浙江中考数学二轮复习题型专练：胡不归（解析版）

题型十三胡不归

【要点提炼】

一、【模型故事】

从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于

思乡心切，他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A-B

（如图），而忽视了走折线路径A-D-B虽路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家

时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着”胡不

归?胡不归？

在该故事中，我们的几何图形不再是简单的线和点，而是赋予了实际的意义，AB所经过的砂砾之

路肯定会比AD所在的大路要速度慢一些，因此考虑最短时间时要去考虑一下速度的问题

二、【模型破解术】

①模型特点：胡不归在中考中常以求PA+k•PB最小值的形式而出现

②例题：如图，已知D为射线AB上依动点，ZBAC=30°,AC=2V3,AD=时，CD+加取最

要想求出CD+^AD的最小值，则需在图中先体现出为D和CD+?\D,然后再研究最值

而胡不归问题中构造决D的方法是利用三角函数，例如如果我们以AD为斜边构造一个

30°角的直角三角形，那么依据30。的正弦则可得出30。角的对边就是AD的一半，下面我们

来实操一下

首先我们以AD为斜边，以A为顶点，往AD的下面做一个30。角

然后我们过D作辅助线的垂线DE

AB

E

由30。的正弦可得，DE^AD,则该题求的就是CD+DE的最小值

最终最小值为过C作辅助线的垂线段CF的长度

【专题训练】

选择题（共1小题）

1.如图，△A2C在直角坐标系中，AB=AC,A（0,2鱼），C（1,0）,。为射线上一点，一

动点尸从A出发，运动路径为A-O-C,点P在AO上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个

运动时间最少，则点。的坐标应为（）

【答案】D

【解析】解：假设尸在的速度为3,在CZ）的速度为1,

设D坐标为（0,y）,则AD=2五-y,CD=y/y2+I2=yjy2+1,

设t=2］」+Jy2+1,

等式变形为：什%-竽=尸百，贝心的最小值时考虑y的取值即可,

,於+（|y-挈）什（三一孥）2=y2+i>

,%（延&-+警…°,

9，93,3

△=（*一|力2-4x|（-/+竽什1）>0,

••，的最小值为百，

.V2

••尸彳'

一V2

・••点。的坐标为（0,1）,

4

故选。.

解法二：假设尸在AO的速度为3V,在CO的速度为1匕

总时间U冬+竿=:（-7+CO）,要使/最小，就要行+c。最小，

4c

因为AB=AC=3过点3作BH±AC交AC于点H,交。4于D,易证△AO”S/\ACO,所以一=

f0C

ADADAD

­=3,所以==OH,因为△ABC是等腰三角形，所以5。=。。，所以要二+。最小，就是

DH33

AO0C242

要0H+3O最小，就要3、D、”三点共线就行了.因为△AOCS/XBO。，所以一=—,即一=

OB0D1

a，所以0。=条

一V2

所以点。的坐标应为（0,一）.

4

二.填空题（共2小题）

2.如图，抛物线y=7-2x-3与x轴交于48两点，过B的直线交抛物线于E,且tan/EA4=全

有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点。处，再以1.25单位/s的速度沿

一64

着。E爬到£点处觅食，则蚂蚁从A到后的最短时间是一s.

-9-

【解析】解：过点£作x轴的平行线，再过。点作y轴的平行线，两线相交于点”，如图,

.EH//AB,

：.ZHEB=/ABE,

D4

E--

tanZHED—tanZEBA=3

设。〃=4m,EH=3m,贝ljDE=5根，

qy

/.蚂蚁从D爬到E点的时间=蓬=4(s)

若设蚂蚁从。爬到H点的速度为1单位/s,则蚂蚁从。爬到H点的时间=半=4(s),

蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，

蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点。处，再以1.25单位/s的速度沿着

DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到八点，再从。点以1单位/s速度爬到H

点的时间，

作AGLEH于G,则AD+DH^AH^AG,

：.AD+DH的最小值为AG的长，

当y=0时，x2-2x-3=0,解得xi=-1,%2=3,则A(T,0)，B(3,0)，

直线BE父〉轴于C点，如图，

rn4

-

在RtAOBC中，'：tanZCBO==3

OC=4,则C(0,4),

设直线BE的解析式为y=kx+b,

4

解---

把5(3,0),C(0,4)代入得=°wi3

-4

，直线BE的解析式为y=-3+4,

解方程组”多+4得U品或广则E点坐标为(―(—),

6439

g

：.AG=掌64

64

・・・蚂蚁从A爬到G点的时间=卞=詈(s)

64

即蚂蚁从A到E的最短时间为初

64

故答案为百

jj

3.如图，I3A8CQ中，ZDAB=3Q°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+P。的最小

值等于6.

DPC

/、/

AB

【答案】6

【解析】解：如图，过点尸作的垂线，交延长线于点E,

E.-

\Pc

B

•/四边形ABCD是平行四边形，

.,.AB//CD,

：.ZEDP=ZDAB=30°,

1

：.EP=^DP,gpDP=2EP,

：.2PB+PD=2(PB+PE),

当点B、P、E三点共线时，P8+E尸有最小值，最小值等于BE的长,此时2PB+PD的最小值等

于2BE的长，

;此时在Rtz\A8E中，ZEAB=30°，AB=6,

1

：.BE=抻=3,

：.2PB+PD的最小值等于6.

故答案为：6.

三.解答题(共4小题)

4.如图，矩形A8CD的对角线AC,相交于点。，△a?£＞关于的对称图形为△CED

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)连接AE,若AB=9,BC=4.

①求smZEAD的值；

②若点尸为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接。尸，一动点。从点。出发，以Isi/s的

速度沿线段。产匀速运动到点P，再以'jcm/s的速度沿线段以匀速运动到点A,到达点A后停止

运动，当点。沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求点。走完全程所需的时间.

【解析】(1)证明：二•四边形ABCD是矩形,

：.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OD=OC,

■:XCOD关于CD的对称图形为△CED,

：.DE=EC=OD=OC,

四边形OOEC是菱形.

(2)①如图1中，连接EO交CD于点作E/LLA。交AO的延长线于H.

图1

..•四边形EDOC是菱形,

9

：,OELCD,EM=OM,DM=CM=\，

,：OA=OC,

1

：.OM=EM=^AD=2,

■:NH=NHDM=NEMD=90°,

・•・四边形是矩形，

：.EH=*,DH=EM=2,AH=AO+0H=6,

._________1q

:.AE=NAH?+EH2=券

FH3

sinZEAD=—宁

②如图2中，连接。P,作尸H_LAQ于H,0M_L4。于M

"：OD=OA,OM±AD,

：.DM=MA,

：.OM=^AB=I，

在RtZ\APH中，PH=B4*sinZPAH=,

DA2

:点Q的运动时间t=OP+^-=OP+^PA,

3

：.t=OP+PH,

根据垂线段最短可知，当点O,P,»共线且与重合时，f有最小值，f的最小值为的值,

9

...点Q的运动是最短时间/为5s.

5.如图，直线y=1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C,抛物线产a(x-1)2-2过点A.

(1)求出抛物线解析式的一般式；

(2)抛物线上的动点。在一次函数的图象下方，求△AC。面积的最大值，并求出此时点。的坐

标；

(3)若点P为了轴上任意一点，在(2)的结论下，求PD+亮用的最小值.

V

11

【解析】解：(1)令/+5=o，

2乙

解得x=-1,

贝IJA(-1,0),

抛物线y=a(x-1)2-2过点A,

：.aX(-1-1)2-2=0,

解得a=

故抛物线解析式的一般式为y=^(x-1)2-2,即产|x2--x-|；

(2)如图，过点。作。M〃y轴交AC于

12311

设。(tn,—m-m—TT)，贝IA/(m,一偿+方)，

2222

〔〔1a1a

贝!JDM=与m+□—(-m2-m—□)=—与根2+-^+2,

ZZ2乙ZL

11

所以①当-1〈机WO时，SAACD=S/\AMD+S/\CMD=讶DM(m+1-m)=

11

②当0VmV4时,SAACD=S/\AMD-SACMD=?DM(m+1-m)=^DM；

贝USz\AC£)=^-/?z+2)=-^Cm—^-)

0253iq

则当用=齐寸，△ACO面积有最大值，最大值是云，此时点。的坐标为(5，-g)；

(3)如备用图，作点。关于x轴的对称点尸，连接。尸交x轴于点G,过点尸作尸HLAO于点”,

交x轴于点尸，

315

VD(-,一号),04=1,

28

3515

.,.AG=1+|=|,DG=皆,

备用图

6.已知抛物线(a=0)过点A(1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,0c=3.

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)点尸为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点尸的坐标；

(3)若点Q为线段0C上的一动点，问：AQ+称QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值;

若不存在，请说明理由.

【解析】解：(1)函数的表达式为：y=a(x-1)(x-3)=a(/-4x+3),

即：3a=3,解得：a=\,

故抛物线的表达式为：y=/-4x+3,

则顶点。(2,-1).

(2)将点8、C的坐标代入一次函数表达式：”并解得:

直线BC的表达式为：y=-x+3,

过点尸作y轴的平行线交BC于点H,

设点P(x,/-4x+3),则点H(x,-x+3),

贝I]SAPBC=•PHXOB=|(-x+3-/+4尤-3)=|(-/+3x),

V-|<0,故SMBC有最大值，此时％=本

32

故点P(二，—~7).

24

(3)存在，理由:

如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CG,作QG_LCG于点G,

贝ijGQ=CQ,

直线GC所在表达式中的％值为g,直线GC的表达式为：y=Bx+3…①,

则直线AG所在表达式中的/值为-字，

则直线AG的表达式为：产-*+s,将点A的坐标代入尸-最+s并解得：s=苧,

则直线AG的表达式为：>=一争+与…②，

联立①②并解得：x=上奢，

故点G（上量，过遗），而点A（1,0）,

44

则A