高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象与周期函数教学实录 北师大版必修4

高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数教学实录北师大版必修4主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数教学实录

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2022年9月15日星期四第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生的数学抽象能力，通过周期现象的观察和分析，使学生理解周期函数的概念和性质。

2.增强学生的逻辑推理能力，通过探究周期函数的周期性和对称性，引导学生运用逻辑推理方法解决问题。

3.提升学生的数学建模能力，鼓励学生将周期现象与实际情境相结合，建立周期函数模型，并应用于实际问题解决。

4.培养学生的数学运算能力，通过周期函数的图像和方程，锻炼学生进行函数运算和方程求解的能力。

5.强化学生的直观想象能力，通过几何直观和图像分析，帮助学生理解周期函数的性质和变化规律。学情分析高一年级的学生在进入高中阶段后，对数学学科的学习有了新的认识和挑战。本节课的主题是三角函数的周期现象与周期函数，以下是针对学生层次、知识、能力、素质和行为习惯的学情分析：

1.学生层次：高一年级的学生数学基础参差不齐，部分学生在初中阶段对数学概念的理解不够深入，对函数性质的认识有限，这将对本节课的学习造成一定的影响。

2.知识方面：学生在初中阶段已经接触过一次函数、二次函数等基本函数，对函数的概念和图像有一定的了解，但缺乏对函数性质的系统学习。本节课的周期函数概念对学生来说是一个新的挑战，需要引导学生从熟悉的函数出发，逐步过渡到三角函数的学习。

3.能力方面：学生的逻辑推理能力和抽象思维能力在初中阶段得到了一定的培养，但面对周期函数这一较为抽象的概念，学生的思维能力可能存在不足，需要教师在教学中注重引导和启发。

4.素质方面：学生在数学学习中表现出不同的学习风格，有的学生善于通过观察和实验来理解概念，有的学生则更依赖于逻辑推理。教师在教学中应关注学生的个体差异，提供多样化的教学方法。

5.行为习惯：部分学生在课堂上可能存在注意力不集中、参与度不高的问题，这可能会影响他们对周期函数概念的理解和掌握。教师需要通过课堂互动和小组合作等方式，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修4的教材，以便随时查阅三角函数的相关内容。

2.辅助材料：准备与周期现象相关的图片，如季节变化、时钟运动等，以及周期函数的图表和视频，帮助学生直观理解周期性。

3.教学工具：准备三角板、量角器等几何工具，以便学生进行直观操作和测量。

4.教室布置：设置黑板或白板用于展示函数图像和关键步骤，同时预留空间用于小组讨论和实验操作。教学过程一、导入新课

1.老师首先以提问的方式引导学生回顾初中阶段学习的函数知识，如一次函数、二次函数等，让学生思考这些函数的共同特征。

2.学生回答后，老师总结：这些函数都具有一个共同的特征——周期性。

3.老师引入本节课的主题——三角函数，提出问题：三角函数是否也具有周期性呢？引发学生对本节课的兴趣。

二、新课讲授

1.老师讲解三角函数的概念，强调三角函数是由角度和正弦、余弦、正切等三角函数值组成的函数。

2.老师通过实例展示三角函数的图像，如正弦函数、余弦函数、正切函数等，让学生直观感受三角函数的周期性。

3.老师引导学生分析三角函数的周期性，提出问题：如何判断一个三角函数的周期？如何求一个三角函数的周期？

4.学生通过小组讨论，总结出判断三角函数周期的方法：观察函数图像，找出函数图像的重复规律；根据函数的定义，利用公式求出函数的周期。

5.老师讲解周期函数的性质，如周期函数的对称性、奇偶性等，并举例说明。

6.老师引导学生分析周期函数在实际生活中的应用，如时钟的转动、季节的变化等，让学生体会数学与生活的联系。

三、课堂练习

1.老师布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。

2.练习题包括：

a.判断下列函数是否为周期函数，并求出其周期；

b.根据给定的周期，写出相应的三角函数表达式；

c.分析周期函数的图像，找出函数的对称轴、对称中心等。

3.学生独立完成练习题，老师巡视指导。

四、课堂讨论

1.老师组织学生进行课堂讨论，让学生分享自己的解题思路和经验。

2.讨论内容包括：

a.如何判断一个三角函数的周期？

b.如何求一个三角函数的周期？

c.周期函数在实际生活中的应用有哪些？

3.学生积极参与讨论，分享自己的观点和见解。

五、课堂小结

1.老师对本节课的内容进行总结，强调三角函数的周期性及其在实际生活中的应用。

2.老师指出本节课的重点和难点，提醒学生在课后复习时注意这些内容。

3.老师布置课后作业，让学生巩固所学知识。

六、课堂延伸

1.老师提出问题：三角函数的周期性在数学研究中有什么意义？

2.学生思考后，老师引导学生了解三角函数的周期性在数学分析、物理学等领域的重要应用。

3.老师鼓励学生在课后进一步探究，拓展自己的知识面。教学资源拓展1.拓展资源：

a.三角函数的历史背景：介绍三角函数的发展历程，从古埃及人的土地测量到现代数学的应用，让学生了解三角函数在人类文明发展中的重要性。

b.周期函数在其他学科中的应用：探讨周期函数在物理学、工程学、生物学等领域的应用，如简谐运动、电路分析、生物节律等，增强学生对数学知识的跨学科认识。

c.周期函数与数学分析的关系：介绍周期函数在数学分析中的地位，如傅里叶级数、积分变换等，为学生展示数学的深层次应用。

2.拓展建议：

a.阅读相关书籍：《数学史概论》、《数学与物理》等，帮助学生了解三角函数的历史背景和应用领域。

b.观看科普视频：推荐观看科普频道制作的关于三角函数和周期函数的科普视频，如《数学之美》、《探索周期现象》等，以直观的方式加深理解。

c.实践活动：鼓励学生参加数学竞赛、科技创新活动等，将所学知识应用于实际问题解决，如设计时钟、模拟简谐运动等。

d.网络资源：引导学生利用网络资源，如在线课程、教学视频等，拓宽学习渠道，自主探究数学知识。

e.小组合作：组织学生开展小组合作学习，共同探讨周期函数的性质和应用，提高团队合作能力和沟通能力。

f.课外阅读：推荐阅读《数学分析新编》、《三角函数与方程》等书籍，深入学习周期函数的理论知识，为后续学习打下坚实基础。

g.实验探究：引导学生进行实验探究，如利用计算机软件绘制三角函数图像、分析周期函数的变化规律等，提高学生的动手能力和实验技能。

h.案例分析：分析实际案例，如天气预报中的周期性变化、股市波动等，让学生体会数学在现实生活中的应用价值。

i.交流分享：鼓励学生在课堂上分享自己的学习心得和经验，激发学生的学习兴趣，促进同学间的交流与合作。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的参与度较高，对于三角函数的周期现象与周期函数的概念理解较为迅速。大部分学生能够积极回答问题，提出自己的观点，并在小组讨论中展现出良好的互动和合作精神。课堂上的纪律良好，学生能够集中注意力，这对于学习三角函数这一抽象概念是非常重要的。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节中，学生能够有效地运用所学知识分析问题，并提出解决方案。例如，在讨论周期函数的实际应用时，学生能够结合生活中的时钟、季节变化等实例，展示出对周期函数理解的应用能力。讨论成果的展示环节中，学生的表达清晰，能够准确地传达小组的讨论成果。

3.随堂测试：

随堂测试包括判断题、选择题和解答题，旨在考察学生对周期函数概念、性质和应用的掌握情况。测试结果显示，学生对周期函数的定义和周期性理解较好，但在求解周期函数的具体问题时，部分学生对于周期公式的应用不够熟练，需要进一步练习。

4.学生反馈：

学生普遍反映，通过本节课的学习，他们对三角函数的周期现象有了更深入的理解，尤其是通过小组讨论和实际案例的分析，感觉数学知识不再那么抽象。同时，也有学生提出，希望能够有更多的时间进行练习，以加强对于周期函数应用能力的培养。

5.教师评价与反馈：

针对学生对周期函数的理解和掌握情况，教师评价如下：

-对周期函数概念的理解：大部分学生能够准确理解周期函数的概念，并能够区分不同三角函数的周期性。

-对周期函数性质的应用：学生在应用周期函数性质解决实际问题时，表现出一定的困难，需要教师提供更多的指导。

-对周期函数图像的分析：学生在分析周期函数图像时，能够识别出周期、对称轴等特征，但在分析图像与实际应用之间的关系时，需要进一步引导。

-教师建议：为了提高学生的应用能力，建议在接下来的教学中增加实际应用案例的讲解，并通过练习题和课后作业帮助学生巩固知识点。同时，鼓励学生在课外进行自主学习和探究，以提高对数学知识的综合运用能力。重点题型整理1.题型一：求周期函数的周期

题目：已知函数f(x)=sin(x+π/3)，求函数f(x)的周期T。

解答：周期函数的周期T可以通过公式T=2π/ω来计算，其中ω是函数中角度的系数。对于f(x)=sin(x+π/3)，ω=1，因此T=2π/1=2π。

2.题型二：判断函数的周期性

题目：判断函数f(x)=cos(2x)是否为周期函数，如果是，求其周期。

解答：由于余弦函数cos(x)的周期是2π，因此对于f(x)=cos(2x)，其周期T=2π/2=π。

3.题型三：利用周期函数的性质求解

题目：已知函数f(x)=sin(x)+2cos(x)，求函数f(x)的最大值和最小值。

解答：首先，将f(x)转换为标准形式，即f(x)=√5sin(x+φ)，其中tanφ=2。函数的最大值和最小值分别为√5和-√5。

4.题型四：周期函数图像的绘制

题目：绘制函数f(x)=sin(3x-π/2)的图像，并标出其一个周期的关键点。

解答：函数f(x)=sin(3x-π/2)的周期T=2π/3。在一个周期内，关键点包括起点(0,-1)，终点(2π/3,0)，以及周期的中点(π/3,1)。

5.题型五：周期函数在实际问题中的应用

题目：某城市一年的平均气温变化可以近似表示为函数f(x)=20+5sin(x-π/6)，其中x为月份（1月为x=1）。求该城市在1月和7月的平均气温。

解答：函数f(x)=20+5sin(x-π/6)的周期T=2π，因此1月和7月的气温相同。计算f(1)和f(7)的值，得到1月和7月的平均气温分别为15℃和25℃。教学反思与改进今天这节课，我们学习了三角函数中的周期现象与周期函数。在回顾和总结这节课的教学过程时，我有一些反思和改进的想法。

首先，我觉得课堂的互动性还可以再加强。虽然学生们在课堂上能够积极回答问题，但在某些环节，我发现学生们的参与度并不高，有些学生似乎对周期函数的概念理解得不够深入。因此，我计划在未来的教学中，设计更多互动环节，比如小组讨论、角色扮演等，以激发学生的学习兴趣和参与度。

其次，我发现有些学生在分析周期函数的图像时，对于周期的识别和关键点的标注不够准确。这可能是因为他们在直观理解上存在困难。为了解决这个问题，我打算在接下来的教学中，利用更多的直观教具，如三角板、函数图像图卡等，帮助学生更好地理解周期函数的图像特征。

另外，我在讲解周期函数的性质时，可能过于注重理论推导，而忽略了与实际应用的结合。学生在面对实际问题时的应用能力需要得到提升。因此，我计划在今后的教学中，增加更多与实际生活相关的案例，让学生在实践中学习，提高他们的应用能力。

在教学过程中，我还发现了一些学生对于周期函数的周期公式应用不够熟练。为了帮助学生更好地掌握这一知识点，我打算在课后布置一些针对性的练习题，并鼓励学生