指数函数与对数函数专项复习（4大考点19种题型）解析版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第一册）

指数函数与对数函数专项复习

（4大考点19种题型）

【考点1:指数易运算】.........................................................................1

【题型一：根式的化简求值】....................................................................2

【题型二：分数指数暴与根式的互化】............................................................3

【题型三：指数幕的化简求值与证明］............................................................5

【考点2：指数函数的图象与性质】..............................................................8

【题型四：指数函数的概念】...................................................................10

【题型五：指数函数的图象】...................................................................11

【题型六：指数函数的定义域与值域】...........................................................15

【题型七：指数函数的单调性】.................................................................17

【题型八：指数函数的最值】...................................................................21

【题型九：指数函数的应用】...................................................................25

【考点3：对数运算】..........................................................................28

【题型十：指数式与对数式的互化】.............................................................28

【题型十一：对数运算性质的应用】.............................................................29

【考点4：对数函数的图象与性质】.............................................................32

【题型十二：对数函数的概念】.................................................................34

【题型十三：对数函数的定义域】...............................................................35

【题型十四：对数函数的值域］.................................................................36

【题型十五：对数函数的图象】.................................................................38

【题型十六：对数函数的单调性】...............................................................42

【题型十七：对数函数的最值】.................................................................47

【题型十八：反函数】..........................................................................50

【题型十九：对数函数的应用】.................................................................53

【考点1:指数塞运算】

【知识点：指数募运算】

1.根式

（1）根式的概念

若廿=",则X叫做a的〃次方根，其中”>1且"WN*.式子血叫做根式，这里“叫做根指数,叫做

被开方数.

（2）«的n次方根的表示

—（当"为奇数且”>1时），

*"=心1=±*（当〃为偶数且”>1时）.

2.有理数指数塞

m

n=

正分数指数幕：a\[ap(a>0,m9〃£N*,且〃>1)

塞的有

-Il

n

关概念负分数指数然：a=二=~^=5>0,m,〃£N*,且〃>1)

V«-

0的正分数指数第等于。，0的负分数指数塞五意义

aras=ar+s(a>Q,r,s《Q)

有理数

指数募伍丁=心5>0,r,s£Q)

的性质

(abY=a、r(a>0,b>0,r^Q)

【题型一：根式的化简求值】

1.（24-25高一上•全国•课后作业）计算）（1+0）3+玳1一后）4的值为.

【答案】20

【分析】根据根式的性质化简求值.

【详解】'（1+可+“1一码4=1+V2+|1-V2|=1+V2+V2-1=2A/2.

故答案为：2后

2.（24-25高一上•全国•课后作业）若J（3"iy=#（1-3°）3,则实数。的取值范围为（）

A.收B.（0,1]C.D.1

—,+oo

3

【答案】C

【分析】根据根式的性质化简得解.

【详解】yl0a-l）2=\3tz-l|,^（1^7=1—3a.

因为|3。-11=1-3。，故3。一1«0,所以

故选：C

3.（24-25高一上•广东广州•期中）下列各式正确的是（）

A.y[ab=y[a-4bB.a4-a=y1-a3

C.=a3D.J—=—y[-a

\aa

【答案】D

【分析】利用根式计算法则可知当Q<0时，选项ABC均不成立，即可得出结论.

【详解】对于A,当〃<0/<0时，痴=6.痣不成立；即A错误；

对于B,由J-a可知/v0,因止匕〃=—J—苏,即B错误;

对于C,当QVO时，府=〃3不成立，即C错误;

对于D,显然avO所以」v^二即D正确.

a

故选：D

（河Ta7（）

4.（24-25高一上•云南大理,期中）已知a>0,化简:

a-y[a

ii11

A7B,6C.D.a

-aaa6

【答案】D

【分析】化为分数指数塞，再计算即可.

2313

a3•a2a6

【详解】———Q,

a6yfa_1_

a-a「6

故选：D.

5.（多选）（24-25高一上•全国•课后作业）已知aeR,〃eN*,给出下列4个式子，其中有意义的是

)

A.^/-22"B.正2严1C.0(-2产D.彳

【答案】BCD

【分析】根据根式的意义逐项分析判断即可.

【详解】对于选项AC：因为-22"<0,（-2）2">0,可知正*无意义，#（-2产有意义;

对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即行尸、尸均有意义；

故选：BCD.

【题型二：分数指数基与根式的互化】

a

1.（24-25高三上•上海•阶段练习）已知。>0,将了产化为有理数指数基/形式，则左=.

7

【答案】

46

【分析】将根式化成分数指数幕即可.

7

故答案为：—

6

2.（24-25高一上•山西晋城•期中）小王同学经过化简，得到恒等式蟀普飞

xy

=ab(a>0,b>0)f则

x+y=.

【答案】»131

66

【分析】将根式化为分数指数辕，利用待定系数法计算即可.

1233122313

【详解】根据题意j+3飞庐+3%=优/，故x==+y=

13

故答案为：—

6

3.（24-25高一上•云南大理•期中）已知。>0,化简：的"=（）

a-y/a

【答案】D

【分析】化为分数指数累，再计算即可.

313

(W)a3-a2a6

【详解】

a6y[a

a-a6a6

故选：D.

4.（24-25高一上•福建泉州•期中）若。＜0,昉T=/,则私”不能满足的条件为（)

A.加为奇数，”为偶数B.加为偶数，力为奇数

C.加，"均为奇数D.加，〃均为偶数

【答案】A

【分析】根据分数指数幕的定义判断即可.

【详解】对于A：因为。＜0,当机为奇数，〃为偶数时,am＜Q,此时而^无意义，不合题意，故A错误;

对于B：因为。＜0,当掰为偶数，力为奇数时，am＞0,止匕时行=口£,符合题意，故B正确；

对于C：因为。＜0,当加为奇数，”为奇数时，am＜Q,此时值=/,符合题意，故C正确;

对于D：因为。＜0,当加为偶数，”为偶数时，am＞0,止匕时痂=符合题意，故D正确;

故选：A

5.（24-25高一上•全国•课后作业）将下列根式化成分数指数幕的形式：

【答案】⑴/

⑵/

13

(4)°药

【分析】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数塞，结合指数幕运算求解即可.

3

1

15

r—

(2节

J

7

（3）原式=

【题型三：指数幕的化简求值与证明】

1.（24-25高一上•全国裸后作业）化简（行+V2）2020•（V3-V2）2021=.

【答案】V3-V2/-V2+V3

【分析】根据指数的运算法则化简求解.

【详解】（用《广.严/芦=［使+也）（5V2）］2020（百-0）

故答案为：＞/3-V2

4

2.（24-25高一上•全国•课后作业）化简2x2-V2X8°-25+(-2020)°=

【答案】214

【分析】利用指数幕的运算性质计算可得所求代数式的值.

,4

313

77

【详解】原式=2x2X3+2yx2z-4x——24-24+l=2x22x33+2-3-2+1=214.

V)\74

故答案为：214.

£_2

3.（24-25高一上•广东广州•期中）⑴求(1.5L+12；j-兀。-1|了的值;

(2)己知10"=3,10'=4.求10“+〃及10°4的值

13

【答案】(1)(2)12)

【分析】(1)根据根式与指数式的互化和指数的运算性质计算求解即可;

(2)根据指数的运算性质计算求解即可.

(2)因为10"=3,10夕=4,

产」0丁3=3=3

所以10。+尸=10、102=3x4=12；一巨一，-1-2.

102(IO)42

4.(24-25高一上•宁夏石嘴山,期中)求值：

(2)V-125+#(-36)2+0(兀一针-3(3-兀f

【答案】⑴誉22

(2)2

【分析】(1)根据指数运算的知识求得正确答案.

(2)根据根式运算的知识求得正确答案.

【详解】(1)2

(2)#一125+1(-36)2+0(兀-4)6-3(3-兀)3

=,(-57++|兀-4卜(3-兀)

=-5+6+4—兀-3+兀=2.

5.（24-25高一上•全国•课后作业）计算下列各式（式中字母都是正数）：

（1）（20+2、x（2；了一（0.01产；

(3)(丁广)(-4/町^(12a-4F2c)；

⑷2疗+4机百口".

【答案】⑴《

(2)100

⑷％3-2〃-

2

【分析】（1）利用指数幕的运算性质化简求值即可；

（2）利用指数累的运算性质化简求值即可；

（3）利用指数募的运算性质化简求值即可；

（4）根据指数幕的运算法则，以及根式与指数基的互化公式，即可求解;

【详解】（1）原式=I+J_X（±¥_（L¥=I+，_L=3；

4UOOj61015

5937

=-+100+——3+—=100；

31648

(3)原式=—4-t尸

=_16Z-3-(-4)Z?-2-(-2)C-1

3

（4）原式=2标+4（/痴丫3/3

7

i2_J_3、a14

=-a36,b63b2=-a2b3.

272

【考点2：指数函数的图象与性质】

【知识点：指数函数的图象与性质】

1.指数函数的图象

y=ax(a>0且

函数9

0<a<la>\

yy

y=a,

图象蛤一尸1/---y=l

01%0i%

在x轴上方,过定点(0.1)

图象

当X逐渐增大时，当X逐渐增大时，

特征

图象逐渐下降图象逐渐上升

2.指数函数图象画法的三个关键点

画指数函数了=砂5>0,且"W1)的图象，应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),(一1,J

3.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(l)y=oS(2)y=frS(3)y=cS(4)『=/的图象，底数a,b,c,〃与1之间的大小关系

为c>d>l>a>b.

由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大.

4.指数函数的性质

x

y=a(a>0f且aWl)

函数

0<a<la>l

性定义域R

质值域(0,+°0)

单调性在R上是减函数在R上是增函数

当x=0时，尸1

函数值变当x<0时，

当x<0时,y>l；

化规律0<v<l；当x>0时，

当x>0时，0<问

J^l

［方法技巧］

看美石数东森美索而看见题型友耒籀总茂

(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较.

(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数"

的取值范围，并在必要时进行分类讨论.

［方法技巧］

形如^=。"+>0丫+，(。>0,且°W1)型函数最值问题多用换元法，即令，=«*转化为y=/2+bf+c的最值

问题，注意根据指数函数求，的范围.

［方法技巧］

写相薮函薮有关的革相应面鬲余葡赤彝

⑴求复合函数的定义域；

(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；

(3)分层逐一求解函数的单调性；

⑷求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).

【题型四：指数函数的概念】

1.(24-25高一上•全国•课后作业)若函数了=(4-3〃厂是指数函数，则实数。的取值范围为.

4

【答案】(—8,1)U。,1)

【分析】利用指数函数定义可求解.

［4-3«>0

【详解】因为函数歹=(4-3〃厂是指数函数，所以需满足L,1,

［4-3(21

44

解得。<§且QW1.故实数a的取值范围为(-8,1)U(1,-).

4

故答案为：（-8,1）U（1,§）.

2.（24-25高一上•北京•期中）已知指数函数“X）的图象经过点（-1,2）,则这个函数的解析式是.

【答案】/w=QJ

【分析】利用待定系数法可得解.

【详解】由已知,设/（力=优,。>0且”1,

又函数图像过点（T2）,

即=2,

解得。=；，

即心口，

故答案为：=

3.（24-25高一上•广东广州•期中）下列是指数函数的是（）

A.y=-3TB.y=2x2—1C.y=a'+lD.y=K'

【答案】D

【分析】运用指数函数的概念判断即可.

【详解】根据指数函数的特征：系数为1,底数满足。>0且awl,自变量在指数位置可知，A,B,C不满足,

D满足.故选D.

答案：D.

【题型五：指数函数的图象】

1.（24-25高一上・江西南昌•阶段练习）函数歹=疝-。”（a>0,且awl）的图象可能是（）

V

A.>B._____

【分析】当X=-1时，，=0,可排除A、B、C；当0<”1时，结合函数性质可得D选项符合要求.

【详解】当x=-l时，y=a'-a}=0,故A、B、C错误；

当a>l时，若x=0,贝！］y=。°一=1—L>o,

a

且^=优-。一|在R上单调递增，D选项不符合；

当0<°<1时，y=a*在R上单调递减，

若x=0,贝!］y=a。-qT=］」<0,D选项符合；

a

故函数了=ax-a-'（a>0,且a*1）的图象可能是D.

故选：D.

2.（多选）（24-25高一上•辽宁•期中）已知函数/（x）=/-b（a>0,且awl）的图象如图所示，则下

C.2j<1D.g（x）=6=a的图象不经过第四象限

【答案】BD

【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案.

【详解】对于A,由图象可知函数单调递减，则0<a<l,故A错误；

对于B,当％=0时，f（Q）-a'-b=\-b,由图象可得1-6<0,解得6>1,故B正确;

对于C,由-1<-。<0,贝IJ6-a>0,由>=2*是增函数，则2j>2°=1,故C错误;

对于D,由6>1,0<a<1,则函数g（x）是增函数,

当x=0时，g（0）=Z>°-a=l-a>0,故D正确.

故选：BD.

3.（24-25高一上•广东•期中）函数>的图象恒过定点.

【答案】（1,1）

【分析】根据指数函数过定义（。，1）分析求解即可.

【详解】令x-l=0,解得x=l,此时y=2-a°-1=1,

所以函数了=2刀1-1（.>0,。*1）的图象恒过定点（1,1）.

故答案为：（1,1）.

4.（24-25高一上•全国•课后作业）若将函数更换为了=[3）,并得到如下图象，试根据函数y=的图

⑵尸出T

131

【答案】⑴答案见解析

（2）答案见解析

⑶答案见解析

【分析】运用指数函数图像，和平移对称变换规律作图即可.

【详解】(1)将已知图象向右平移一个单位即可,

图①

(2)将已知图象向下平移一个单位即可,

(3)作已知图象关于x轴对称的图象即可,

图③

5.(24-25高一上,福建厦门•期中)已知函数是定义域为R上的奇函数，当xNO时，〃x)=2，-l.

⑵写出的解析式;

⑶画出函数/（X）的图像.

【答案】⑴-收+1

2Txz0

(2)/(x)=

-2-x+l,x<0

⑶作图见解析

【详解】（1）因为〃x）是定义域为R上的奇函数,

(2)当x<0时，-x>0,则/(尤)=-/(-》)=-2「，'+1,

2'-l,x>0

则〃x）=

-2-x+l,x<0

（3）作出图形如下图所示:

【题型六：指数函数的定义域与值域】

1.（24-25高一上•福建福州•期中）函数/■（x）=（；『a的值域为（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[2,+动D.（2,+»）

【答案】B

【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域.

【详解】依题意，X2-2X=（X-1）2-1>-1,当且仅当x=l时取等号，而函数y=（g）'在R上单调递减,

则0<g广2工<弓尸=2,所以函数/（x）=g广2,的值域为（o,2],

故选：B

2.（24-25高一上•全国•随堂练习）函数旷=o3口的定义域为-

【答案】{X|XN±1}

【分析】利用分母不为0即可求解.

【详解】由解得：xw±l,所以函数>=0,78的定义域为{x1x*±l}.

故答案为：{x|x*±l}

3.（24-25高一上•安徽合肥•期中）设g（x）=x+：-2,若不等式g（3，）-h3♦之0对任意xe［1,2卜恒成立,

则人的取值范围是.

【答案】［-恐；

【分析】参变分离，只需先V-2^+1，换元得到函数的最小值，得到答案.

-Jmin

【详解】•••g（x）=X+--2,g（3,）-h3,20对任意xe［1,2］时恒成立，

即3,+：-2-h3、N0对任意xw［1,2］时恒成立，

:.k<一2］（］+1对任意xG［1，2］时恒成立,

只需左4④土卜1，

-」min

令/=：,由xe［l,2］得fe,

设人⑺=/-2/+1=（"1）2

当"（即x=l时，〃«）取得最小值］

39

4

■■kW〃⑺疝n=-，

.:人的取值范围为.

故答案为：,"J

4X-1

4.（24-25高一上•浙江绍兴•期中）已知函数=

⑴求函数/（x）的定义域和值域;

（2）判断并证明了（x）的奇偶性.

【答案】⑴定义域为R,值域为（T1）

（2）〃x）为奇函数，证明见解析

【分析】（1）由定义域的定义以及分离常数法结合指数函数性质即可得解;

（2）由奇函数定义证明即可.

【详解】（1）函数/（x）的定义域为RJ（x）=W^=l-不片，

12

•.-4^+1>1,.-.0<—<1,0<汴<2，

函数/（无）的值域为（一1,1）;

（2）“X）定义域为R,关于原点对称,

4-x-l1-4X

4-x+l1+41

所以函数/（x）为奇函数.

5.（24-25高三上•陕西渭南•阶段练习）已知函数/（尤）满足/（2x）=/iF,其中0>0且awl.

⑴求的解析式；

⑵若。=2,求函数y的定义域;

（3）讨论“X）的值域.

【答案】（1）/（》）=优*,其中。>0且awl

（2）[-1,2]

⑶见解析

【分析】（1）利用换元法即可求解，

（2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解，

（3）对“分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解.

【详解】（1）/（2X）=/1/='>（2*）；令，=2%，则/⑺

故/'(x)=a**,其中。＞0且”1

(2)当a=2时，f(x)=2x-x\则>==—(，

^2M2-^>0,则》一/2一2,解得X-/N-2,解得-14X<2,

4

故尸“⑴的定义域为[-1,2]

(3)由于y=1一12=_1一:]+：S；，故

1

当a>1时〃x）=优一'</，故值域为

【题型七：指数函数的单调性】

1.（24-25高一上•江西南昌•阶段练习）若指数函数〃x）=S-2）、为减函数，则实数。的取值范围为.

【答案】（2,3）

【分析】根据指数函数的性质可得0<。-2<1,解得即可.

【详解】因为指数函数/（x）=（“-2）'为减函数，

所以0<。-2<1,解得2<a<3,所以实数。的取值范围为（2,3）.

故答案为：（2,3）

2.（24-25高一上•浙江杭州•期中）如果3—3<9一,则无的取值范围为.

【答案】（-3,1）

【分析】根据指数函数的单调性得到x?-3<-2x,由此求解出结果.

【详解】因为3‘-3<9-，=3'-3<33,且y=3*在（-叱+8）上单调递增，

所以尤2-3<-2x,解得-3<x<1,

故答案为：（-3,1）.

3.（24-25高一上•浙江宁波•期中）已知函数〃x）=（：+2））<1（a>一2且"-1）在定义域内单调,

x-2ax+2,x>1

则。的取值范围是()

A.(-1,1]B.C.D.(-2,-l)U^-l,1

【答案】B

【分析】由题意可知每一段函数在其定义域上为增函数，再当x=l时，/一2"+22(0+2)，可求得结果.

【详解】因为函数〃尤)=(：+2)，x<l(。>一2且。#一1)在定义域内单调，而了=/-2"+2在[1,+功

x-2ax+2,x>1

上只能单调递增，

所以"》)=八：+2)，x<l在定义域内单调递增，

x-2ax+2,x>1

a+2>l

所以，a。，解得-

F-2。+22Q+2

即a的取值范围为[-1].

故选：B

4.(多选)(24-25高一上•浙江温州•期中)设常数aeR,函数/(X)=32T-3'-X+。，则()

A.函数/'(x)在R上单调递减

B.当。=1时，y=/(久)的图像关于直线x=l对称

C.对任意aeR,y=/(久)的图像是中心对称图形

D.若/(m)+/(n)>2a-2,则机+〃<2

【答案】ACD

【分析】对A,根据指数函数的单调性判断即可；对B,判断〃2-工)=〃力是否成立即可；对C,求解

42-x)+/(x)为定值判断即可；对D,根据/(x)的单调性与对称性判断即可.

【详解】对A,因为y=32r为减函数，y=3工为增函数，>=》为增函数，

故〃x)=32r-3'x+a为减函数，故A正确；

对B,当a=l时，/(^)=32''-3'-x+1,

/（2-X）=3X-32^-（2-X）+1=3I-32-X+X-1=-/（^），

故y=f（x）的图像关于（1,0）对称，故B错误；

对C,因为/（2—尤）+/（力=3工一32-，一（2—x）+a+32T-3*-x+a=2a-2,

故对于任意aeR,丫=/（乃的图像关于（1,。-1）对称，故C正确；

对D,由C可知/（m）+〃2_相）=2"2,

故/（加）+/（"）>2。-2［ip/（n）>2a-2-/（m）=/（2-m）,

又y=f（x）为减函数，i^n<2-m,即加+〃<2,故D正确.

故选：ACD

5.（24-25高一上•全国•课后作业）比较下列各组中两个值的大小：

⑶1.4°,，O.903.

Hirxr

（3）1,401>0,903

【分析】（1）函数7=（mJ在定义域R上单调递减，比较大小；

（2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数y=与>=（：］的图象，取点比较大小;

（3）分别构造函数夕=1.4工与y=0.9"借助中间值比较大小.

【详解】（1）...函数>=］在定义域R上单调递减，

1.8>—2.5,

（2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数y=与y=的图象，如图所示，

当x=—0.5时，观察图象易得［'［"，>］（）心

（3）分别构造函数》=14与>=0.9"

•■-1.4>1,0<0.9<1,；.了=1.4，与了=0.9，在R上分别为增函数和减函数.

,■-0.1>0,.-.1.401>1.4°=1,

•••0.3>0,O.903<0.9°=1,.-.1,401>0.903.

6.（24-25高一上,江西南昌,阶段练习）已知定义域为（-2,2）的函数/（x）=优-（"1）「（a>0,a*1）是奇

函数.

⑴求实数上的值：

（2）若/⑴<0,判断函数/（无）的单调性，若/（苏-2）+〃加）>0,求实数加的取值范围.

【答案】⑴2

⑵/（尤）在（-2,2）上单调递减，（-2,0）u（0,l）

【分析】（1）根据奇函数的性质/（。）=0求出参数的值，再代入检验即可；

（2）根据/⑴<0确定。的取值范围，再根据指数函数的性质判断/（X）的单调性，最后根据函数的单调性

与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】⑴因为定义域为（-2,2）的函数/（力=，-（左-1）「（。>0,。-1）是奇函数,

所以〃0）=0,即解得左=2,

则/⑺=a〜(-x)=-ax=-(ax-ax)=-f(x),符合题意;

故人=2；

(2)因为了。)<0,即。一工<0,又。>0且awl,

a

所以0<a<1,

而丁=优在(-2,2)上单调递减，y=/在(-2,2)上单调递增，

所以/四=优-「在(-2,2)上单调递减；

不等式/(痴一2)+/⑹>0,即-2)-加),

m-2<-m

等价于<一2<加之_2<2,角窣得一2(冽<0或0<加<1,

—2<-tn<2

所以实数用的取值范围(-2,0)口(0,1).

【题型八：指数函数的最值】

1.(24-25高一上・山东泰安・期中)已知函数/(引="：2)：+3"1"。(0<@<2且"1),若有

12a,x>1

最小值，则。的取值范围是()

A.^0,-|B.^1,1C.

(01)叩］D.，叩5

4

【答案】D

【分析】对“分类讨论，利用。的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求

得实数。的取值范围.

【详解】/(l)=a-2+3a-l=4a-3,

当x=1时，2储=2a，

若a>2,则当xWl时为增函数，此时无最小值，不合题意;

若a=2,当时，f(x)=5,当x>l时，2-2x=2'+,>4,此时无最小值，不合题意;

若当x41时,若x)为减函数,此时/(x)2“1)=4。-3,

当x>l时，/(X)为增函数，且此时〃x)>2a,要使有最小值，

33

则4a—3«2a,即2aW3,aV—,则1<a<—；

22

若0<Q<1,当时为减函数，此时之/⑴=4"3,

当x>2时，/(x)为减函数，且/(%)>0,要使/(x)有最小值，

33

则4Q—3<0,即aV—,贝!JO<QV—.

44

、33

综上所述，或0<q〈—.

24

二实数a的取值范围是.

故选：D.

2.(2024•福建,三模)定义在R上的偶函数/(x)和奇函数g(尤)满足〃x)+g(x)=2向，若函数

〃(力=82(力一2何'(工)(机€1<)的最小值为_12,则加=()

A.1B.3C.2>/2D.-2-V2

【答案】C

【分析】先根据函数奇偶性得到/(X)=2'、+2T,g(x)=2-2-，，从而得到

/?(x)=(2J+2-x)2-2(2J+2-x)m-4,换元得到y=r-2成-4在/e[2,+a>)上的最小值为T2,根据对称轴,

分加<2和%>2两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案.

【详解】/(x)+g(x)=2一①,故/(_x)+g(f)=23,

因为/(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，

故/(-x)=/(x),g(-x)=-g(x),所以/(x)—g(x)=2-+i②，

式子①和②联立得〃x)=2,+2一，，g(x)=2,-2一工，

A(x)=(2x-2-*)2-2(2x+2^)m=(2x+2寸一2(2,+2一，)加-4,

其中f=2*+2T22j2工.2T=2，当且仅当2*=2，即x=0时，等号成立，

所以y=产-2加-4在te[2,+8)上的最小值为T2,

由于y=--2加/-4的对称轴为/=m,

故当加<2时，y=»-2加-4在fe[2,+co)上单调递增,

故Vmin=22-4"7-4=-12,解得m=3>2,不合要求，舍去;

当％N2时，y=〃-2M-4在te[2,%)上单调递减，在/目加,+8)上单调递增，

故小n=/-2/-4=-12,解得加=2及，负值舍去；

故选：C

3.(多选)(24-25高一上,陕西汉中,期中)已知取整函数y=因的函数值表示不超过尤的最大整数，例如,

[-3.5]=-4,[1.5]=1.已知函数/(耳=总，贝U()

A.[乃-3]=0B.函数/'(x)为偶函数

C.3x0eR,[/(x0)]=lD.函数]/6]的最小值为2

【答案】ABD

【分析】根据取整函数的定义，函数f(x)的值域可判断A和C,根据偶函数的定义可判断B,利用基本不

等式可以判断D.

【详解】对于A,因为万-3e(O,l),所以[%-3]=0,故A正确；

对于B,函数/卜)=一的定义域为R,定义域关于原点对称，

且f(-x)=-----=7-----°、=------=f(x),

-八>4-*+1(rl+l)(221)1+4-'八/

所以函数/'(X)为偶函数，故B正确;

对于C,因为"x)=4'+l<-----二—

，2，

当且仅当x=0时，等号成立；所以7(x)4；,故C不正确;

当且仅当x=0时，等号成立，故D正确；

故选:ABD.

4.(24-25高一上•河北衡水•期中)已知函数〃x)=^2一体-2)x"为常数)为奇函数，函数

g(x)=a""+a,(a>0且awl)

⑴求义的值;

⑵求g(x)在［-2,2］上的最大值.

【答案】⑴发=0

f41

a+a,a>［

(2)g(xL=］上n”〃

一―+a,0<a<I

、a

【分析】(1)由/(x)为奇函数可知/(-X)=-/("，进而可得.

(2)对。进行分类为。>1和0<。<1,根据g(x)的单调性进而可得最大值.

【详解】(1)由题意可知/(-X)=_/(%),得入2+("2)x=_[履2_(02)x],

可得左=0.

(2)由(1)可知/(x)=2x,故g(x)=a"+a,

当时,g(x)在［-2,2］上单调递增，故g(x)1mx=g(2)=/+a,

当0<a<l时，g(x)在［-2,2］上单调递减，故g(x)1mx=g(-2)=a7+a=，+a

a4+a,a>l1

所以g(x)1mx=，_

+a,0<a<1

4

5.(24-25高一上•海南三亚•期中)已知函数/(x)=b•优(其中。泊为常数，且a>0,awl)的图象经过点

/(1,6),8(3,24).

⑴求/(力的表达式;

⑵若不等式+]]-机20在xe(-*1]上恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】⑴/(力=32，

⑵"24：

【分析】(1)由函数/(X)经过43两点，列出方程组，求解即可.

(2)利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可.

【详解】(1)由题意，函数"X)=6・优,a>0的图象经过点次1,6),8(3,24),

a=2

b=3

所以函数/（x）=32.

（2）不等式（；厂+，厂-加上0在xe（一刃,1］上恒成立,

贝IJ加（［（万厂+^厂院”，

令g(x)=(?+(/,

因为函数g（x）在xe（-co,l］上是减函数,

所以gOOnin=g(l)=5+1=N，

1236

所以加w之

即实数加的取值范围为加w3

【题型九：指数函数的应用】

1.（山东省潍坊市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）某放射性物质在衰变过程中，其质量优

（单位：克）与年数/满足关系式加=加2，（加。为初始质量，左为常数，e*2.718）.已知经过3年，这种

放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（）

111