压轴小题导数技巧：求参-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题3.2一轮压轴小题导数技巧：求参

目录

【题型一】求参1：基础讨论型...........................................................1

【题型二】求参2：分离参数型...........................................................2

【题型三】求参3：零点型..............................................................3

【题型四】求参4：构造函数型...........................................................3

【题型五】求参5：“分函最值”基础型...................................................4

【题型六】求参6：“分函值域子集”型...................................................5

【题型七】求参7：保值函数............................................................6

【题型八】求参8：分离参数之“洛必达法”与放缩型......................................7

【题型九】求参9：整数解求参...........................................................7

【题型十】求参数10：隐零点型..........................................................8

【题型十一】求参11：复合函数（嵌套函数）型...........................................9

【题型十二】求参12：绝对值型.........................................................10

二、真题再现..........................................................................10

三、模拟检测..........................................................................11

热点题型归纳

【题型一】求参1：基础讨论型

【典例分析】

若对任意工£（0,+8）,不等式（2m）-加nxK）恒成立，则实数机的最大值（）

A.y[eB.eC.2eD.e2

【提分秘籍】

基本规律

无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：

1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点。

2.讨论点的寻找是关键。

3.一些题型，可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围

【变式演练】

1.已知函数〃彳)=犯*-:63一；依2+1,彳€(0,-),若/(x)有最小值，则实数。的取值范围是

「22)<2-

A.[e,+oo)B.(e,+oo)C.-e2,+coD.—e2,+co

2.若关于工的不等式/-。之111%+〃对一切正实数不恒成立，则实数〃的取值范围是()

A.1B.(-00,e]C.(-oo,l]D.(-00,2]

3.已知函数〃x)=xe'-ga-g苏+1,XW(O,M),若〃x)有最小值，则实数。的取值范围是

A.[e,+oo)B.(e,+oo)C.-e2,+coD.-e2,+co

l_3J13J

【题型二】求参2：分离参数型

【典例分析】

已知不等式元e-i-尤Nlnx+2："+3对Vxe(O,~H»)恒成立，则加取值范围为()

A.m<—B.m>--C.m<—2D.m>—2

22

【提分秘籍】

基本规律

分离参数是属于“暴力计算”型方法，分离参数：将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最

值来求解参数的取值范围。

1.分离参数思维简单，不需过多思考；

2.参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂

3.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶。。等等求导。

【变式演练】

1.已知函数当x>l时，不等式+l恒成立，则人的取值范围是

A.(-00,-e]B.(-oo,^-]C.(-00,-e2]D.(^o,0]

2.关于X的方程(％-7)尤2+41!!尤-5+左=0有两个不等实根，则实数k的取值范围是.

3.已知函数/(x)=左e'Tg(x)=lnx+.,且“x"g(”)对任意的“e(0,”o)恒成立，则实数k的最大值为

【题型三】求参3：零点型

【典例分析】

已知函数〃尤)=2W-e*至多有2个不同的零点，则实数。的最大值为

A.0B.1C.2D.e

【提分秘籍】

基本规律

(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知

识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可

以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合

思想研究；③构造辅助函数研究.

【变式演练】

fxx«0

1.已知函数〃尤)='-，若函数g(x)=，(x)-X)有5个零点，则实数a的取值范围是()

ICl111.V,光U

A.(-e,0)B.jC.(-oo,-e)D.[叫一，)

2.若函数〃力=%+/+6+川北+——Hnx)有零点，贝！Jb的取值范围是()

A.B.[―1,0)

C.D.(0,+8)

/\\^2~4ax+4,x＜0

3.已知函数〔Mx+2砒，尤＞°恰有两个零点，则实数”的取值范围是()

A.1一B.(-co,T)U(-g，o]

c.D.卜

【题型四】求参4：构造函数型

【典例分析】

对于任意/，x2e[l,+co),当%＞为时，恒有aln三＜2(々-石)成立；则实数a的取值范围是()

X]

A.(-oo,0]B.(-00,1]C.(-00,2]D.(-00,3]

【提分秘籍】

基本规律

一些复杂结构，需要先构造合理的函数形式再求导研究，以达到“化繁为简”的目的

【变式演练】

1.对于任意芯，/w[l,+co),当马>百时，恒有aln三<2(々-石)成立；则实数。的取值范围是()

xi

A.(-co,0]B.(-00,1]C.(-co,2]D.(-oo,3]

2.已知变量%,％2G(0,(»l>0),且不<々，若》:2<々为恒成立，则机的最大值.

3.已知函数〃x)=lnx—2双，g(x)=--2%,若方程〃x)=g(x)恰有三个不相等的实根，则。

Inx

的取值范围为()

A.(0,e]B.(0,：,、(1、

C.[e,+=o)D.0,-

ke7

【题型五】求参5：“分函最值”基础型

【典例分析】

已知"》)=&，+」+62,g(x)=-(x+l)2+aln(x+l),若存在占eR,x,e(-l,-Ko),使得“占)〈85)成

立，则实数”的取值范围是.

【提分秘籍】

基本规律

此类函数，多采用两函数“取最值法''。一般地，己知函数y=/(x),无w[a,b],y=g(尤),xe[c,d]

(1)若依小,可,Vx24G心，总有(苍)成立,故f(无)1mx<g(无2L；

⑵若％24Gd],有〃不)<g(9)成立，故/(力1nax<g(W)1mx；

(3)若叫w[a,6],切且c,d],有〃占)<g(x2)成立，故“无心<g(务)皿；

⑷若出4a,6],3X2e[c,<7],有〃占)=g(尤?)，则/'(*)的值域是g(元)值域的子集.

【变式演练】

_%3_|_2%<0

''，g(无)=丘+5-2左(左>0),若对任意的A,e[T,1],总存在％e[T，1]使

-x+3,x>0

得了a)vg(z)成立，则实数上的取值范围为()

2

A.(0,2]B.(0,-]C.(0,3]D.(1,2]

2.已知函数〃x)=g(x)=l-x，若对V^eR,总存在使得〃占)>g(%)成立，以下

对加、〃的取值范围判断正确的是().

A.m>2B.m>2C.n>2D.n>2

3.已知f(x)=Inx—：+看，g(x)=—x2—2ax+4,若对任意的xi£(0,2],存在为£[1,2],使得式”1)也(%2)

成立，则〃的取值曷围国)

A.I8：B.|8)c.1D.(一8,-1

【题型六】求参6：“分函值域子集”型

【典例分析】

已知函数/'(x)=x?-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意西e[-1,2],总存在马4-1,2],使得,

则实数a的取值范围是()

.11「1；

A.0,-B.—>3

I2」[2」

C.(0,3]D.[3,+<»)

【提分秘籍】

基本规律

解题的关键是将问题转化为值域的包含关系问题

【变式演练】

-IX<1

1.已知函数/(%)=<24,,g(x)=G：2+2x+a—l,若对任意的玉ER,总存在实数尤2£(0,+oo),

log2(x+3),x>1

使得了(%)=8(%2)成立，则实数。的取值范围为()

A.0,|B,0,jC,1斓D,

2.已知嘉函数/(%)=(加-1)2/T吁2在(0,+8)上单调递增,函数g(x)=2工T,任意占e口,6)时，总存在

%e[l,6)使得〃占”8色)，贝心的取值范围是()

A.1<r<28B.l<r<28C."28或方v1D.此28或

cfasinx+2,x>0「、

3已知函数/(尤)=21，g(x)=|20(a^R),若对任意玉总存在&eR,使

〃%)=g伍)，则实数°的取值范围是()

Bu2

A.1W[-Ri)[?

7

c.ju2]D.CU：,2

4

【题型七】求参7：保值函数

【典例分析】

设函数“X)的定义域为D,若满足条件：存在使〃x)在［加，网上的值域为内W，kn］(^sR

且左>0),则称〃x)为“左倍函数”，若函数〃x)=优(a>1)为“3倍函数”，则实数。的取值范围是()

<3><2>

A.1,/B.(l,e3)C.e^,eD.(e,e3)

k7kJ

【提分秘籍】

基本规律

1.保值函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义

2.应用函数思想和方程思想。

【变式演练】

L设函数/(x)的定义域为/,若存在［。,可口/,使得了(力在区间［a,可上的值域为［如烟(左eN*),

则称/(x)为“攵倍函数''.已知函数/(%)=1%(3、-间为“3倍函数”，则实数相的取值范围为()

2.若存在实数K,对任意xe/,g⑴？笔'(%)成立，则称g⑴是/'(x)在区间/上的“K倍函数”.已知函数

—炉—2%—4,工,0

“X)=1和g(x)=x,若g(x)是〃力在R上的K倍函数，则K的取值范围是__________.

lnx+—,x>0

I2

3.对于函数y=〃x),若存在区间［a,可,当xe［a,可时的值域为［如物(左>0),则称尸/⑺为左倍值

函数.若〃x)=e'+2x是上倍值函数，则实数k的取值范围是()

A.(e+l,+oo)B.(e+2,+co)C.|£+-,+<»］D.［e+—,+<»|

【题型八】求参8：分离参数之“洛必达法”与放缩型

【典例分析】

已知函数/(x)=*%inx,则下列结论正确的是()

(jr37r)

A.AM是周期为2〃的奇函数B.7(x)在-1，彳上为增函数

71

C.“X)在(-101,10万)内有21个极值点D./(%)..ax在0,-上恒成立的充要条件是a,,1

【提分秘籍】

基本规律

如果最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”。

【变式演练】

1.已知函数Ax)=finx-a(尤2-1)(aGR),若/(x)20在xG(0,1]时恒成立,则实数a的取值范围是

A.[—,+00)B.[g,+oo)C.[2,+oo)D.[l,+oo)

42

2.若对任意xe(O,;r),不等式/—e~x>asinx恒成立，则实数〃的取值范围是

A.[—2,2]B.(―oo,e]C.(—00,2]D.(—8,1]

3.若;(a-l)x2+1</-%对以>0恒成立，贝！J实数a的取值范围是

A.(一8,2]B.(-oo,2)C.(-℃,1]D.(一8,3]

【题型九】求参9：整数解求参

【典例分析】

若不等式aIn(尤+1)-尤3+2/>。在区间(0,+®)内的解集中有且仅有三个整数，则实数。的取值范围是

9321(932]

A，21n2'ln5B，121n2‘ln5)

c9321C9}

C-〔赤？而]D.S，+sJ

【提分秘籍】

基本规律

1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入

2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题

【变式演练】

1.已知函数7(尤)=靖-冰-1在区间(-U)内存在极值点，且/食)<0恰好有唯一整数解，则、/的取值范围

是()

C.(e-l,e)

2.设函数”X)=42垢-1)-改+即其中。>0,若仅存在两个正整数％使得〃飞)<0,贝！的取值范围

是

33

A.41n2-2<a<31n3——B.41n2-2<a<31n3——

22

C.a>41n2—2D.a<31n3—2

3.已知函数/(x)=xln无，g(x)=-x2+(a+12)x+2a,若不等式<g(x)的解集中恰有两个整数，则实

数”的取值范围是.

【题型十】求参数10：隐零点型

【典例分析】

已知一2<”1,且X20时，5e"+4824(2元一。)5恒成立，贝！的最小值是()

A.-1B.ln2-2C.1-eD.ln3-3

【提分秘籍】

基本规律

1.代入消参，也是压轴大题的一个类型。

2.解题框架(主要的)：

(1)导函数(主要是一阶导函数)等零这一步，有根X。但不可解。但得到参数和X。的等量代换关

系。备用

(2)知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根X。

(3)利用X。与参数互化得关系式，先消掉参数，得出X。不等式，求得X。范围。

(4)再代入参数和X。互化式中求得参数范围。

【变式演练】

L设函数〃x)=/-2e(l+lnx)(其中e为自然对数的底数)，则函数/(x)的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.已知当无e(l,y)时，关于x的方程3平二^=7有唯一实数解，贝必值所在的范围是

k

A.(3,4)B.(4,5)C.(5,6)D.(6,7)

3.设实数2>0,若对任意xe(O,E),不等式In(4x)20恒成立，则几的取值范围是()

A.0<2<-B.0<2<^-1C.0<A<eD.0<A<e2

【题型十一】求参11:复合函数(嵌套函数)型

【典例分析】

.已知“X)是定义域为(o,+8)的单调函数，若对任意的xe(O,+«>),都有//(x)+log,x=4,且方程

_3_

/(X)-3|=丁一6/+9%-4+。在区间(0,3]上有两解，则实数〃的取值范围是

A.0<«<5B.a<5C.0<«<5D.a>5

【提分秘籍】

基本规律

换元为主要切入点。注意借助于双坐标系来转换

【变式演练】

ex-1+-,x<0

1.已知实数”0,函数/(x)=2若关于*的方程/[-/«]=^°+|有三个不

exl+^x2-(a+1)尤+^,x>Q

-22

等的实根，则实数”的取值范围是()

A.(1,2H—)B.(2,2d—)C.(1,1H—)D.(2,2H—)

eeee

2.•设函数/(x)=q+x-，(Q£R),若曲线>=釜7(6是自然对数的底数)上存在点(%，%)使得

/(/(%))=%,贝!1〃的取值范围是

A.(-«,0]B.(0,e]C.D.[0,+co)

3.已知a>0,函数/)=2*7,若函数F(x)=/(/(x))-x恰有两个零点，则实数a的取值范围是()

21、/八1八7八1、21

A.[―,—)B.(0,—]C.(0,—)D.[―9~]

eeeeee

【题型十二】求参12：绝对值型

【典例分析】

已知函数〃力=2工，8⑺二三+但若不等式/⑴+8⑺+匕⑺­㈤会/在他+^上恒成立，则a的

取值范围为()

A.[-6,+℃)B.[-2,+co)C.[0,+oo)D.

【变式演练】

I.已知函数/（"=匕?竺的定义域为（0,4,若对任意的冷zjo,!],4^上2＞四*1恒成立,

'，/Ie」Ve]菁一%占三

则实数M的取值范围为（）

A.（-＜»,3]B.C.（-＜»,5]D.（-®,6]

2.已知定义在R上的函数/'（x）满足（x-4）/'（x）W0,且y=/（x+4）为偶函数，当卜-4|＜民-4|时，有

（）

A./（8-^）＜f（8-X2）B./（8-%1）＜/（8-%2）

C./（8-X,）＞/（8-X2）D./（8-%1）＞/（8-%2）

3.已知向量。=（x+l,l）,B=（sinx,cosx）,函数/（x）=a4.若对于任意的斗,马e0,^,且工产斗,均有

/㈤―/（%）|＜旭再-则成立,则实数，的取值范围为（）

A.[。,+8）B.[l,+oo）C.（-00,1]D.（-00,0]

真题再现

1.（2021.全国•高考真题（理））设立0,若x=a为函数“x）=q（尤-4（无一°）的极大值点，则（）

A.a＜bB.a＞bC.ab＜c^D.ab＞a1

2.（2。13.全国.高考真题（文））已知函数小）=扁：：2，若"网"，则”的取值范围是（）

A.（—oo,0]B.（—oo,l]C.[—2,1]D.[_2,0]

丫2_2^7Y|zj丫1

':若关于X的不等式/（元）-。

）x-amx,x＞\,

在R上恒成立，贝！I。的取值范围为

A.[0,1]B.[0,2]C.[0口D.[L,e]

a=O.le°',b=-,c=-ln0.9

4.（2022•全国•高考真题）设9，则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

31II

5.（2022•全国考真题（理））已知a=—,b=cos—,c=4sin—,则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

6.（2022・全国•高考真题（理））已知x=%和尤=々分别是函数/（x）=2优-ex?（。＞0且awl）的极小值

点和极大值点.若为＜三，则。的取值范围是.

7.(2022.天津.高二期末)已知函数/(x)=e*(x-1),则/(%)的极小值为；若函数g("=如，

对于任意的王目-2,2],总存在马4-1,2],使得〃不)>8(々)，则实数加的取值范围是.

，。模拟检测,

1.已知函数〃x)=(x-4-l)e'+3,若存在匕€氏，对于任意xe[l,2],都有，(力|<1则实数a的取值

范围是•

2.不等式"+1+/nrW尤/对于定义域内的任意》恒成立，则。的取值范围为.

3.已知函数/(无人1111"："：”,方程尸(x)+时(x)=0(机eR)有四个不相等的实数根，则实数机的取值范

[一xe,x<0

围是()

A.~，TB.U.o]C.C，+oo]D.

4.已知函数/(x)=