中考数学几何专项冲刺复习：矩形存在性问题巩固练习（提优）含答案及解析

矩形存在性问题巩固练习

1.如图，回ABCZ)中，ABLAC,AB=1,BC=亚.对角线AC、8。相交于点0,将直线AC绕点。顺时针

旋转优，分别交直线BC、A。于点E、F.

(1)当。=时，四边形A8E尸是平行四边形；

(2)在旋转的过程中，四边形B即尸可能是菱形吗？如果能，求出此时a的值；如果不能，说明理由；

(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、。、E、尸中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，

直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由.

2.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-|x+〃分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(4,0),

点C为线段的中点.

(1)求点B的坐标;

(2)点尸为直线上的一个动点，过点尸作x轴的垂线，与直线OC交于点。设点P的横坐标为他，

△OP。的面积为S,求S与机的函数解析式；

(3)当点尸在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N,使得以。，B,P,N为顶点的

四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在矩形ABC。中，A8=8,BC=6,点、E、F、G、X分别从点A、B、C、。同时出发，动点E从

点A开始沿边AB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，动点F从点B开始沿边BC向点C以每秒1

个单位长度的速度运动，动点G从点C开始沿边C。向点。以每秒2个单位长度的速度运动，动点H

从点D开始沿边D4向点A以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，其余点也随之停

止运动，设运动时间t.

(1)证明：四边形始终是平行四边形；

(2)是否存在某一时刻使得四边形瓦是矩形？若存在，求f的值；

(3)证明：三条直线AC,EG,也经过同一点.

4.如图，已知点A(7,8)、C(0,6),AB_L无轴，垂足为点2,点D在线段OB上，DE//AC,交AB于

点E,EF//CD,交AC于点?

(1)求经过A、C两点的直线的表达式；

(2)设。。=f,BE=s,求s与，的函数关系式；

(3)是否存在点£>,使四边形8所为矩形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理

由.

5.如果一条抛物线y=ax2+fcc+cQW0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的

三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

(1)“抛物线三角形”一定是三角形；

（2）若抛物线y=-炉+次（b>0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求6的值；

（3）如图，△04B是抛物线y=x>0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点。为对称中

心的矩形ABCD?若存在，求出过。、C、。三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.

（4）若抛物线y=-x2+4/nx-8机+4与直线y=3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛

物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在,

说明理由.

6.如图，二次函数>=-:江+4根的顶点坐标为（0,2）,矩形ABC。的顶点3、C在无轴上，A、O在抛物

线上，矩形A2CD在抛物线与x轴所围成的图形内.

（1）求二次函数的解析式；

（2）设点A的坐标为（x,y）,试求矩形ABC。的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x

的取值范围；

（3）是否存在这样的矩形A8CD,使它的周长为9?试证明你的结论.

7.如图，一次函数>=尤+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y=^-2x+c与x轴交于另一

点、B,抛物线顶点为E,连接AE.

(1)求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；

(2)点P是线段AE上的一动点，过点尸作PP平行于y轴交AC于点R连接ER求面积的最

大值及此时点P的坐标；

(3)若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的

四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图1,直线。：y="\/Wx+6与x轴，y轴分别交于8,A两点，过点A做AC_LA8交无轴于点C,将直线

/i沿着无轴正方向平移机个单位得到直线/2交直线AC于点D交x轴于点E,将△CDE沿直线L翻折

得到点F.

(1)若相=2g，求点E；

(2)若的面积等于4日，求L的解析式；

(3)在(1)的条件下，将△AB。绕点C旋转60°得到△4B1O1，点R是直线已上一点，在直角坐标

系中是否存在点S,使得以点4、Bi、R、S为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点S的坐标；若不存

在，请说明理由.

9.如图，抛物线y=-*+1+1与y轴交于点A,对称轴交x轴于点2,连点尸在y轴上，点。在抛

物线上，是否存在点尸和。，使四边形A2P0为矩形？若存在，求点。的坐标.

10.如图，抛物线y=a/+bx+5经过点A(-1,0),B(2,5),抛物线与无轴的另一个交点为C点，点P

为y轴上一动点，作平行四边形BPCD

(1)求C点的坐标；

(2)是否存在P点，使四边形为矩形？若存在，求出尸点坐标；若不存在，请说明理由;

(3)连结尸。尸。的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；

(4)若£为AC中点，求抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标尤的范围.

11.如图，在平面直角坐标系中，Rt^ABC的斜边A8在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上，tan/A8C=£

点尸在线段0c上，且尸。、PC的长(P0CPC)是X2-12x+27=0的两根.

(1)求P点坐标；

(2)若NAC2的平分线交x轴于点求直线CD的解析式；

（3）若M是射线CD上的点，在平面内是否存在点。，使以A、C、M、。为顶点的四边形是矩形？若

存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图，己知在平面直角坐标系xOy中，。是坐标原点，抛物线y=-d+Zmx+w（优<0、«>0）的顶点

为D,与y轴的交点为C,过点C作C4〃x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点8,使8C=会!。，

连接。4,OB,8。和AD

（1）若点A的坐标是（-2,1）

①求m,n的值；

②试判断四边形AO8O的形状，并说明理由；

（2）若四边形AOBD是平行四边形，求相与"的关系；

（3）是否存在“，使得四边形492。是矩形？若存在，请直接写出”的值；若不存在，请说明理由.

x

矩形存在性问题巩固练习

1.如图，回ABCZ)中，ABLAC,AB=1,BC=亚.对角线AC、8。相交于点0,将直线AC绕点。顺时针

旋转优，分别交直线BC、A。于点E、F.

(1)当。=90°时,四边形A3E尸是平行四边形；

(2)在旋转的过程中，四边形B即尸可能是菱形吗？如果能，求出此时a的值；如果不能，说明理由；

(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、。、E、尸中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，

直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由.

【分析】(1)由ABLAC得/8AC=90°,在中，根据勾股定理计算出AC=2,再根据平行四

边形的性质得。4=OC=/C=1,AD//BC,于是可判断△AOB为等腰直角三角形，则/AOB=45°,

根据平行四边形的判定当跖时，四边形是平行四边形，贝UEFLAC,根据旋转的性质得a

=90°；

(2)由于四边形ABCD的对称中心为点O,则OB=OD,OE=OF,可判断四边形2£。尸为平行四边形，

根据菱形的判定，当EfUBD时，四边形2瓦(/为菱形而/4。8=45°,根据互余得到NCOE=45°,

所以此时a为45°；

(3)根据平行四边形的性质有OA=OC,OB=OD,OE=OF,再根据矩形的判定，当EP=AC时，四

边形AECT为矩形，易得此时矩形AECF的对角线长为2；当时，四边形BED尸为矩形，由4

AOB为等腰直角三角形得03=V2AB=VL则8。=2。2=2位,所以此时矩形BEDP的对角线长为2V2.

【解答】解：(1)'：AB±AC,

：.ZBAC=90°,

在RtZ\A8C中，AB=1,BC=V5,

：.AC=y/BC2-AB2=2,

V四边形ABCD为平行四边形，

：

.OA=OC=-2AC=1,AD//BC,

：.AAOB为等腰直角三角形，

JNAO3=45

*：AF//BE,

・・・当所〃AB时，四边形ABE尸是平行四边形,

：.EFLAC,

.'.a=90°；

故答案为90°；

(2)在旋转的过程中，四边形8EDF可能是菱形.

如图1,

V四边形ABCD为平行四边形，

四边形ABCD的对称中心为点。，

：.OB=OD,OE=OF,

：.四边形8即f为平行四边形，

...当时，四边形8双加为菱形,

VZAOB=45°,

.\ZCOE=45°,

即此时a为45°；

(3)在旋转过程中，存在以A、B、C、D、E、厂中的4个点为顶点的四边形是矩形,

；OA=OC,OB=OD,OE=OF,

.•.当Eb=AC时，四边形AECT为矩形，如图2,矩形AECF的对角线长为2；

当£尸=2。时，四边形2瓦甲为矩形，如图3,

•・•ZVIOB为等腰直角三角形，

OB=近AB=V2,

：.BD=2OB=2^2,

矩形BEDF的对角线长为2V2.

【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质；理解旋转

的性质；会运用等腰直角三角形的性质和勾股定理进行几何计算.

2.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(4,0),

点C为线段AB的中点.

(1)求点B的坐标；

(2)点尸为直线A8上的一个动点，过点尸作x轴的垂线，与直线OC交于点°,设点P的横坐标为加，

△OP。的面积为S,求S与机的函数解析式；

(3)当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N,使得以O,B,P,N为顶点的

四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)S=^PQ'\xP\,即可求解；

(3)分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可.

【解答】解：(1)将点A的坐标代入y=—%+"并解得："=3,

故直线的表达式为：y=-三x+3,

/4

令彳=0,则y=3,故点8(0,3)；

(2)点C为线段49的中点,

则由中点公式得，点C(2,则直线OC的表达式为：y=|x,

24

设点P(m,--m+3),则点。(m,-m),

44

当点P在y轴右侧，且在点。右侧时，

cIncII1/3.3323

3=-PQ*\xp\=-Q-m+-m-3)*m=-m—m；

2tli24442

当点尸在y轴右侧，且在点。左侧时，

2

S=^PQ9\xp\=I(—|m+3—)•m=|m-^m；

当点。在y轴左侧时，

同理可得：S=^m2—|m；

_LLc3-3―p.c33o

故3=-m——m或3=-m——m；

4224

(3)设尸(m,一三"+3),点N(s,f),而点0、B的坐标分别为(0,0)、(0,3)；

4

①当。8是矩形的边时，

则点P与点A重合，故点尸(4,0),故点N(4,3)；

②当。3是矩形的对角线时，

由中点公式得：s+s=0且一三〃z+3+r=3+O①，

4

22

由矩形的对角线相等得：OB=PN,即(根-s)2+(--m+3-r)=3@,

4

(S=--3-6

25

联立①②并解得：＜t=H,故点N(―II，||);

36

m二一

V25

综上，点N的坐标为(4,3)或||).

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到二次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中

(2)、(3),要注意分类求解，避免遗漏.

3.如图，在矩形ABC。中，4B=8,BC=6,点E、F、G、H分别从点A、B、C、。同时出发，动点E从

点A开始沿边AB向点8以每秒2个单位长度的速度运动，动点尸从点B开始沿边8c向点C以每秒1

个单位长度的速度运动，动点G从点C开始沿边8向点D以每秒2个单位长度的速度运动，动点H

从点D开始沿边DA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，其余点也随之停

止运动，设运动时间t.

(1)证明：四边形EFG”始终是平行四边形;

(2)是否存在某一时刻使得四边形EPG8是矩形？若存在，求f的值;

(3)证明：三条直线AC,EG,1fH经过同一点.

【分析】(1)根据条件可以表示出AE=2t,BE=8-2t,BF=t,CF=6-t,CG=2t,GD=8-2t,HD

=t,AH=6-t,就可以得出AE=CG,BE=GD,BF=DH,CF=AH,由矩形的性质就可以得出

必FCG,△EBFWAGDH,就可以得出/EF=HG,就可以得出结论；

(2)连接EG,FH,作于根据矩形的性质及勾股定理就可以得出£产=3+64-32汁4汽

FG2=36-nt+fi+At2,进而得出或;2=100+10尸-44f,FH2=100-24Z+4?2,由矩形的性质建立方程就可

以求出f的值；

(3)连接EG,切，使EG与AC相交于点。，EG与尸H相交于点尸.由平行四边形的性质就可以得出

EP=GP,AP^CP,就有尸是EG的中点，由矩形的性质可以得出△AOE四△COG,就可以得出4。=

CO,EO=GO,就有。是EG的中点，得出P、O重合，进而得出三条直线AC,EG,尸”经过同一点.

【解答】(1)证明：：四边形4BCZ)是矩形，

ZBCD^ZD=ZDAB=90°,AB=CD,BC^AD.

：AE=CG=2t,BF=DH=t,

：.BE=GD=8-2t,CF=AH=6-t.

在/\EBF和△G。//中，

BE=GD

乙B—乙D,

、BF=DH

:•△EBF妾AGDH(SAS),

：.EF=GH.

在△HAE和△bCG中，

AH=CF

Z.DAB=(BCD,

AE=CG

:.△HAE"AFCG(SAS),

：.HE=FG.

..（EF=GH

"iHE=FG'

•••四边形EfG"是平行四边形；

（2）解：在某一时刻四边形EfG”是矩形.理由如下：

连接EG,FH,作句于M,

：.ZFMH=9Q°.

:四边形EFGH是矩形，

：.EG=FH,/EFG=90°.

：.EG2=EF-+FG2.FH-=M产+MH2.

：.FH2=100-24f+4户.

在Rt/XBEF,Rt△尸CG中，由勾股定理，得，

E尸=尸+64-32什4凡FG-=36-12什产+4尸，

：.EF-+FGr=\QG+}Qtl-44。

AlOO+lOz2-44f=100-24?+4r.

.,"1=0（舍去），?2=

与时，四边形EfG”是矩形；

（3）证明：连接EG,FH,使EG与AC相交于点O,EG与9相交于点P.

:四边形A8CD是矩形，

：.AB//CD,

：./EAC=ZDCA,ZAEO=ZCGO.

在△AO£和△COG中

（/EAC=ZDCA

\AE=CG'

（"E。=Z.CGO

：.AAOE^ACOGUSA）,

：.EO=GO,AO=CO,

：.O是EG、AC的中点.

.四边形EFGH是平行四边形，

：.EP=GP,FP=HP,

；.尸是EG、切的中点,

，。、P重合，

...三条直线AC,EG,切经过同一点.

【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运

用，矩形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

4.如图，已知点A(7,8)、C(0,6),ABXxft,垂足为点3,点D在线段OB上，DE//AC,交42于

点E,EF//CD,交AC于点?

(1)求经过A、C两点的直线的表达式；

(2)设。。=f,BE=s,求s与，的函数关系式；

(3)是否存在点。，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理

由.

【分析】(1)将点A、C的坐标代入一次函数表达式y=Ax+b,即可求解;

(2)设。―,BE=s,则点D5。)，点B(7.°),直线的表达式为：k沁区即可求解;

2——t

(3)证明贝i|tanN0C£>=tanN2r)£,即三t=。，即可求解.

67-t

【解答】解：(1)将点A、C的坐标代入一次函数表达式y=fct+b得：｛j3b=8,解得：｛：=j

故直线AC的表达式为：y=$+6；

(2)设OZ)=£,BE=s,则点。(/,0),点、B(7,0),

同理可得：直线的表达式为：y/管

当x=7时，s—y—2—^t(0<Z<7)；

(3)存在，理由：

由(2)知：点。Qt,0),BE=-x--t,

77

四边形COM为矩形，则NC0E=9O°,

ZEDB+ZCDO=90°,NCDO+NOCD=9U°,：・/OCD=/BDE,

：.tanZOCD=tanZBDE,即三=七，

67-t

解得：f=芳或7(舍去7),

故点。的坐标为(£,0).

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到矩形的性质、解直角三角形等，其中(3),解题的关

键是确定OCD=NBDE.

5.如果一条抛物线尸加+foc+c(aWO)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的

三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

(1)“抛物线三角形”一定是等腰三角形;

(2)若抛物线y=-/+次80)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求6的值；

(3)如图，△O4B是抛物线y=x(Z/>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点。为对称中

心的矩形A8CD?若存在，求出过。、C、。三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.

(4)若抛物线y=-x^+Anvc-8切+4与直线y=3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛

物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在,

【分析】(1)抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”

一定是等腰三角形.

(2)观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b>0,那么其顶点在第一象限，而这个“抛

物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解

出b的值.

(3)由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点。为对称中心的矩形A8CO,那么必须满足

OA=OB,结合(1)的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用〃表示出AE、的

长，通过△0A8这个等边三角形来列等量关系求出〃的值，进而确定A、8的坐标，即可确定C、〃的

坐标，利用待定系数即可求出过。、C、D的抛物线的解析式.

(4)联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定

m的整数值.

【解答】解：(1)如图；

根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在0、B的垂直平分线上，所以即：“抛物线三角形”

必为等腰三角形.

故答案为：等腰.

(2)当抛物线y=-f+次(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

该抛物线的顶点(p今，满足;?*>0).

则b=2.

(3)存在.

如图，作△0CD与△OAB关于原点。中心对称，则四边形A8C。为平行四边形.

当。4=02时，平行四边形ABCD是矩形，

5L'：AO=AB,

：.AOAB为等边三角形.

Z.ZAOB=6Q°,

作垂足为E,

：.AE=OEtanZAOB=V30£.

42

：.b'=2V3.

(V3,3),B(2V3,0).

：.C(-V3,-3),D(-2V3,0).

设过点0、C、。的抛物线为y=7依2+〃x,则

(12m—2V3n=0

(3m—y[3n=—3

故所求抛物线的表达式为y=x1+2^x.

47n7n2

(4)由--8加+4=3,x=-飘8僧1』=2m±V4m—8m+1,

2

当x为整数时，须4/-8zn+l为完全平方数，设4m2-8m+l=H2("是整数)整理得:

(2m-2)2-九2=3,gp(2m-2+n)(2m-2-n)=3

・C2m—2+n=m—2+n=3成(2m—2+TI=—1成(2TTI-2+?i=-3

两个整数的积为3,

**l2m—2—n=m—2—n=1取12nl-2-n=-3取127n—2—九=一1

解得:4丁或｛=;或霹;或｛建与

综上，得：相=2或根=0；

根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，

当％=2时，抛物线方程为y=-/+8x-12=-(x-4)2+4,满足抛物线三角形的底边长等于这边的中

线长；

当m=0时，抛物线方程为y=-/+4,满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；

抛物线与直线y=3交点的横坐标均为整数时m=2或m=0.

【点评】本二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角

形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，重在考查基础知识的掌握情况，解题的思路并不复杂，但

计算过程较为复杂，间接增大了题目的难度.

6.如图，二次函数y=-,加+4相的顶点坐标为(0,2),矩形ABC。的顶点3、C在无轴上，A、O在抛物

线上，矩形A8CQ在抛物线与x轴所围成的图形内.

(1)求二次函数的解析式；

(2)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABC。的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x

的取值范围；

(3)是否存在这样的矩形ABC。，使它的周长为9?试证明你的结论.

【分析】（1）由顶点坐标（0,2）可直接代入y=-〃苏+4/〃，求得根=点即可求得抛物线的解析式；

（2）由图及四边形A8CD为矩形可知AZ）〃尤轴，长为2尤的据对值，的长为A点的总坐标，由x与y

的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABC。在抛物线里面，所以x小于0,大于抛物线

与x负半轴的交点；

（3）由（2）得到的〃关于x的解析式，可令0=9,求x的方程，看尤是否有解，有解则存在，无解则

不存在，显然不存在这样的，

【解答】解：（1）•・•二次函数y=-/+4根的顶点坐标为（0,2）,

/.4根=2,

即m=

2

抛物线的解析式为：尸—吴+2；

（2）点在无轴的负方向上坐标为（尤，》）,四边形A2CD为矩形，在尤轴上,

：.AD//x^A,

又\•抛物线关于y轴对称，

C点关于y轴分别与A、8对称.

...AD的长为-2x,A8长为y,

；・周长p=2y+4x=2（-#+2）-4x=-（x+2）2+8.

♦..矩形A8CO在抛物线与无轴所围成的图形内，

/.-2cxe0,

:.p=-（尤+2）2+8,其中-2cxe0.

（3）不存在，

证明：假设存在这样的p,即:

9=-（尤+2）2+8,

解此方程得：X无解，所以不存在这样的p.

【点评】本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结

合，此题算是中档题，考点还是比较基础的.

7.如图，一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线-2x+c与x轴交于另一

点、B,抛物线顶点为E,连接AE.

(1)求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；

(2)点P是线段AE上的一动点，过点尸作PF平行于y轴交AC于点R连接EF,求面积的最

大值及此时点P的坐标；

(3)若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的

四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为(-3,0)、(0,3),将点

A、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)S^PEF=|PFX(XE-x)=|x(2x+6-x-3)(-1-x)=—g(x+3)(.r+1),即可求解；

(3)分点、M(m,0)在无轴上、点M在y轴上两种情况分别求解.

【解答】解：(1)一次函数丫=尤+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为(-3,0)、(0,3),

将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：6解得：［«=-1；

故抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3,

顶点EC-1,4)；

(2)将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AE的表达式为：y=2x+6,

设点尸(尤，2x+6),则点P(x,x+3),

11-1

S/\PEF=-PFX(XE-x)=-X(2x+6-x-3)(-1-x)=--(x+3)(x+1),

当x=-2时，SMEF有最大值为5

此时点P(-2,2)；

(3)点A、E的坐标分别为(-3,0)、(-1,4),AE?-=20,

①当点MCm,0)在无轴上时，

设点N(s,力，

则AE=MN,且AE中点坐标为MN中点坐标，

'm+s=-4(t=4

即：t=4,解得：］s=-lM-3,

m

(一s)?+/=20=_3或一1

故点N(-3,4)；

②当点M在y轴上时，

同理可得：点N(-4,3)或(-4,1)；

综上，点N坐标为：N(-3,4)或(-4,3)或(-4,1).

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、一次函数、面积的计算等，其中(3),

要注意分类求解，避免遗漏.

8.如图1,直线。：y="\/Wx+6与x轴，y轴分别交于8,A两点，过点A做AC_LA8交无轴于点C,将直线

/i沿着无轴正方向平移机个单位得到直线/2交直线AC于点D交x轴于点E,将△CDE沿直线L翻折

得到点F

(1)若%=2百，求点E；

(2)若△BCT的面积等于4次，求L的解析式;

(3)在(1)的条件下，将△A3。绕点C旋转60°得到△4601,点R是直线已上一点，在直角坐标

系中是否存在点S,使得以点4、囱、R、S为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点S的坐标；若不存

在，请说明理由.

图1

【分析】(1)平移人是相同的，得到平移后解析式尸旧(x-2V3)+6=V3x；

(2)直线AC的解析式y=-今+6,设/点的纵坐标为〃，利用面积求出力，在RtCED中,CD=1,求

出CE=誓进而求解;

(3))△ABO绕点C旋转60°得到AAiSOi，得到△BCBi，△OOC都是等边三角形，当SASAi是矩

形时，BtR±BiAi，R在y=VIx上，R(2®6)；当41s是矩形时，B\RLRA\,R与。重合，氏(3百，

9)；

【解答】解：(1)y=VIr+6与x轴，y轴分别交于2,A两点，

ZM(0,6),B(-2V3,0),

Vy=V3.r+6向右平移2旧个单位，

y=V3(.¥-2V3)+6=V3.¥,

：.E(0,0)；

(2)I2：y=V3(x-m)+6,

'.E(m-2V3,0),

■：AC±AB,

直线AC的解析式y=-yx+6,

：.C(6V3,0),

：.EC=8y/3-m,

设F点的纵坐标为〃，

BC=8V3,

•.•△8CF的面积等于4百，

/.4V3=|X8V3/7,

VtanZB=—=V3

OB,

：.ZABO=60°,

AZBAC=30°,

:・CF=2,

在R/CED中，CD=\,，CE=竽，

：.OE=—V3,

3

.22V3

••m=---,

3

y=y[3x-16；

(3)△ABO绕点C旋转60°得到△AiBiOi，

：.ABCB!，△OOiC都是等边三角形，

：.B\(2V3,12),Oi(3V3,9),Ai(6V3,12),

当BRSAi是矩形时，BrRLBiAi，R在y=岛上，

：.R(2V3,6)；

：.S(6V3,6)

当B1A1RS是矩形时，AiBiXBiT?,R在>=其上，

：.R(6V3,18),

；.S(2V3,18),

当BRAiS是矩形时，R与Q重合，

：.R(3V3,9),R(5A/3,15),

；.S(5V3,15),S(3V3,9),

故存在R使得以点4、Bi、R、S为顶点的四边形是矩形，

S(6V3,6),S(2V3,18),5(5V3,15),S(3V3,9)；

【点评】本题考查一次函数的性质，一次函数的平移，矩形的性质，直角三角形，直线的平行于垂直，

探索点的存在性；能够结合直角三角形知识解决点的问题是难点，数形结合是探究矩形存在的有效手段；

9.如图，抛物线y=—¥+g+1与y轴交于点A,对称轴交x轴于点2,连A3,点尸在y轴上，点。在抛

物线上，是否存在点尸和。，使四边形ABP。为矩形？若存在，求点。的坐标.

【分析】先令x=0,求出y的值得到A。的长度，根据对称轴解析式求出的长度，根据矩形的四个

角都是直角可得/ABP=90°,然后求出从而得到△AOB和△80P相似，利用相似三

角形对应边成比例求出0P的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标，然后求出点。的坐

标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点。的坐标代入抛物线解析式进行验证即可.

【解答】解：存在点尸(0,-4),。(-2,-3),使四边形A2P。为矩形.

理由如下：令x=0,贝!|y=l,

：.AO=1,

4

•••抛物线对称轴为直线x=-一\=2,

2x(-3)

.•.02=2,

.四边形ABP。为矩形,

・•・ZABO+ZPBO=ZABP=90°,

VZBAO+ZABO=90°,

：.ZBAO=ZPBO,

又•・・NA03=N30P=90°,

・•・△AOBsdBOP,

・AOOB

••—,

OBOP

即工=—,

2OP

解得0P=4,

.,.点P的坐标为(0,-4),

尸的中点，即矩形的中心C的坐标是(0,-1.5),

解得x=-2,y=-3,

:.点Q的坐标为(-2,-3),

当尤=-2时，y=--X(-2)2+-x(-2)+1=-i--+l=-4+1=-3,

/3333

...点。在抛物线产-#+1+1上，

故存在点尸(0,-4),。(-2,-3),使四边形A2P。为矩形.

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称的点

的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征，利用中心对称求出点。的坐标是解题的关键.

10.如图，抛物线y=af+bx+5经过点A(-1,0),B(2,5),抛物线与x轴的另一个交点为C点，点P

为y轴上一动点，作平行四边形BPCD

(1)求C点的坐标；

(2)是否存在尸点，使四边形BPC。为矩形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连结尸八，尸。的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；

(4)若E为AC中点，求抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标尤的范围.

【分析】（1）将A、8两点的坐标代入>=加+灰+5,利用待定系数法求出函数解析式，再将y=0代入，

解一元二次方程即可求出C点的坐标；

（2）设抛物线y=-|/+争+5与y轴交于点凡连结8尸，则N8EP=90°,先证明△BPf's△尸c。，

根据相似三角形对应边成比例列式求出0尸，然后写出点尸的坐标即可；

（3）连接2C,设尸。、2C相交于点根据平行四边形的对角线互相平分可得再求出点〃

的坐标，再根据垂线段最短可得轴时，PH最短,从而求出P”，再求出PD即可；

（4）先写出以点E为圆心，以2为半径的圆的解析式，然后消掉x得到关于y的一元二次方程，求解得

到y的值，再代入抛物线解析式求出到点E的距离等于2的横坐标x的值，然后根据函数图象解答.

【解答】解：（1）:抛物线>="2+法+5经过点A（-1,0）,B（2,5）,

.（CL—b+5=0

••14a+2b+5=5

・57.10,

・・y=—才+/+c5，

当y=0时，—#+争+5=0,

解得X1=-bX2=3,

・・・。点的坐标为（3,0）；

（2）如图，设抛物线〉=一¥+争+5与y轴交于点尸，则尸点坐标为（0,5）,连结3足

,:B（2,5）,

：.ZBFP=90°,

•・•四边形5尸。。为矩形，ZBPC=90°,

：.ZBPF+ZOPC=90°,

9：ZOPC+ZPCO=90°,

・•・ZBPF=ZPCO.

在ABPF与APCO中，

{ZBPF=ZPCO

LBFP=乙POC=90。'

:•△BPFsApcO,

.PF_BF

''co-P0'

；B(2,5),F(0,5),C(3,0),

：.BF=2,OC=3,OF=5,

：.PF=5-OP,

.5-OP_2

・.3-0P，

整理得，。尸-50尸+6=0,

解得。尸=2或OF=3,

.♦.点P的坐标为(0,2)或(0,3)；

(3)连接3C,设尸。、BC相交于点

:四边形BPCD是平行四边形，

:.PD、BC互相平分，

：.PD=2PH,

又二C(3,0),B(2,5),

.•.点，的坐标为(2.5,2.5),

根据垂线段最短，轴时，P”最短,

此时，PH=2.5,

PD=2PH=2X2.5=5；

(4)抛物线解析式为、=-1v+yX+5=-j(,r-1)2+y,

为AC中点，

.♦.点E的坐标为(1,0),

...以E为圆心，以2为半径的圆为(x-1)2+y2=4,

与抛物线解析式联立消掉(x-1)2得，—|(4-/)+§=y，

整理得，5y2-3y=0,

解得yi=O，

整理得，（%-1）2=备

缶力4日5-V915+V91

角牛得Xl=---,X2=---，

故当-IV尤〈上中或世咨《<3时，抛物线上的点到£点的距离小于2.

【点评】本题是二次函数综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数解析式，相似三

角形的判定与性质，平行四边形的对角线互相平分的性质等知识，综合性较强.利用圆的解析式求出抛

物线到点E的距离等于2的点的纵坐标是解题的关键，也是本题的难点.

11.如图，在平面直角坐标系中，RtA4BC的斜边AB在无轴上，顶点C在y轴的负半轴上，tan/A8C=|,

点尸在线段0C上，且PO、PC的长（PO<PC）是f-12x+27=0的两根.

（1）求尸点坐标；

（2）若的平分线交无轴于点。，求直线CD的解析式；

（3）若M是射线上的点，在平面内是否存在点。，使以A、C、M、。为顶点的四边形是矩形？若

存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由尸。、PC的长（PO<PC）是x2-12尤+27=0的两根，解方程可得出尸。=3,结合点尸在

线段OC上可得出P点的坐标；

（2）由（1）可得出0C的长，结合tan/ABC=2在直角三角形COB中可求出02的长度，由/C43与

4

/A8C互余可得出cotZB^C=tanZABC,在直角三角形40C中可求出A0的长度，从而得出B、A点

的坐标，设点。的坐标为（加0）,根据角平分线的性质结合三角形的面积可得出关于根的一元一次方

程，解之即可得出结论；

（3）分四边形ACQW为矩形及四边形AMC。为矩形两种情况考虑：①当四边形ACQW为矩形时，设

出点。的坐标，利用等腰直角三角形的性质可得出关于x的无理方程，解之即可得出点。的坐标；②当

四边形为矩形时，设出点。的坐标，利用等腰直角三角形的性质可得出关于x的无理方程，解之

即可得出点。的坐标.综上即可得出点。的坐标.

【解答】解：（1）IPO、PC的长（P0<PC）是f-12尤+27=0的两根,

Z.PO=3,PC=9.

又：点尸在线段OC上，

.••点尸的坐标为（0,-3）.

（2）VPO=3,PC=9,

OC=OP+PC=\2,

.•.点c的坐标为（o,-12）

在RtZXCOB中，tanZABC=-,OC=12,

4

...点2的坐标为（0,16）.

•••△ABC为直角三角形，

cotZBAC=tanZABC=

4

在RtAAOC中，cotZOAC=-,OC=12,

4

・•・OA=0C・cotZOAC=9,

・••点A的坐标为（-9,0）.

设点。的坐标为（m,0）,

・・,点D为/ACB的平分线上的点，

.m+9_