2025届辽宁省辽阳市高三一模考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届辽宁省辽阳市高三一模考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A=−1,1A．1 B．−2,−1,12．已知向量AB=5,1，BC=m,9，CDA．54 B．−11 C．11 3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=5，b=7A．46 B．26 C．4 4．已知1−2ia+A．a=1,C．a=−15．如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，且∠A1AC=60∘，D、

A．33 B．32 C．776．若a=−logA．c>a>C．a>b>7．设抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，记点A到直线l的距离为d，且A．23 B．1 C．43 8．已知球O的半径为R，则在球O的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（

）A．223R B．13R 二、多选题9．为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（

）A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数B．甲得分的众数大于乙得分的众数C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数D．甲得分的方差大于乙得分的方差10．已知函数f(x)=Acos2A．AB．ωC．φD．fx的单调递增区间为11．已知函数fx的定义域为R，对任意x,y∈R，均满足fA．函数gxB．8是fxC．fx的图象关于点2025D．i三、填空题12．若双曲线C:x2a2−y2b2=13．某工人给排成一排的n块地砖上色，可用颜色为固定的第1号至第N号，共N种颜色，其中N∈N*，N≥5.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第1号至第m号颜色（每种颜色至少使用一次，m∈N*，m≤14．在平面直角坐标系中，已知点A−5,0,B1,0，动点P满足PA=2PB，记P的轨迹为曲线四、解答题15．已知等比数列an是递减数列，an的前n项和为Sn，且1a1、2S2、8a3成等差数列，(1)求an和b(2)若cn=anbn,16．如图，在直三棱柱ABC−A1B1

(1)证明：AC1//(2)求直线B1D与平面17．已知函数fx=a(1)求fx(2)若fx的最大值为1，证明：∀b∈18．2025亚冬会于2025年2月7日至2月14日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为1分、2分、3分.已知1分题目小球被抽到的概率为12，2分题目小球被抽到的概率为13，3分题目小球被抽到的概率为(1)已知甲回答1分、2分、3分题目正确的概率分别为23、12、13，求甲抽取3次，抽到2(2)若甲抽取3次，记X表示甲3次抽取的题目分值之和，求X的分布列和数学期望.19．对于给定的椭圆E1:x2a2+y2b2=1a>b>(1)求椭圆C的标准方程.(2)不过点A的直线l:x=my+t与椭圆C交于B、D①证明：直线l过定点.②试问在x轴上是否存在点E，使得直线BE、D答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025届辽宁省辽阳市高三一模考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DCABDACABCDACD题号11答案CD1．D【分析】根据并集定义计算.【详解】因为A=−故选：D.2．C【分析】求出向量AC，由题意可得AC//【详解】因为向量AB=5,1所以，AC因为A、C、D三点共线，则AC//CD，所以，故选：C.3．A【分析】由余弦定理求出cosB的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinB的值，然后利用三角形的面积公式可求得【详解】在△ABC中，因为a=5由余弦定理可得cosB所以，sinB因此，△ABC故选：A.4．B【分析】根据复数相等求参数的值.【详解】因为1−所以a+所以a+3b故选:B.5．D【分析】连接CD、DE，推导出CD//EF，可知异面直线AD和EF所成角等于∠A【详解】连接CD、D

因为D、E分别为A1C1、A1B因为BB1//CC所以，BC//B因为F为BC的中点，所以，CF//所以，四边形CDEF故异面直线AD和EF所成角等于在菱形AA1C1C中，A由余弦定理可得AD在△CC1D中，CC由余弦定理可得CD在△ACD中，AC=2，CD所以，cos∠因此，异面直线AD和EF所成角的余弦值为故选：D.6．A【分析】根据对数的运算，化简题干中的对数式，结合参数大小与对数函数图象的关系，可得答案.【详解】由a=−log15且log32>故选：A.7．C【分析】由抛物线的定义可得d=p2+2，设点Ax1,y1、Bx2,【详解】抛物线C的准线方程为x=−p设点Ax1,y1、B设直线AB的方程为x=ty+则Δ=4t所以，x1x2所以，AB=x即3p−4p+故选：C.8．A【分析】设球O的内接圆锥的底面半径为r，取圆锥的轴截面△ABC，取线段BC的中点O1，连接AO1，设OO1=x，则0<x<R【详解】如下图所示，设球O的内接圆锥的底面半径为r，显然当球心在圆锥的内部时，圆锥的体积才会最大，取圆锥的轴截面△ABC，取线段BC的中点O1，连接AO1设OO1=x，则0<设圆锥的体积为fx则f′由f′x>0可得0<所以，函数fx在区间0,R所以，函数fx在x=R故选：A.9．BCD【分析】运用平均数、中位数及众数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可.【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：甲：7.0,8.3,甲得分的中位数为8.9，乙得分的中位数为8.6，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，甲得分的众数8.9，乙得分的众数为8.6，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；甲得分的平均数7+8.3+由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.故选：BCD10．ACD【分析】利用二倍角公式化简f(x)得f(x)=【详解】fx因为f(x)的最大值与最小值的差为2，，∴因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω又fx的图象与y轴的交点坐标为0,2，可得2所以函数的解析式为fx=cosπ2x+π2故选:ACD.11．CD【分析】令x=y=0，求得f(−1)=0，令x=0，得出【详解】对于A，令x=y=0，得令x=0，得f−y−所以g−x=对于B，令x=1，f1所以f(对于C，令x=1，所以f(1−y)+f又f(x)对于D，令x=1,y=令x=1，y=2，得所以f(所以i=故选：CD．12．y=±【分析】由点在渐近线上可求得ba【详解】由点M−6,32则双曲线C的渐近线方程为y=记坐标原点为O，则OM=O因为c2=a2+b2故答案为：y=±313．18【分析】不妨将4块排成一排的地砖从左至右依次记为A、B、C、D，分析可知，一定有2块地砖同色，列举出同色的情况，结合排列计数原理与分步乘法计数原理可得结果.【详解】不妨将4块排成一排的地砖从左至右依次记为A、B、C、D，用3种颜色给地砖上色，每种颜色至少使用一次，相邻地砖不能同色，所以一定有2块地砖同色，同色的情况有A,C、A,D、所以，共有3A33故答案为：18.14．4【分析】设Px,y，由PA=2PB有【详解】设Px,y，则由P即x−32+y2=则圆心C3,0到直线l则MN=2r2所以d2=2k+21当1k+k所以当k>0时，当k=所以dmax=4当k=1时，MN所以kM故答案为：4215．(1)an=(2)T【分析】（1）设等比数列an的公比为q，根据题意可得出关于a1、q的方程组，结合数列an为递减数列可求得a1、q的值，即可得出等比数列an的通项公式；推导出b（2）分n为奇数、偶数两种情况讨论，化简cn的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可求得T【详解】（1）设等比数列an的公比为q，由题意可得3a2因为数列an是等比数列，解得a1=因为bn+1因为b1=3，则b1−（2）当n为奇数时，cn=2则An所以，14两个等式作差可得3=13化简得An当n为偶数时，cn令Bn==1故T216．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）先连接BC1，再根据中位线得出DE//AC（2）求出平面A1B1C的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出【详解】（1）连接BC1∵E为BC1中点，D为∴DE∵AC1⊄平面B1C∴AC1//

（2）以点C为坐标原点，CA,CB,CC则A1则A1设平面A1B1则n⋅A1B1设B1D与平面A1则B1D与平面sinθ17．(1)增区间为0,e(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求出函数fx（2）由函数fx的最大值可求出a的值，将所证不等式变形为ebx+lnx−【详解】（1）因为函数fx=a+ln由f′x>0可得0<所以，函数fx的增区间为0,e（2）由（1）知，fxmax=要证fx≤gx，即证令hx=ex−由h′x<0可得x<所以，函数hx的减区间为−∞,所以，hx≥h所以，∀b∈R，e18．(1)1(2)分布列答案见解析，E【分析】（1）对甲抽取的3个题目的分值进行分类讨论，确定每种情况下答题累积得分不低于6分，利用独立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率；（2）分析可知，随机变量X的所有可能取值为：3、4、5、6、7、8、9，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得EX【详解】（1）若甲3次答题累积得分不低于6分，则甲抽取的3个题目的分值可以是2,2,3、当甲抽取的3个题目的分值是2,2,要使得累积得分不低于6分，则3个题要全答对，所以，概率为118当甲抽取的3个题目的分值是1,3,要使得累积得分不低于6分，则2个3分题要答对，概率为124当甲抽取的3个题目的分值是2,3,要使得累积得分不低于6分，则2个3分题要答对，概率为136故甲3次答题累积得分不低于6分的概率为1324（2）X的所有可能取值为：3、4、5、6、7、8、9，PX=3PXPX=6PX=8所以，随机变量X的分布列如下表所示：X3456789P11711711所以，EX19．(1)x(2)①证明见解析；②答案见解析.【分析】（1）根据题意可得出关于a、b、c的方程组，解出a、b的值，即可得出椭圆C的标准方程；（2）①设点Bx1,y1、Dx2,y2，将直线②设点En,0，利用韦达定理结合斜率公式化简kBE【详