2024-2025学年河北省秦皇岛市部分示范高中高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省秦皇岛市部分示范高中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2−2x−8<0}，B={2,3,4,5}，则A∩B=A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n

B.若m//α，m//β，则α//β

C.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m//α

D.若α⊥β，m⊂α，则m⊥β3.下列函数中，是奇函数且在(0,+∞)上为增函数的是(

)A.f(x)=−1x B.f(x)=x C.4.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a，b，c依次成等比数列，cosB=34，则△ABC是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形5.已知二项式(2x2+a)(x−1x)6的展开式中xA.1 B.−1 C.12 D.6.已知复数z满足|z|=1，则|z−4−3i|(i为虚数单位)的最大值为(

)A.7 B.4 C.5 D.67.设a=12×106+1102,b=eA.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c8.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足f(x−π2)=f(−x)，f(A.2 B.3 C.4 D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列式子化简正确的是(

)A.sin8°sin52°−sin82°cos52°=12 C.1−tan15°1+tan15∘10.双曲线C：x2−y2=m2(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P(t,s)(s≠0)为C的右支上一点，分别以线段PF1，PF2为直径作圆OA.|O1O2|=3m B.|OM|=m

C.点(t,0)为圆O1和圆O11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，MA.若M为线段AN上的动点，则D1M与B1C1所成为的范围为[π6,π2]

B.若M为侧面ADD1A1上的动点，且满足MN//平面AD1C，则点M的轨迹的长度为2

C.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=π3，AB=2，AD=1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足BMBC=NCDC=λ，其中13.汽车上有5名乘客，沿途有3个车站，每人在3个车站中随机任选一个下车，直到乘客全部下车，不同的下站方法有______种.(用数字作答)14.已知数列{an}是给定的等差数列，其前n项和为Sn，若a9a10<0，且当m=m四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosCcosB=3a−cb，

(1)求sinB的值；

(2)若b=4216.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1(1)求证：C1F/​/(2)求三棱锥E−ABC的体积．17.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别为左、右焦点．O为坐标原点，过O作直线l1交椭圆于A，B两点，若△ABF1周长的最小值为2(2+1)，面积的最大值为1．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设直线l2：y=kx+m，(m>0)交椭圆E于M，N两点，

(ⅰ)若k=218.(本小题12分)

设数列{an}的前n项积为Tn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Tn=am，则称数列{an}是“R数列”．

(1)若数列{an}的前n项积Tn=2n(n+1)2(n∈N∗)，证明：{an}是“R数列”；

(2)19.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax−sinx．

(1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥0．

(2)已知函数g(x)=−16x3，当a≤1时，证明：∀x≥0，f(x)+g(x)≤0参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.D

6.D

7.C

8.B

9.BD

10.BCD

11.BC

12.2

13.243

14.21

15.解：(1)由正弦定理，得cosCcosB=3sinA−sinCsinB

即sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB

∴sin(B+C)=3sinAcosB

∵A+B+C=180°

∴sinA=3sinAcosB

∵0°<A<180°

∴cosB=13

∴sinB=232

(2)由余弦定理，cosB=16.(1)证明：取AB中点G，连接EG，FG，

又∵F是BC的中点，

∴FG//AC,FG=12AC；

∵E是A1C1的中点，

∴FG/​/EC1，FG=EC1，

∴四边形FGEC1为平行四边形，

∴C1F//EG，

∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，

∴C1F/​/平面ABE；

(2)∵A17.解：(1)连接AF2，

由对称性可得OA=OB，

因为OF1=OF2OA=OB∠AOF2=∠BOF1

所以△AOF2≌∠BOF1，

所以AF2=BF1，

则△ABF1的周长为：AF1+BF1+AB

=AF1+AF2+2AO=2a+2AO，

若△ABF1周长的最小值2(2+1)，则只需AO最小，

又AO最小值=b，

所以2a+2b=2(2+1)，即a+b=2+1①，

设A到x轴的距离为ℎ，

S△ABF1=2S△AOF1=2×12×OF1×ℎ=cℎ，

若△ABF1的最大值为1，只需ℎ最大，

又因为ℎmax=b，

所以cb=1②，

又因为c2=a2−b2③，

由①②③解得，a=2，b=1，c=1，

所以椭圆E的方程为：x22+y2=1．

(2)(ⅰ)若k=22，则l2直线方程为：y=22x+m，(m>0)

联立y=22x+mx22+y2=1，得x2+18.解：(1)因为数列{an}的前n项积Tn=2n(n+1)2，

所以a1=T1=21=2，

当n≥2时，an=TnTn−1=2n(n+1)22(n−1)n2=2n，

所以an=2n(n∈N∗)，

对任意正整数n，令m=n(n+1)2∈N∗，满足Tn=2n(n+1)2=am，

所以{an}是“R数列”；

(2)证明：因为{an}是等比数列，其首项a1=3，公比为q，

所以an=a1⋅qn−1=3qn−1(n∈N∗)，

所以Tn=a1a2⋯an=3nq1+2+⋯+(n−1)=3nq(n−1)n2，

因为{an}是“R数列”，所以对任意正整数n，总存在正整数19.证明：(1)因为a=1，所以f(x)=x−sinx，f′(x)=1−cosx≥0，…(2分)

所以f(x)是增函数．…(3分)

又x≥0，所以f(x)≥f(0)=0.………………(5分)

(2)因为a≤1，x≥0，所以f(x)+g(x)=ax−sinx−