最大利润类问题（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题03最大利润类问题

类型1一次函数实际应用

1.(2020•绵阳中考)我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100

亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、

2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中

获得的最大利润是1洞万元.(利润=销售额-种植成本)

解：设甲种火龙果种植x亩，乙种火龙果种植(100-x)亩，此项目获得利润卬，

甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，

由题意可知：［0-9X+L1(100-X)》98,

lo.9x+l.l(100-x)<10C

解得：50WxW60,

此项目获得利润w=l.lx+1.4(100-x)=140-0.3x,

当x=50时，

w的最大值为140-15=125万元.

2.(2021•青岛中考)某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6

元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的生.销售时，甲品牌洗衣液的售价

5

为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶.

(1)求两种品牌洗衣液的进价；

(2)若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购

进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？

解：(1)设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是(x-6)元，

依题意得：1800J800X生

xx-65

解得：x=30,

经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，

/.X-6=24(元).

答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元：

(2)设可以购买甲品牌洗衣液机瓶，则可以购买(120-m)瓶乙品牌洗衣液，

依题意得：30加+24(120-m)W3120,

解得：

依题意得：y=(36-30)m+(28-24)(120-m)=2加+480,

,.%=2>0,

随加的增大而增大，

；.心=40时，y取最大值，y最大值=2X40+480=560.

120-40=80(瓶)，

答超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利

润是560兀.

3.(2021•襄阳中考)为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔.禁渔后，某水库自然

生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲤鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示

品种进价(元/售价(元/斤)

斤)

鲤鱼a5

草鱼b销量不超过200斤的部分销量超过200斤的部分

87

已知老李购进10斤鲤鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲤鱼和10斤草鱼需要130元.

(1)求a,6的值；

(2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售就鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销

售鲤鱼x斤(销售过程中损耗不计).

①分别求出每天销售鲤鱼获利川(元)，销售草鱼获利及(元)与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②端午节这天，老李让利销售，将鲤鱼售价每斤降低加元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两

种鱼总获利W(元)最小值不少于320元，求加的最大值.

解：(1)根据题意得：

[10a+20b=155,

i20a+10b=130'

解得卜=3.5；

Ib=6

(2)①由题意得，yi=(5-3.5)x=1.5x(80WxW120),

当300-尤W200时，100WxW120,以=(8-6)X(300-x)=-2x+600；

当300-x>200时，80Wx<100,为=(8-6)X200+(7-6)X(300-x-200)=-x+500；

.f-x+500(80<x<100)

*Y2l-2x+600(100<x<120)'

②由题意得，W=(5-m-3,5)x+(7-6)X(300-x)=(0.5-m)x+300,其中80WxW120,

,/当0.5-m^O时，W=(0.5-m)x+3OOW3OO,不合题意,

.,.0.5-m>0,

二少随X的增大而增大，

...当x=80时，少的值最小，

由题意得，(0.5-加)X80+300^320,

解得〃?W0.25,

：.m的最大值为0.25.

4.(2021•恩施州中考)“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，

让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶

叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.

(1)求每千克花生、茶叶的售价；

(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于

1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多

少？

解：(1)设每千克花生x元，每千克茶叶(40+x)元，

根据题意得：50x=10(40+x),

解得：x=10,

40+x=40+10=50(元)，

答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；

(2)设花生销售机千克，茶叶销售(60-加)千克获利最大，利润w元，

由题意得"6m+36(60-nO<126C,

解得：30WmW40,

w—(10-6)m+(50-36)(60-m)=4w+840-14加=-10m+840,

V-10<0,

随机的增大而减小，

当加=30时,利润最大，

此时花生销售30千克，茶叶销售60-30=30千克，

卬最大=-10X30+840=540(%),

当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元.

类型2二次函数实际应用

5.(2021•沈阳中考)某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调

查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为11元时,才能

使每天所获销售利润最大.

解：设销售单价定为x元(x，9),每天所获利润为V元，

贝物=[20-4(x-9)]•(%-8)

=-4/+88x-448

=-4(x-11)2+36,

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，

答案：11.

6.(2021•连云港中考)某快餐店销售/、3两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、

80份.该店为了增加利润，准备降低每份/种快餐的利润，同时提高每份8种快餐的利润.售卖时发现，在一

定范围内，每份工种快餐利润每降1元可多卖2份，每份2种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快

餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元.

解：设每份/种快餐降价。元，则每天卖出(40+2。)份，每份2种快餐提高6元，则每天卖出(80-26)份，

由题意可得，40+2^+80-26=40+80,

解得a=b,

,总利润W=(12-a)(40+2a)+(8+a)(80-2a)

=-4a2+48a+1120

=-4(a-6)2+1264,

:-4<0,

.•.当a=6时，少取得最大值1264,

即两种快餐一天的总利润最多为1264元.

答案：1264.

7.(2021•大连中考)某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量»(单位：千克)和每千克的售价

x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50WxW80.

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

将(50,100)、(80,40)代入,得"50k+b=100,

l80k+b=40

解得:产-2

lb=200

：.y=-2x+200(50WxW80)；

(2)设电商每天获得的利润为w元，

则w=(x-40)(-2x+200)

=-2X2+280X-8000

=-2(x-70)2+1800,

V-2<0,且对称轴是直线x=70,

又；50WxW80,

.•.当x=70时，w取得最大值为1800,

答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元.

8.(2021•武汉中考)在“乡村振兴”行动中，某村办企业以48两种农作物为原料开发了一种有机产品./原料

的单价是8原料单价的1.5倍，若用900元收购/原料会比用900元收购3原料少100幅.生产该产品每盒需要

N原料2蛇和8原料4饭，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销

售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.

(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)；

(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式(不需要写出自变量

的取值范围)；

(3)若每盒产品的售价不超过。元是大于60的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润.

解：(1)设8原料单价为加元，则4原料单价为1.5加元，

根据题意，得%-3-=ioo,

m1.5m

解得m=3,

经检验加=3是方程的解，

，1.5加=4.5,

，每盒产品的成本是：4.5X2+4X3+9=30（兀），

答：每盒产品的成本为30元；

（2）根据题意，得卬=（x-30）[500-10（x-60）]=-10x2+l400%-33000,

关于x的函数解析式为：w=-10X2+1400X-33000；

（3）由（2）知w=-10X2+1400X-33000=-10（x-70）2+16000,

，当a270时，每天最大利润为16000元，

当60＜。＜70时，每天的最大利润为（-10tz2+1400a-33000J元.

9.（2021•荆门中考）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某

种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x,周销售量力周

销售利润少（元）的三组对应值数据.

X407090

y1809030

W360045002100

（1）求了关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价。（元/件），售价x为多少时，周销售利润少最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了加（元/件）（加＞0）,公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55

（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元,

求m的值.

解：（1）设〉=依+6,由题意有:

40k+b=180

70k+b=90

解得k=-3

b=300

所以y关于x的函数解析式为》=-3x+300；

(2)由(1)W=(-3x+3OO)(x-a),

又由表知，把x=40,少=3600,代入上式可得关系式

得：3600=(-3X40+300)(40-。),

•.a=20,

W=(-3x+300)(x-20)=-3X2+360X-6000=-3(x-60)2+4800,

所以售价x=60时，周销售利润少最大，最大利润为4800；

(3)由题意少=-3(x-100)(x-20-m)(xW55),

其对称轴x=60+JH>60,

2

...OVxW55时，水的值随x增大而增大，

只有尤=55时周销售利润最大，

.•.4050=-3(55-100)(55-20-m),

••in~~5.

10.(2021•广东中考)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习

俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆

沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每

天少售出2盒.

(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

(2)设猪肉粽每盒售价x元(50WxW65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函

数解析式并求最大利润.

解：(1)设猪肉粽每盒进价。元，则豆沙粽每盒进价(a-10)元，

则8000=6000,

aa~10

解得：a=40,经检验a=40是方程的解，

.•.猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，

(2)由题意得，当x=50时，每天可售出100盒，

当猪肉粽每盒售价x元(50WxW65)时，每天可售[100-2(x-50)]盒，

.\y=x[100-2(x-50)]-40X[100-2(x-50)]=-2S+280X-8000,

配方,得：y=-2(x-70)2+1800,

：x<70时，y随x的增大而增大，

.,.当x=65时，y取最大值，最大值为：-2X(65-70)2+1800=1750(元).

答：y关于x的函数解析式为夕=-2S+280x-8000(50Wx<65),且最大利润为1750元.

类型3反比例函数实际应用

11.(2021•雅安模拟)校园超市以4元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查.发

现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件.

(1)设售价为x元/件时，销售量为y件.请写出y与x的函数关系式；

(2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少元/件？

解：(1)依题意得：孙=50X6=300,

贝叮=巡；

X

（2）设该物品的售价应定为x元/件，

依题意得：60=逊（x-4）,

x

解得x=5,

经检验，x=5是方程的根且符合题意.

答该物品的售价应定为5元/件.

12.（2021•黄冈模拟）某电子科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电

子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的

年销售量/（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中N3为反比例函数图象的一部分，2C为一次函

数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的

年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本.）

（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最

大值.

（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情

况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x>8）,当第二年的年利润不低于103

万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围.

解：（1）当4WxW8时，设了=上，将/（4,40）代入得左=4X40=160,

X

与X之间的函数关系式为y=侬；

X

当8<xW28时，设y=兄x+6,将5（8,20）,C（28,0）代入得，

fk'+b=20,解得=[

l28kz+b=0lb=28

.”与X之间的函数关系式为y=-x+28,

—(4<x<8)

综上所述，>=<X;

-x+28(8<x<28)

(2)当4WxW8时，s=(x-4)y-160=(x-4)-160-160=-640,

xx

:当4WxW8时，s随着x的增大而增大，

当x=8时，5加@=-国炒=-80；

8

当8cxW28时，s=(尤-4)y-160=(x-4)(-x+28)-160=-(x-16)2-16,

,当x=16时，smax=-16；

-16>-80,

当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为-16万元.

(3)•••第一年的年利润为-16万元，

.1-16万元应作为第二年的成本，

又：x>8,

...第二年的年利润s=(x-4)(-x+28)-16=-/+32x-128,

令s=103,则103=--+32x-128,

解得xi=ll,血=21,

在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：

.•.当ll^x^21时，第二年的年利润s不低于103万元.

13.(2020•合肥模拟)某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在2018年1月1日投放市场，前3个月是试销售,

3个月后，正常销售.

（1）试销售期间，该产品的销售价格不低于20元/件，且不能超过80元/件，销售价格x（元/件）与月销售量y

（万件）满足函数关系式夕=驯•，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？

x

（2）正常销售后，该种产品销售价格统一为（80-加）元/件，公司每月可销售（10+0.2加）万件，从第4个月开

始，每月可获得的最大利润是多少万元？

解：（1）;每件产品的利润为（x-20）元，销售量>=2独，（万件），

X

.,•每月利润=（X-20）=200-4000,

XX

•.•20WxW80,

又•.•每月利润随着x的增大而增大，

当尤=80时，

»取到最大值，即每月利润最大，

把x=80代入得：每月利润=150万元

即最大利润为150万元；

答：前3个月每件产品的定价80元时，每月可获得最大利润，最大利润为150万元，

（2）•.,每件产品的利润为（80-机-20）元，即