中考数学难点突破与训练：全等三角形中的一线三垂直模型（含答案及解析）

专题03全等三角形中的一线三垂直模型

【模型展示】

特点

【已知】如图，AABC为等腰直角三角形，AD±DE,CE±DE

【证明】由ZBAD+ZABD=90°,ZCBE+ZABD=90°=>ZCBE=ZBAD,

ZBAD=NCBE

同理NABD=NBCE,在AABD和ABCE中AB=BCnAABDvABCE.

ZABD=NBCE

结论^ABD=NBCE,DE=AD+CE.

【模型证明】

【结论一】

在△ABC中，/ACB=90。，AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BE_LMN于E,

解决方案

则有以下结论成立:

①△ADCdCEB;②DE=AD+BE

【证明】：

①3正明：'：AD±DE,BEVDE,

：./AOC=/8EC=90。，

ZACB=90°,

：.ZACD+ZBCE^90°,ZDAC+ZACD=9Q0,

：.ZDAC=ZBCE,

,ZCDA=ZBEC

在△4。。和4CEB中，ZDAC=ZECB

AC=BC

.♦.△ADCdCEB（AAS）.

②证明：由（1）知：AADC^ACEB,

：.AD=CE,CD=BE,

■:DC+CE=DE,

:.DE=AD+BE.

【结论二】（其他形状一线三垂直）

①DE=AD-BE

②DE=BE-AD

2

【题型演练】

一、单选题

1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所

示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a=8cm,则DE的长为（）

C.56cmD.64cm

2.如图，点尸，。分别是NABC边54,上的点，且即=4,ZABC=60°.连结P。，以尸。为边，在

尸。的右侧作等边△OPE,连结8E,则ABOE的面积为（）

C.4D.6g

3.如图，AC=CE,ZACE=90°,ABLBD,EDLBD,AB=6cm,DE=2cm,则8。等于（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

二、填空题

4.如图，已知ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,于点。，BE_LDE于点、E,且点C在。E上,

3

若AO=5,BE=8,则。£的长为

5.如图所示，AABC中，AB=AC,ZBAC=90°.直线/经过点4过点2作班—于点E,过点C作CB_L/

于点F.若BE=2,CF=5,则£F=.

三、解答题

6.已知：如图，ABLBD,ED±BD,C是8。上的一点，AC1.CE,AB=CD,求证：BC=DE.

7.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且于。，BELMN于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC四△CE2；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段。E的长.

8.(1)课本习题回放:“如图①，NACB=90。，AC=BC,AD±CE,BE,CE,垂足分别为。，E,AD=2.5cm,

DE=1.7cm.求班的长”，请直接写出此题答案：BE的长为.

4

(2)探索证明：如图②，点8,C在/M4N的边A"、AN上，A3=AC,点E,P在/M4N内部的射线

AD上，旦NBED=NCFD=NBAC.求证：AABE^ACAF.

(3)拓展应用：如图③，在AABC中，AB=AC,AB>3C.点。在边8c上，CD=2BD,点、E、歹在线

段AD上，ZBED=ACFD=ABAC.若AABC的面积为15,则AACF与ABDE的面积之和为.(直

接填写结果，不需要写解答过程)

9.问题背景：(1)如图①，已知AABC中，ABAC=9Q°,AB^AC,直线机经过点A,直线机，CEL

直线垂足分别为点。，E,易证：DE=+.

(2)拓展延伸：如图②，将(1)中的条件改为：在AABC中，AB^AC,D,A,E三点都在直线机上,

并且有ZBD4=NAEC=NBAC,请求出。E,BD,CE三条线段的数量关系，并证明.

(3)实际应用：如图③，在中,ZACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(一2,0),点A的坐标为(-6,3),

请直接写出8点的坐标.

10.如图，在AABC中，AB=BC.

cc

5

(1)如图①所示，直线过点8,AM_LMN于点M,CNLMN千点、N,且NABC=90。.求证：

MN=AM+CN.

(2)如图②所示，直线MN过点B,A4交MN于点M,CN交MN于点N,S.ZAMBZABCZBNC,

则儿W=AM+QV是否成立？请说明理由.

11.在直线机上依次取互不重合的三个点。，A,E,在直线加上方有AB=AC,且满足NBZMU/AECM

ZBAC=a.

(1)如图1,当a=90。时，猜想线段。E,BD,CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<a<180时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由.

12.如图，ZABC=90。,以，42于点A,点。在直线A3上，AD=BC,AF=BD.

(1)如图1,若点。在线段AB上，判断。尸与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若点。在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断(1)中结论是否成立，并说明理由.

13.(1)如图1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线优经过点A,8£>_L直线能，CE_L直线出

垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意钝角，请问结论DE=8O+CE是否成立？如成立，请你给出证明;

若不成立，请说明理由.

6

14.在直线加上依次取互不重合的三个点。,AE,在直线加上方有AB=AC,且满足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

(1)如图1,当。=90。时，猜想线段。E,32CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0＜。＜180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由；

(3)应用：如图3,在△ABC中，ZBAC是钝角，AB=AC,NBAD＜NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直线机

与CB的延长线交于点/，若BC=3FB,AABC的面积是12,求AfSO与AACE的面积之和.

15.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点。且AD_LMN于BELMN于E.

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①AADC空人CEB；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD—BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，

并加以证明.

16.(1)如图1,在AABC中，NBAC=90。，AB^AC,直线机经过点A,2。，直线相，CE,直线机，垂

7

足分别为点。、E.求证：△ABO名ZXCAE；

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB^AC,D、A、E三点都在直线切上，并且有

=ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△A3。g是否成立？如成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点(。，A,E三点互不重合)，点、F

为N8AC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接8Z),CE,若/BD4=NAEC=/BAC,

求证：△DE77是等边三角形.

17.已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC.BE、A。分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为。，E.

学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1,若AD=2.5cm,DE=l.lcm,求BE的长；然

后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、与直线CE的垂直关

系不变，如图2,猜想A。、DE、BE三者的数量关系，并给予证明.

(2)当直线绕点C旋转到图(2)的位置时，试问。£、AD.BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个

8

等量关系（不写证明过程）；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问。E、AD,BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个

等量关系（不写证明过程）.

9

专题03全等三角形中的一线三垂直模型

【模型展示】

特点【已知】如图,

【证明】由ZBAD+ZABD=90°,ZCBE+ZABD=90°ZCBE=ABAD,

ZBAD=ZCBE

同理NABD=NBCE,在AABD和ABCE中,<AB=BC

ZABD=ZBCE

AABD=ABCE.

结论AABD=ABCE,DE=AD+CE.

【模型证明】

【结论一】

在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且ADJ_MN于D,

解决方

案BE_LMN于E,则有以下结论成立：

©AADC^ACEB;®DE=AD+BE

10

【证明】：

①证明：'：AD1DE,BE1.DE,

：./AZ）C=/8EC=90。，

ZACB=90°,

：.ZACD+ZBCE^90°,ZDAC+ZACD=90°,

：.ZDAC=ZBCE,

,ZCDA=ZBEC

在44。（7和4CEB中，ZDAC=ZECB

AC=BC

:.△ADC-CEB（AAS）.

②证明：由（1）知：AADC^ACEB,

：.AD^CE,CD=BE,

■:DC+CE=DE,

:.DE=AD+BE.

【结论二】（其他形状一线三垂直）

①DE=AD-BE

②DE=BE-AD

11

【题型演练】

一、单选题

1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱

子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚

度a=8cm,则OE的长为（）

C.56cmD.64cm

【答案】c

【详解】由等腰直角三角形的性质可得/ACB=90。，AC^CB,因此可以考虑证明AAC。

和ACBE全等，可以证明的长为7块砖的厚度的和.

【分析】解：由题意得/AOC=/CEB=NACB=90。，AC=CB,

：.ZACD=90°-NBCE=NCBE,

在△4。9和4CBE中,

ZADC=ZCEB

ZACD=NCBE,

AC=CB

:.△ACD"XCBE(A4S),

:・CD=BE=3a,AD=CE=4a,

/.DE=CD+CE=3〃+4〃=7a,

•〃=8cm,

/.7〃=56cm,

•\DE=56cmf

故选c.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角

形的性质与判定条件.

12

2.如图，点尸，。分别是/ABC边54,8C上的点，且m=4,ZABC=60°.连结尸£）,

以P。为边，在PO的右侧作等边△OPE,连结BE,则ABOE的面积为（）

A.4-73B.2C.4D.673

【答案】A

【分析】要求ABDE的面积，想到过点E作£F_L3C,垂足为尸，因为题目已知NABC=60。，

想到把NABC放在直角三角形中，所以过点。作DGL8A,垂足为G,利用勾股定理求出DG

的长，最后证明AG尸D=AFDE即可解答.

【详解】解：过点E作EFL8C,垂足为尸，过点。作DGL8A,垂足为G,

在比ABGD中，BD=4,NABC=60。，

,-.ZBDG=30°,

:.BG=-BD=2,

2

GD=-JBD2-BG2=26，

•.♦APDE是等边三角形，

:.NPDE=60°,PD=DE,

ZPDB+ZEDF=180O-ZPDE=120°,

•//ABC=60。，

NPDB+ZBPD=180°-ZABC=120°,

:.ZBPD=ZEDF,

♦;NPGD=ZDFE=90°,

\GPD=AFDE(AAS),

:.GD=EF=2-j3,

.•.ABDE的面积=；BQ.EF,

=—x4x2G,

2

=4v5,

故选：A.

13

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线.

3.如图，AC=CE,ZAC£=90°,ABA.BD,ED±BD,AB=6cm,DE=2cm,则8。等于

()

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

【答案】B

【分析】根据题意证明ZVIBC也△€»石即可得出结论.

【详解】解：9：AB±BD,ED±BD,

：.ZABC=ZCDE=90°9

'：NACE=90。，

・・・ZACB+ZDCE=90°,

ZACB+ZBAC=90°,

：.ABAC=ZDCE,

在△ABC和中，

ZABC=ZCDE=90°

ABAC=ZDCE

<,

AC=CE

：.△ABC四△CD£(A4S),

AB=CD=6cm,BC=DE=2cm,

BD=BC+CD=2+6=8cm,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定

理是解本题的关键.

二、填空题

4.如图，已知A8C是等腰直角三角形，NACB=90。，AOLDE于点。，BE_LDE于点E,

且点C在。E上，若AO=5,BE=8,则。E的长为.

14

【答案】13

【分析】先根据AO_LDE,BE±DE,ZADC=ZCEB=9Q°,则/ZMC+/DCA=90。，AABC

是等腰直角三角形，ZACB=90°，可得AC=C3,推出ZDAC=ZECB,即可证明△DAC^AECB

得至(JCE=AD=5,CD=BE=8,由此求解即可.

【详解】解:'.'AD±DE,BE1,DE,

：./ADC=/CEB=9。。,

：.ZDAC+ZDCA=90°,

是等腰直角三角形，ZACB=9Q°,

：.ZDCA+ZBCE=90°,AC=CB

：.ZDAC=ZECB,

.".△DAC^AECB(AAS),

：.CE=AD=5,CD=BE=8,

：.DE=CD+CE^13,

故答案为：13.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练

掌握全等三角形的性质与判定条件.

5.如图所示，AABC中，AB=AC,ZBAC=90°.直线/经过点A,过点B作于点E,

过点C作CV，/于点?若BE=2,CF=5,贝ijEF=.

【答案】7

【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案;

【详解】解：CF±l,

：.ZAEB=ZCFA=90°.

：.ZEAB+ZEBA=9Q°.

又：ZBAC=90°,

ZEAB+ZCAF=9Q°.

：.ZEBA=ZCAF.

15

在△人防和^C朋中

VZAEB=ZCFA,ZEBA=ZCAF,AB=AC,

：.AAEB^ACM.

：.AE=CF,BE=AF.

：.AE+AF=BE+CF.

：.EF=BE+CF.

BE=2,CF=5,

：.EF=2+5=7；

故答案为：7.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的

知识，正确的证明三角形全等.

三、解答题

6.已知：如图，AB±BD,EDLBD,C是3。上的一点，AC±CE,AB=CD,求证：BC=

DE.

【答案】见解析

【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等.

【详解】证明：'：ABA.BD,EDLBD,AC±CE（已知）

AZACE=ZB=ZD=9Q°（垂直的意义）

VZBCA+ZDCE+ZACE=180°（平角的意义）

ZACE=90°（已证）

：.ZBCA+ZDCE=9Q°（等式性质）

VZBCA+ZA+ZB=180°（三角形内角和等于180°）

ZB=90°（已证）

AZBCA+ZA=90°（等式性质）

：.ZDCE=ZA（同角的余角相等）

在△42。和4CDE中，

ZA=ZDCE

<AB=CD,

NB=ND

:.AABCHCDE（ASA）

16

:.BC=DE(全等三角形对应边相等)

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关

键.

7.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且于。，BELMN于

E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△AD8ACEB；

②DE=AD+BE；

⑵当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段的长.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；

(2)D£=3

【分析】(1)①由己知可知，AD1MN,BE1MN,得到/ADC=NCE3=90。，再根据三角

形内角和与平角性质，得到=即可证明△ADC之△(?£»G4AS)；②根据

△ADC公ACEB,得到AD=CE,DC=BE,即可证明。E=AO+BE.

(2)由已知可知，AD±MN,BE工MN,得到NADC=/CEB=90。，再根据

ZCAD+ZACD=90°、ZACD+ZBCE=90°,得到ACAD=ZBCE，可证明AADC名△CEB,

得到CE=AT>,CD=BE,即可求出。E长.

(1)

①证明：:ADLMN,BELMN,ZACB=90°

：.ZADC=NCEB=ZACB=90°,

Z.CAD+ZADC+ZACD=IWP,

ZACD+ZACB+ZBCE=\SQ°,

：.NCAD=NBCE,

在△ADC和△CEB中，

ACAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB,

AC=BC

：.AADC^ACEB(AAS)；

②证明：,?AADC学△CEB,

17

/.AD=CE,DC=BE,

：.DE=CE+DC=AD+BE；

(2)

证明："：ADLMN,BE工MN,

：.ZADC=ZCEB=90°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

•/ZACB=90°,

ZACD+ZBCE=90°

：.NCAD=NBCE,

在△AOC和△CEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB,

AC=BC

AADC冬ACEB(AAS),

：.CE=AD=5,CD=BE=2,

：.DE=CE-CD=5-2=3.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，根据已知准确找到符合全等的条件是解

题关键.

8.(1)课本习题回放："如图①，ZACB=90°,AC=BC,AD±CE,BELCE,垂足分

别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.1cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：3E的长为

（2）探索证明：如图②，点8,C在/肱4N的边AM、AN上，AB=AC,点E,尸在NM47V

内部的射线AD上，且ZBED=NCFD=NBAC.求证：AABE^ACAF.

（3）拓展应用：如图③，在AABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,

点E、P在线段AD上，ZBED=Z.CFD=ZBAC.若AABC的面积为15,则AACF与AfiDE

的面积之和为.（直接填写结果，不需要写解答过程）

【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5

【分析】（1）利用A4s定理证明根据全等三角形的性质解答即可;

18

(2)由条件可得/8EA=/A尸C,Z4=ZABE,根据A4s可证明△ABEgZxCAB

(3)先证明△ABE也尸，得到AACV与ABDE的面积之和为△ABD的面积，再根据

CD=2也故可求解.

【详解】解：(1):BELCE,AD±CE,

：.ZE=ZADC=90°,

：.ZEBC+ZBCE^90°.

'：ZBCE+AACD=9G°,

：.ZEBC=ZDCA.

ZE=ZADC

在△CEB和△ADC中，＜NEBC=ZDCA

BC=AC

.,.△CEB^AADCGUS),

：・BE=DC,CE=AD=2.5cm.

•：DC=CE—DE,DE=1.7cm,

/.Z)C=2.5-1.7=0.8cm,

：.BE=O.Scm

故答案为：0.8。加；

(2)证明：VZ1=Z2,

：.ZBEA=ZAFC.

•・・N1=NA3E+N3,Z3+Z4=ZBAC,Z1=ZBAC,

：.ZBAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,/ABE=/4,AB=AC,

：.AABE^ACAF(AAS).

(3)•:NBED=NCFD=NBAC

：.ZABE-^ZBAE=ZFAC+ZBAE=Z.FAC+ZACF

：.ZABE=ZCAFfZBAE=ZACF

5LAB=AC

：.△ABE也△CAR

19

•v—Q

,,tJJAF

：.AACF与ABDE的面积之和等于AABE与NBDE的面积之和，即为△ABD的面积,

VCD=2BD,AABD与△AC。的高相同

=

贝U^AABD§5AAec=5

故AACF与ABDE的面积之和为5

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

9.问题背景：（1）如图①，已知AABC中，ABAC=90°,AB=AC,直线相经过点A,BD1.

直线相，CEL直线相，垂足分别为点。，E,易证：DE=+.

（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D,A,E三点

都在直线加上，并且有ZBD4=NAEC=NA4C,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系，

并证明.

（3）实际应用：如图③，在△ACB中，ZACB=90°,AC=BC,点C的坐标为（一2,0）,点

A的坐标为（-6,3）,请直接写出2点的坐标.

【答案】（1）2。CE；证明见详解；（2）r>E=2D+CE；证明见详解；⑶点3的坐标为3。,4）.

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到=AD=CE,结合图形解答即可；

（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明=证明AAB。丝ACAE,根据

全等三角形的性质得到=AD=CE,结合图形解答即可；

（3）根据AAEC2ACFB,得到CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,根据坐标与图形性

20

质解答即可.

【详解】（1）证明：:班），加，CE_Lm,

：.ZADB=ZCEA=90°f

•・・NBA。=90。，

・•・ZBAZ）+ZC4E=90°,

・.,ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在和△CE4中

ZABD=/CAE

<NADB=/CEA,

AB=CA

：.△AD的△CE4,

AAE=BD,AD=CE,

JDE=AE+AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案为：BD；CE；

（2）解：数量关系：DE=BD+CE,

证明：在中，ZABD=1800-ZADB-ZBAD,

VZCAE=i800-ZBAC-ZBAD,ZBDA=ZAECf

：.ZABD=ZCAE,

在△极）和△口!£；中，

NABD=NCAE

<NBD4/AEC

AB=CA

：.^ABD^CAE,

；・AE=BD,AD=CE,

:.DE=AD+AE=BD+CE；

（3）解：如图，作轴于E,轴于忆

由（1）可知，小AEC^^CFB,

：.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

；・OF=CF—OC=1,

21

；•点2的坐标为3（1,4）.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定

定理和性质定理是解题的关键.

10.如图，在“WC中，AB=BC.

CC

（1）如图①所示，直线过点8,4〃，"乂于点"，CNLMN于氤N,且

ZABC=90°.求证：MN=AM+CN.

（2）如图②所示，直线过点8,AM交于点M,CN交于点N,且

ZAMB=ZABC=ABNC,则MN=AM+OV是否成立？请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）MN=AM+CN仍然豉豆,理由见解析

【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到/区4M=NCBN,然后证明

AAMB^ABNC（AAS）,然后根据全等三角形对应边相等得到40=BN,BM=CN,然后

通过线段之间的转化即可证明MN=AM+OV；

（2）首先根据三角形内角和定理得到NMAB=NCBN,然后证明△AMB三△3NC（A4S）,

根据全等三角形对应边相等得到肱V=MB+陇，最后通过线段之间的转化即可证明

MN=AM+CN.

【详解】证明：（1）'：AMYMN,CN1,MN,

：.ZAMB=NBNC=9O°,

：.ZABM+ZBAM=90°,

ZABC=90°,

ABM?CBN90?,

NBAM=NCBN,

在和中，

2AMB=NBNC

<ZBAM=NCBN,

AB=BC

：.AAMB三ABNC（AAS）,

:.AM=BN,BM=CN,

'：BN+MB=MN,

22

：.MN=AM+CN；

(2)MN=AM+CN削然成鱼,理由如下：

•/ZAMB+ZMAB+ZABM=ZABM+ZABC+ZCBN=180°,

ZAMB=ZABC,

：.NMAB=/CBN,

在AAWS和△■BNC中，

ZAMB=ZBNC

<ZBAM=ZCBN,

AB=BC

：.AAMB三△3NC(AAS),

；.AM=BN,NC=MB,

,:MN=MB+BN,

：.MN=AM+CN.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，

解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到ZBAM=NCBN.

11.在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB=AC,且满足

=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如图1,当a=90。时，猜想线段OE,BD,CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<d<180时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若

不成立，请说明理由.

【答案】Q)DE=BD+CE.

(2)DE=BO+CE仍然成立，证明见解析

【分析】(1)由N■BZM=NJa4C=NAEC=90。得到/a4r>+/EAC=NBAr>+/DBA=90。，

进而得到/。8A=/EAC,然后结合AB=AC得证△OA40△E4C,最后得到DE=BD+CE；

(2)由/B。A=NBAC=NAEC=a得到NBAD+/EAC=N•BAD+/。BA=180。-a,进而

得到NOB4=/EAC,然后结合4B=AC得证△DBAg/XEAC,最后得到。E=BD+CE.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

23

,/ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

・•・ZBAD+ZEAC=ZBAD+Z£>BA=90°,

：.ZDBA=ZEAC,

*：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.AD^CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

OE=3D+CE仍然成立，理由如下，

・・・ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAD+ZEAC=ZBAD+Z£)BA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

VAB=AC,

：./\DBA^/\EAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题

的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

12.如图，a43。=90。,用，43于点八，点。在直线人吕上，AD=BC,AF=BD.

图1图2

⑴如图1,若点。在线段A3上，判断。尸与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若点D在线段A3的延长线上，其他条件不变，试判断(1)中结论是否成立,

并说明理由.

【答案】(1)。尸=OC,DFLDC-,理由见解析

(2)成立，理由见解析

【分析】(1)先证AA。F经△BC。，得DF=DC,ZADF=ZBCD,再证NFOC=90。即可得垂

直；

(2)先证△AZ)/名ABCD,得DF=DC,ZADF=ZBCD,再证/〃)C=90。即可得垂直.

24

⑴

解：VZABC=9&,FALAB,

ZABC=ZDAF=90°,

AF=BD

在4A£>/与△BCD中,NDAF=ZABC,

AD=BC

BCD,

：.DF=DC,ZADF=ZBCD,

,：ZBDC+ZBCD=90°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,BPDF±DC.

(2)

^ABC=9O,FA1AB,

NDBC=ZDAF=90°,

AF=BD

在4ADF与△BCD中，ZDAF=ZDBC,

AD=BC

：.4ADF沿&BCD,

：.DF=DC,ZADF=ZBCD,

'：ZBDC+ZBCD=90°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,BPDFLDC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是能判断哪两个三角形全等.

13.(1)如图1,已知：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线能经过点A,8D_L直线机，

CE_L直线机，垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB^AC,D、A、E三点都在直线机上，

并且有/3ZM=NAEC=/3AC=a,其中a为任意钝角，请问结论。E=BZ)+CE是否成立？如

成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)成立，见解析

【分析】(1)根据AAS可证明AAOB也△€<£>!,可得AE=B。，AD=CE,可得DE=BD+CE.

25

(2)由已知条件可知N84O+NCAE=18()o—a,ZDBA+ZBAD=lSO0-a,可得

/DBA=/CAE,结合条件可证明△AD3也△CEA,同(1)可得出结论.

【详解】(1)如图1,直线加，CE,直线徵,

：.ZBDA=ZCEA=90°f

'：ZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°

:ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABDf

在△人。8和4CE4中，

ABDA=ACEA

<ZCAE=ZABD

AB=AC

：.AADB^ACEA(AAS),

：.AE=BDfAD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

9：ZBDA=ZBAC=(^,

ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

：.ZDBA=ZCAEf

在△人。3和4CEA中，

ZBDA=ZCEA

</CAE=ZABD

AB=AC

：.AADB^ACEA(AAS),

：.AE=BDfAD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到3Z>AE,

26

CE=A。是解题的关键.

14.在直线机上依次取互不重合的三个点A,E,在直线加上方有AB=AC,且满足

NBDA=ZAEC=NBAC=a.

(1)如图1,当《=90。时，猜想线段DE,3。CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<&<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若

不成立，请说明理由；

(3)应用：如图3,在AABC中，Z&4C是钝角，AB=AC,

ABAD<ZCAE,ABDA=AAEC=ABAC,直线机与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,

△ABC的面积是12,求△FBD与AACE的面积之和.

【答案】⑴。E=BO+CE

⑵DE=BD+CE仍然成立,理由见解析

(3)A与△ACE的面积之和为4

【分析】(1)由/8。4=/8/^7=/4£^=90。得到/34。+/£?^7=/&4。+/。&4=90。，

进而得到NO8A=NEAC,然后结合A8=AC得证△DBA^AEAC,最后得到DE=BD+CE；

(2)由N8ZM=NBAC=/AEC=a得到/BAO+NEAC=NBA。+/。8A=180。-a,进而

得到/£>8A=/EAC,然后结合AB=AC得证△DBAg/XEAC,最后得到£>E=8D+CE；

(3)由NBADA/CAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,得出NC4E=NA8。，由A4s证得

△ADB^ACAE,得出CEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底

的比，得出SAABF即可得出结果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

,?ZBDA=ZBAC=NAEC=90。，

ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB=AC,

：./\DBA^/\EAC(AAS),

C.AD^CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

27

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

ZBDA=ZBAC=ZAEC=af

：.ZBAD^-ZEAC=ZBAD+ZDBA=180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

'：AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：•；/BADC/CAE,NBDA=NAEC=/BAC,

：.ZCAE=NABD,

在△43。和4CAE中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=NCEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

5AABD=S>CAE,

设小ABC的底边8C上的高为h,则4ABF的底边B尸上的高为h,

：.S4ABC=gBC-h=12,SAABF=^BF-h,

•；BC=3BF,

:.SAABF=4,

VSAABF=SXBDF+S^ABD=SAFBD+SAACE=4,

LFBD与小ACE的面积之和为4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的

关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

15.在44BC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C且AD_LMN于。，BE±MN

于E.

⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证:

①AADUACEB；

28

@DE=AD+BE；

⑵当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD—BE；

⑶当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD.BE具有怎样的等量关系？请写

出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析

(2)证明见解析

(3)DE=BE-AD(或者对其恒等变形得到45=DE,BE=AD+DE),证明见解析

【分析】(1)①根据ADLMN,BELMN,NACB=90。，得出/CAD=/BCE,再根据A4S

即可判定AAPC二ACEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD,CD=BE,

进而得到DE=CE+CD=AD+BE；

(2)先根据AT>_LMN,BELMN,得到ZADC=NCEB=ZACB=90。，进而得出

NCAD=NBCE,再根据A4S即可判定AWCMACEB,进而得到CE=AD,CD=BE,最后

彳导出DE=CE—CD=AD—BE；

(3)运用(2)中的方法即可得出DE,AD,8E之间的等量关系是：=或恒

等变形的其他形式.

(1)

解：①BE±MN,

ZADC=ZACB=90°=NCEB,

ZCAD+ZACD=90°,ZBCE+ZACD=90°,

:.NCAD=NBCE,

V在MDC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

•NADC=NCEB

AC=BC

:.^ADC=\CEB{AAS).

®-.-AAZX?sACEB,

CE=AD，CD=BE，

:.DE=CE+CD=AD+BE；

(2)

证明：・；AD1MN,BEYMN,

ZADC=Z.CEB=ZACB=90°,

:"CAD=NBCE,

•・・在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB

AC=BC

29

■./^DC^ACEB(AAS)；

CE=AD，CD=BE，

:.DE=CE—CD=AD—BE；

(3)

证明：当MN旋转到题图(3)的位置时，A。，DE,班1所满足的等量关系是：DE=BE-AD

或AD=BE+DE或BE—AD+DE.

理由如下：vAD±ACV,BE1MN,

ZADC=ZCEB=ZACB=90°,

:.ZCAD=ZBCE,

•・•在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEB

AC=BC

:.AADC=/^CEB(AAS),

CE=AD，CD=BE，

:.DE=CD-CE=BE-AD(或者对其恒等变形得到=石或郎=AD+OE).

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时

注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系

进行推导，得出结论.

16.(1)如图1,在AA3C中，NBAC=90。，AB=AC,直线机经过点A,2D，直线相，

3_1直线相，垂足分别为点。、E.求证：4ABD会MAE；

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线加上，

并且有/BZM=NAEC=NBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△AB。丝△CAE

是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线机上的两动点(。，A,E三点互

不重合)，点尸为/8AC平分线上的一点，且△ABE和AACF均为等边三角形，连接8。，

CE,若/BD4=/AEC=N&1C,求证：△ZJEF是等边三角形.

【答案】(1)见详解；(2)成立，理由见详解；(3)见详解

【分析】(1)根据直线加，小，直线加得/皿4=/0£4=90。，而/BAC=90°,根

据等角的余角相等得Z.CAE=ZABD,然后根据“A45”可判断^ADB^CEA；

(2)利用==贝!|NDBA+/BAD=ZBAD+ZC4E=180。-。，得出

30

ZCAE=ZABD,然后问题可求证；

(3)由题意易得班^AFMABMACNZWMN^FnNfACu的。，由(1)(2)易证AAT应之ACE4,

则有AE=8D,然后可得ZEBD=NE4E,进而可证AD跳〜AE4F,最后问题可得证.

【详解】(1)证明：•「BD，直线机，。石，直线加，

/BDA=NCEA=900,

-ZBAC=90°,

..ZBAD+ZCAE=90°f

­.­ZBAD+ZABD=90°,

.\ZCAE=ZABD,

•/在AADB和^CEA中,

ZABD=NCAE

<ABDA=/CEA,

AB=AC

AADB^ACEA(AAS)；

解：(2)成立，理由如下：

・.・NBDA=ZBAC=a,

.\ZDBA-^ZBAD=ZBAD+Z