空间向量法解决立体几何证明

关于空间向量法解决立体几何证明第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日复习:2.向量的夹角:OAB向量的夹角记作:1.空间向量的数量积:第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日4.向量的模长:3.有关性质:两非零向量第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日5.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日空间四点P、M、A、B共面实数对推论:第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日一.引入两个重要的空间向量

1.直线的方向向量把与直线平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日2.平面的法向量与平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.αn第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日第10页，共34页，星期日，2025年，2月5日练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy第11页，共34页，星期日，2025年，2月5日解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=1解得:得:由

=（-1，-1，2），=（-1，1，2）第12页，共34页，星期日，2025年，2月5日

练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.XYZ设平面EDB的法向量为第13页，共34页，星期日，2025年，2月5日二、立体几何中的向量方法——平行关系第14页，共34页，星期日，2025年，2月5日ml一.平行关系：第15页，共34页，星期日，2025年，2月5日α第16页，共34页，星期日，2025年，2月5日αβ第17页，共34页，星期日，2025年，2月5日二、垂直关系：lm第18页，共34页，星期日，2025年，2月5日lABC第19页，共34页，星期日，2025年，2月5日αβ第20页，共34页，星期日，2025年，2月5日

例1四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG

证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AE与FG不共线几何法呢？第21页，共34页，星期日，2025年，2月5日

例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法第22页，共34页，星期日，2025年，2月5日ABCDPEXYZ解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：设平面EDB的法向量为第23页，共34页，星期日，2025年，2月5日练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN第24页，共34页，星期日，2025年，2月5日练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN几何法呢？第25页，共34页，星期日，2025年，2月5日练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN几何法呢？第26页，共34页，星期日，2025年，2月5日

练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：

O’C’B’A’OABCEFZxy

解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.第27页，共34页，星期日，2025年，2月5日ABCDPEFXYZ

证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.第28页，共34页，星期日，2025年，2月5日ABCDPEFXYZ

证2：第29页，共34页，星期日，2025年，2月5日,E是AA1中点，

例3正方体平面C1BD.

证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.

平面EBD第30页，共34页，星期日，2025年，2月5日

证明2：E,E是AA1中点，

例3正方体平面C1BD.

求证：平面EBD第31页，共34页，星期日，2025年，2月5日ABCDPXYZG第32页，共34页，星期日，2025年，2月5日例4棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B