中考数学几何专项冲刺复习：相似模型巩固练习（基础）含答案及解析

相似模型巩固练习

1.如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD,用长为1加的竹竿作测量工具，移动竹竿,

使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E,且点£,/,C在同一直线上.已知E/=3〃z,

AC^9m,求这棵树的高度CD.

2.如图所示,小红想利用竹竿来测量旗杆N8的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，

在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（50,另一部分落在斜坡上（CD）,他测得落

在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4a米，ZDCE^45°,求旗杆的高度？

3.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板。所测量树的高度他调整自己的位置，设法使斜边

保持水平，并且边与点2在同一直线上.已知纸板的两条边。尸=50CTM,DE=40cm,测得边。尸离地

面的高度/。=1.5加，CD—12m,求树高48.

B

4.如图，一块材料的形状是锐角三角形N3C,边BC=120mm,高AD=80%〃?，把它加工成正方形零件,

使正方形的一边在8c上，其余两个顶点分别在/8、AC±,这个正方形零件的边长是多少？

5.如图，高高的路灯挂在学校操场旁边上方，高傲而明亮.王刚同学拿起一根2%长的竹竿去测量路灯的

高度，他走到路灯旁的一个地方，点/竖起竹竿（/£表示），这时他量了一下竹竿的影长NC正好是1小，

他沿着影子的方向走，向远处走出两个竹竿的长度（即4加）到点3,他又竖起竹竿（2厂表示），这时竹竿

的影长3。正好是一根竹竿的长度（即2加），请你计算路灯的高度.

6.雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度N8.如

图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点尸

处的小水潭中看到了路灯点/的影子.已知小明的身高为L8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度/左

7.△NBC是一块直角三角形余料，ZC=90°,AC^8cm,BC=6cm,如图将它加工成正方形零件，试说

明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）

图1图2

8.如图，小明用自制的直角三角形纸板。肥测量树的高度/也他调整自己的位置，设法使斜边。尸保持

水平，并且边DE与点8在同一直线上已知纸板的两条直角边。£=40c"?,EF^30cm,测得边

。下离地面的高度。"=1.5加，求树高48.

9.在一个阳光明媚的上午，某实验中学课外实验小组的同学利用所学知识测量校园内球体景观灯灯罩的

半径，小周和他所在的小组计划借助影长进行测量，小周先在地面上立了一根0.4米长的标杆N8,并测得

其影长/C为0.3米，同一时刻在阳光照射下，小周再测景观灯（NG）的影长G8为1.8米，然后小组其

他成员测得景观灯KG的高度为2.3米（记灯罩顶端为K）.已知此时太阳光所在直线NH与灯罩所在。。

相切于点请根据以上数据，计算灯罩的半径.

祢、

0.4m\

A03mcGH

10.如图，小明晚上由路灯/下的点8处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3

米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子斯的长为2米，已知小明的身高是1.5米，求路灯的高

度.

11.已知不等臂跷跷板N8长为3米.跷跷板的支撑点。到地面的点〃的距离O〃=0.6米.当跷跷板

AB的一个端点/碰到地面时（如图1）,N8与直线N”的夹角NCM”的度数为30°.

（1）当48的另一个端点8碰到地面时（如图2）,跷跷板与直线的夹角的正弦值是多少？

（2）当48的另一个端点2碰到地面时（如图2）,点/到直线28的距离是多少米?

图1图2

12.如图，在阳光下，某一时刻，旗杆N2的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上.小明测得

旗杆在地面上的影长BC为20加，在墙面上的影长CD为4%,同一时刻，小明又测得竖立于地面长1加

的标杆的影长为0.8加，求旗杆N8的高度，

□□□

□□□

□□片

□□

3.

13.李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利

用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在厂点正好在镜中看到树尖出第二次他把镜子放在C'

处，人在尸处正好看到树尖/.己知李师傅眼睛距地面的高度为1.7加，量得CC'为12%,CF为1.8m,

CF,为3.84加，求树高.

14.光污染是继废气、废水、废渣和噪声等污染之后的一种新的环境污染源，主要包括白亮污染、人工白

昼污染和彩光污染，如图，小明家正对面的高楼外墙上安装着一幅巨型广告宣传牌小明想要测量窗外

的广告宣传牌的高度，他发现晚上家里熄灯后对面楼上的广告宣传牌从/处发出的光恰好从窗户的最高

点C处射进房间落在地板上厂处，从窗户的最低点。处射进房间向落在地板上E处（B、。、E、尸在同一

直线E）,小明测得窗户距地面的高度窗高CD=1.5小，并测得。£=1%,OF=3m.请根据以上

测量数据，求广告宣传牌48的高度.

相似模型巩固练习

1.如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD,用长为1加的竹竿作测量工具，移动竹竿,

使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E,且点£,/,C在同一直线上.已知&1=3%,

AC=9m,求这棵树的身度CD.

EAC

【解答】4m.

【解析】"AB//CD,

：.△EABs^ECD,

.AB_EA_3_1

"CD~EC~3+9-4'

.".CZ）=4.

答：这棵树的高度CD为4m.

2.如图所示,小红想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，

在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（50,另一部分落在斜坡上（CD）,他测得落

在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4a米，ZDCE^45°,求旗杆的高度？

【解答】11米

【解析】如图，

延长AD交BC的延长线于点F,过点D作DGLBC于点G,

：CD=4鱼米，ZDCG=45°,

：.DG=CG=4,

•••同一时刻物高与影长成正比，

解得尸G=2DE=8,

FG2

A10+4+8=22,

"：DG.LBC,ABLBC,

：.△GDFsABAF,

即刍=9

ABBFAB22

.♦.48=11米.

3.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板。£尸测量树的高度他调整自己的位置，设法使斜边。尸

保持水平，并且边。£与点8在同一直线上.已知纸板的两条边。尸=50c"?,DE=4Qcm,测得边离地

面的高度/C=1.5加，CD=12m,求树高N8.

B

【解答】树高10.5米.

【解析】在Rf/XDEF中，DE2,+EF2=DF2,

即：402+£7^=502,

；衣=30,

由题意得：/BCD=/DEF=90°,NCDB=NEDF,

：.△DCBsdDEF,

.CB_DC

••—,

EFDE

EF=30cm=0.3m,QE=40cm=0.4m,CD=12m,

.BC12

••=,

0.30.4

解得：5C=9米，

9：AC=1.5m,

/.AB—AC+BC=1.5+9=10.5m.

4.如图，一块材料的形状是锐角三角形48C,边BC=120mm,高4D=80mm,把它加工成正方形零件,

使正方形的一边在8c上，其余两个顶点分别在/8、AC±,这个正方形零件的边长是多少？

【解答】48mm

【解析】・・•四边形自加为正方形，

：.BC//EF,

：./\AEF^/\ABC；

设正方形零件的边长为xmm,则KZ）=EF=AT7W7,AK=（80-x）mm,

•；AD2BC,

•,•EF—AK，

BCAD

.x_80-x

**120-80，

解得：x=48.

答：正方形零件的边长为48加加

5.如图，高高的路灯挂在学校操场旁边上方，高傲而明亮.王刚同学拿起一根2%长的竹竿去测量路灯的

高度，他走到路灯旁的一个地方，点/竖起竹竿C4E表示），这时他量了一下竹竿的影长NC正好是1%,

他沿着影子的方向走，向远处走出两个竹竿的长度（即4加）到点8,他又竖起竹竿（8厂表示），这时竹竿

的影长3D正好是一根竹竿的长度（即2%）,请你计算路灯的高度.

【解答】10米.

【解析】如图，AE,3尸是竹竿两次的位置，CN和8。是两次影子的长.

由于2尸=。2=2米，即/。=45°,

所以，。尸=。尸=路灯的高度，

在△CE/与ACOP中，

'：AELCP,OPLCP,

C.AE//OP,

设4P=x米，。尸=〃米则:

。尸=O尸=2+3+1+x=儿②，

联立①②两式得：x=4,/z=10,

.••路灯的高度为10米.

6.雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度N8.如

图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点尸

处的小水潭中看到了路灯点/的影子.已知小明的身高为L8米,请你利用以上的数据求出路灯的高度/左

【解答】4.2米.

【解析】设A8=x米，AF=y米.

,JCD//AB,

：.AECDS/XEBA,

•.•CD—_EC,

ABEB

•••竺①，

x7+y

由题意，ZDCF=ZABF=9Q0,/DFC=/AFB,

：.△DCFsAABF,

•,•DC——CF,

ABBF

(X=—21

由①②解得，：4，

经检验，(1的分式方程组的解.

卜=了

.•./5=4.2米.

7.△N8C是一块直角三角形余料，ZC=90°,AC^8cm,BC=6cm,如图将它加工成正方形零件，试说

明哪种方法利用率高？(得到的正方形的面积较大)

图1图2

【解答】图1利用率高.

【解析】当所截的正方形的边在△/BC的直角边上，如图1,设正方形CD昉边长为X,则。£=xcm,BD

=BC-CD=(6-x)cm,

'JDE//AC,

：.ABDEsABCA,

.•.空=处，即工=已，

ACBC86

解得：x=—(cm),

7

即正方形BDEF边长为gc机；

当所截的正方形的边在△N8C的斜边上，如图2,作CH工4B于H,交于J,

则MN//CH,

AB=y/AC2+BC2=V82+62=10,

11

'：-CH*AB=-AC^BC

22

•「口_8x6_24(\

••CH=—\CTYl),

105

设正方形MNPQ边长为x,则QM=x,BJ=g-x,

"：QM//AB,

:.ACMQSACBA,

24

•丝=旦即土=

**ABCH'10—?

5

解得:》=翳(cm),

即正方形8。跖边长为等(cm)；

..24_120120

•713537,

.•.图1利用率高.

图2

8.如图，小明用自制的直角三角形纸板。环测量树的高度/R他调整自己的位置，设法使斜边。尸保持

水平，并且边DE与点8在同一直线上已知纸板的两条直角边。£=40c加，EF=3Qcm,测得/M=10〃?，边

。下离地面的高度DM=1.5加，求树高48.

【解答】树高为9米.

【解析】:/DEF=/BCD=90°,ZD=ZD,

：.△DEFs^DCB,

.BCCD

••—,

EFDE

,.•。£=40。冽=0.4加，EF=30cm=0.3m,AC=1.5m,CD=10m,

.BCio

••—f

0.30.4

.•.8C=7.5米，

：.AB=AC+BC=1.5+7.5=9米，

树高为9米.

9.在一个阳光明媚的上午，某实验中学课外实验小组的同学利用所学知识测量校园内球体景观灯灯罩的

半径，小周和他所在的小组计划借助影长进行测量，小周先在地面上立了一根0.4米长的标杆N3,并测得

其影长NC为0.3米，同一时刻在阳光照射下，小周再测景观灯(NG)的影长G"为L8米，然后小组其

他成员测得景观灯KG的高度为2.3米(记灯罩顶端为K).已知此时太阳光所在直线NH与灯罩所在。O

相切于点请根据以上数据，计算灯罩的半径.

【解析】设OM=r,

•••同一时刻物高与影长成正比，

.AB_NG

••=,

ACGH

nn0.4NG

0.31.8

解得NG=2.4m,

在Rt/XNGH中,NH='NG?+HG2=3机,

设。。的半径为r,连接（W,

与。。相切于点

OMLNH,

：.ZNMO=ZNGH=9Q°,

又/ONM=/GNH,

・•・△NMOS&NGH,

•,•OMNO,

GHNH

即二="，

1.83

又NO=NK+KO=(NG-KG)+KO=2.4-2.3+r=0.1+r,

则二=也11.

1.83

解得r—0.15(m)

10.如图，小明晚上由路灯/下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3

米到达点£处（即C£=3米），测得自己影子跖的长为2米，已知小明的身高是1.5米，求路灯N8的高

【解析】-：MC//AB,

：.ADCMS/\D4B,

二泊奔即济六①，

,:NE〃AB,

AFNEs/XFAB,

即竺=，—②

ABBFABBC+3+2

・12

><—,

BC+1BC+3+2

解得3c=3,

.1.5_1

*"AB_3+1'

解得/5=6,

答：路灯/的高度为6m.

11.已知不等臂跷跷板长为3米.跷跷板的支撑点。到地面的点〃的距离。"=0.6米.当跷跷板

N8的一个端点/碰到地面时（如图1）,与直线N"的夹角NCMH的度数为30°.

（1）当的另一个端点8碰到地面时（如图2）,跷跷板N8与直线8〃的夹角r的正弦值是多少？

（2）当的另一个端点5碰到地面时（如图2）,点/到直线的距离是多少米？

图1图2

【解答】（1）（2）1米

【解析】（1）证明：在必△40〃中，

VZAHO^90°,//所=30°,08=0.6,

.,.^<9=20/7=2X0,6=1.2（加），

：.OB=AB-OA=3-1.2=1.8（m）,

在中,

■:NBHO=90°,08=0.6,08=1.8,

•••s讥黑=答号

（2）过点/向直线瓦7作垂线，垂足为

在出△N3M中,

-ZAMB^,sin^ABM=l，"=3,

：,AM=AB.sin^ABM=3x1=1,

答：//2笈的正弦值为点点/到直线的距离是1米.

图2

12.如图，在阳光下，某一时刻，旗杆48的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上.小明测得

旗杆AB在地面上的影长BC为20m,在墙面上的影长CD为4m,同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m

的标杆的影长为0.8加，求旗杆的高度，

□□□

□□□

□□□

□□□

CB

【解答】29m

【解析】作DEU8于E,

•；DC工BC于C,ABLBC±B,

・・・四边形BCDE为矩形,

：.DE=BC=20mfBE=DC=4m,

・・,同一时刻物高与影长所组成的三角形相似,

,1AE

••=,

0.820

解得NE=25加，

AB=25+4=29冽.

答：