x=3是一元二次方程，求

%的值.

【分析】任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成办2+法+°=0（°=0）,这

种形式叫一元二次方程的一般形式.利用一元二次方程的一般形式进行判断，即可求出

a的取值范围.

【解答】解：由题意得：

fk-17t0

IIk-31=2，

./k^l

•[k=l或k=5'

解得k=5.

【点评】此题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解本题

的关键.

二.一元二次方程的一般形式（共10小题）

7.（2023春•拱墅区校级期中）方程37-2r-6=0,一次项系数为（）

A.-2B.-2xC.-6D.6

【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可.

【解答】解：方程3f-2x-6=0,一次项系数为-2.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此

题的关键，一元二次方程的一般形式是a?+bx+c=O（a、b、c为常数，0）.

8.（2023•东莞市校级模拟）将方程47+8x=25化成办2+云+0=0的形式，则a,b,c的值

分别为（）

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.1,2,25

【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出a,b,c的值.

【解答】解：将原方程化为一般形式得：4.r2+8x-25=0,

.*.（2=4,b=8,c=-25.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于X的一元

二次方程经过整理，都能化成如下形式a/+bx+c=0QN0）.这种形式叫一元二次方程

的一般形式”是解题的关键.

9.（2022秋•泸溪县期末）一元二次方程2?-x+l=0的二次项系数是（）

A.2B.1C.0D.-1

【分析】根据一元二次方程中无2项的系数确定二次项的系数即可.

【解答】解：：一元二次方程2?-x+l=0中的二次项为2/,

一元二次方程27-尤+1=0的二次项系数是2.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的二次项的系数，正确识别二次项是解题的关键.

10.（2022秋•林州市期末）方程27-3x=l化为一般形式后，常数项为（）

A.2B.-3C.1D.-1

【分析】把原方程化为一般式，即可求解.

【解答】解：：27-3x=l,

.'.2x2-3x-1=0,

•••常数项为-L

故选：D.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式为

a^+bx+c=Q（aWO）（其中a,b,c为常数）是解题的关键.

11.（2022秋•简阳市期末）把一元二次方程/-9=8x化成一般形式后，一次项系数的一半

为（）

A.8B.4C.-8D.-4

【分析】一元二次方程^（a,b,c是常数且。#0）的a、b、c分别是二次项

系数、一次项系数、常数项.

【解答】解：一元二次方程/-9=8x的一般形式/-8尤-9=0,

其一次项系数-8,

所以一次项系数的一半为-4.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：a^+bx+c^O(a,b,c是常数且*0)

特别要注意的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中o?叫二

次项，灰叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数

项.

12.(2022秋•新会区期末)把方程x(x+1)=3(%-2)化成一般式办(a>0)

的形式，则4、AC的值分别是()

A.a=l,b=-2,c=-3B.a=l,b=-2,c=-6

C.a=l9b=-2,c=3D.〃=1,b--2,c=6

【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化为"(«>0)的形式，再根据对

应相等得到。、b、c的值.

【解答】解：去括号得，f+x=3x-6,

移项得，x2-2x+6—0,

所以a、b、c的值可以分别是1,-2,6.

故选：D.

【点评】一元二次方程的一般形式为办2+bx+c=0"/0,a,"c为常数)，其中。叫二

次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项.

13.(2021秋•南江县校级月考)已知关于x的一元二次方程-1)/+5X+M2-3m+2=0

的常数项为0,求相的值.

【分析】方程的常数项为：in1-3/77+2,列出方程求解即可.

【解答】解：由题意可得：-3/77+2=0,

解得：相1=1(舍去)，〃Z2=2,

'•m的值为2.

【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，正确根据题意列出方程是解题关键.

14.(2021秋•龙岗区校级期末)把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项

系数以及常数项.

(1)(2x-1)(3x+2)=X2+2；

⑵(2V2-x)(2V2+x)=(3+x)2-

【分析】各方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可.

【解答】解：(1)化简后为57+x-4=0,因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数

项为-4；

（2）化简后为2X2+6X+1=0,二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1.

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax1+bx+c=

0（a,b,。是常数且aWO）特别要注意aWO的条件.这是在做题过程中容易忽视的知

识点.在一般形式中a?叫二次项，如叫一次项，c是常数项.其中a,6,c分别叫二次

项系数，一次项系数，常数项.

15.（2022秋•海东市期中）关于尤的一元二次方程2（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形

式后为2/-3尤-1=0,试求b,c的值.

【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2+«-4）x+2-b+c=O,于是得

至Ub-4=-3,2-b+c=-1,然后解方程得到b、c的值.

【解答】解：2-2x+l）+bx-b+c—O>

2JC+（b-4）x+2-b+c=O,

所以6-4=-3,2-b+c--1,

解得b=l,c--2.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：任何一个关于x的一元二次方程经过整

理，都能化成如下形式a?+6x+c=0（a#0）.这种形式叫一元二次方程的一般形式.

16.（2022秋•同心县期末）已知关于x的一元二次方程（洸-1）f+5x+"2-3〃?+2=0的常

数项为0.

（1）求机的值；

（2）求此时一元二次方程的解.

【分析】（1）直接利用常数项为0,进而得出关于根的等式进而得出答案；

（2）利用（1）中所求得出方程的解.

【解答】解：（1）由题意，得：rrr-3w+2=0

解之，得根=2或m=1①，

由m-1#0,得：②，

由①，②得：机=2；

（2）当相=2时，代入（根-1）jr+Sx+m2-3m+2—0,

得/+5尤=0,

x（x+5）=0

解得：xi=0,X2=-5.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方

程是解题关键.

三.一元二次方程的解（共10小题）

17.（2023春•邦州区校级期中）已知一元二次方程/+日+4=0有一个根为1,则上的值为

（）

A.4B.5C.-4D.-5

【分析】将x=l代入原方程，可得出关于左的一元一次方程，解之即可得出发的值.

【解答】解：将x=l代入原方程得：12+4+4=0,

解得：k=-5,

一的值为-5.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相

等”是解题的关键.

18.（2023•南沙区一模）若a是关于一元二次方程37-%-2023=0的一个实数根,则2023+2a

-6a2的值是（）

A.4046B.-4046C.-2023D.0

【分析】先根据一元二次方程的定义得到3a2-。=2023,再把2023+2。-6a2变形为2023

-2（3/-fl）,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：是关于一元二次方程3/-尤-2023=0的一个实数根，

3a^-a-2023—0,

3a2-a=2023,

.♦.2023+2。-6/=2023-2（3a2-a）=2023-2X2023=-2023.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

19.（2023•陇南模拟）关于x的一元二次方程2/-2+/77=4的解为尤=1,则a+m的值为（）

A.9B.8C.6D.4

【分析】根据一元二次方程的概念和其解的概念解答即可.

【解答】解：因为关于尤的一元二次方程2%联2+,〃=4的解为尤=1,

可得：a-2=2,2+m=4,

解得：a=4,m=2,

所以6z+m=4+2=6.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念和其解的概念是关

键.

20.（2023春•沙坪坝区校级期中）已知尤=2是关于x的一元二次方程的一

个解，则8m-4n的值为-6.

【分析】把x=2代入原方程得到4m-2n=-3,再把8m-4n变形为2(4m-2n),然后

利用整体代入的方法计算.

【解答】解：把x=2代入一元二次方程MU2-加+3=0得4机-2〃+3=0,

所以-2n=-3,

所以8m-4n=2(4m-2〃)=2X(-3)=-6.

故答案为：-6.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.

21.(2023•天河区二模)已知代数式.

(1)化简A；

(2)若机是方程2尤=0的根，求A的值.

【分析】(1)先进行同分母的减法运算，再约分和进行多项式乘法运算，然后合并即可；

(2)根据一元二次方程根的定义得到机2-2%=0,再把A变形为2(相2_2相)-3,然

后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：(1)A=m2~2m+(机-3)(2/71+1)

m-2

=m(m2+(m-3)(2祖+1)

m-2

=m+2m+m-6m-3

=2m2-4m-3；

(2):相是方程/-2x=0的根，

2m—0,

.,.A—2(%2-2m)-3—2X0-3—-3.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值

是一元二次方程的解.也考查了分式的加减法.

22.(2023•兴庆区校级一模)先化简，再求值:，其中x是方程/-2x-3=0的根.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解方程求

出x的值，继而选择使分式有意义的无的值代入计算可得.

【解答】解：原式=(二］)x(x-32=吏x(x-3,=.

x-3x(X+3)2X(X-3)(X+3)2X+3

解x2-2x-3=0,

分解因式得：(x+l)(x-3)=0,

.*.x+l=0或x-3=0,

-1或x=3,

・・・x-3W0,

・・x~~-1,

当X=-1时,

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌

握相关知识进行求解

23.（2023•佛冈县二模）先化简，再求值:，若x是方程f-2x=0的正整数解.

【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后解出方程/-2尤=0的正整数解，再代入化

简后的结果，即可求解.

【解答】解：原式=（＞2）+包

X（x+1）x+1

_（x+2）2x+1

x（x+1）-^2

—x+2

X

Vx2-2x=0,

.,.x（x-2）=0,

解得xi=2,X2=O（不合题意，舍去），

当x=2时，原式=2+2.

2

【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是

解题的关键.

2

24.（2023•广陵区一模）先化简再求值：（1」^）.x尸4,其中尤是方程x?-2x=

2

x-1x-l

0的一个根.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求解方程并结合分式有意

义的条件将适合的x的值代入计算即可.

【解答】解：原式=,

解/-2x=0得：

xi=0,皿=2（使分式无意义，舍去），

当x=0时，原式=」.

2

【点评】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握

分式的混合运算法则和一元二次方程的解法.

25.(2023•越秀区一模)已知P=(a-3+Tr)+4一.

a+3，a2.9

(1)化简P；

(2)若。为方程［x2-x-5=0的一个解，求P的值.

3

【分析】(1)根据分式的运算法则，对分式进行通分、合并、约分化简即可；

(2)依题意将。代入方程*x2-x-5=0整理可得/-3a=15,然后代入(1)化简后的

式子即可.

【解答】解：(1)p=(a-3+3)+V—

a+3a2-9

一(a-3)(a+3)+9.(a+3)(a-3)

a+3a

o

—a-9+9.a-3

1a

a2.a-3

1a

。-3)

-3Q；

(2)为方程4^2-*-5=0的一个解，

3

/.-a2-a-5=0,

3

.•.。2-3。-15=0,

•*ct~~3ct~~15,

."=15.

【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握分式的

运算法则和运算顺序.

26.(2022秋•梁山县期末)已知m是方程/+尤-3=0的解，求式子MJ3+2W2-2m+2022的

值.

【分析】根据题意可得：机2+根-3=0,从而可得根=3,然后代入式子中，进行计算

即可解答.

【解答】解：,..根是方程7+x-3=0的解，

m^+m-3=0,

.*.m+m=3,

m3+2m2-2m+2022

=m3+m2+m2-2m+2022

=m（m2+m）+m2-2m+2022

=3m+m2-2m+2022

=m2+m+2022

=3+2022

=2025,

・•・式子m3+2m2-2祖+2022的值为2025.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关

键.

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋•辽宁盘锦•九年级统考期末）将方程2/一l=3x化为一元二次方程的一般形式

后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A.2,1,3B.2,-1,3C.2,-3,-1D.2,-3,1

【答案】C

【分析】把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解.

【详解】解：由方程2犬-1=3x可得：2了2-3了-1=0,贝。有q=2,0=-3,c=-l；

故选C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的

关键.

2.（2022秋•四川成都•九年级统考期末）把一元二次方程Y-9=8x化成一般形式后，一次

项系数的一半为（）

A.8B.4C.-8D.-4

【答案】D

【分析】将方程化为一般形式，再求出答案即可.

【详解】解：原方程变为/-8工-9=0,

可知一次项系数的一半是W=-4.

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断系数是解题的关键.

3.（2023・广东东莞・东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程4f+8x=25化成

g?+6x+c=0的形式，贝!J。，b,c的值分别为（）

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.1,2,25

【答案】C

【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出。，b,c的值.

【详解】解：将原方程化为一般形式得：4炉+8》-25=0,

0a=4,6=8,c=—25.

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于x的一元二次

方程经过整理，都能化成如下形式依2+陵+。=。（。70）,这种形式叫一元二次方程的一般

形式”是解题的关键.

4.（2022春・甘肃兰州•九年级校考阶段练习）若（利-1）/汩-2x+5=0是关于x的一元二次

方程，则用的值是（）

A.±1B.1C.-1D.不能确定

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义，得出机-120,4+1=2,进而即可求解.

【详解】解：回（加-1）^5-2了+5=0是关于x的一元二次方程，

回彳"一1w0,+1=2,

解得：m=—\,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看

是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2,掌握

一元二次方程的定义是解题的关键.

5.（2023秋,广东湛江•九年级校考期末）若关于x的一元二次方程（租-l）f+2x+疗-1=0

的常数项为0,则根的值是（）

A.-1B.1C.+1或-1D.0

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的定义判断即可.一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0

（a,b,c是常数且awO）特别要注意aw0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识

点.在一般形式中依2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系

数，一次项系数，常数项.

【详解】国关于x的一元二次方程（祇―1）炉+2"4—1=0的常数项为0,

0m2—1=0且〃2—IwO,

解得机=-1.

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解

题的关键.

6.（2023•广东惠州•统考一模）关于x的一元二次方程（a-1）尤2+x+/_l=。的一个根是

0,则a的值为（）

A.1B.1或-1C.-1D.0.5

【答案】C

【分析】根据方程是一元二次方程，可得。-1工0,将尤=0代入方程，求出。的值即可.

【详解】解：团关于x的一元二次方程（。-1）/+芯+〃-1=0的一个根是o,

0a-l^O,a2-1=0,

Ea=-1;

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解.熟练掌握一元二次方程二次

项系数不为0,使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键.

7.（2023春•广东广州•九年级统考开学考试）若a是方程2/-尤-5=0的一个解，则

4a2-2a的值是（）

A.10B.5C.-5D.-10

【答案】A

【分析】根据。是方程2/一左一5=0的解可得至一a的值，进而得至U4/—2a的值.

【详解】解：回〃是方程2/一工一5=0的一个解，

02a,—a—5=0,

回2矿—a=5,

04A2-2a=2（2a2-a）=2x5=10,

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将方程转化为关于。的代数式是解题的关键.

8.（2023•江西抚州•金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（）

A.尤2-i=oB.2x+y-lc.x+—=3D.4x+5=6x

x

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是

2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可.

【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；

B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；

C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；

D、未知数的最高次数是1,故是一元一次方程，该选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一

个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2.

二、填空题

9.（2022秋•福建泉州•九年级统考期末）一元二次方程2/-3尤+1=0的一次项系数为

【答案】-3

【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案.

【详解】解：一元二次方程2d-3x+l=0的一次项为-3无，一次项系数为-3,

故答案为：-3.

【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式

ax2+bx+c=0（a^0）.其中加叫作二次项，。是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次

项系数；c叫作常数项.掌握上述知识是解题的关键.

10.（2022秋•江西赣州•九年级统考期末）用公式法解一元二次方程x（x-4）=2-8x时，应

先将其化成"一般形式"为.

【答案】X2+4x-2=0

【分析】把原方程去括号、移项、合并同类项，即可得到一般形式.

【详解】解：x（^-4）=2-8%

去括号得，――4x=2—8x,

移项合并同类项得，X2+4X-2=0,

即一元二次方程x（x—4）=2-8x的一般形式为f+4x—2=0,

故答案为：%2+4X-2=0

【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式为

ax2+bx+c=Q（a丰0）是解题的关键.

11.（2022秋•河南南阳•九年级统考期末）若关于尤的一元二次方程（。+1卜2-依+/-1=0

的一