中考数学专项复习：全等三角形中辅助线的添法（三大模型）压轴题（含答案及解析）

全等三角形中辅助线的添法（三大模型）

【模型一:倍长中线模型】

1.（23—24八年级上•江苏・期末）如图，在△ABC中.AD是8C边上的中线，交于点D

⑴如下图，延长AD到点E,使_DE=AD,连接BE.求证：4ACD学4EBD.

⑵如下图，若NBAC=90°,试探究AD与有何数量关系，并说明理由.

（3）如下图，若CE是边4B上的中线，且CE交AD于点O.请你猜想线段AO与OD之间的数量关系,

并说明理由.

2.（23-24八年级上•广西北海・期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1,△ABC中，若48=9,4?=5,求边上的中线4D的取值范围.小红在组内经过合作交流,

得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小红的方法思考作答：

（1）由已知和作图能得到△ADCWAEDB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

（2）求得AD的取值范围是；

A.5<AD<9B.5WAOW9

C.2<AD<7D.2WAL>47

（3）归纳总结:题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三角形中.完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题,请你解

答.

如图2,在△4BC中，点E在8C上，且。回=。。,过E作即〃且E求证：40平分

ABAC.

3.（23—24八年级上•安徽安庆・期末）（1）如图①，在△ABC中，若AB=6,AC=4：,4D为边上的中线,

求的取值范围；

（2）如图②，在△4BC中，点。是的中点，斤，0E交4B于点尸交47于点F,连接EF,

判断跳；+C尸与即的大小关系并证明；

（3）如图③，在四边形4BCD中，AB〃CD,4斤与的延长线交于点斤，点E是BC的中点，若是

NR49的角平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系,并加以证明.

4.（23-24八年级上•江苏南通・期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,△ABC中，若

=6,/C=4,求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方

法:如图1所示，延长AD到点瓦使DE=40,连接8E.请根据小明的思路继续思考：

（1）由已知和作图能证得4ADC出△EDB,得至！J跳;=AC,在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求得

的取值范围是.

方法总结:上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关

___________F

系；

（2）如图2,AD是/XABC的中线，AB=AE,AC=AF,NBAE+ACAF=180°,试判断线段AD与EF

的数量关系，并加以证明；

（3）如图3,在△4BC中，。，后是8C的三等分点.求证：AB+AOAD+AE.

5.（23-24七年级下•广东佛山•期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，△4BC中，48=8,47=6,求8c边上的中线4D的取值范围，经过组内合作交流.小明得到了

如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD

请根据小明的方法思考：

E

⑴求得AD的取值范围是；

【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题

（3）如图2,若。，。不共线,求证：4?，。「；

（4）如图3,若点C在跳;上,记锐角ABAC=力,且AB=AC=CD=OE,则ZPDC的度数是

（用含c的代数式表示）.

【模型二:旋转模型（截长补短”

6.（23—24八年级上•湖北武汉•期末）如图，在五边形ABCDE中，NB=NE=90°,ZCAD=-^ZBAE,

=且CD=3,AB=4,则五边形ABCDE的面积为（）

E

A.6B.8C.10D.12

7.（23—24八年级上•上海•期中）如图所示，已知AC平分乙BAD,ZB+乙D=180°,（汨，48于点后,判

断AB.AD与跳;之间有怎样的等量关系，并证明.

8.（23-24八年级上•山东临沂・期中）【基本模型】

（1）如图1,ABCD是正方形，/区49=45°,当E在边上，斤在CD边上时，请你探究BE、DF与EF

之间的数量关系，并证明你的结论.

【模型运用】

（2）如图2,ABCD是正方形，AEAF=45°,当后在8C的延长线上，干在CD的延长线上时,请你探究

BE、。尸与ER之间的数量关系，并证明你的结论.

9.（23-24八年级上•湖北武汉・周测）⑴如图，在四边形4BCD中，AB=AD,ZB+Zn=180°,E、尸分

别是边BC、CD上的点，且NEAF=yZBAD.求证：EF=BE+FD；

A

（2）如图，在四边形4BCD中，4B=4D,/B+乙4。。=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，

且NEA斤=*4氏4。.（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请写出它们之间的数量

关系，并证明.

10.（23-24八年级上•贵州黔东南•期末）【初步探索】（1）如图1,在四边形ABC©中，AB=AD,=

AADC=90°,ABAD=120°,E、F分别是B。、CD上的点，且AEAF=60°，探究图中BE、EF、FD之

间的数量关系.小芮同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使。G=RE,连接AG,先证明：

△4BE笃ZVLDG,再证明ZVIEF空A4G尸，可得出结论，他的结论应是；

【灵活运用】（2）如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,+/。=Z180°,ABAD=120°,E、F分别

是BC、CD上的点，且/区4斤=60°,（1）中的结论是否仍然成立，说明理由.

：图2

【拓展延伸】（3）如图3,在四边形ABCD中,AABC+AADC=180°,4B=4D,若点E在C®的延长线

上，点尸在CD的延长线上，满足即=BE+FD,请判断ZEAF与NDAB的数量关系.并证明你的结

/________________________________

论.

c

【模型三:“K子”型（一线三垂直”

11.（23—24八年级上•广东江门•阶段练习）已知，△ABC中，ABAC=90°,48=AC,直线小过点A,且

BDJ_m于D,GELni于E,当直线成绕点人旋转至图1位置时，我们可以发现L®=AD+CE.

m

BC

图1

（1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；

（2）直线山在绕点4旋转一周的过程中，8。、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必

证明）

12.（23-24八年级上•贵州铜仁•阶段练习）（1）如图1,已知4ABC中，NBAC=90°,AB=AC,直线m经过

点ABD,直线CEL直线小,垂足分别为点D,E.求证：DE=BD+CE.

（2）如图2,将（1）中的条件改为:在4ABC中，AB=AC,。,AE三点都在直线m上,并且有ABDA=

NAEC=NBAC.请写出DE,三条线段的数量关系，并说明理由.

13.（23-24八年级上.山西大同.阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图

形.

___________F

图1图2图3

（1）如图L已知:在△ABC中，/R4C=90°,AB=AC,直线，经过点4,80,直线Z,CEL直线Z,垂

足分别为点。、及证明：。E=BD+CE.

（2）组员小明对图2进行了探究，若/R4C=90°,AB=AC,直线Z经过点4直线Z,CE,直

线Z,垂足分别为点0、E.他发现线段DE、80、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段

小、BO、CE之间的数量关系，

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图3,过AABC的边AB.AC向外作正方形人氏阳和正方形ACFG（正方形的4条边都相等，4个角

都是直角），是8C边上的高，延长交EG于点/，若BH=3,CH=7,求AT的长.

14.（23-24八年级上•河北石家庄•阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

图1图2图3

（1）如图1,ABAD=90°,AB=4D,过点B作BdC于点C,过点。作Z1E，/C于点E.由/I+

/2=/2+/。=90°,得/1=/。.又乙4cB=/AED=90°,可以推理得到△ABC竺△DAE.进而得

到AC=,BC=AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

（2）如图2,NBAD=NCAE=90°,AB=AD,AC=AB,连接口。,。及且BC,4F1于点F,0E与直

线AR交于点G.求证:点G是。E的中点；

⑶如图3,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,AAFD的面积为&,ADCE的面积为S2,Si+S2=

10.求出Si的值.

15.（23-24七年级下•广东深圳・期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用

三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，/ABC=90°,4B=CB；△DEF中，NDEF=90°,ZEDF

=30°）,并提出了相应的问题.

【发现】（1）如图1,将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段。尸上时,过点A作AM

，。口，垂足为点河，过点。作尸，垂足为点N,

①请在图1找出一对全等三角形,在横线上填出推理所得结论；

ZABC=90°,

：.AABM+ACBN=90°,

•：AM_LDF,CN±DF,

：.AAMB=90°,Z.CNB=90°,

/.AABM+ABAM=90°,

ABAM=Z.CBN,

■：^BAM=NCBN

ZAMB=ZCNB=90

AB=BC,

②AW=2,CN=7,则MV=；

【类比】（2）如图2,将两个三角板叠放在一起,当顶点8在线段DE上且顶点A在线段EF上时,过点。

作垂足为点P,猜想CP的数量关系，并说明理由；

【拓展】（3）如图3,将两个三角板叠放在一起,当顶点A在线段。E上且顶点B在线段EF上时，若AE=

5,BE=1,连接CE，则4ACE的面积为.

________r

全等三角形中辅助线的添法(三大模型)

【模型一:倍长中线模型】

1.(23—24八年级上•江苏・期末)如图，在△ABC中.AD是8C边上的中线，交于点D

⑴如下图，延长AD到点E,使_C®=AD,连接BE.求证：4ACD学4EBD.

⑵如下图，若NBAC=90°,试探究AD与有何数量关系，并说明理由.

(3)如下图，若CE是边4B上的中线，且CE交AD于点O.请你猜想线段AO与OD之间的数量关系,

并说明理由.

【思路点拨】

⑴利用SAS可得△ACD^^EBD;

(2)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,先根据AACDg^EBD证得/C=ZCBE,A。=班,进而得到

AC//EB,AD=^AE-,再证得ZVlBC空"AE(SAS)利用全等三角形全等的性质即可；

⑶延长OE到点M,使EM=OE,连接AM.延长OD到点N,使DN=OD,连接BM,BN,BO,证得

△MOB第^NBO(ASA)可得MB=NO,进而得到AO=20。，

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

【解题过程】

(1)证明：在&ACD和&EBD中，

(DA^DE

〈NADC=/EDB

[DC=DB

：./\ACD空^EBD(SAS);

⑵解：=理由如下：

延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,如图

由(1)得AACD经△EBD,

AZC=ZCBE,AC=BE

：.ACHEB,AD=^AE

：./K4C+/ABE=180°,

•.•/BAG=90°,

A/ABE=90°,

ZBAC=NABE

在△ABC和ABAE中

(AC=BE

[ABAC^AABE

[AB=AB

△ABC空ABAE(SAS)

：.BC=AE,

：.AD=^-BC-,

(3)AO=2OD,理由如下：

延长OE到点M,使EM=OE,连接AM.延长OD到点N,使DN=OD,连接BM,BN,BO,如《

由(!)得△AOEWABME,/XODC^^NDB,

NAOE=ZBME,2OCD=ANBD,AO=BM,

AOIIBM,OC//NB,

AMBO=2BON,/MOB=ANBO

在ZWOB和△NBO中，

(AMBO^ABON

\OB=OB,

[AMOB=ZNBO

：.4MOB第△NBO(ASA)

:.MB=NO,

：.AO^2OD.

2.(23-24八年级上•广西北海・期末)八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图LZVLBC中，若AB=9,47=5,求边上的中线AD的取值范围.小红在组内经过合作交流,

得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小红的方法思考作答：

(1)由已知和作图能得到△ADC笃△EDB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

0

⑵求得AD的取值范围是

A.5<AD<9B.54AD<9

C.2<AD<7D.24AD<7

（3）归纳总结:题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三角形中.完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题,请你解

答.

如图2,在△ABC中，点石在BC上，且。£过后作EFV/AB,且求证：AD平分

ABAC.

【思路点拨】

本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌

握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键.

（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；

（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；

⑶由“SAS”可证/XEFD空△CMD,可得EF=DM,ZEFD=/河，由平行线的性质和等腰三角形的性质可

证NM=ABAD=/CAM,可得AD平分ABAC.

【解题过程】

⑴解:延长AD到点E,使。E=AD,

,:BD=CD,

在△ADC和△EDB中，

[CD=BD

1/ADC=/BDE,

[AD^DE

：.△AD。空△EDB（SAS）,

故选:B.

（2）解：：△AD。名AEDB,

：.AC=EB,

•：AB=9,AC=5,AB-BE<AE<AB+BE,

：.4<2AD<U,

：.2<AD<7,

故选：C-,

(3)证明：如图，延长人。至“，使。Af=_DF,连接CM,A

•：DE=DC,AEDF=ACDM,DF=DM,

：.^EFD/^CMD(SAS),\

EF=DM,2EFD=AM,，/\

：.EF//CM,BEC

•：EF//AB,M

：.CM//ABf图2

•：EF=ACf

：.EF=DM=AC,

：.ZCAM=ZM,

・・・ABAD=ACAM,

/_________

人。平分/BAC.

3.（23—24八年级上•安徽安庆・期末）（1）如图①，在△ABC中，若AB=6,AC=4,4D为BC边上的中线,

求人。的取值范围；

（2）如图②，在4ABe中，点。是的中点，0E，OF,OE交AB于点E,DF交AC于点尸，连接EF,

判断BE+C尸与EF的大小关系并证明；

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB〃CD,人尸与。。的延长线交于点尸，点E是的中点，若AE是

NR49的角平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系,并加以证明.

图①图②图③

【思路点拨】

（1）由已知得出AB-BE<AE<AB+BE,^6-4<A£；<6+4,人。为AE的一半，即可得出答案；

⑵延长FD至点、M,使DM=DF,连接BM,EM,可得ABMD空△CFD,得出BM=CF,由线段垂直平分线

的性质得出在△BME中，由三甬形的三边关系得出+即可得出结论;

（3）延长AE,DF交于点G,根据平行和角平分线可证AF=FG,也可证得AABE竺AGCE，从而可得=

CG,即可得到结论.

【解题过程】

解：⑴如图①，延长人。到点E,使DE=4D,连接BE,

\•。是的中点，

：.BD=CD,

•：ZADC=ABDE,

：./\ACD空/\EBD(SAS),

:.BE=AC=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

6—4<AE<6+4,,

：.2<AE<W,

：.1<AD<5,

故答案为：1<AO<5;

(2)BE+CF>EF,理由如下：

延长FD至点“，使DM=DF,连接®W、,如图②所示.

同(1)得：ABMD经4CFD(SAS),

：.BM=CF,

,:DE_LDF,DM=DF,

:.EM=EF,

在中，由三角形的三边关系得：

BE+BM>EM,

：.BE+CF>EF-,

（3）AF+CF=48,理由如下：

如图③，延长AE,OF交于点G,

•：ABIICD,

：./BAG=/G,

CE=BE,

/.ABAG=ZGAF,'、、\

•••尔G=/G,图③弋G

/.AF=GF,

■;FG+CF=CG,

：.AF+CF=AB.

4.（23—24八年级上•江苏南通・期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,△ABC中，若

=6,AC=4,求边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方

法:如图1所示，延长AD到点E,使OE=4D,连接BE.请根据小明的思路继续思考：

BDE

图3

（1）由已知和作图能证得△4DC笃得到BE=AC,在△4BE中求得2AD的取值范围,从而求得

的取值范围是.

方法总结:上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关

系；

⑵如图2,AD是AABC的中线，48=AE,AC=AF,/BAE+ACAF=180°,试判断线段AD与EF

的数量关系，并加以证明；

（3）如图3,在△4BC中，。,后是的三等分点.求证：4B+AC>4D+AE.

【思路点拨】

本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键.

⑴延长人。到点E,使DE=AD,连接BE,根据题意证明^MDB空△40。,可知AC,在4ABM中，根

据AB—,即可；

⑵延长人。到河,使得DM=AD,连接BM,由⑴的结论以及已知条件证明4ABMT^EAF，进而可得

AM=2AD,由AM=EF,即可求得4D与EF的数量关系；

⑶，取DE中点H,连接并延长至Q点，使得AH=QH,连接QE和QC,通过“倍长中线”思想全等证明，

进而得到AB=CQ,AD=EQ,然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论.

【解题过程】

⑴解:如图1所示，延长40到点、E,使DE=AD,连接BE.

・・・40是△ABC的中线，

：.BD=CD9

(BD=CD

在ZWDB和△ADC中，(/B7W=/CDA,

[DM=AD

・・・ZWDB空AADC(SAS),

・・.BN=AC=4,

在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

・・・6-4VAM<6+4,即2VAM<10,

：.1<AD<5,

故答案为：1VAOV5.

⑵理由：

如图2，延长AD到M,使得DM=40,连接BM,

由(1)知，/XBDM名△CDA(SAS),

・・.BM=AC,ZM=/.MAC

•・,AC=AF,

:.BM=AF,

•・・/.MBA+ZM+ABAM=180°,即/MBA+4BAC=180°,

又・・・ZBAE+ZCAF=180°,

・・.AEAF+ZBAC=180°,

・・・ZEAF=/MBA,

又AB=EA,

・・・LABMm△区4F(S4S),

・・.AM=EF,

•・•AD=DM,

：.AM=2AD,

•：AM=EF,

：.EF=2AD.

⑶证明：如图所示，取DS中点H,连接4H并延长至Q点，使得连接。石和Q。,

•・・H为DE中点、,D、E为BC三等分点、,

:,DH=EH,BD=DE=CE,

:,DH=CH,

(BH=CH

在AABH和/XQCH中，(ABHA=ACHQ,

[AH=OH

：./XABH咨AQCH(SAS),

同理可得：4ADH注4QEH,

：.AB=CQ,AD=EQ,

此时，延长人后交。Q于K点,

•・,AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

・・.AC+CQ>AK+QK9

•・,AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QE,

___________F

AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

,:AB=CQ,AD=EQ,

：.AB+AOAD+AE.

5.（23-24七年级下•广东佛山•期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，ZVIBC中，AB=8,AC=6,求边上的中线4D的取值范围，经过组内合作交流.小明得到了

如下的解决方法：延长AD到点E,使OE=4D

请根据小明的方法思考：

E

⑴求得AD的取值范围是；

【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题

如图，已知ABAC+ZCDE=180°,=AC,=DE,P为BE的中点.

⑶如图2,若4。，。不共线,求证：人尸，。?；

（4）如图3,若点。在跳;上,记锐角/R4C=/,且AB=AC=CD=OE,则/PDC的度数是

（用含力的代数式表示）.

【思路点拨】

（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；

（2）延长DP交AB延长线于点F,证AAPF笃AAPD即可；

（3）延长DP至点F,使得PF=PD,连接BF、AF、AD,证△APF名AAPD即可；

（4）过点。作CM_LBC交AP于点“，由（3）可得ZAPD=90°,证△ACM笃ADCP，用含c的代数式表示

出/PDC即可.

【解题过程】

（1）：AD为边上的中线，

：.BD=CD,

（BD=CD

在AAZX7和岫DB中,{/ADO=ZEDB

[AD=ED

.♦.△ADC空△EDB（SAS）,

：.BE=AC=6,

AB=89

8—6VAEV8+6,

即2V4EV14,

•：DE=AD,

：.AD^^-AE,

：.1<AD<7,

故答案为：IVADV7

(2)如下图，DP交AB延长线于点F

ZBAC+ZGDE；=180o,

AAFV/DE(同旁内角互补，两直线平行)，

ZPFB=NPDE,NPBF=APED,

•:P为BE的中点

:.BP=PE,

：.ABPF名4EPD(AAS),

/.BF=DE=DC,PD=PF,

又：AB=AC,

：.AB+BF=AC+即AF^AD,

在和△APD中

(PF^PD

IAP=AP

[AF^AD

：.△APF空△APD(SSS),

ZPAF=4R4。(全等三角形的对应角相等)，即4P平分ABAC

⑶延长DP至点F,使得PF=PD,连接BF、AF,AD

由(1)同理易知APPE空△FBP(SAS),

：.BF=DE=CD,NE=2FBP,

•：ABAC+4CDE=180°,且/BAC+ACAD+^ADC+NCDE+/E=360°,

ACAD+AC+ZADC=180°,

NABF=AACD,AB=AC,

：./\ABF^^ACD(SAS),

：.AF=AD,

：.△APFW△APD(SSS),

NAPD=NAPF=180°+2=90°,

AP±DP

(4)过点。作CM_LBC交AP于点Al,由(3)可得乙4P0=90°,ABAC^x,/BAC+/GDE=180°,AB=

AC=CD=DE,

________r

AACB=吗F=90°-y,

NDCE=90°_4c=90。_180；一①=气,

NACB和ZDCE互余,2ACD=AMCP=AAPD=90°,

：.ZACM=NDCP=y,ZCAM=ZCDP

：./XACM^AnCP(ASA),

:.MC=PC,

：./BB4=45°,

又；ZACB=90°-y,

ZPDC=APAC=NACB-Z.APB=45°-y,

故答案为：45°—5

【模型二:旋转模型（截长补短）】

6.（23-24八年级上•湖北武汉•期末）如图，在五边形ABCDE中，/E=90°,ACAD=3/BAE,

AB=4B,且CD=3,AB=4,则五边形ABCDE的面积为（）

A.6B.8C.10D.12

【思路点拨】

本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转

化.

将&ABC绕点A逆时针旋转至△AEF,首先证明点D,E,F三点共线，证明AACD空AAFD（SAS）,得到

CD=DF=3,S^5=S掺㈤,再将所求面积转化为2s堤㈤进行计算即可.

【解题过程】

解:如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至4AEF,

•：AB^AE,/B=/E=90°,

则AF^AC,NAED=NAEF=90°,

ZDEF=180°,即点。，况F三点共线,

NCAD=3/BAE,

ABAC+NDAE=4DAE+NEAF=ACAD,

即2FAD=NCAD,

（AC=AF

在/\ACD和4AFD中，（/CAD=AFAD,

[AD=AD

・・・/\ACDn^AFD(SAS)

•**CD=DF,S^ACD=S^AFD

・・・CD=3,

DF=3,

五边形ABCDE的面积为：

=

S四边形ACDE+S4ABeS四边形ZCDE+

=S2ACD+S^AFD~2s”即，

=2x^-xDFxAE,

=2XyX3x4

=12.

故选：D.

7.（23—24八年级上•上海•期中）如图所示，已知AC平分/SAD,ZB+Z£）=180o,CELAB于点E,判

断AB、AD与跳;之间有怎样的等量关系，并证明.

【思路点拨】

在AB上截取EF，使EF=BE,联结CF.证明z\BCE笃4ECF（SAS）,得到ZB=ZBFC,又证明△AF1。空

△ADC,得到AF=AD,最后结论可证了.

【解题过程】

证明：在AB上截取EF,使EF=BE,联结CR.

•：CE±AB

：.4BEC=4FEC=90°

在ZBCE和独CF

{BE=EF

NBEC=2FEC

CE=CE

：.ABC®空^ECF(SAS)

：.2B=NBFC

•：乙8+/。=180°

又ZBFC+/AFC=180°

ZD=ZAFC

•：AC平分/BAO

AFAC=ADAC

在△AFU和△ADC中

{AAFCAD

AFAC^ADAC

AC=AC

___________F

・・・4AFC^^ADC（AAS）

：.AF=AD

•：AB=AF+BE+EF

：.AB=AD+2BE

8.（23-24八年级上•山东临沂・期中）【基本模型】

⑴如图1,ABCD是正方形，/瓦4斤=45°,当E在边上，尸在CD边上时，请你探究BE、DF与EF

之间的数量关系，并证明你的结论.

【模型运用】

（2）如图2,ABCD是正方形，45°,当E在的延长线上，尸在CD的延长线上时,请你探究

BE、DF与E尸之间的数量关系，并证明你的结论.

F

4-------1D/—X

BEC

图1图2

【思路点拨】

本题主要考查全等三角形的判定和性质.本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形.

⑴结论：EF^BE+DF.将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF，，然后求出NEAP

=/EAF=45°,利用“边角边”证明AAEF和△AEF，全等，根据全等三角形对应边相等可得从而

得解；

（2）结论：EF=BE—OF,证明方法同法（1）.

【解题过程】

解：（1）结论:EF=BE+DF.

理由：如图1,将△4DF绕点A顺时针旋转，使人。与AB重合，得至I^ABF',

---------\D

/|\^*****^^

则：AF'AB=zLDAF,AABF'=AD=90°,AF=AF',BF'=DF,

：.AABF'+AABC=180°,即：三点共线，

•/ZSAF=45°,

/.ADAF+ABAE=90°-AEAF=45°,

：.ABAF'+ZBAE=45°,

/EAF'=ZEAF=45°,

c

图2

(AF=AF'

在△AEF和/\AEF'中，(NEAF=AEAF',

[AE=AE

：.△AEF空^EAF(SAS),

:.EF=EF\

又EF，=BE+BF\

：.EF—BE+DF.

(2)结论：EF=BE-DF.

理由：如图2,将AADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到AABF,

则：_BF'=DF,AF'=AF,

同法(1)可得：4AEF笃△AEF^SAS),

:.EF=EF，,

大EF=BE—BF=BE—DF,

：.EF-BE-DF.

9.(23—24八年级上.湖北武汉.周测)⑴如图，在四边形48co中，48=AD,NB+乙D=180°,E、F分

别是边、CD上的点，且ZEAF=-j-ZBAD.求证：EF=BE+；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,+AADC=180°,E、歹分别是边BC、CD延长线上的点,

且/EA尸（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请写出它们之间的数量

关系，并证明.

【思路点拨】

⑴延长CB至朋r，使连接4W.先证明△ABMZ44DF,得到AF=4W,/2=/3,再证明

△AME竺ZVIFE,得到EF=ME,进行线段代换，问题得证；

（2）在BE上截取BG，使BG=DF,连接AG.先证明4ABGW/\ADF,得到4G=AF,再证明△AEG空

△AEF,得到EG=EF,进行线段代换即可证明EF=BE—FD.

【解题过程】

解：⑴证明：如图，延长CB至“，使连接4W.

____________也

•••AABC+ZZ?=180,Z1+AABC=180,

・・.zi=zn,

在△ABAI与AADF中,

(AB=AD

[BM=DF

：./\ADF(SAS).

AAF=AM,Z2=Z3.

•・・/EAF=]ZBAD,

.・.Z2+Z4=-j-ZBAD=AEAF.

：.N3+N4=AEAF,即/MAE=AEAF,

在△AM?与△APE中，

(AM=AF

IAMAE=AEAF,

[AE=AE

：.AAME空AAFE(SAS).

:・EF=ME,即EF=BE+BM,

：.EF=BE+DF;

(2)结论EF=BE+FD不前立，应当是EF=BE-FD.

证明：如图，在跳;上截取BG,使石G=OF,连接AG.

•・・ZB+乙ADC=180°,AADF+AADC=180°,

.・./B=/ADF.

•・・在4ABG与A4OF1中，

(AB=AD

bABG=ZADFf

[BG=DF

：./\ABG经△ADF(SAS),

・・・ABAG=ADAF,AG^AF,

・・・/.BAG+/LEAD=ADAF+AEAD=ZEAF=yZBAD,

・・.NGAE=NEAF.

在ZVIGE与中，

(AG=AF

IAGAE=AEAF,

[AE=AE

：./^AEG^/\AEF,

・・.EG=EF,

•：EG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

10.（23-24八年级上•贵州黔东南•期末）【初步探索】⑴如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,/8=

AADC=90°,ABAD=120。，石、F分别是、CD上的点，且AEAF=60°,探究图中8E、E尸、V。之

间的数量关系.小芮同学探究此问题的方法是：延长PD到点G,使。G=BE,连接ZG,先证明：

4ABE空^ADG，再证明/\AEF%/XAGF，可得出结论，他的结论应是；

G

图1

【灵活运用】（2）如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,+NO=Z180°,ABAD=120°,E、尸分别

是BC、CD上的点，且NEA尸=60°,（1）中的结论是否仍然成立，说明理由.

图2

【拓展延伸】（3）如图3,在四边形ABCD中，/48。+/40。=180°,48=40,若点七在侬的延长线

上，点F在CD的延长线上,满足EF=BE+FD,请判断ZEAF与ADAB的数量关系.并证明你的结

论.

【思路点拨】

本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键

是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角的补角相等.

⑴根据SAS可判定AABEg/SADG，进而得出NBAE=ZDAG,AE^AG,再根据SAS判定4AEF空

△AGF,可得出EF=GF=DG+OF=BE+DF,据此得出结论；

（2）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先根据SAS判定4ABE空/\ADG，进而得出NBAE=ADAG,

AE=AG,再根据SAS判定△AEF咨4AGF,可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF;

⑶在。。延长线上取一点G，使得DG=BE,连接AG,先根据SAS判定ZXADG咨/XABE,再根据SAS判定

△AEFW4AGF，得出AFAE=AFAG,最后根据AFAE+AFAG+NGAE=360°,

推导得到2NFAE+/DAB=360°，即可得出结论.

【解题过程】

解：(1)BE+FD=EF.理由如下：

如图1,延长FD到点G,使。G=BE,连接AG,

乙4。。=90°,

A/ADG=180°-/ADC=90°,

又乙8=90°,

・・・ZB=/4DG,

(AB=AD

在/\ABE与ZXADG中，(NB=AADG,

[BE=DG

・・・/\ABE笃△ADG(SAS),

・・・/BAE=/.DAG,AE=AG,

•・・ABAD=120°,AEAF=60°,

・・.ABAE+ADAF=ABAD一/LEAF=60°,

・・・ZDAG+ZZMF=60°,

即/GAF=60°,

・・・/GAF=NEAF;

(AE=AG

在/\AEF与ZVIGF中,(/EAF=AGAF,

[AF=AF

：.4AEFm△AGF(SAS),

:・EF=GF,

・・・GF=DG+DF,

:・EF=BE+DF,

故答案为：BE+FD=EF;

(2)(1)中的结论仍成立，理由如下：

如图2,延长ED到点G,使。G=跳;，连接AG,

ZB+ZADF=180°,ZADG+ZADF=180°,

・・.ZB=ZADG,

又AB=AD,

・・・/XABE四△ADG(SAS),

・•・/.BAE=/.DAG,AE=AG,

・・・ABAD=120°120°,ZEAF=60°,

图2

・•.ABAE+ADAF=6Q°,

：.ZZMG+ZDAF=60°,

・•.AGAF=AEAF=60°,

又AF=AF,

：.△4EF空△AGF(SAS),

：.EF=FG=DG+DF=BE+DF;

⑶NEAF=180°-yZZMB.

证明：如图3,延长。。到点G,使0G=B石，连接4G,

•・・AABC+乙ADC=180°,AABC+/ABE=180°,

・・・AADC=/ABE,

(AB=AD

在LABE与XADG中，(ZB=AADG,

[BE=DG

：./XADG岂^ABE(SAS),

：.AG=AE,/DAG=/BAE,

•:EF=BE+FD,

:.EF=DG+FD,

：.EF=GF,