中考数学总复习《四边形》专项检测卷（含答案）

中考数学总复习《四边形》专项检测卷含答案

学校:班级：姓名：考号：

一.解答题(共30小题)

1.如图，在矩形ABC。中，AB=4cm,8c=9cm点尸从点A出发，沿AB边向点B以lcm/s的速度移动，

同时点。从点B出发，沿BC边向点C以2cMs的速度移动.若其中有一个动点先到达终点，则两个

动点同时停止运动，设运动时间为ts.

(1)填空：AP=cm,BQ=cm；(用含f的代数式表示)

(2)求当/为何值时，PQ=4cm2

(3)在动点P,Q运动过程中，是否存在某个时刻使五边形APQCD的面积为矩形面积的|?若存在,

请求出此时/的值；若不存在，请说明理由.

A

I

V

P

B—►QC

2.如图①，矩形48CD与RtZkEFG叠放在一起(点。，C分别与点G,P重合，点E落在对角线8。上)，

已知AB=15C7",AD=20cm,/GEF=90°.如图②，/XEEG从图①的位置出发，沿。8方向匀速运

动，速度为lcm/s；动点P同时从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s；设它们的运动时间

为t(s)(0<?<10),连接PE.解答下列问题：

(2)当/为何值时，点。在线段PE的垂直平分线上？

7

(3)是否存在某一时刻3使得△OPE的面积是矩形A8CD面积的丁？若存在，求出，的值；若不存

50

在，请说明理由；

(4)如图③，点八是点尸关于8。的对称点，连接为尸，GP,当f为何值时，F1P+PG的值最小？

3.【问题发现】

(1)如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边/饮马，再去河岸同侧的军营2开会，为了方便,

将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2,作8关于直线的对称点玄，连接A8'与

直线交于C,点C就是所求位置.

:.CB=CB'.

：.AC+CB^AC+CB'.

根据“”可得AC+C8的最小值是A3,.

【问题探究】(2)如图3,在正方形A8C。中，AB=8,E是A8边上的一点，且AE=2,尸是8。上的

一个动点，求跖周长的最小值.

【问题解决】(3)如图4、在长方形ABCZ)中，48=120,40=220,P是边上一点，且CP=100,

点E是线段CD上的任一点，连接EP,以EP为直角边在BC上方作等腰直角三角形EPF,FE为斜边.连

接AP,AP边上存在一个点M,且4M=40VL连接PM,的周长是否存在最小值？若存在，

请求出周长最小值；若不存在，请说明理由.

4.综合与探究

如图，在长方形ABCD中，ZDAB=ZB=ZC=ZD=9Q°,AB=DC=12cm,AD=BC=16cm,点、E

在线段8C上以2czn/s的速度由点8向点C运动，同时点/在线段。上由点C向点。运动，它们运

动的时间为/(s).

(1)EC=cm(用含f的代数式表示)；

(2)若点/的运动速度与点E的运动速度相同，当f=2时，判断线段AE和跖的数量关系和位置关

系，并说明理由；

(3)若点F的运动速度为vcm/s,是否存在v的值，使得AABE与AECF全等?若存在直接写出v的

值；若不存在，请说明理由.

AD

B---------C

5.(1)如图1,点E为矩形A8CD内一点，请过点E作一条直线/,将矩形A3C。的面积分为相等的两部

分；

(2)如图2,在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=4,ZA=60°,E为边。。上一点，且Z)E=1,

请问在边AB上是否存在一点F,使得直线EF将平行四边形ABCD的面积分为相等的两部分，如果存

在，求出线段所的长；如果不存在，请说明理由；

(3)如图3,现有一块平行四边形空地ABC。，AB=60米，8C=80米，ZB=60°,尸为对角线AC

上一点，且PC=3fi4,计划过点P修一条小路ER使得区P分别在线段A。、上，小路所的右

侧区域种植花卉.如图，△CEF的区域种郁金香，尸C与△OEC的区域种紫罗兰，已知郁金香的费

用为每平方米200元,紫罗兰的费用为每平方米100元，请问种植费用最少是多少元？(结果保留根号)

6.如图1,四边形A8CD是矩形，AB=6,AD=8,动点尸从点A出发，沿AC方向以每秒2个单位长度

匀速运动，当点尸运动到点C时，点P停止运动，设运动时间为，秒.

(1)尺规作图：沿过点尸的直线将矩形ABC。折叠，使得点A与点C重合，在图1中作出该折痕；

(2)在(1)的条件下，该折痕分别与ADBC相交于点E,尸点，连接AB,CE,求四边形AEC「的

周长；

(3)过点尸作AC的垂线，是否存在某一时间t,使得该直线被矩形的边所截得的线段长为5,若存在，

求r的值，若不存在，说明理由.

BCB

图1备用图

7.如图(1),正方形ABC。和正方形A£FG,边AE在边A8上，A8=12,AE=6近,将正方形AEEG

绕点A逆时针旋转a(0°WaW45°).

(1)如图(2),正方形AEPG旋转到此位置，求证：BE=DG；

(2)在旋转的过程中，当/8£4=120。时，试求BE的长；

(3)8E的延长线交直线。G于点P,在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC?若存在，试求出OP

的长；若不存在，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，平行四边形ABC。的顶点8、C在x轴上，A在y轴上，

=OC=2O8=4,直线>=尤+/(-2Wf<4)分别与x轴、y轴、线段A。、射线A8交于点E、F、P、Q.

(1)当r=l时，求证：AP=DP.

(2)探究线段4P与尸。之间的数量关系，并说明理由.

(3)在无轴上是否存在点使得NPMQ=90°,且以点M、P、。为顶点的三角形与△AOB相似？

90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延长。C交E尸于点点尸从点A出发，沿AC方向匀速运动，

速度为2cMs；同时，点。从点M出发，沿方向匀速运动，速度为lan/s.过点尸作于点

H,交CD于点、G.设运动时间为f(s)(0<r<5).

解答下列问题：

(1)①判断：直线AC与EF的位置关系是；

②当点M在线段C。的垂直平分线上时，求r的值；

(2)连接P。，作0NLA尸于点N,当四边形尸QW?为矩形时，求r的值；

(3)点P在运动过程中，是否存在某一时刻t,使点P在NAFE的平分线上？若存在，求出t的值;

若不存在，请说明理由；

(4)连接。C,QH,设四边形QCG反的面积为S(CH?),直接写出运动过程中S的最大值.

10.如图①，在长方形ABCD中，己知AB=13,A£>=5,动点尸从点。出发，以每秒1个单位的速度沿

线段。C向终点C运动，运动时间为/秒，连接AP,把△AOP沿着AP翻折得到(注：长方形

的对边平行且相等，四个角都是直角)

(1)如图②，射线PE恰好经过点8,求出此时/的值;

(2)当射线与边A8交于点尸时，是否存在这样的/的值，使得FE=PB?若存在，请求出所有符

合题意的f的值；若不存在，请说明理由;

(3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3,则此时t

11.如图1,正方形ABC。和正方形AE/G,A,E,3三点共线，AD=4,AG=2版将正方形AEFG绕

点A顺时针旋转a(0°WaW45°),连接BE,DG.

(1)如图2,求证：BE=DG；

(2)如图3,在旋转的过程中，当。，G,E三点共线时，试求。G的长；

(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得NQGA=120°,若存在，请直接写出DG的长；若不存

图3

12.问题提出：

(1)如图1,ABLBC,CD1BC,AB=2,BC=1,点E是BC上一点.当/&£。=90°且8£=3

CD=.

问题探究：

(2)如图2,在四边形ABC。中，AD//BC,AB=CD,过点A作C。交于点E.将△ABE沿

AE折叠，此时点8恰好落在边上的点尸处，若C£)=2BE=10,求。尸的长.

问题解决：

(3)如图3,已知在矩形A8CD中，AB=16,BC=12,尸是对角线AC上一动点，。是边上一动

点，且s讥乙DPQ=(,当P在AC上运动时，四边形ABC。的面积是否存在最大值，若存在，求出四边

形A2CQ面积的最大值与此时AP的长度，若不存在，请说明理由.

13.如图，在AABC中，AC=4,BC=3,AB=5,动点尸从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速

度向终点C匀速运动同时，动点。从点C出发,沿C3以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，

当点P到达终点时，点。也随之停止运动.当点尸不与点A、C重合时，连结尸。.作线段尸。的垂直

平分线交折线AC-CB于点E,交AB于点R交P。于点G,连结CG.设点尸的运动时间为t(秒).

(1)是否存在t的值使四边形APQB的面积为4,若存在求出此值；若不存在请说明理由；

(2)当APEG是等腰三角形时，求f的值；

14.在平面直角坐标系xOy中，四边形OAOC为正方形，点。的坐标为(6,6),动点E沿边0A从。向

A以每秒1\,cm的速度运动至A,同时动点尸沿边C。从C向。以同样的速度运动，当其中一个点停

止时，另一个也停止运动，设运动时间为f秒，连接ARDE交于点G.

图①图②备用图

(1)如图①，线段AF和。E有什么数量关系；有什么位置关系；

(2)当/=秒时线段所最小，最小值为；

(3)如图②，E为AO中点，除了点E,坐标轴上是否存在点P,使SAACP=〃ACE,若存在，直接写

出P点的坐标；

(4)如图②，E为A。中点，点M是直线EC上一点，点N是平面内任意一点，当四边形0cMN为菱

形时，请直接写出点N的坐标.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=4c〃z,BC=8CMI.点尸从点。出发向点A运动，运动到A即停止点；

同时，点。从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、。的速度都是1c优/s.连接P。、AQ,

CP.设点尸、0运动的时间为fs.

(1)当/=时，四边形A8QP是矩形；

(2)当/=时，四边形AQCP是菱形；

(3)是否存在某一时刻r使得PQLPC,如果存在，请求出f的值，如果不存在，请说明理由；

(4)在运动过程中，沿着AQ把△A3。翻折，当/为何值时，翻折后点B的对应点B1恰好落在PQ

边上.

16.综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究.

【问题情境】

如图①，在矩形ABC。中，AB=3,AD=4.将边AB绕点A逆时针旋转(0°<0<180°)得到线段

AE,过点E作EFLAE交直线BC与点F.

【猜想证明】

(1)当。=90°时，四边形ABEE的形状为；(直接写出答案)

(2)如图②，当9=45°时，连接DE,求此时△ADE的面积；

【能力提升】

(3)在【问题情境】的条件下，是否存在&使点RE,。三点共线？若存在，请直接写出此时

的长度；若不存在，请说明理由.

17.如图，在矩形ABC£»中，AB^15cm,AD=5cm,动点P从点A出发，沿边A8以3aMs的速度向点B

运动，同时动点。从点C出发，沿边。以2cro/s的速度向点。运动(点尸停止运动时点。也停止运

动).设运动时间为fs,连接8Q,PQ.

(1)当/为何值时，线段PQ的长度为13c机？

(2)当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？

(3)在运动过程中，是否存在一个时刻使得/PQB=90°?若存在，求出t的值；若不存在，请说明

理由.

18.已知：如图，在等腰△ABC中，AB=5cm,BC=6cm,动点尸从点A出发以law/s的速度沿AB匀速

运动，动点。同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点尸到达点B时，点尸、

。同时停止运动，设运动时间为t(s)(0</<5).过点P作PE〃8C交AC于点E,以CQ、CE为边作

平行四边形CQFE.

(1)当,为何值时，△8P。为直角三角形；

(2)设四边形8尸尸。的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻3使S四边形BPFQ：S&ABC=7：6?若存在，求出，的值；若不

存在，请说明理由；

(4)是否存在某一时刻f,使点厂在NA3C的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.

19.如图，长方形A8CD和长方形Q£FG共同组成一个六边形A8CEFG,其中AB=6,8C=8,AG=12,

点E是C。的中点.点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿Afg-C-E-BfG方向运动，到达

G点后停止运动.设点尸的运动时间为f秒(f〉0).

A

备用图

(1)求六边形ABCEFG的周长和面积;

(2)在点尸的运动过程中,

①是否存在点P，使得直线AP刚好平分六边形ABCEFG的周长？如果存在，试求出f的值；如果不存

在，试说明理由;

②是否存在点P,使得直线A尸刚好平分六边形A8CEFG的面积？如果存在，试求出f的值；如果不存

在，试说明理由；

(3)设△ADP的面积为S,试用含f的代数式表示S.(直接写出结果)

20.如图，在矩形A8C。中，AB=3V3,ZCAB=30°,点尸从点A出发，以每秒V5个单位长度的速度

沿AB方向运动，点。从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线CA方向运动.已知P,。两

点同时出发，当点Q到达点A时，P,Q两点同时停止运动，连结£足设运动时间为r秒.

(1)BC=,AC=.

(2)当f为何值时，△APQ的面积为国.

(3)是否存在某一时刻力使△APQ是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出f值，如果不存在，

请说明理由.

21.如图，在团ABCZ)中，AB^Scm,BC=16cm,ZB=30°.点尸在BC上由点2向点C出发，速度为

每秒2cm；点。在边上，同时由点。向点A运动，速度为每秒Ie：".当点尸运动到点C时，点P,

。同时停止运动.连接产。，设运动时间为/秒.

(1)当/为何值时，四边形A8PQ为平行四边形？

(2)当r为何值时，四边形A2PQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三？求出此时的度数.

(3)连接AP,是否存在某一时刻力使AABP为等腰三角形？若存在，请求出此刻f的值；若不存在，

请说明理由.

22.如图，在长方形ABC。中，AB=QC=12厘米，AO=8C=9厘米.动点尸从点A出发，以2厘米/秒

的速度沿A-B运动；同时点。从点C出发，以4厘米/秒的速度沿C-B-A运动，当一点到达终点时，

另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为r秒Ct>0).

(1)用含r的代数式表示线段2。的长；

(2)求/为何值时，△AOP与△80。的面积相等；

(3)求r为何值时，△PBC与△Q4。全等；

(4)是否存在"直，使DP=PQ,且。尸，尸。？若存在，直接写出f的值，若不存在，请说明理由.

A

D

23.如图，在四边形A8C。中，AD//BC,ZB=90°,AB=4cm,AD=9cm,BC=12cm,点尸从点A出

发，以lcm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以2cmis的速度沿BC向点8运动.规

定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设P、。运动时间为f秒，回答下列问题:

(1)求/为何值时，四边形PQ2A是矩形？

(2)求/为何值时，PQ=CD?

(3)是否存在f的值，使得△QQP是以。P为腰的等腰三角形？若存在，请求出，的值；若不存在，

请说明理由.

24.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ZB=90°,AD=3cm,AB=4cm,BC=6cm,动点P从点A

出发，以每秒1c相的速度沿A-B-C匀速运动，点P运动的时间为/(s)(OWfWIO),请解答以下问

题：

(1)求边QC的长；(辅助线提示：过。点作BC边的垂线)

(2)是否存在某一时刻K使线段。尸把四边形A8CD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出，的

值；如果不存在，请说明理由；

(3)是否存在某一时刻3使△。尸C恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说

25.如图，在菱形0ABe中，。为坐标原点，点A的坐标为(6,0),ZCOA=60°.动点P从点A出发,

沿着射线AO以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线CB以每秒1个单位长度

的速度运动.点尸，。同时出发，设运动时间为f(f>0)秒.

(1)求点C的坐标.

(2)当/=1时，求△PO。的面积.

(3)试探究在点P,。运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C,。，P,Q四点为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，请求出此时r的值与点。的坐标；若不存在，请说明理由.

26.如图，在矩形ABCD中，4B=6cm,AD=8cm,直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s,

运动过程中始终保持E尸〃AC,EF交AD于E,交。C于点孔同时，点P从点C出发沿C8方向匀速

运动，速度是连接PE、PF,设运动时间r(s)(0</W4).

(1)用含/的代数式表示以下线段AE=,CF=；

(2)求/为何值时，四边形EPC。为矩形；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻使SMC尸：S矩形ABCD=L16?若存在，求出t的值；

(4)是否存在某一时刻使EP平分NEFC?若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由.

27.如图，将矩形0ABe放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，0A=4,0c=8.把

矩形04BC沿对角线0B所在直线翻折，点C落到点。处，0D交AB于点E.

(1)求AE的长.

(2)求D点坐标.

(3)点M是坐标轴上一点，直线上是否存在一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由.

y

（1）如图1,在回ABC。中，己知AB=2,ZABC^6Q°,/ABC的平分线交A£）于点G,求BG的长；

问题解决

（2）某科技公司现有一块形如四边形ABC。的研发基地，如图2,已知AB=8=200米，BC=AD=

400米，ZABC=60°,NA3C的平分线交于点G.为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大

基地面积.扩建方案如下：点P是射线3G上一动点，连接尸C、PD,将△PCO修建成新能源研发区，

为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能

的短，间隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（△PC。的周长）的最小值；若

不存在，请说明理由.

29.探究不同长方形周长与面积的关系

【项目化情境与问题】

某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是矩形，它的长、宽、周长C和面积S分别

如图所示.

根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形它的周长和面

积分别是已知矩形A周长和面积的;，即粤=号=；是否成立？

【项目支架与探究】

为了进一步深入探究提出的问题,小组成员对任务进行了如下分解,先从最简单情形入手,再逐次递进，

最后猜想得出结论.

探究1研究特殊情况小组成员研究过后得知一定存在作品乙的矩形边框与原作品甲

的矩形边框满足一^=监=一,贝！C乙=；S乙|

CASA2----------------

=__________,设作品乙的矩形边框的长为无，宽为y,则x

=_______;尸_______•

探究2研究特殊情况在探究1得到作品乙的矩形边框数据的基础上，继续探究，是

1

否存在作品丙的矩形边框是作品乙的矩形边框周长和面积的a，

使得好="=:仍然成立？若存在，请求出作品丙的矩形边框

CASA2

的长和宽.若不存在，请说明理由.

【项目成果】

任意给定一个矩形A,长为"z,宽为1(加＞1),若一定存在另一个矩形2,满足包=迈=-，则

CASA2

的最小值是.

-------------------------------SEP=96

30.在平面直角坐标系中，A(-a,b~),B(a,a),且a,b7两足V2a—3b+14+|a—21=0.

(1)求点A,B的坐标.

(2)如图1,连接AO、BO,设线段AB与y轴交于点现将求出的点M先向右平移3个单位长度，

再向上平移4个单位长度得点M(x,y),设4x+2y-1的立方根为t,2x+4y-22的算术平方根为q,计

算：道+5&-遍的值.

(3)如图2,将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、2两点分别作y轴的垂线，垂足分

别为点。、C.在四边形A2C。内是否存在一点尸(加，«)(0＜加＜6),使得且SMCD=

S^PAB.若存在，求尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

参考答案与试题解析

一.解答题(共30小题)

1.如图，在矩形A3C。中，AB^4cm,8。=9<7"，点尸从点A出发，沿边向点2以Icwi/s的速度移动，

同时点。从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.若其中有一个动点先到达终点，则两个

动点同时停止运动，设运动时间为fs.

(1)填空：AP—tcm,BQ—2tcm；(用含f的代数式表示)

(2)求当t为何值时，PQ=4cm?

2

(3)在动点P,Q运动过程中，是否存在某个时刻使五边形APQC。的面积为矩形面积的［?若存在,

请求出此时/的值；若不存在，请说明理由.

D

A,

p

B―>QC

【分析】(1)根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得AP=g，z,BQ=2tcm,由此即可求解；

(2)根据矩形的性质可得/8=90°,结合(1)中的信息，可得8P=A8-AP=(4-/)cm,在RtA

BPQ中，运用勾股定理得尸02=822+2。2,由此历史求解即可；

21

(3)根据题意，五边形APQC。的面积为矩形面积的3则△3P。的面积为矩形面积的3即SABPQ=

12,由此列式求解即可.

【解答】解：(1)在矩形ABC。中，AB=4cm,8C=9c机，点P从点A出发，沿A8边向点8以lcm/s

的速度移动，同时点。从点8出发，沿BC边向点C以25加的速度移动.设运动时间为fs.

，点尸从4-8的时间为4+1=4(s),点。从B-C的时间为9+2=4.5(s),

.\AP=tcm,BQ=2tcm,

故答案为：2t；

(2)・・,四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

由(1)可知，AP=tcm,BQ=2tcm,

：.BP=AB-AP=(4-Z)cm,

在RtZkBPQ中，由勾股定理得：PQ2=BP2+BQ2,且PQ=4c机，

；.42=(4-f)2+4r,

整理得：5?-8Z=O,

<4

解得力=Ot2=|，

8

当£=0或g时，PQ=4cm；

2

(3)不存在某个时刻使五边形APQC。的面积为矩形面积的J；理由如下,

已知A3=4an,BC=9cm,

:・S矩形ABCD=AB.BC=4x9=36(cm2),

2

•/五边形APQCD的面积为矩形面积的9

：.5五边形APQCD=3X36=24(c?n2),贝ijS^BPQ=S矩形ABCD-S五边形APQCZ)=36-24=12,

11

x

:・S〉BPQ—qBQ•BP=(4—t)x2t=12,

整理得尸-4什12=0,

A=(-4)2-4X1X12=-32<0,即原方程无实数根，

2

不存在某个时刻使五边形APQCD的面积为矩形面积的3

【点评】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的运用，解答本题的关键是熟练运用数形

结合的思想解决问题.

2.如图①，矩形ABC。与Rt△跖G叠放在一起(点。，C分别与点G,E重合，点E落在对角线8。上)，

已知AB=15C7W,AD=2Qcm,/GEF=90；如图②，△EFG从图①的位置出发，沿DB方向匀速运

动，速度为Icm/s；动点P同时从点A出发，沿A。方向匀速运动，速度为2cm/s；设它们的运动时间

为t(s)(0<?<10),连接PE.解答下列问题：

(2)当/为何值时，点。在线段PE的垂直平分线上？

7

(3)是否存在某一时刻使得△。尸E的面积是矩形A8CD面积的丁？若存在，求出/的值；若不存

50

在，请说明理由；

(4)如图③，点乃是点/关于8。的对称点，连接FiP,GP,当/为何值时，F1P+PG的值最小？

15EG

【分析】(1)可证得从而得出一=一，进而得出石G=9；

2515

(2)根据点。在线段尸石的垂直平分线上得出。尸=。瓦从而20-2/=9+/,从而求得结果；

EH9+1?7I

(3)过E作于H,可得出△EDHS/XBA。，从而得出正=玄，求得£"=f三，根据△

7127+3t7

。/招的面积是矩形ABC。面积的h可列出一(20-2Z)•——=—X15X20,进而得出结果；

502550

(4)连接/G,可推出当G,P,八共线时，尸1P+PG的值最小，连接AFi,CF,设"1交AD于O,

作于。，作CK_L5O于K,可推出NAHO=90°,AFi=EH=BD-DK-EK-BH=25-9-9

AFiAP7-t2t

-t=7-t,AFi//EH,从而得出△APAs△。尸G,从而---=—，从而得出=------，进一步得

DGDPt20-21

出结果.

【解答】解：(1)•四边形A8C。是矩形，

：.CD^AB^15cm,BC=AD=20cm,ZBCD^90°,

：.BD=VBC2+CD2=25(cm),

•：/GEF=NBCD=9Q°,/CDB=/EGF,

:.△BCDs^FEG,

.GFEG

••一,

BDCD

.15EG

••二,

2515

：.EG=9；

(2)•・•点。在线段PE的垂直平分线上，

：.DP=DE,

'：AP=(20-2r)cm,DE=(9+力cm,

20-2/=9+/，

故当f为W■时，点D在线段PE的垂直平分线上;

(3)如图1,

7

存在/的值，△。尸E的面积是矩形A5CD面积的7，理由如下:

50

过万作EH1AD于H,

J.EH//AB,

tEHDE

>•AB—BD,

.EH9+t

*15-25

：27+3t

.EH=5

7

••.△QPE的面积是矩形AB。面积的不

17

：.-PD^H=京XAB-AD,

127+3t7

(20-2f)・--=---—---X15X20,

2550

解得£=5（负值舍去）,

7

答：当上5时，△。尸E的面积是矩形A3。面积的不

(4)如图2-1,

:点F1是点F关于BD的对称点,

：.FG-GF=15,

"：PFi+PG^PFi,

...当G,P,乃共线时，MP+PG的值最小,

如图2-2,连接AFi,CF,设尸为交AD于0,作AHJ_8£)于。，作CK_LBD于K,

由（1）知，DK=EF=9,DK//EF,

同理可得，AH=9,

:点Fi是点厂关于BD的对称点,

：.EFi=EF,

：.EFi^AH,

又EFi〃AH,

四边形AHEB是平行四边形,

ZAH£=90°,

四边形AHEF1是矩形,

ZAFiO=90°,AFi=EH=BD-DK-EK-BH=25-9-9-t=l-t,AF\//EH,

△APFIS^DPG,

AFrAP

DG―DP'

7-t2t

t—20-2t;

70

t=17-

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作

辅助线表示出关键的数量.

3.【问题发现】

(1)如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边/饮马，再去河岸同侧的军营8开会，为了方便,

将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2,作B关于直线的对称点皮，连接A8'与

直线交于C,点C就是所求位置.

,B

A

图1

:直线/是点8,B'的对称轴,

：.CB=CB'.

：.AC+CB=AC+CB'.

根据“两点之间，线段最短”可得AC+CB的最小值是A3'.

【问题探究】(2)如图3,在正方形ABCD中，AB=8,E是A8边上的一点，且AE=2,尸是8。上的

一个动点，求周长的最小值.

【问题解决】(3)如图4、在长方形A2CZ)中，AB=120,40=220,P是CB边上一点，且CP=100,

点E是线段CD上的任一点,连接EP,以EP为直角边在BC上方作等腰直角三角形EPF,FE为斜边.连

接AP,AP边上存在一个点且力M=40&,连接NW,△PFM的周长是否存在最小值？若存在，

请求出周长最小值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据两点之间线段最短可得答案；

(2)连接CRCE,利用正方形的性质、勾股定理可得出A、C关于2。对称，AF=CF,CE=6,则

AAEFJ^^AE+AF+EF^AE+CF+EF^AE+CE,当£、F、C三点共线时，周长最小，即可求

解；

(3)如图，过/作FG_LC£)于G,交A8于K,过PHJ_KG于H,交AO于0,过M作MALLA。于N,

交GK于0,根据矩形的性质和勾股定理可求出4P=120V2,PM=80V2,证明四边形CPHG是矩形，

得出/HPC=90°,NDGH=9Q°,结合是等腰直角三角形，可证明得出刊/

=PC=100,同理可证四边形PC。。是矩形，可求出OH=P。-P4=20,同理可证O”QV是矩形，可

求出N0=O8=2O,证明△AMN是等腰直角三角形，得出AN=MN,根据勾股定理可求出MN=40,

则可判断；FQ垂直平分MN,得出MF=NF,则PF+MF=PF+NF^PN,当P、尸、N三点共线时，PF+MF

最小，最小值为PN=7PO2+NO2=20V61,然后利用三角形的周长公式求解即可.

【解答】解：(1):直线/是点2,B'的对称轴，

:.CB=CB'.

：.AC+CB=AC+CB'.

根据“两点之间，线段最短”可得AC+CB的最小值是A3,，

故答案为：两点之间，线段最短；

(2)连接CRCE,如图3,

AD

图3

在正方形ABC。中，A2=8,

：.BC=AB=S,ZABC=9Q°,A、C关于8。对称，

：.AF=CF,BE=AB-AE=6,

：.CE=<BE2+BC2=10,

AA£F周长^AE+AF+EF^AE+CF+EF^AE+CE,

当£、F、C三点共线时，△AEF的周长最小，最小值为AE+CE=2+10=12；

(3)如图4,过/作FG_LCD于G,交于K,过PHLKG于H,交A。于。，过M作MALLA。于

04

在长方形ABCD中，AB=120,AD=220,

ZBAC=ZB=ZC^Z£>=90°,2。=4。=220,

又：CP=100,

:.BP=BC-CP=120,

：.AP=7AB2+BP2=120V2,

又=40V2

：.PM=AP-AM=80V2,

:PHLKG,FG±CD,ZC=90°,

四边形"HG是矩形，

；.NHPC=90°,NDGH=9Q°,

又：AEPF是等腰直角三角形，

:.FP=EP,NEPF=9G°,

：./FPH=/EPC=90°-AHPE,

在APHF和△?(?£|中，

ZPHF=ZC=90°

乙FPH=4EPC,

、FP=EP

:APHF经MCE(AAS),

APH=PC=100,

同理可证四边形PCDO是矩形，

.•.PO=CD=120,NPON=90°,。。=尸。=100

：.OH=PO-PH=20,

同理可证OHQN是矩形，

:.NQ=OH=20,

,：AB^BP,NB=90°,

：.ZBAP=45°,

.•.ZB4O=45°,

/.△AMN是等腰直角三角形，

:.AN=MN,

：.MN2+AN2=2MN2=AM2=(40V2)2,

；.MN=40,

:.MQ=MN-NQ=2C=NQ,

：.FQ垂直平分MN,NO=AD-AN-00=80,

：.MF=NF,

：.PF+MF=PF+NF^PN,

当尸、F、N三点共线时，尸尸+敏最小，最小值为PN=7P02+NO2=40回,

又/XPMF的周长为PM+FM+PF^PM+PF+NF,

:.八PMF的周长最小值为80a+40m.

【点评】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的

判定与性质，二次根式的化简等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键.

4.综合与探究

如图，在长方形ABCD中，/DAB=NB=NC=ND=90°,AB^DC^Ucm,AD=BC^16cm,点、E

在线段8C上以2cm/s的速度由点8向点C运动，同时点p在线段CD上由点C向点。运动，它们运

动的时间为t(s).

(1)EC=(16-2力c机(用含f的代数式表示)；

(2)若点产的运动速度与点E的运动速度相同，当f=2时，判断线段AE和跖的数量关系和位置关

系，并说明理由；

(3)若点/的运动速度为vcm/s,是否存在v的值，使得AABE与△ECF全等？若存在直接写出v的

值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据总长度减去运动的长度即可得到结果；

(2)根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果；

(3)分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果；

【解答】解：(1)••.点E在线段上以2c优/s的速度由点B向点C运动,

：.BE