专题强化十四　电场中的功能关系及图像问题

专题强化十四电场中的功能关系及图像问题学习目标1.会分析处理电场中的功能关系。2.理解电场中有关图像的斜率、面积等表示的物理意义，并能结合图像分析电场、电势和电势能的变化。考点一电场中的功能关系电场中常见的功能关系(1)若只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者之和保持不变，即ΔEk＝－ΔEp。(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量。(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。例1如图1所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0J，电场力做的功为1.5J。下列说法中正确的是()图1A.粒子带负电B.粒子在A点的电势能比在B点少1.5JC.粒子在A点的动能比在B点少0.5JD.粒子在A点的机械能比在B点少1.5J答案D解析由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误；粒子从A到B的过程中电场力做正功，所以电势能减小，B错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5J，所以粒子在A点的动能比在B点多0.5J，C错误；电场力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5J，D正确。1.(多选)如图2所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向下压至某位置静止。现撤去F，小球沿竖直方向运动，在小球由释放到刚离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时的速度为v，不计空气阻力，则上述过程中下列说法正确的是()图2A.小球的重力势能增加－W1B.小球的电势能增加W2C.小球与弹簧组成的系统的机械能增加W2D.撤去F前弹簧的弹性势能为eq\f(1,2)mv2－W1－W2答案ACD解析根据重力做功与重力势能变化关系可得WG＝W1＝－ΔEp重，小球上升过程重力做负功，小球的重力势能增加了－W1，故A正确；根据电场力做功与电势能变化关系可得W电＝W2＝－ΔEp电，带正电小球上升过程电场力做正功，小球的电势能减少了W2，故B错误；小球与弹簧组成的系统，在小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，由于电场力对小球做正功，大小为W2，小球与弹簧组成的系统机械能增加了W2，故C正确；在小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，根据能量守恒定律可知，减少的弹性势能与减少的电势能之和等于增加的重力势能与增加的动能之和，则有W2＋Ep弹＝－W1＋eq\f(1,2)mv2，解得撤去F前弹簧的弹性势能为Ep弹＝eq\f(1,2)mv2－W1－W2，故D正确。考点二电场中的图像问题角度电场中的v－t图像1.由v－t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化。2.根据牛顿第二定律a＝eq\f(F,m)＝eq\f(qE,m)，判断电场强度E的大小变化。3.根据v－t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方向。4.由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等。例2(2024·重庆市八中检测)两个等量同种点电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图3甲所示，一个电荷量为2×10－5C、质量为1g的小物块从C点由静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是()图3A.小物块带负电B.A、B两点间的电势差UAB＝500VC.小物块由C点到A点电势能先减小再增大D.B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100V/m答案D解析根据物块运动的v－t图像可知，小物块带正电，A错误；由v－t图像可知，A、B两点的速度分别为vA＝6m/s、vB＝4m/s，再根据动能定理得qUAB＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，解得UAB＝－500V，B错误；从v－t图像可知，由C到A的过程中，物块的速度一直增大，电场力对物块一直做正功，电势能一直减小，C错误；带电粒子在B点的加速度最大，为am＝eq\f(4,7－5)m/s2＝2m/s2，所受的电场力最大为Fm＝mam＝0.001×2N＝0.002N，则电场强度最大值为Em＝eq\f(Fm,q)＝eq\f(0.002,2×10－5)N/C＝100V/m，D正确。角度电场中的φ－x图像1.电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。2.在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向(如图)。3.电场中常见的φ－x图像(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图。(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图。(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图。例3在x轴上分别固定两个点电荷Q1、Q2，Q2位于坐标原点O处。两点电荷形成的静电场中，x轴正半轴上的电势φ随x变化的图像如图4所示。下列说法正确的是()图4A.x3处电势φ最高，电场强度最大B.Q1带负电，Q2带正电C.Q1的电荷量小于Q2的电荷量D.电子从x1处沿x轴移动到x2处，电势能增加答案D解析根据E＝eq\f(Δφ,Δx)，可知φ－x图像的斜率表示电场强度，x3处电势φ最高，电场强度为零，A错误；由图可知，x→0时，φ→－∞，说明Q2带负电，而在整个空间存在φ>0的区域，说明Q1带正电，B错误；在x3处电场强度为零，说明两个点电荷在该处电场强度大小相等，方向相反，根据E＝keq\f(Q,r2)可知Q1的电荷量大于Q2的电荷量，C错误；电子从x1处沿x轴移动到x2处，电场力对电子做负功，电势能增加，D正确。2.(2024·广东茂名模拟)在x轴上坐标为－3L和3L的两点固定电荷量不等的两点电荷，坐标为3L处电荷带正电，电荷量大小为Q。两点电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图5所示，其中x＝L处电势最低，x轴上M、N两点的横坐标分别为－2L和2L，则()图5A.两点电荷为异种电荷B.坐标为－3L处电荷的电荷量大小为2QC.负检验电荷在原点O处受到向左的静电力D.负检验电荷由M点运动到N点的过程，电势能先减小后增大答案C解析正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负，因此由图可知，两点电荷均为正电荷，故A错误；在x＝L处电势最低，此处图线的斜率为0，即该点的合电场强度为0，设坐标为－3L处电荷的电荷量大小为Q′，eq\f(kQ′,（4L）2)－eq\f(kQ,（2L）2)＝0，得Q′＝4Q，故原点处的电场强度大小为eq\f(4kQ,（3L）2)－eq\f(kQ,（3L）2)＝eq\f(kQ,3L2)，方向向右，负检验电荷在原点O处受到的静电力向左，故B错误，C正确；由M点到N点电势先减小后增大，所以负检验电荷由M点运动到N点的过程，电势能先增大后减小，故D错误。角度电场中的E－x图像1.反映了电场强度随位移变化的规律。2.判定电场强度E的方向：E＞0表示电场强度沿正方向；E＜0表示电场强度沿负方向。3.图线与x轴围成的“面积”表示两点间电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。4.电场中常见的E－x图像(1)点电荷的E－x图像正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图。(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图。例4某静电场中x轴上各点的电场强度方向均和x轴重合，以x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上的电场强度随位置坐标的变化规律如图6所示，其中x1～x3间的图线关于x2点中心对称，规定x2点为电势零点，已知x2＝2x1＝2d，将一带电荷量为＋q的粒子从坐标原点由静止释放，不计粒子重力，关于粒子从原点O运动到x3点的过程，下列说法正确的是()图6A.释放后粒子的加速度先不变后减小B.粒子到达x3点时的动能为eq\f(3,2)qdE0C.粒子经过的位置中O点电势一定最大D.粒子在x1和x3处速度达到最大值答案C解析O～x1间，电场强度沿x轴正方向且大小不变，又粒子带正电，故粒子沿x轴正方向做匀加速直线运动；x1～x2间，电场强度沿x轴正方向，且大小逐渐减小，故粒子沿x轴正方向做加速度减小的加速运动；x2～x3间，电场强度沿x轴负方向，且大小逐渐增大，故粒子沿x轴正方向做加速度增大的减速运动，故A、D错误；x1～x3间的图线关于x2点中心对称，则x1～x2间电场力对粒子做的正功数值上等于x2～x3间电场力对粒子做的负功，粒子到达x3时的动能等于粒子到达x1时的动能，即Ek＝qdE0，故B错误；由题意知x2点的电势为0，有φx1＝－φx3，φx1<φO，可知O点的电势最大，故C正确。3.(多选)如图7甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为xB＝0.06m，若α粒子仅在电场力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15V，下列说法正确的是()图7A.x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向B.该α粒子沿x轴正方向做匀减速直线运动C.B点电势是A点电势的3倍D.图乙中E0应为2.5×103V·m－1答案AC解析α粒子由A点运动到B点，电场力做功为WAB＝2eUAB＝－60eV，解得UAB＝－30V，因为φA＝15V，所以φB＝45V，B点电势是A点电势的3倍，因为B点电势高于A点电势，所以电场强度的方向沿x轴负方向，故A、C正确；图乙中电场强度随位移x均匀变化，电场力为变力，所以α粒子沿x轴正方向做变减速直线运动，故B错误；图乙中图像与横轴所围的面积表示A、B两点间的电势差的大小，则E0＝2.5×102V·m－1，故D错误。角度电场中的Ep－x图像、Ek－x图像1.Ep－x图像由电场力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝eq\f(ΔEp,Δx)，其绝对值等于电场力大小，正负代表电场力的方向。2.Ek－x图像当带电体只有电场力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝eq\f(ΔEk,Δx)，斜率表示电场力。例5(多选)在匀强电场中，一电子从原点O由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位置x变化的关系如图8所示，则()图8A.电场强度方向沿x轴正方向B.电场强度大小为2.5N/CC.x＝5m处的电势为0D.电子从原点O运动到x＝4m处的过程中，动能增加了8eV答案CD解析根据电场力做功与电势能的变化关系可知，带负电粒子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，电势能减小，则电场力做正功，因此电场强度方向沿x轴负方向，故A错误；由题图可知，电势能的变化率不变，所以负电荷受到的电场力不变，则知该电场为匀强电场，根据公式W＝qEx可知，电场强度E＝eq\f(W,qx)＝eq\f(（2－10）eV,－e×4m)＝2N/C，故B错误；由图可知，x＝5m处的电势能Ep为零，根据公式Ep＝qφ可知，x＝5m处的电势φ＝eq\f(Ep,－e)＝0，故C正确；电子从原点O运动到x＝4m处的过程中，只有电场力做功，电势能减小了8eV，则动能增加了8eV，故D正确。例6(多选)如图9甲所示，a、b是点电荷电场中同一电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是()图9A.带电粒子与场源电荷带异种电荷B.a点电势比b点电势高C.a点场强比b点场强大D.带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大答案CD解析粒子从a点向b点运动，Ek－x图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qEx＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点场强比b点场强大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的性质，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确。A级基础对点练对点练1电场中的功能关系1.如图1所示，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB＝2v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为()图1A.eq\f(mveq\o\al(2,0),2q) B.eq\f(3mveq\o\al(2,0),q) C.eq\f(2mveq\o\al(2,0),q) D.eq\f(3mveq\o\al(2,0),2q)答案C解析粒子在竖直方向做匀减速直线运动，则有veq\o\al(2,0)＝2gh，电场力做正功，重力做负功，使粒子的动能由eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)变为2mveq\o\al(2,0)，则根据动能定理，有qU－mgh＝2mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，解得A、B两点电势差应为U＝eq\f(2mveq\o\al(2,0),q)，故C正确。2.(多选)如图2所示，在水平向右的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿绝缘斜面下滑，已知在金属块下滑的过程中动能增加了10J，金属块克服摩擦力做功5J，重力做功20J，则以下判断正确的是()图2A.电场力做功5JB.合力做功15JC.金属块的机械能减少10JD.金属块的电势能增加5J答案CD解析根据动能定理W合＝WG＋Wf＋WF＝ΔEk，则合力做功为W合＝ΔEk＝10J，故B错误；重力做正功WG＝20J，摩擦力做负功Wf＝－5J，故电场力做功WF＝－5J，即电场力做功－5J，电势能增加5J，故A错误，D正确；除重力外电场力与摩擦力做的总功为－10J，机械能减少10J，故C正确。3.(多选)如图3所示，方向竖直向上的匀强电场中，将两个带等量异种电荷且质量相同的小球A、B，从同一高度以不同速度水平向右抛出，最终以相同速率落到水平地面上，运动轨迹如图。两球之间的静电力和空气阻力均不考虑，以地面为参考平面，且电势为零，则()图3A.A小球带正电，B小球带负电B.在运动过程中，两小球的加速度大小相等C.在运动过程中，两小球的机械能均守恒D.两小球抛出的瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等答案AD解析以相同的速率落到水平地面上，A球水平位移大于B球水平位移，只有A小球带正电，B小球带负电，落地时A球的水平速度大于B球水平速度，A球的竖直速度小于B球的竖直速度一种可能，A正确；在运动过程中，A球加速度小于g，B球加速度大于g，两小球的加速度大小不相等，B错误；因为有电场力做功，两小球的机械能不守恒，C错误；落地前瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等，从抛出点到地面，只有电场力和重力对小球做功，两小球的机械能和电势能之和不变，所以两小球抛出的瞬间，两小球的机械能和电势能之和相等，D正确。4.(多选)如图4所示，竖直平面内有a、b、c三个点，b点在a点正下方，b、c连线水平。第一次，将一质量为m的小球从a点以初动能Ek0水平抛出，经过c点时，小球的动能为5Ek0；第二次，使此小球带正电，电荷量为q，同时加一方向平行于abc所在平面、电场强度大小为eq\f(2mg,q)的匀强电场，仍从a点以初动能Ek0沿某一方向抛出小球，小球经过c点时的动能为13Ek0。下列说法正确的是(不计空气阻力，重力加速度大小为g)()图4A.a、b两点间的距离为eq\f(5Ek0,mg)B.a、b两点间的距离为eq\f(4Ek0,mg)C.a、c两点间的电势差为eq\f(8Ek0,q)D.a、c两点间的电势差为eq\f(12Ek0,q)答案BC解析不加电场时根据动能定理得mghab＝5Ek0－Ek0＝4Ek0，解得hab＝eq\f(4Ek0,mg)，故A错误，B正确；加电场时，根据动能定理得mghab＋qUac＝13Ek0－Ek0，解得Uac＝eq\f(8Ek0,q)，故C正确，D错误。对点练2电场中的图像问题5.(2024·北京人大附中阶段检测)一带正电粒子仅在电场力作用下沿直线运动，其速度随时间变化的图像如图5乙所示。tA、tB时刻粒子分别经过A点和B点(如图甲所示)，A、B两点的场强大小分别为EA、EB，电势分别为φA、φB，则可以判断()图5A.EA<EB B.EA>EBC.φA＝φB D.φA<φB答案B解析由v－t图像可知，带正电粒子从A点到B点运动过程中，加速度逐渐减小。根据牛顿第二定律F＝ma可知电场力F逐渐减小。结合F＝qE可知，从A点到B电场强度逐渐减小，即EA>EB，选项A错误，B正确；由v－t图像可知，带正电粒子从A点到B点一直做加速运动，说明电场力方向从A指向B，所以场强方向从A指向B，又由沿电场线方向电势降低，可知φA>φB，选项C、D错误。6.(多选)在x轴上0～x0范围内，存在沿x轴正方向的电场，其电势φ随x的变化规律如图6所示。现将一质量为m、带电荷量为q的粒子自O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下沿x轴做加速运动，从x0处离开电场，下列说法正确的是()图6A.粒子的电势能减小了qφ0B.粒子离开电场时的动能为2qφ0C.粒子在电场中运动的时间为x0eq\r(\f(m,qφ0))D.粒子离开电场时的速度大小为eq\r(\f(2qφ0,m))答案AD解析粒子做加速运动，电场力做正功，根据动能定理可得W＝qφ0＝Ek－0，又ΔEp＝－W＝－qφ0，可知粒子的电势能减小了qφ0，粒子离开电场时的动能为qφ0，故A正确，B错误；φ－x图像的斜率表示电场强度，所以粒子在电场中做匀加速直线运动，有x0＝eq\f(1,2)at2，a＝eq\f(qE,m)＝eq\f(qφ0,mx0)，联立解得t＝x0eq\r(\f(2m,qφ0))，故C错误；根据动能定理有qφ0＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(\f(2qφ0,m))，故D正确。7.(多选)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图7所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x变化的图像，正确的是()图7答案BD解析带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则电场力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；电场力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；由Ek－x图像斜率大小代表电场力大小，斜率正负代表电场力方向，由图可知，场强先减小后增大，方向一直为正方向，电场力F＝qE，先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x轴变化一致，B正确；由能量守恒定律有E0＝Ek＋Ep，动能与电势能之和E0不变，D正确。B级综合提升练8.(2024·广东深圳校考)工业生产中有一种叫电子束焊接机的装置，其核心部件由如图8所示的高压辐向电场组成。该电场的电场线如图中带箭头的直线所示。一电子在图中H点从静止开始只在电场力的作用下沿着电场线做直线运动。设电子在该电场中的运动时间为t，位移为x，速度为v，受到的电场力为F，电势能为Ep，运动经过的各点电势为φ，则下列四个图像可能合理的是()图8答案D解析电子所受的电场力的方向与电场强度方向相反，指向圆心，所以电子向圆心运动，电场强度逐渐增大，根据F＝eE，电场力逐渐增大，图线向上，B错误；电子的加速度a＝eq\f(eE,m)，电子向圆心加速运动，电场强度增大，电子的加速度增大，速度图线的斜率增大，A错误；根据Ep＝eEx，电子向圆心运动，电场力做正功，电势能减小，电场强度增大，电势能图线的斜率增大，C错误；根据φ＝eq\f(Ep,e)，Ep＝eEx，解得φ＝Ex，电子向圆心运动，逆电场线运动电势升高；电子向圆心运动，电场强度增大，电势图线的斜率增大，D正确。9.(多选)(2024·贵州贵阳市第一中学月考)如图9所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，所形成静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是()图9A.a、c两点的电场强度相同B.q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍C.将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零D.将一负电荷从c点移到d点，电势能增大答案BC解析φ－x图像的斜率绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝eq\f(kq,r2)可得，q1、q2电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场强度方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误。10.(2023·广东茂名模拟)如图10所示，带电平行板倾斜放置与水平面间的夹角为θ，两板间的电压U＝8×103V，两板间的距离d＝0.4m，圆形光滑轨道竖直固定放置，最低点B正好在上极板的边缘，C点是圆弧轨道的最高点；质量m＝0.1kg、电量q＝＋10－4C的小球，从平行板下极板A点由静止释放，在平行板间的匀强电场中正好沿水平直线AB做匀加速直线运动，经过B点进入圆弧轨道，刚好到达最高点C点，电场只存在带电平行板内，外部没有电场，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求：图10(1)平行板与水平面间的夹角θ及小球经过B点时的速度vB；(2)圆形轨道的半径R。答案(1)60°4m/s(2)0.32m解析(1)平行板间的电场强度E＝eq\f(U,d)＝2.0×104V/m对小球受力分析，可知电场力与重力的合力水平向右，由力的合成矢量三角形的几何关系可得cosθ＝eq\f(mg