中考数学总复习提升专项突破：几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型（含答案及解析）

第四章三角形

重难点16几何压轴突破四几何最值问题之

胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型

(3种类型7种题型详解+专题训练)

【题型汇总】

类型一胡不归模型

【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子

略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是

义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老

人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道

走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通

过砂石区域回家呢？虽然走的路多了，但总用时变少了，如果真有这种情况，那么在驿道和砂砾地带之间的

拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.

【模型详解】

条件：已知A,B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k・PA+PB(k<l)的最小值.

BB

解题步骤：

1）作射线AM使sin/PAM=k（k<l）,且点M与点B位于直线m的两侧.

2）过点P作PC_LAM于点C,则PC=k・PA,此时k・PA+PB=PC+BP.

3）过点B作BDLAM于点D,该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的

解题大招：即当B,P,C三点共线时，k・PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.

模型总结：在求形如“k・PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k・PA相等的线段，将“HPA+PB”型

问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k・PA

的等线段

注意：若k>l,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.

【模型拓展】

对形如a・PA+b・PB（a〉b）的式子，可以先将式子变形为aP.A^-PB；,再求出,翩那上稽的最小值，此时

只需要构造工，一尸5.”=2,作垂线即可求出最小值.

a

题型01已有相关角直接作垂线

1.（2023•湖南湘西•中考真题）如图，。。是等边三角形4BC的外接圆，其半径为4.过点8作BE1AC于

点E,点尸为线段8E上一动点（点尸不与E重合），则CP+^BP的最小值为.

2.（21-22八年级下•浙江宁波•开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=R久-百分别交x轴、

y轴于A、B两点,若C为x轴上的一动点，则22C+AC的最小值为.

y

3.（2020•陕西•模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB=8,且zABC=60。，M为对角线BD（不含8

点）上任意一点，则的最小值为.

4.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，在RtAABC中，乙4c8=90。，乙48c=30。，AC=4,按下列步骤作

图：①在4C和4B上分别截取力0、AE,使②分别以点D和点E为圆心，以大于|。石的长为半径

作弧，两弧在48AC内交于点③作射线AM交BC于点?若点尸是线段4F上的一个动点，连接CP,则

CP+的最小值是.

5.（22-23九年级上・广东茂名•期末）如图，AB=AC,4（0,V15）,C（1,0）,力为射线4。上一点，一动

点尸从A出发，运动路径为4-D-C,在上的速度为4个单位/秒，在CO上的速度为1个单位/秒，则

整个运动时间最少时，。的坐标为.

6.(2023・河北保定•一模)如图，在矩形力BCD中，对角线AC,BD交于点O,AB=OB=3,点M在线段AC

上，且4M=2.点尸为线段OB上的一个动点.

(1)/.OBC=°；

(2)MP+^PB的最小值为.

7.(2022•广西梧州•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-枭-4分别与尤，y轴交于点A,B,

(1)求此抛物线的解析式；

⑵若点C的坐标是(0,6),将AAC。绕着点C逆时针旋转90。得到AECF,点A的对应点是点E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点尸是y轴上的任一点，求|BP+EP取最小值时，点尸的坐标.

8.(2024•山东淄博•一模)如图，在边长为6的菱形力BCD中，Z.BCD=60°,连接BD,点E,尸分别是边4B,

BC上的动点，S.AE=BF,连接DE,DF,EF.

用②都川图

(1)如图①，当点E是边力B的中点时，求NEDF的度数；

(2)如图②，当点E是边4B上任意一点时，NED尸的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变,

请说明理由；

（3）若点P是线段BD上的一个动点，连接PF,求PF+与DP的最小值.

9.（22-23九年级下•江苏宿迁•阶段练习）如图，二次函数y=a久2+2ax-3a与x轴交于点A,B,对称轴

为直线/,顶点C到x轴的距离为2次.点尸为直线/上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度

的速度沿CP运动到点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿P4运动到点A停止，则时间最短为秒.

题型02构造相关角再作垂线

10.（22-23九年级上•四川乐山・期末）如图，在AABC中，ZBXC=90°,ZB=60°,AB=4,若D是8C边上

的动点，贝眨AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

11.（2024・四川德阳.二模）如图，已知抛物线？=£1/+故+（:与工轴交于4（1,0）,C（一3,0）两点，与y

轴交于点B（0,3）.若尸为y轴上一个动点，连接AP,则^BP+AP的最小值为（）

12.（2022•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，在A4BC中，AB=AC=4,zCAB=30°,ADVBC,垂足为

产为线段AD上的一动点，连接尸8、PC.则B4+2PB的最小值为

A

13.（21-22九年级下•湖北武汉•阶段练习）如图，在AACE中，CA=CE,^CAE=30°,半径为5的。。经

过点C,CE是圆。的切线，且圆的直径4B在线段4E上，设点D是线段4c上任意一点（不含端点），则。

的最小值为

14.（2020九年级•新疆•学业考试）如图，在△ABC中，Z/1=90°,=60°,AB=4,若。是BC边上的动点,

则24。+DC的最小值为.

15.（2021九年级•全国・专题练习）如图，矩形ABCD中A8=3,BC=V3,E为线段A8上一动点，连接CE,

则/E+CE的最小值为

16.（2023•福建泉州•模拟预测）如图，已知抛物线y=£（久+2）（x—4）（k为常数，且k>0）与％轴从左至

8

右依次交于4B两点，与y轴交于点C,经过点8的直线y=-fx+b与抛物线的另一交点为D.

(2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接4F,一动点M从点4出发，沿线段4尸以每秒1

个单位的速度运动到F,再沿线段尸。以每秒2个单位的速度运动到。后停止.当点F的坐标是多少时，点M在

整个运动过程中用时最少？

17.(23-24九年级下•江苏南通•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于

A,B两点，若AB=函数y=a/—2a比一3a的最小值为n,且m+n=。.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如果将该抛物线在久轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形G.当函数为=

kx-l+2k的图象与图形G的公共点的个数大于2时，求k的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当k取最大值时，函数为=kx-l+2k的图象与图形G的对称轴交于点P,若过P作平

行于久轴的直线交图形G于点Q,过点。乍7轴的平行线交函数月=kx+1—2k的图象于点R,。为线段RQ上

的一点，动点C从点R出发，沿RD-DP运动到点P停止，已知点C在RD上运动的速度为s单位长度每秒，

在DP上运动的速度为1单位长度每秒.求当点C运动的时间最短时，对应的点。的坐标.

18.(2024・四川成都•模拟预测)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

【尝试初探】

(1)如图①，在四边形4BCD中，若"IBC=4WC=90。，ABAD=5,ABAD=120°,求4C的长；

【深入探究】

(2)如图②，在四边形ABCD中，若N4BC=N4DC=90。，NBCD=45。，AC=8V2,求BD的长；

【拓展延伸】

(3)如图③，在四边形ABCD中，若N4BC+N力DC=180°,AADC=60°,AD=AB=2百，延长相

交于点E,DE1CE,P是线段4C上一动点，连接PD,求2DP+CP的最小值.

D

DD

B

图①图②

19.(2024•四川广元.二模)如图，在等腰三角形2BC中,CA=CB,C(3,0),点4(2即)、B(n,l)在反比例函

数y=(的图象上.

图1

⑴求反比例函数的解析式，并证明△ABC为直角三角形;

(2)在x轴上求作一点P,使PB+^PC的值最小，写出点P的坐标并求出最小值.

类型二阿氏圆模型

使用场景己知两个定点A,B,动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值

第二步：由母子相似模型可得△PODs^BOP,第二步：由母子相似模型可得△PODs^BOP,则

则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD;PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD;

第三步:连接AD,则AD的长即为PA+kPB的最第三步:连接AD,则AD的长即为PA+kPB的最小

小值.值

大招结论AD的长即为PA+kPB的最小值

【模型总结】

对于阿氏圆而言：当系数k<l的时候，一般情况下，考虑向内构造.

当系数k>l的时候，一般情况下，考虑向外构造.

【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；

当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.

题型01两点在圆外：向内取点（系数小于1）

20.（2024・山东泰安・二模）如图，在Rt△力BC中，^ACB=90°,CB=242,AC=9,以C为圆心，3为半

径作OC,P为OC上一动点，连接4P、BP,则JP+BP的最小值为（）

21.（2024•广东深圳•模拟预测）如图，矩形4BCD中AB=8,AD=6,点E是矩形4BCD内部一个动点，且EB=4,

连接CE,则DE+三分之二CE的最小值为（）

A.8B.gC.fD.9

22.（2024•安徽六安•模拟预测）如图，在矩形4BCD中，已知=3,BC=6,E为4D边上一动点，ABE

沿BE翻折到AFBE的位置，点A与点/重合，连接DF,CF,贝UDF+犯产的最小值为（）

AC.4D.字

-12

23.（2020・广西・中考真题）如图，在RS4BC中，A8=AC=4,点E,尸分别是AB,AC的中点，点尸是扇

形AEF的座上任意一点，连接8尸，CP,贝吟BP+CP的最小值是.

24.（2022九年级上.浙江•专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，2（0,4）,B（4,0）,P是第一象限内一动

点，OP=2,连接4P、BP,则的最小值是.

25.（2021九年级•全国・专题练习）如图1,在RTAABC中，zACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,

点尸为圆上一动点，连接AP,BP,求：

©AP+^BP,

@2AP+BP,

③豺P+BP,

④力P+3BP的最小值.

26.（2023・山东烟台•中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于4,8两点，与y轴交于点&AB=4.抛

物线的对称轴x=3与经过点力的直线y=kx-1交于点D,与x轴交于点E.

(1)求直线4。及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点M,使得AADM是以4D为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为OB上一个动点，请求出PC+1P4的最小值.

27.(2024•浙江•模拟预测)如图，在RtA4BC中,27cB=90。,4c=6,BC=8,,D,E为BC,4c上的动点,

且DE=4,尸为DE的中点.

(1)若DEII4B,求CD的长.

(2)在线段DE的运动过程中，CD的长由2到2B，求这一变化过程中，点尸运动的路程.

(3)连结PA,PB,求P4+；PB的最小值.

28.(2021九年级•全国・专题练习)如图，RtLABC,zACB=90°,AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEF

(C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动，且CD=e，连接ARBD

(1)求证：ABDUAAFC

(2)当正方形CDEF有顶点在线段A8上时，直接写出争4D的值;

（3）直接写出正方形COEF旋转过程中，2。十争的最小值.

29.（2024广东广州•三模）已知，如图1,24B为O。的割线，直线PC与O。有公共点C,且PC?=p&xPB.

W

（1）求证：①NPCA=乙PBC；

②直线PC是。。的切线；

（2）如图2,作弦CD,使CD1AB,连接A。、BC,,若4。=2,BC=6,求。。的半径；

（3）如图3,若O。的半径为鱼，PO=V10,M0=2,Z.P0M=90°,O。上是否存在一点。，使得PQ+芋QM

有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由.

题型02两点在圆内：向外取点（系数大于1）

30.（2020•江苏常州.一模）如图，在O。中，点A、点B在。。上，乙4OB=90。，。4=6,点C在。4上，

且。C=24C,点。是。B的中点，点M是劣弧A8上的动点，贝！JCM+2DM的最小值为

31.（20-21九年级上•江苏宿迁・期末）问题提出：如图①，在RtAABC中，z_C=90。，CB=4,C4=6,OC的

半径为2,P为圆上一动点，连接2P、BP,求AP+^BP的最小值.

图①图①备用图图②

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP,在C8上取一点。，使CD=1,

则冬=於=/又上PCD=LBCP,所以△PCDFBCP.所以署=冬=|.所以PD=|PS,所以4P+抑P=

4P+PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+（8P的最小值为一

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求［2P+8P的最小值；

（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形CO。中，NCOD=90。，0C=6,0A=3,0B=5,P是CD上一点，

求2P4+PB的最小值.

32.（2020•江苏常州•一模）如图，在O。中，点4点B在。。上，乙40B=90。，。4=6,点C在。4上，

且。C=24C,点。是。8的中点，点M是劣弧48上的动点，则CM+2DM的最小值为

33.（2024・浙江•模拟预测）已知扇形C。。中，ZCOD=90°,0C=6,。4=3,OB=5,点尸是弧CD上一

点，2P4+PB的最小值为—

34.（2022.广西•一模）图所示，在半径为6的扇形ABC中，ABAC=60。，点。，E分别在半径AB,

AC上，且8O=CE=2,点尸是弧BC上的动点，连接OHEF,则。尸十|EF的最小值为.

35.（2025九年级下•全国•专题练习）如图，在A4BC中，乙4BC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以B为

圆心3为半径的圆上，贝U2P+6PD的最小值为

题型04隐圆+阿氏圆

36.（2023・陕西咸阳•三模）如图，在菱形4BCD中，对角线4C、8。相交于点。，点E、尸分别是。。、。。上

的两个动点，且EF=4,尸是EF的中点，连接。P、PC.PD,若AC=12,BD=16,贝UPC+工PD的最小值

4

为.

37.（21-22九年级下•湖北武汉•阶段练习）如图，在边长为6的正方形ABC。中，M为48上一点，且BM=2,

N为边BC上一动点.连接MN,将4BMN沿MN翻折得到小PMN,点P与点B对应,连接P4PC,贝UP4+2PC

的最小值为.

38.如图，在RtA48c中，乙4cB=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是边8C、AC上的两个动点，且OE=4,

「是DE的中点，连接P4PB,则P4+通的最小值为一

B

39.(2021•广西南宁•一模)如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(O,2)、C(4,0)、D(3,2),PMAAOB

外部的第一象限内一动点，且ABB4=135。，则2尸。+PC的最小值是.

40.(2023•江苏宿迁•三模)如图，在平面直角坐标系中，4(2,0)、B(0,2)、C(5,2)、。(4,4),点尸在第一象

限，且乙4PB=135°,则+4PC的最小值为.

类型三梯子滑行模型

模型的概述：如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点(如

【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。

模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，ZACB=ZAOC=90°,

AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB

C

最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中0B的最值。

模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在

边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保

持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时

线段OD取最大值。

即已知矩形ABCD中AB、AD的长，就可求出梯子模型中0D的最值。

41.（2020•山东泰安.中考真题）如图，点42的坐标分别为4（2,0）,8（0,2）,点C为坐标平面内一点，BC=1,

点M为线段4C的中点，连接0M,贝UOM的最大值为（）

A.V2+1B.V2+iC.2V2+1D.2V2-|

42.（2024.山东泰安.二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，。4=8,点8在x轴上，0B=6.点

〃是平面内的一点，2M=6.将线段力M绕点A按顺时针方向旋转一周，连接取BM的中点N,连接ON,

C.2V10+3D.8

43.（2023・广西南宁•一模）如图，已知NMON=90。，线段4B长为6,48两端分别在。M、ON上滑动，以2B

为边作正方形力BCD,对角线力C、BD相交于点P,连接。C.贝I0C的最大值为（）

C.3+3V5D.9

44.（2024.江苏扬州•三模）如图，在平面直角坐标系中，4（0,4）,8为x轴正半轴上的动点，以4B为边在第

一象限内作△力BC使得NB4C=90。，S^ABC=8,连结。C,贝UOC长的最大值为.

45.（22-23九年级上•全国・期末）如图，等边△力BC的顶点A,8分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在

第一象限，连接。C,若等边AZBC的边长为2,则线段。C长的最大值是

46.（2022・安徽淮北•模拟预测）请解答下列各题:

⑴已知边长为“的正方形4BCD,两顶点A,8分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C、

点Z）在第一象限，点E为正方形A8CD的对称中心，连接OE,贝UOE的长的最大值是

(2)已知机，w是方程/+2016%+7=0的两根，贝1](62+2015m+6)(4+201771+8)=

第四章三角形

重难点16几何压轴突破四几何最值问题之

胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型

(3种类型7种题型详解+专题训练)

【题型汇总】

类型一胡不归模型

【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子

略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是

义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老

人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道

走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通

过砂石区域回家呢？虽然走的路多了，但总用时变少了，如果真有这种情况，那么在驿道和砂砾地带之间的

拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.

【模型详解】

条件：已知A,B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k・PA+PB(k<l)的最小值.

BB

解题步骤：

2）作射线AM使sin/PAM=k（k<l）,且点M与点B位于直线m的两侧.

2）过点P作PC_LAM于点C,则PC=k・PA,此时k・PA+PB=PC+BP.

3）过点B作BDLAM于点D,该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的

解题大招：即当B,P,C三点共线时，k・PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.

模型总结：在求形如“k・PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k・PA相等的线段，将“HPA+PB”型

问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k・PA

的等线段

注意：若k>l,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.

【模型拓展】

对形如a・PA+b・PB（a〉b）的式子，可以先将式子变形为aP.A^-PB；,再求出,翩那上稽的最小值，此时

只需要构造工，一尸5.”=2,作垂线即可求出最小值.

a

题型01已有相关角直接作垂线

1.（2023•湖南湘西•中考真题）如图，。。是等边三角形4BC的外接圆，其半径为4.过点8作BE1AC于

点E,点尸为线段8E上一动点（点尸不与E重合），则CP+^BP的最小值为.

【答案】6

【分析】过点尸作PD14B,连接C。并延长交4B于点R连接4。，根据等边三角形的性质和圆内接三角形

的性质得到。4=OB=4,CF14B,然后利用含30。角直角三角形的性质得到。E==2,进而求出BE=

BO+EO=6,然后利用CP+(BP=CP+PD<CF代入求解即可.

【详解】如图所示，过点P作力B,连接C。并延长交4B于点凡连接4。

是等边三角形，BEVAC

1

••・乙4BE=乙CBE=-Z.ABC=30°

2

•••O。是等边三角形的外接圆，其半径为4

­.OA=。8=4,CFJ.AB,

.-./.OBA=Z.OAB=30°

.^OAE=AOAB=-Z.BAC=30°

2

••,BE1AC

■.OE=-OA=2

2

；.BE=BO+EO=6

•・・PD1血Z.ABE=30°

■.PD-PB

2

:.CP+-BPCP+PD<CF

2

■■-CP+|BP的最小值为CF的长度

•••△ABC是等边三角形，BE1AC,CF1AB

：.CF=BE=6

••CP+^BP的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30。角直角三角形的性质等知识，解题的

关键是熟练掌握以上知识点.

2.（21-22八年级下•浙江宁波•开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=旧分别交x轴、

y轴于A、8两点，若C为彳轴上的一动点，则28C+AC的最小值为.

【答案】6

【分析】先求出点A，点3坐标，由勾股定理可求的长，作点2关于的对称点次，可证A2B9是等

边三角形，由直角三角形的性质可得CH=/C,贝眨BC+2C=2（夕C+CH）,即当点夕，点C,点X三点

共线时，B£+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解.

【详解】解：,•,一•次函数丫=gx-百分别交x轴、y轴于A、8两点，

.•.点A（3,0）,点B（0,-V3）,

.•4。=3,BO=V3,

■■.AB=yJOA2+OB2=心+（V3）2=2痔

作点8关于OA的对称点夕，连接AB',B'C,过点。作（7m于如图所示：

■■.OB=OB'=V3,

：.BB'=2V3,AB=AB'=2g

■■.AB=AB'=BB',

・•.△ABB'是等边三角形，

-AO1BB',

=-^BAB'=30°,

2

-CH1AB,

i

：.CH=-AC,

2

：.2BC+AC=2(BC+^AC^=2(B'C+CH),

••・当点夕，点C,点X三点共线时，B，C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，

此时，B'HLAB,A4BB'是等边三角形，

:.BH=AH=V3,乙BB'H=30°,

22

J(2V3)-(V3)=3,

.•.28C+AC的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确

定点C的位置是解题的关键.

3.(2020•陕西•模拟预测)如图，四边形ABCD是菱形，AB=8,且zABC=60。，〃为对角线BQ(不含8

【答案】4V3

【分析】如图，过点A作ATLBC于T,过点M作⑼于X,根据菱形的性质和30。角的直角三角形的

性质可得于是可得AM+扭M的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可.

【详解】解：如图，过点A作AT1BC于T,过点M作MH1BC于H.

•••四边形ABCQ是菱形，ZABC=60°,

1

.­.ADBC=-^ABC=30O,

2

■■.AM+-BM=AM+MH,

2

■■■AT1BC,."18=90°,

.•.AT=AB«sin60°=4V3,

■■■AM+MH>AT,

■.AM+MH>4V3,

.-.AM+^BM>4y/3,

的最小值为4V3,

故答案为：4V3.

【点睛】本题考查了菱形的性质、30。角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于

常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键.

4.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，在RtzXABC中，AACB=90°,AABC=30°,AC=4,按下列步骤作

图：①在4C和4B上分别截取40、AE,使②分别以点。和点E为圆心，以大于|。石的长为半径

作弧，两弧在48AC内交于点③作射线AM交BC于点?若点尸是线段4F上的一个动点，连接CP,则

【分析】过点尸作PQ，力B于点Q,过点C作CH14B于点”，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出

^BAF=30°,然后利用含30。的直角三角的性质得出PQ=14P,贝UCP+=CP+PQ2CH,当C、P、

。三点共线，且与4B垂直时，CP+（4P最小，CP+^AP最小值为CH,利用含30。的直角三角的性质和勾股

定理求出AB,BC,最后利用等面积法求解即可.

【详解】解：过点尸作PQ,4B于点Q,过点C作CH14B于点H,

A

由题意知：4尸平分2B4C,

-L.ACB=90°,Z.ABC=30°,

^Z.BAC=60°,

i

.'.^BAF=-Z.BAC=30°,

2

：.PQ=^AP,

.•.CP+^AP=CP+PQ>CH,

・•・当C、P、。三点共线，且与ZB垂直时，CP+:/尸最小，CP尸最小值为CH,

•：^ACB=90°,乙ABC=30°,AC=4,

'-AB—2AC—8,

：.BC=y]AB2-AC2=4V3,

•^BC=\AC-BC=\ABCH,

.-.CH="=山=/3,

AB82A

即CP+34P最小值为2次.

故答案为：2E

【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等

积法求三角形的高或点的线的距离的方法.

5.（22-23九年级上•广东茂名・期末）如图，AB=AC,X（0,V15）,C（1,0）,。为射线A。上一点，一动

点尸从A出发，运动路径为2-D-C,在AD上的速度为4个单位/秒，在8上的速度为1个单位/秒，则

整个运动时间最少时，D的坐标为.

【答案】（0,誓）

【分析】如图，作。于HCAflAB于跖交AO于。.运动时间t="+皮=丝+CD,由AAHD-^AOB,

414

推出。口=工4£）,可得工4D+CD=CD+DH,推出当C,D,H共线且和CM重合时，运动时间最短.

44

【详解】如图，作DH-L4B于H,CM1AB于M,交A。于

•・,运动时间t=----1=FCD,

414

,''AB=AC,AO±BC,

••BO=OC=1,

•M(0,V15),C(1,0),AB=ACfAOIBC,

'.AB=AC=y/OA2+OB2=“5+1=4,

-^LDAH=/LBAO,乙DHA=AAOB=90°,

.,.AAHDAOB,

AD_DH

,•=,

ABOB

1

=-AD,

4

■--AD+CD=CD+DH,

4

.・.当C,D,H共线且和CM重合时，运动时间最短,

.：IBC.AO=IAB.CM,

CM

.-.=2

-9-AM=y/AC12—CM2=J42—=p

•：AD'=4MO',设=m,贝Ij/D'=4m,

则有：16m2—m2=—

4

空或一甯（舍去），

：.AD'=生空

15

皿唔，

故答案为（0,誉）.

【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的

思想思考问题.

6.（2023・河北保定•一模）如图，在矩形力BCD中，对角线4C,BD交于点。，AB=0B=3,点M在线段AC

上，且力"=2.点尸为线段0B上的一个动点.

（1）/.OBC=°；

（2）MP+^PB的最小值为.

【答案】302

【分析】（1）由矩形的性质得到。4=0B=0C=0D,4ABC=90°,又由=0B得到△O4B是等边三角

形，贝IJ乙48。=60°,即可得到答案；

（2）过点尸作PE1BC于点E,过点“作MFJ.BC于点尸，证明MP+=MP+PE2MF,进一求解MF

即可得到答案.

【详解】解：⑴•••四边形力BCD是矩形，

：.0A=0B=0C=0D,4ABC=90°,

'-'AB=OB,

-'-AB=OB=OA,

OZB是等边三角形，

••Z-ABO=60°,

：/OBC=(ABC-Z.ABO=90°-60°=30°,

故答案为：30.

(2)过点P作PE18C于点E,过点M作MF于点八

BEFC

在RtABPE中，

由（1）知：乙PBE=30°,

1

・・・PE=±PB,

2

.'.MP-^-PB=MP+PE>MF,

2

在矩形/BCD中，

AC=2OA=2OB=6,

-AM=2,

•.CM=AC-AM=6-2=4,

在中，Z.MCF=/.OBC=30°,

i

：.MF=-CM=2,

2

.•.MP+2PB的最小值为2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查了矩形的性质、含30。的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握

矩形的性质、含30。的直角三角形的性质是解题的关键.

7.（2022•广西梧州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx-4分别与尤，y轴交于点A,B,

抛物线y=^X2+bx+c恰好经过这两点.

⑵若点C的坐标是(0,6),将4ACO绕着点C逆时针旋转90。得到△ECF,点A的对应点是点E.

①写出点£的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点P是y轴上的任一点，求|8P+EP取最小值时，点尸的坐标.

【答案】(l)y=^-x2-|x-4

loZ

(2)①点E在抛物线上；②尸(0,-|)

【分析】(1)先求出A、8坐标，然后根据待定系数法求解即可；

(2)①根据旋转的性质求出所=A0=3,CF=CO=6,从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入(1)的函

数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；

②过点E作交了轴于P,垂足为H,sinZTlBO=丝=更=三，则HP=三BP,得三BP+EP=HP+PE,

ABBP555

可知HP+PE的最小值为的长，从而解决问题.

【详解】(1)解：当x=0时，y=-4,

当y=0时，—4=0,

•••x=-3,

M(-3,0),B(0,-4),

把A、B代入抛物线y=三%2+匕％+c,

得牌(-3)2-3b+c=。，

Ic=-4

(b=--

.H2,

Ic=-4

.•・抛物线解析式为y=2/一1_4.

182

(2)解：①rA(-3,0),C(0,6),

••.AO=3,CO=6,

由旋转知：EF=AO=3,CF=C0=6,zFCO=90°

：.E到x轴的距离为6-3=3,

・•・点E的坐标为（6,3）,

当时，2

x=3zy=—18x6--2x6-4=3,

・••点E在抛物线上；

垂足为H,

・・.0A=3,08=4,

..A3=5,

AO_HP3

乙。

•••sin48AB-BP

3

：,HP=”P,

.^BP+EP=HP+PE,

•.HP+PE的最小值为EH的长,

作EGD轴于G,

•.乙GEP=^ABO,

.,.tanzGEP=tanzABO,

PG_AO

,,二,

EGBO

.PG_3

,

64

・•.PG=2,

2

Q7

・・.OP=M-3=t

22

：.p(0,-

2

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之

间、线段最短等知识，利用三角函数将(BP转化为HP的长是解题的关键.

8.(2024•山东淄博•一模)如图，在边长为6的菱形48CD中，4BCD=60°,连接BD,点E,尸分别是边力B,

BC上的动点，S.AE=BF,连接DE,DF,EF.

(1)如图①，当点E是边力B的中点时，求NEDF的度数；

(2)如图②，当点E是边4B上任意一点时，NED尸的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，

请说明理由；

(3)若点尸是线段上的一个动点，连接PF,求PF+^DP的最小值.

【答案】(1)60。

(2)不改变，见解析

(3)373

【分析】(1)由菱形4BCD可得4B=BC=CD=4D=6,ABAD=ABCD=60°,从而△ABD,△BCD是等

边三角形，根据“三线合一”可得NEOB=30。，AE=^AB,进而证得点F是边BC的中点，从而

Z.BDF=|zB£)C=30°,根据NEDF=4EDB+48。尸即可解答；

(2)由(1)得到△48。，△BCD是等边三角形，从而/.DAB=/.DBC=60°,进而证得△ADE三

△BDF(SAS),得至IJ/ZDE=4BDF,从而NEDF=乙ADB=60°；

(3)过点P作PG14D于点G,连接PF,过点P作FG'1AD于点G，，交BD于点P,贝UGP=DP-sin^ADB=

^-DP,因此PF+乎DP=PF+GP,当点RP,G三点共线，且时，PF+GP有最小值，最小值

为FG的长，过点。作于点H,PF+苧DP的最小值即为的长，在Rt△CD”中通过解直角三角形

即可解答.

【详解】(1)•.•四边形4BCD是菱形，边长为6,

：.AB=BC=CD=AD=6,^BAD=4BCD=60°,

・•.△ABD,△BCD是等边三角形，

■■Z.ADB—60°,

■.•点E是边2B的中点，

111

：/EDB=-Z.ADB=-x60°=30°,AE=-AB,

222

'-'AE=BF,

ii

'.BF=-AB=-BC

22

・•.点/是边BC的中点，

・ZBDF=乙乙BDC=ix60°=30°,

22

：^EDF=(EDB+乙BDF=30°+30°=60°；

(2)4EDF的度数不改变，证明如下：

由(1)得到△BCD是等边三角形，

.・・/0=BD,^LDAB=乙DBC=60°,

•・•/£*=BF,

/.AADE三△BOF(SAS),

'-Z-ADE=Z-BDF,

•-Z-EDF=Z-BDE+乙BDF=Z-BDE+Z.ADE=乙ADB=60°；

(3)如图，过点尸作PGJ.AO于点G,连接PF,过点尸作FG，于点G，，交BD于点口,

BFHC

■■■^ADB=60°,

.•.在Rt△DPG中，GP=DP-sm^ADB=DP-sin60°=^DP

■■.PF+—2DP=PF+GP

二当点F,P,G三点共线，且FG14D时，PF+GP有最小值，最小值为FG的长，过点。作1BC于点H,

,•・四边形4BCD是菱形，

：.DH=FG',

+当DP的最小值即为DH的长，

■：DH1BC,ABCD是等边三角形,

：.DH=CD-sinC=CD-sin60°=3V3,

■-PF+fDP的最小值为3H.

【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，垂线段最短，解直

角三角形.正确作出辅助线，综合运用相关知识，采用转化思想是解题的关键.

9.（22-23九年级下•江苏宿迁•阶段练习）如图，二次函数y=a/+2ax-3a与x轴交于点A,B,对称轴

为直线/,顶点C到x轴的距离为2旧.点尸为直线/上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度

的速度沿CP运动到点P,再以每秒1个单位长度的速度沿P4运动到点A停止，则时间最短为秒.

【答案】2V3

【分析】如图，连接4C,BC,作AD1BC于点。，4。与EC交点即为符合题意的点P,可得力B=4C=BC,

利用30。角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为殍+4P解题即可.

【详解】如图，连接作4D18C于点£）,力。与EC交点即为符合题意的点尸，

令y=0,贝ija/+2ax-3a=0,

解得％=-3或%=1,

.•.A