安徽省智学大联考-皖中名校联盟合肥八中2024−2025学年高二上学期1月期末数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页安徽省智学大联考—皖中名校联盟合肥八中2024−2025学年高二上学期1月期末数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．2．如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（

）A．1 B． C． D．3．若两平行直线与之间的距离是，则（

）A． B． C．12 D．144．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（

）A． B． C． D．5．已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（

）A．1 B．2 C．4 D．86．已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（）A． B． C． D．8．已知曲线，则下列结论中错误的是（）A．曲线E与直线无公共点B．曲线E上的点到直线的最大距离是C．曲线E关于直线对称D．曲线E与圆有三个公共点二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线E：，则下列选项正确的有（

）A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A． B．取得最小值时或4C． D．的最小值为11．在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（

）A．若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则B．若点，P都不在直线l上，直线l的方向向量是，若直线与l异面且垂直，则C．若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则D．若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点P使得成立三、填空题（本大题共3小题）12．已知为等差数列，为其前n项和.若，则．13．如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为.14．已知，轴于点B，M为射线OA上任意一点，轴于点C，点D为直线AB上一点，且，直线OD与直线MC相交于点P.已知点，，则的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的前n项和为，且，.(1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式；(2)当时，设，求数列的前n项和.16．已知在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．(1)求圆的方程；(2)设过点的直线与圆交于两点，且，求的方程．17．已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点，①证明：为定值；②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．18．如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面.(1)求证：；(2)若在底面上的投影是O，且，，，求平面PAB与平面夹角的余弦值.19．已知点在抛物线C：上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为.(1)求t的值；(2)求证：数列是等差数列，并求；(3)求的面积.

参考答案1．【答案】C【详解】试题分析：由题意，得，所以，故选C．考点：直线的倾斜角．2．【答案】B【详解】是三棱锥的底面的重心，，由向量加法法则得，，，，而，，，，，则，故B正确.故选：B3．【答案】C【详解】因为直线与直线平行，所以，即，因为直线与直线的距离为，所以，即，解得或（舍去），故．故选：C4．【答案】A【详解】由题意得：，则向量即为平面的法向量，故选：A．5．【答案】D【详解】依题意，，则.故选：D.6．【答案】A【详解】连接交于，连接，因为长方体中，，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，所以是直线与平面所成的角，所以，又，所以，由，可得所以点D到平面的距离为.故选：A.7．【答案】C【详解】双曲线：，可得，所以，解得，所以，，，，，在中，，，即，，.故选：C.8．【答案】D【详解】对于A选项，联立，将代入，得，所以曲线E与直线无公共点，A选项正确;对于B选项，曲线E上的点到直线的最大距离是，即圆弧的半径，所以B选项正确.对于C选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入得，整理得，所以曲线E关于直线对称，C选项正确;曲线，曲线E是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，圆的圆心为，半径是，当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点；当，时，曲线方程可化为，无轨迹；当，时，曲线方程可化为，与圆无交点；当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点；对于D选项，可知曲线E与圆有两个公共点，D选项错误;故选：D.9．【答案】BD【详解】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或，当时，此时方程表示圆，所以A不正确；对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确；对于C中，当为双曲线时，，则或，所以C错误；对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确．故选：BD．10．【答案】BC【详解】对于A，由于，故对不成立，故A错误；对于B，由二次函数性质知的开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确；对于C，因为，故对有.所以，同时有.故，故C正确；对于D，因为一定是有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误.故选：BC.11．【答案】ABC【详解】对于A，由于为的方向向量，，故存在实数使得，即可，因此，故A正确，对于B,与垂直,则，即，故B正确，对于C，由于为平面的法向量，，故，即，则，故C正确，对于D，由于为平面的法向量，若平面外存在一点使得成立，则与平面平行，这与点在平面内矛盾，故D错误，故选：ABC12．【答案】4【详解】解：设d为公差，由，，得，解得，，则，故答案为：4.13．【答案】【详解】取中点M，连接，，，取中点H，，，.分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则，，，，则，，故，又因为两异面直线的夹角范围是，故异面直线和所成角为.故答案为：.14．【答案】【详解】设，其中，则，由于三点共线，则，所以得点的轨迹方程是，，点为该抛物线的焦点，准线，点为准线与轴的交点，作于点，则，，则，当且仅当，即时取等号．则的最大值为．故答案为：．15．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为的前项和，所以，所以，若是等比数列，则，求得，当时，，又当时，，则当时，也适合此通项公式．即，由于对都成立，所以此时数列为等比数列，所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为.（2）当时，，则，，所以，故.16．【答案】(1)(2)或【详解】（1）曲线和轴的交点为和，和轴的交点为.设圆的方程为，则代入以上三点坐标可得，，.所以，，.从而圆的方程为.（2）圆的方程化为标准方程即为，从而圆心为，半径.设圆心到直线的距离为，由勾股定理得，解得.再设直线的方程为，即，则.从而，即.所以或，故直线的方程为或.整理可得直线方程为或者.17．【答案】(1)(2)①证明见解析；②是，【详解】（1）由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，且，所以，，椭圆的方程是；（2）①由题意可得，，设，可得，即，则，因为，，则；②易知直线l的斜率存在，设直线，，，联立直线和，可得，可得，，，由，可得，由弦长公式可得，点到直线l的距离为，所以，综上可知，的面积为定值18．【答案】(1)证明见解析(2)平面PAB与平面夹角的余弦值为【详解】（1）连接交于，连接，在平行六面体中，且，所以四边形是平行四边形，所以且，又分别为的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，因为都经过点，所以三点共线，所以，所以，所以；（2）因为，，则平行四边形是菱形，所以，又在底面上的投影是O，，以点为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，于是，又，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，设平面PAB与平面夹角为，所以，所以平面PAB与平面夹角的余弦值为.19．【答案】(1)2(2)证明见解析；，(3)64【详解】（1）因为点在抛物线上，可得，解得．（2）由（1）知：，即，因为点在抛物线上，所以，两式相减得，则，可得，可知数列是以首项为4，公差为8的等差数列，则，．（3）由（2）知：，过作轴，垂足为，可得梯形的面积为：同理可得，且梯形的面积为：，所以的面积