河北省沧州市沧州五校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

沧州五校2025年3月月考数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(

)A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|

C.2.已知a和b是两个不共线的向量，若AB=a+mb，BC=5a+4b，DC=-a-A.12 B.1 C.-123.已知向量a,b满足a=2,b=1，且b⊥a-A.-14a B.14a 4.在△ABC中，∠B=π3A.5 B.3或5 C.4 D.2或45.在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC=2π3，AD=4，AB=2BDA.15-38 B.156.设e为单位向量，|a|=4，当a，e的夹角为π6时，a在e上的投影向量为A.-12e B.e C.7.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2-2csinB+A.5-2 B.3-5 8.向量a=(sin(ωx-π4),sinωx)，b=(sin(A.35-18 B.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|=1，则给出下列结论(

)

A.OA⋅OD=-22 B.OB+OH=-10.下列说法正确的是(

)A.在△ABC中，若AB⋅BC>0，则△ABC为锐角三角形

B.若a=(3,4),b=(-1,2)，则a在b方向上的投影向量为(-1,2)

C.若a=(1,k),b=(2,2)，且a+11.下列说法中错误的为(

)A.已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(-53,+∞)

B.向量e1→=(2,-3),e2→=(1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知OA=a，OB=b，若∣OA∣=12，∣OB∣=513.已知海岛B在海岛A的北偏东75°的方向上，且两岛的直线距离为30 n mile.一艘海盗船以30 n mile/h的速度沿着北偏东15°方向从海岛B出发，同时海警船以3014.飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为酒吧常见的日常休闲活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=4，边DE上有4个不同的点P1，P2，P3，P4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题14分)

已知向量a=(2,x)，b=(1,2)．

(1)若x=32，求a在b上的投影向量的模；

(2)若a//b16.(本小题14分)

如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：AD+BE+CF17.(本小题15分)在▵ABC中，已知∠BAC=120∘(1)求sin∠(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90∘18.(本小题17分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)若a=3c，b=2(2)若sin Aa=19.(本小题17分)如图，设Ox,Oy是平面内相交成α(0<α<π)角的两条射线，e1,e2分别为Ox,Oy(1)在α仿射坐标系中．①若a=m,②若a=-1,2,b=-2,1，且(2)如图所示，在π3仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，BC=1,OD=13OC，E，F分别为BD答案1.C

解：对于A，λ>0时，a与-λa的方向相反，λ<0时，a与-λa的方向相同，∴选项A错误；

对于B，|λ|≥1时，|-λa|≥|a|，|λ|<1时，|-λa|<|a|，∴选项B错误；

对于C，∵λ≠0，2.B

解：由已知可得

BD=因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得AB=λBD则1=6λm=6故选：B3.B

【解析】解：因为b⊥a-所以a⋅设a,b的夹角为所以b在a上的投影向量为|b故选：B．4.B

【解析】解：由余弦定理，得AB即64+BC2解得BC=3或5经检验，均满足题意．故选：B．5.A

解：由题可得S△ADC=12×AD×AC×sin∠DAC

=12×4×AC×32=43，解得AC=4，

所以△ADC为等腰三角形，

则∠ADC=π6，故∠ADB=56.D

解：因为

e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为π6，

所以

a在

e方向上的投影向量为

|a→|cos7.B

解：因为b2-2csin由余弦定理可得a2=b即asinB=2其中sinB≠0，则sinA又tanA化简可得2tan且▵ABC为锐角三角形，则tan所以2tan即tanB解得tanBtanC≥所以tanBtanC则tanAtanB故选：B．8.B

解：g(x)=a→·b→=sin⁡(ωx-π4)sin⁡(ωx+π4)+sin2ωx+23sin⁡ωxcos⁡ωx-12

=sinωx-π4cosωx+9.AB

解：图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA对于A:OA⋅对于B:OB+OH=2·OA=-2·OE，故对于D：∵|AH|=|BC故选：AB．10.BD

解：对于A，因为AB⋅BC>0，所以BA⋅BC<0，于是∠B>π2，所以△ABC为钝角三角形，所以A错；

对于B，因为a=(3,4),b=(-1,2)，则a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=a⋅b|b|2⋅b=55⋅(-1,2)=(-1,2)，所以B对；

对于C，假设C对，则a⊥b，从而a⋅b=2+2k=0，于是k=-1，所以a+b=(3,1)与a=(1,-1)不共线，所以与a+b与a共线矛盾，所以11.AC

解：A.∵a→=(1,2),b→=(1,1)，a与a+λb的夹角为锐角，

∴a·(a+λb)=(1,2)·(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0且λ≠0(此时a与a+λb的夹角为0)，故A错误；

B.∵向量e1=(2,-3)=4e2，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；

C.若a//b，则a在b方向上的投影的数量为±a，故C错误；

D.过O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，

∵三个不共线的向量OA,OB,OC，12.13

解：在

Rt△AOB中，∠AOB=90∘，

a-b=OA-OB=AB，

因此∣a13.45°

解：设海警船的航行方向是北偏东θ，且0°<θ<75°，

如图所示，

则在ΔABC中，∠CAB=75°-θ，∠ABC=120°，AB=30n mile，AC=303t n mile/h，BC=30t14.96

解：延长BC交DE于点Q，

因为∠CQE=∠CEQ+∠ECQ=∠ACB+∠ECQ=π2，所以BQ⊥DE．

在△ABC中，cos∠BAC=AB2+AC2-B15.解：(1)当x=32时，a=(2,32)，

因为b=(1,2)，

所以a在b上的投影向量的模为|acosθ|=|a⋅b||b|=|2+3|12+22=5．

(2)16.证明：由题意知AD=AC+CD，BE=BC+CE∴=(=(=(=AE

17.解：(1)由余弦定理可得：B=4+1-2×2×1×cos12则

BC=7

，

sin∠ABC(2)由三角形面积公式可得

S▵ABD则

S▵ACD

18.解：(1)∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

a=3c，b=2，cosB=23，

∴由余弦定理得：

cosB=a2+c2-b22ac=10c2-26c19.解：(1)①因为a=(m,则a2所以