2024-2025学年试题数学三十二平面与平面平行的性质定理

三十二平面与平面平行的性质定理(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是()A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定【解析】选A.两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行.2.(5分)平面α∥平面β,点A,C在平面α内,点B,D在平面β内,若AB=CD,则AB,CD的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能【解析】选D.夹在两个平行平面间的平行线段相等,但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面.3.(5分)(多选)已知平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,下列结论中正确的是()A.m∥β B.n∥αC.m∥n D.m与n不相交【解析】选ABD.由平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β知:m∥β,故A正确;n∥α,故B正确;m,n平行或异面,一定不相交.故C错误,D正确.4.(5分)(多选)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1,CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状可能是()A.矩形 B.菱形C.平行四边形 D.正方形【解析】选ABC.若点E与点A1重合,则点F与点C重合,此时四边形D1EBF是矩形;若点E在AA1的中点处,则点F也在CC1的中点处,此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形;其他情况下为普通的平行四边形.5.(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点P在棱AD上,过点P作该正方体的截面,当截面平行于平面B1D1C且面积为3时,线段AP的长为()A.2 B.1 C.3 D.3【解析】选A.如图,连接A1D,A1B,BD,由正方体的结构特征,可得平面BDA1∥平面B1D1C.过点P作该正方体的截面,分别交AB于点E,交AA1于点F,因为截面PEF∥平面B1D1C,所以截面PEF∥平面BDA1,可得PE∥DB,EF∥A1B,PF∥A1D,再由平行线截线段成比例,可得AP=AE=AF,△PEF为正三角形.设△PEF的边长为a,则12a2·32=3,解得a=2,则AP=6.(5分)如图,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则()A.BF∥平面ACGDB.CF∥平面ABEDC.BC∥FGD.平面ABED∥平面CGF【解析】选A.如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,所以DE∥FM,且DE=FM.因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,所以AB∥DE,所以AB∥FM.又因为AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形,所以BF∥AM.又因为BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,所以BF∥平面ACGD.7.(5分)六棱柱的两底面为α,β,且A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC,则AB与CD的位置关系是__________.

【解析】因为AD∥BC,且平面ABCD∩α=AB,平面ABCD∩β=CD,又因为α∥β,所以AB∥CD.答案:平行8.(5分)如图,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是__________.

【解析】因为平面ABCD∥α,平面AA1B1B∩α=A1B1,平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,所以AB∥A1B1,同理可证CD∥C1D1.又因为A1B1∥C1D1,所以AB∥CD.同理可证AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.答案:平行四边形9.(5分)如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=__________.

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD,因为E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=FD,又因为∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,所以GH∥PE,所以G是PD的中点,因为PA=PB=AB=2,所以PE=2×sin60°=3.所以GH=12PE=3答案:310.(10分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点.【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM,又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN=C1M=12A1C1=12所以N为AC的中点.【综合应用练】11.(5分)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且DEEB=DFFD1=12.若G在线段CC1上,且平面AEF∥平面BD1GA.12 B.13 C.23 【解析】选B.由题可知,DFDD1=13,EF∥BD1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1.因为G在CC1上,且平面AEF∥平面BD1G,所以AF∥BG.又因为AD∥BC且AD=BC,所以DF=CG,所以CGC12.(5分)(多选)已知平面α∥平面β,点S是α,β外一点,过点S的两条直线AB,CD分别交α于A,C,交β于B,D,若SA=2,SB=4,CD=6,则SC的长度可能为()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选AC.当两个平面在点S的同侧时,如图1所示:由面面平行的性质定理可得AC∥BD,所以SAAB=SCCD,由SA=2,AB=SBSA=2,CD=6,解得当点S在两个面的中间时,如图2所示:由AC∥BD,可得SASB=SCSD=所以SC=12SD,所以SC=13综上知,SC的值为6或2.13.(5分)如图,在三棱锥PABC中,点D,E,F分别在棱AB,PB,BC上,且平面DEF∥平面PAC,若BDAD=45,则△DEF与△APC的面积之比为【解析】因为在三棱锥PABC中,点D,E,F分别在棱AB,PB,BC上,且平面DEF∥平面PAC,所以DE∥AP,DF∥AC,EF∥PC,所以△DEF∽△APC,因为BDAD=45,所以DEAP=EFPC=DFAC=BDAB=49,所以△DEF与△APC答案:1614.(10分)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1上的点.设F是棱AB的中点.求证:直线EE1∥平面FCC1.【证明】因为F为AB的中点,所以AB=2AF,又因为AB=2CD,所以CD=AF,因为AB∥CD,所以CD∥AF,所以四边形AFCD为平行四边形,所以FC∥AD,又因为FC⊄平面ADD1A1,AD⊂平面ADD1A1,所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1,CC1⊄平面ADD1A1,DD1⊂平面ADD1A1,所以CC1∥平面ADD1A1,又因为FC∩CC1=C,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又因为EE1⊂平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1.15.(10分)(2024·枣庄高一期中)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证:BC∥GH;(2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,平面A1B1C1∥平面ABC,平面BCHG∩平面ABC=BC,平面BCHG∩平面A1B1C1=GH,故BC∥GH;(2)因为在三棱柱ABCA1B1C1中,