湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（含答案）

好教育云平台月考卷第=page2*2-13页（共=sectionPages2*24页）好教育云平台月考卷第=page2*24页（共=sectionPages2*24页）衡阳县四中2024-2025学年下学期高二第一次月考卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量a，b满足a=3,4，b=2,−1，则向量b在向量A．625,825 B．6,8 C．2．若复数z=cosπ4−θ+3A．2π B．5π4 C．33．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（

）A．733π B．533π4．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A'B'C'D'（如图所示），其中AA．5 B．22 C．3 D．5．如图，三棱锥V−ABC中，VA⊥底面ABC,∠BAC=90∘,AB=AC=AV=2A．23+3 B．23−33 6．某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的100名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计该100名同学测试得分的上四分位数为（

）A．82.5 B．81 C．80 D．79.57．设Sn为等差数列an的前n项和.若公差d=12，且S100A．60 B．70 C．75 D．858．椭圆C:x2m+y2=1(m>1)的左右焦点为F1,F2，经过F1的直线与椭圆A．3 B．23 C．2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1（n∈NA．an−12是等比数列C．an=310．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、A．P在BC中点时，平面PEF⊥平面GMNB．E、F、G、M、N在同一个球面上C．异面直线EF、GN所成角的余弦值为1D．A1P=tA11．已知双曲线x2a2−yA．若双曲线的离心率为233B．若双曲线的通径长为2，则a=2C．若P是双曲线与以F1F2D．若点Q(3,2)在双曲线上，则Q第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知直线l:y−1=kx−1被圆C:x−22+y−2213．过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条直线与椭圆相交于A,B两点．若M14．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为m．（3≈1.73四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知数列an满足a(1)若bn=1(2)求数列anan+1的前n16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点A1,0和点B−1,2，且圆心C在直线(1)求圆C的标准方程；(2)已知圆C'的方程为x2+y217．（15分）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上，右顶点为A，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120，求证：直线PQ18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，AB∥DC，△ABD是边长为2的正三角形，DC=3，O为AB的中点，将△AOD沿OD折到△POD的位置，PC=13(1)求证：PO⊥面BODC；(2)若E为PC的中点，求直线BE与平面PDC所成角的正弦值．19．（17分）已知正项数列an的前n项和为Sn.若(1)求证：数列an(2)设bn=2anan+1，求数列数学答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】BC10．【答案】ABD11．【答案】ABC12．【答案】213．【答案】−1214．【答案】13.815．【解析】（1）证明：因为an+1=a即1因为bn=1又因为b1所以bn（2）由（1）得bn=2+2(n−1)=2n，所以所以an所以S=16．【答案】(1)x+1(2)相交，6【解析】（1）因A(1,0),B(−1,2)，则线段AB的中点E的坐标为E(0,1)，且直线AB的斜率kAB于是线段AB的垂直平分线所在直线方程为y=x+1,

则由y=x+12x−y+2=0，解得x=−1y=0∴圆心C−1,0，半径r=|CA|=2,∴圆C的方程为x+12（2）由圆C':x∴圆心C'(0,3)，半径∵圆C的圆心坐标为C−1,0，半径r=2由|CC'|=因|r−r'|<|CC'设圆C与圆C'的两个交点分别为点M,N由x+12+y∴直线MN的方程为x+3y−4=0,∴圆心C到直线MN的距离d=|−5|∴MN=2综上：圆C与圆C'相交，两圆的公共弦长为617．【解析】（1）依题可得，c=33a所以椭圆C的方程为x24+（2）由（1）知A2,0，易知直线AP与AQ的斜率存在且同号，所以直线PQ不垂直于x故可设PQ:y=kx+m,k≠0,Px由x24+所以x1Δ=164k2+1−化简可得20k即20k即20k化简得6k2+mk−m2所以直线PQ:y=kx−2或y=k因为直线PQ不经过点A，所以直线PQ经过定点−3,0.18．【解析】（1）依题意△ABD是边长为2的正三角形，O为AB的中点，所以OD⊥AB，所以OD⊥PO，OD⊥BO，PD=2，CD=3，PC=13则PD2+CD2=PC2，所以又OD∩PD=D，OD,PD⊂平面POD，所以OB⊥平面POD，因为OP⊂平面POD，所以OB⊥OP，又OB∩OD=O，OB,OD⊂平面BODC，所以OP⊥平面BODC．（2）如图建立空间直角坐标系，则B1,0,0，P0,0,1，D0,3,0所以B