四川省内江市资中县球溪高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试（普通班）数学试题

球溪高级中学学年（上）高二期末考试（普通班）数学考生注意：本试卷分选择题和非选择题两部分上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效回答非选择题时，将答案写在答题纸上写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】计算出的值，由此可知准线方程.【详解】因为抛物线，所以，因为准线方程为，所以准线方程为，故选：D.2.若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量基底的概念进行判断.A不能构成空第1页/共17页间向量的基底；对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底；对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底；对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底.故选：D3.若直线与圆只有一个公共点，则（）A.2B.1C.0D.【答案】C【解析】【分析】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值.【详解】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切.又，所以圆心为，半径为1.由.故选：C4.已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（）A.1B.C.1或2D.1或【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前项和的意义，结合等比数列通项列式求解.【详解】在等比数列中，由，，得，则，所以或.故选：D第2页/共17页5.已知直线，直线，则“”是“”的（）A.充分条件但不必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【分析】根据求出，再由必要但不充分条件定义判断可得答案.【详解】若，则，解得，或，当时，，，，符合题意，当时，，，，符合题意，所以若“”，则“，或”，则“”是“”必要条件但不是充分条件.故选：B.6.（）A.55B.120C.165D.220【答案】C【解析】【分析】利用组合数的性质计算得解.【详解】.故选：C7.在正方体中，分别为棱上的点，与的夹角为与的夹角也为．则（）A.B.C.D.第3页/共17页【答案】B【解析】，最后利用余弦定理求角即可.【详解】设，，则，，，因为，所以，解得，同理可得，连接，，，.故选：B.8.已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍．动点的轨迹与直线交于两点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第4页/共17页的方程得到直线恒过定点，根据几何知识可得当时，最小，最后求弦长即可.【详解】设，则，整理得，所以动点的轨迹为圆心为，半径为的圆，直线的方程可整理为，令，解得，所以直线恒过定点，有几何知识可得当时，最小，，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法：①定义法：根据曲线定义得到曲线类型，然后计算；②列等式法：设动点坐标，然后根据题设列等式，整理即可.本题共36符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线．则下列说法中正确的是（）A.若，则是单位圆B.若，则是焦点在轴上的椭圆C.若，则是平行于轴的两条直线D.若，则是双曲线且渐近线方程为【答案】ABD【解析】第5页/共17页【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可.【详解】对于A时，：，表示以为圆心，以1为半径的单位圆，故A正确；对于B：当时，，，曲线：，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；对于C：当，，曲线：或，表示平行于轴的两条直线，故C错误；对于D时，：，表示焦点在轴上的双曲线，且其渐进性方程为：，故D正确.故选：ABD10.已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（）A.B.数列是等比数列C.数列是公差为1的等差数列D.数列的前项和不超过【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，求出数列首项公比，再逐项求解判断得解.【详解】等比数列中，，而，则数列单调递减，由，得，又，解得，对于A，，解得，A正确；对于B，，数列不是等比数列，B错误；对于C，，则，第6页/共17页，数列是公差为1的等差数列，C正确；对于D，，数列的前项和，，D正确.故选：ACD已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，动点形成轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.曲线是中心对称图形B.C.直线斜率的取值范围为D.若，则的面积为【答案】ACD【解析】【分析】根据斜率公式即可求解方程，代入可判定A,根据两点距离公式即可求解B，根据斜率公式即可求解C，根据垂直的坐标关系，求解，，即可求解D.【详解】设，则，化简可得，由于，故，对于A，满足，故曲线是中心对称图形，A正确，对于B,，当且仅当取到等号，由于，故B错误，对于C,，故C正确，第7页/共17页对于D，由可得，故，联立与可得，故，故,故D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：根据可得，故，求，.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.直线的一个方向向量为_______．【答案】答案不唯一【解析】【分析】根据直线的斜率写方向向量即可.【详解】斜率，所以直线的方向向量可以为.故答案为：答案不唯一.13.已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，若，则双曲线的离心率为_______．【答案】【解析】【分析】根据弦长得到圆心到渐近线的距离，然后利用点到直线的列等式，整理得到离心率.【详解】设圆的圆心为，则，半径，第8页/共17页因为，所以圆心到渐近线的距离为，由双曲线方程可得一条渐近线方程为，整理得，则，整理得.故答案为：.14.如图，在纸上画一个半径为2的圆，（为了看清楚，可把直线.的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为________.【答案】3【解析】【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积.【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则，可得，可知点轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支，第9页/共17页因为，若，则，可得，即，可得，所以的面积为.故答案为：3.的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支，进而可得面积.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．．（1）求的通项公式；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】1）根据条件，可求与，可明确数列的通项公式.（2）利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式求解.【小问1详解】设的公差为．可得．由，解得.第10页/共17页所以．【小问2详解】．16.已知.（1）若，求的值；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）9；（2）.【解析】1）利用二项式定理求出，进而列式求出值.（2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出.【小问1详解】依题意，，所以.【小问2详解】当时，，则，，所以数列的前项和.17.某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表.耕种深度81012141618第11页/共17页每公顷产量678913（1）求样本相关系数（2）求经验回归方程.参考数据：；参考公式：，，.【答案】（1），有较强的线性相关性，（2）【解析】1）根据相关系数的公式即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解.【小问1详解】由题意可知，，故，故有较强的线性相关性，【小问2详解】，第12页/共17页故，将代入可得，故回归直线方程为18.如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线分别交于两点．（1）若点在第二象限，且，求和圆的方程；（2）若直线的斜率存在，并分别记为，求证：为定值．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】1）先根据条件，判断出四边形为正方形，再结合正方形的对角线和边长的长度关系，可求点坐标，进而可得和圆的方程.（2）设切线方程为，根据直线与圆相切，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，再结合在椭圆上，可证为定值.【小问1详解】过作于，于，连接．如图：第13页/共17页由圆的方程，知圆的半径．由，知．又因为和圆相切，所以四边形为正方形．所以．由，解得．所以圆的方程为．【小问2详解】设过点的圆的切线方程为：，即.则．两边同时平方，化简得.则，为方程的两解.由韦达定理：.又因，所以．第14页/共17页所以，为定值．19.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．将双曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线．点在上，其横坐标为．再按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与曲线交于另一点，令为关于直线的对称点，记的坐标为．（1）求曲线的方程；（2）求数列通项公式；（3）求证：．【答案】（1）（2），（3）证明见解析【解析】1）根据定义得到和坐标的关系，然后代入双曲线方程中，化简即可得到曲线的方程；（2）根据与关于原点对称得到，然后将点代入曲线中，然后结合整理可得，即可得到为等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可；（3）利用斜率公式得到，，然后根据等比数列的性质得到，即可证明平行.【小问1详解】设双曲线上任意一点，将其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点．则第15页