九年级上册数学：17 特殊平行四边形章末八大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版）

专题L7特殊平行四边形章末八大题型总结（培优篇）

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1添加条件使成为特殊四边形】.............................................................1

【题型2根据四边形的性质求解】................................................................7

【题型3特殊四边形的证明】....................................................................11

【题型4根据四边形的判定与性质求线段长】.....................................................18

【题型5根据四边形的判定与性质求角度】.......................................................24

【题型6根据四边形的判定与性质求面积】.......................................................31

【题型7直角三角形斜边上的中线】.............................................................36

【题型8中点四边形】..........................................................................41

►举一反三

【题型1添加条件使成为特殊四边形】

【例1】（2023春・云南•九年级统考期末）如图，四边形力是平行四边形，对角线47、"相交于点O,

在条件：®AB=AD-,②4c=8。；@ACA.BD；④AC平分立8月。中，选择一个条件，使得四边形为8co是

菱形，可选择的条件是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根据题意和菱形的判定进行选择即可，先证△04。三△BCO（ASA）,得。力二。。，再证四边形48。。

是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论.

【详解】•・•四边形为BCD是平行四边形，

：.AD||BC,

J.LADO=Z-CBO,

•••点。是8。的中点,

：・0D=OB,

在AIM。和△8C0中，

Z/MM=LHFG

AH=FH,

^AHM=Z.FHG

:・ADAO^ASCO（ASA）,

：.0A=OC,

,：0B=00,

•••四边形力8。。是平行四边形，

①；四边形A8CD是平行四边形，AB=AD,

・•.平行四边形A8G）是菱形；

③；四边形ABC。是平行四边形，AC18。，

・•・平行四边形力3。。是菱形；

@V四边形4BCD是平行四边形，

IICD,

：.ABAC=Z-DCA,

•••力。平分48力。，

：.LBAC=Z.DAC,

C.LDCA=Z.DAC,

：.AD=CD,

・•・平行四边形力BCD是菱形.

综上所述：选择①©④，使得四边形A8CD是菱形，

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性

质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键.

【变式1-1】（2023春•上海浦东新•九年级校考期末）如图，已知四边形A8C。是平行四边形，那么添加下列

条件能判定四边形A8CD是正方形的是（）

D

A.A8=/DEL4C1BDB.AC1BD且AC和BD互相平分

C./-BAD=^ABC^iAC=BDD.=BD且48=40

【答案】D

【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、•・•四边形A8C0是平行四边形，AB=AD,

・•・四边形4BCD是菱形，

：.AC1BD,

不能证明四边形A3C0是正方形，不符合题意；

B、•・•四边形力BCD是平行四边形，

・・"C和8。互相平分,

,：AC1BD,

，四边形4BCD是菱形,

不能证明四边形A8CD是正方形，不符合题意；

C、•・•四边形力8co是平行四边形，AC=BD

・•・四边形4BCD是矩形，

：.£BAD=/.ABC=90°,

不能证明四边形4BCD是正方形，不符合题意；

D、•・•四边形A8CD是平行四边形，AC=BD

工四边形力BCD是矩形，

y.AB=AD,

・•・四边形/8C。是正方形，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查正方形的判定.熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩

形是正方形，是解题的关键.

【变式1-2】（2023春・河南南阳•九年级统考期末）如图，在平行四边形ABC。中，。是8c的中点，连结

并延长，交A3延长线于点连结3。，EC.

E

（I）求证：四边形8ECO是平行四边形.

⑵若4=50。：

①当乙4。七=_。时，四边形8石CQ是矩形;

②当/AOE=_。时，四边形8EC乃是菱形.

【答案】（1）见解析

⑵①80；②90

【分析】（1）由AAS证明△8。£：会4。。。，得出OE=。。，即可得出结论；

（2）①根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质得到BDLAE,根据矩形的判定定理即可得到结论；

②根据三角形的内角和定理得到/AE7X4O。，根据平行线的性质得到CAE=44=50。，求得/BOE=90。，根

据菱形的判定定理即可得到结论.

【详解】（1）证明：•..四边形人ACQ为平行四边形，

A/BHDC,AB=CD,

：・/OEB=/ODC

又：。为8c的中点，

:,BO=CO,

在』80七和/COO中，

（/-0EB=Z-ODC

△BOE=Z-COD

（BO=C0

:.△BOETACOD

：.OE=OD,

・•・四边形8EC。是平行四边形；

（2）解：①当/AOE=80。时，四边形8ECO是矩形；

理由：・・・NA=50°,ZADE=SO0,

•••ZAED=50°,

，ZA=ZAED,

：,AD=DE,

\'AB=CD=BE,

：.BD1AE,

・•・NOBE=90。，

•••四边形BEC。是平行四边形，

・•・四边形3ECQ是矩形；

②当/人。£二90。时，四边形BECD是菱形，

VZA=50°,ZADE=90°,

・••ZAED=40°f

•・•四边形ABCQ是平行四边形，

：.AD\\BC,

・••NCBE=N4=50。，

・•・N8OE=90。，

ABCIDE,

・•・四边形4£C。是菱形，

故答案为：80,90.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、菱形的判定，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.

【变式1-3］（2023春・天津•九年级统考期末）如图，在平行四边形4BCD中，E,尸分别为边工B,8的中点.连

接BD,过点A作AGIIBD交CB的延长线于点G.

⑴求证：DEWBF,

(2)若NG=90。，则四边形ZMGB是,四边形。EBF是；

(3)当与8。满足时，四边形DEBF是正方形.

【答案】(1)证明见解析

⑵矩形，菱形

(3)AD1BDWAD=BD

【分析】(1)先证明IIBE,48=。。，再证明05=9。。，EB=\AB,可得DF=BE,证明四边形OEB尸是

平行四边形，从而可得结论；

(2)证明四边形。/1GB是平行四边形，结合乙G=90。，可得四边形D/1GB是矩形，则乙A08=90。，证明。E=

BE,可得四边形DEBF是菱形.

(3)由AO18。且4。=8。，可得乙EDB=45°,证明乙E80=4£7汨=45。，可得=90。，结合四边

形DEBF是平行四边形.可得四边形DE8"是正方形.

【详解】(1)证明：•・•四边形力BCD是平行四边形，

：.DF\\BE,AB=CD.

乂・：E,尸分别为边48,CD的中点,

：.DF=-2DC,2EB=-AB.

：.DF=BE.

・•・四边形OEBF是平行四边形.

：.DE\\BF.

(2)・・,四边形ABC。是平行四边形，

：.AD\\BC,

'/AGWBD,

・•・四边形0AG8是平行四边形，

而/G=90°,

・•・四边形ZMG8是矩形，

：,LADB=90°,

・“为48的中点,

:,DE=BE,

而四边形。E8F是平行四边形.

，四边形DE8F是菱形.

(3)当AD18。且=80时，四边形0E8尸是正方形.

理由:

*：AD1BD且AO=BD,

C.LEDB=45°,

VDF=BE,

：・£EBD=乙EDB=45。,

：,LDEB=90°,

为力中点,

TEBADlBDf

:.ED=EB,

由(1)得：四边形OESF是平行四边形.

・•・四边形DE8F是正方形.

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟记特殊四边

形的判定方法是解本题的关键.

【题型2根据四边形的性质求解】

【例2】(2023春・广东深圳•九年级校考期中)如图，已知在长方形力00中，点M是力。边上任意一点，点N是

0C的中点，AN与MC交于点P.若乙MCB=LNBC+33。,则，MP4=()

A.33°B.66°C.45°D.78°

【答案】A

【分析】由长方形的性质得出4D=8C,ADWBC,LD=^BCN=90°,由SAS证明△力ON三△8CN,得出

乙CBN=LDAN,求出乙MC8=NDMC,由三角形的外角性质得出4OMC=4/MN+4M/M,乙MCB=

乙NBC+33°,乙CBN=ADAN,即可得出结果.

【详解】解：•••四边形力BCD是矩形，

AD=BC,AD\\BC,乙。=乙BCN=90°,

•••N为。。的中点，

DN=CN,

(DN=CN

=乙BCN,

(AD=BC

••△ADNBCN(SAS),

•./.CBN=乙DAN,

:ADWBC,

*.Z.MCB=乙DMC,

,•乙DMC=£DAN+乙MPA,LMCB=LNBC4-33°,乙CBN=LDAN,

aMPA=33°.

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质,

并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

【变式2-1］（2023春・河南安阳•九年级校考期中）中国结象征着中华民族的历史文化与精神.小乐家有一中

国结挂饰，他想求两对•边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形48CD,测得80=4cm,zD/lF=

60c,直线£尸过点。且与48垂直，分别交于瓦尸，则E尸的长为（）

D.475cm

【答案】A

【分析】根据菱形的性质，得出力。=48,BO=^BD=2cm,AC1BD,推出△48。是等边三角形，AD=

AB=BD=4cm,根据勾股定理求出40=2V3cm,则AC=2A0=“5cm,最后根据S菱形的⑺=\AC-BD=

AB-EF,即可求解.

【详解】解：•・•四边形A8C0是菱形,

：,AD=AB,BO=-BD=2cm,AC1BD,

2

•:£DAB=60°,

・・・ZM8D是等边三角形，

.\AD=AB=BD=4cm,

根据勾股定埋可得：AO==2V3cm,

••AC=2AO=4v5cm,

.・・S菱形Me=758D=AB.EG

A2-x4x4V3=4FF,

解得：EF=2>/3cm,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的对角

线相等，且垂直平分.以及菱形的面积等于底乘高，或菱形的面积等于对角线乘积的一半.

【变式2-2］（2023春・云南曲靖•九年级校考期中）将几个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点

/，…，4分别是正方形对角线的交点，则2023个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为—.

【分析】连接4遇2,4D，根据正方形性质可得/4遇28=N&OC=45。，4遇2=4。，^BA^+^CA^=

乙。410+乙=90。，即可得到42=NC4O,即可得到△84人三即可得到一个图形

重叠的面积，即可得到答案.

【详解】解：连接力遇2,必。，

•・•正方形的边长为1,

LAVA2B=z.A1DC=45°,AtA2=LBAYA2+LCArA2=Z.CA1D+zCi41242=90°»

遇2="Ai。，

.\^BA}A2三△NCA】D(ASA),

・・・2个正方形重叠形成的重叠部分的面积为SMI&D=；S正=；x1x1=%

.*.3个正方形重叠形成的重叠部分的面积和=(3—1)x\

・・・4个正方形重叠形成的重叠部分的面积和=(1-1)X：,

・・・5个正方形重叠形成的重置部分的面积和=(5-1)X；,

4

A2023个正方形重叠形成的重叠部分的面积和=(2023-1)x[=等

故答案为：等.

【点睛】本题考查正方形的性质与三角形全等的性质与判定，解决本题的关键是求出每个阴影部分的面积都

是I.

【变式2-3](2023春•河北邢台・九年级校考期中)小明用4根长度为6cm的相同木条制作了能够活动的菱形

学具，他先活动学具成为如图I所示的菱形，此时R8=60。，接着活动学具成为如图2所示的正方形，则图

1中BD比图2中的)

A.长(6百-6&)cmB.长（6四—3\⑶cm

C.长75cmD.短75cm

【答案】A

【分析】如图L连接力C,BD交于点O,根据菱形的性质可求出8D；在图2中，连接BD,由正方形的性质

求出80,最后作差即可解答.

【详解】解：如图1,连接4。，8。交于点O,

■:乙B=60。，BA=BC,

•••ZMBC是等边三角形,

/.AC=BC=6cm,

•・•四边形力BCD是菱形，

：,0A=-2AC=3cm,AC1BD,OB=2OD=-BD,

：.0B=y/AB2-OA2=3V3cm,

：,BD=20B=6V3cm；

在图2中，连接8〃，

•・•四边形486是正方形，

：.AB=AD,Z,A=90°,

：.BD=y]AD2+AB2=6伤

，图1中8。比图2中的BD长（6B-6a）cm.

【点睛】本题主要考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，正确作差辅助线是解题的关键.

【题型3特殊四边形的证明】

【例3】(2023春•云南昭通.九年级统考期中)如图，在短形中，04=8,OB=6,P为叱边上的动点,

将A08P沿OP折叠得到△OPD,连接CD,AD.

(I)若NBOP=45。，求证：四边形08PD为正方形;

(2)当P在运动过程中，CO的最小值为；

(3)当00140时,求BP的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)4

(3)BP=8-2>/7

【分析】（1）根据四边形。4cB是矩形，得乙OBC=90°,由折叠知08=0D,乙D0P=乙B0P=45°,即乙8。。=

/.OBP=Z.0DP=90°,然后结合08=00即可证明；

（2）根据当三点不共线时，三角形两边之和大于第三边，当三点共线时取得最小值进行作答即可：

（3）根据。。1AD,得P,。，A三点共线，乂因为。4IIC8,则N0PB=4POA,结合N0P8=乙OPD,得Z0P4=

Z.POA,最后用勾股定理CP=7PA2一即可知道BP的长.

【详解】（1）证明：•・•四边形。4C8是矩形，

・"。8。=90。，

•・•将△08P沿。P折叠得到^OPD,

：.0B=OD,LPDO=^OBP=90°,乙BOP=LDOP,

■:乙BOP=45°,

:,乙DOP=乙BOP=45°,

，乙BOD=90°,

：.LBOD=乙OBP=Z-ODP=90°,

・•・四边形08PD是矩形，

*：0B=OD,

・•・四边形OBPD为正方形；

（2）解：如图，连接OC,如图所示：

MOD+CD>oc,

即当OD+CD=OC时，CD取最小值，

*：AC=OB=6,OA=8,

：.0C=yjOA2-+AC2=V82+62=10,

：.CD==10-6=4,

即CO的最小值为4；

⑶解：'：0DLAD,

：,LADO=90°,

,:乙ODP=乙OBP=90°,

：,£ADP=180°,

・・.P,D,A三点共线，

'：OA||CB,

工乙OPB=APOA,

'：LOPB="PD,

：.LOPA=Z.POA,

*.AP=OA=8,

*：AC=6,

:.CP=ylPA2-AC2=V82-62=277,

：.BP=BC-CP=8-2y/7.

【点睛】本题主要考查了矩形性质、正方形的判定以及勾股定理性质等知识内容，正确掌握三点共线的特殊

情况是解题的关键.

【变式3-1](2023春・江苏南京•九年级校联考期中)如图，在四大形力BCD中，E,尸分别是4D,"的中点,

G,H分别是BD,4。的中点，顺次连接各点得到四边形EGFH.

(1)求证：四边形EG尸”是平行四边形；

(2)若88=(7。，求证：0EGf”是菱形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据中位线的性质得出EHIICO,EH=3CD,GFIICD,GF=\CD,即可■得出GF||EH,GF=EH,

从而证明结论正确;

（2）根据中位线的性质得出"〃=-AB,根据FG=-CD,得出力5=CD,得出F"=FG,从而证明由EGFH为

22

菱形.

【详解】（1）证明：•・•点E与点”分别为AD,4C的中点，

是△ADC的中位线，

：.EH\\CD,EH=^CD,

同理：GFWCD,GF=^CD,

：.GF^EH,GF=EH,

・•・四边形EGFH是平行四边形；

（2）证明：：点?与点”分别为8C,力。的中点，

・・・?，是△A8C的中位线，

：,FH=-AB,

2

,：FG=-CD,AB=CD,

2

：.FH=FG,

由（I）知四边形EG/H是平行四边形，

・•・E1EGFH是菱形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，中位线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的

中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

【变式3-21（2023春・海南僻州・九年级统考期末）如图，在平行四边形A8CD中，AF平分乙BAD,DE平分匕AOC,

且BE=CF,AF=DE.

（1）求证：Zk/IB/三△DCF；

（2）求证：四边形ABC。是矩形；

（3）若AB=3,BC=5,求EF的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)1

【分析】(1)由平行四边形的性质可得力B=DC,由8E=C/可得8F=CE,再利用SSS证明△力8/三△CCE

即可；

(2)由全等三角形的性质可得N8=ZC,乂由平行四边形的性质可得NB+ZC=180°,从而得到NB=ZC=

90%从而证明四边形A8C0是矩形；

(3)先证明N84F==45。，从而得到3尸=48=3,继而得到CE=8r=3,再用容斥原理

(EF=BF+CE-8C)求解即可.

【详解】(1)解：•・•四边形力BCO是平行四边形，

=DC,

又，：BE=CF,

：,BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

在八力85和4DCE中，

AB=DC

BF=CE

UF=DE

:,LABF三△DCE(SSS)；

(2)，：2ABF"DCE,

/.zB=£.C,

又•.•四边形4BCD是平行四边形，

・"B+“=180°,

・"B=/C=90。，

・•・四边形488是矩形；

(3)・・•四边形4BCD是矩形,

：.LBAD=90°,CD=AB=3

又丁力「平分484。，

：.LBAF=乙DAF=^AFB=45°,

：,BF=AB=3,

又,：BF=CE,

:,CE=BF=3,

：,EF=BF+CE-BC=1.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等角对等边等知识，

掌握相关定理是解题的关键.

【变式3-3](2023春・福建福州•九年级统考期末)如图1,矩形48CD中，E为BC中点，连接4E,BF14E于

点G,交CD于F,DHLAE于点、H,GIWCD,交DH于点J

(1)求证:GI=DF；

(2)若CF=FG,求证：A、/、/三点共线；

(3)如图2,连接"C交8广于点P,连接P/,求证：四边形GP/”是矩形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)先证明GWID/,得到四边形G/是平行四边形，即可得证；

(2)连接DG、AF.IF,证明平行四边形DFG/是菱形，可得//是DG的垂直平分线，再证明Rt△尸三Rt△

AGF(HL),可得点A在OG的垂直平分线上，即可证明；

(3)延长4E、DC,交于点Q,证明三△QCE(ASA),得到CQ=84=CO,进一步证明△PGHwa

IHG(ASA),可得/H=PG,即可证明四边形/"G尸是平行四边形，结合4OHQ=90。，可得平行四边形/，GP是

矩形.

【详解】(1)解：证明：VFF1/1F,DH1AE,

：.LAGF=Z.AHD=90。，

：.BF\\DH,即GF||。/,

又TG/IICD,

・•・四边形DFG/是平行四边形，

：,Gl=DF.

(2)证明:连接。G、AF.IF,

由(1)得四边形。尸G/是平行四边形,

,:DF=FG,

・・・平行四边形DFG/是菱形,

・・・F/是DG的垂直平分线,

在矩形48C0中，Z.ADF=90°,

•：BFLAE,

：.LAGF=90。=4ADF,

ARt^ADF三RtZiAGF(HL),

.\AD=AG,

・••点A在DG的垂直平分线上,

・"、/、尸三点共线.

交于点Q，

在矩形ABCD中，AB=DC,LABE=LBCD=LECQ=90°,

•；E为BC中点,

：・BE=CE,

'：LAEB=Z.OEC,

：,LABE=△QCE(ASA),

：.CQ=BA=CD.

・・・C为。Q中点，

又DHLAE,

，AFGH=^DHQ=90。,

・••在RtZkD“。中，HC=^DQ=CD,

"CHD=乙CDH,

由（1）得，四边形。汽7/是平行四边形,

:•乙IGF=LCDI,

Az/GF=乙CHD,

・二9u一ZJGN=yUu-ZCHD,即NQHG=(IGH,

*：LPGH=Z.IHG=90°,HG=GH,乙PHG=£IGH,

：.APGH三△/HG(ASA),

：・IH=PG,

又・3H"PG,

・•・四边形/"GP是平行四边形,

又,：乙DHQ=90°,

・•・平行四边形/HGP是矩形.

、■

Q

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，垂直平分线的判定，全等三角形的

判定和性质，综合性较强，解题时要多关注垂直和相等的部分，并且能够适当添加辅助线，构造基本几何

图形.

【题型4根据四边形的判定与性质求线段长】

【例4】（2023春・江苏泰州•九年级校考期中）如图，在矩形48C0中，AB=2,七为8c上一点，且BE=1,

作EF14“交边。。于尸，将△（?"沿"折叠后点。恰好落在力。边上的G处，则力。长=.

【答案w

【分析】如图，连接"，过E作EH1/10于H,证明四边形EHDC为矩形，求解力E=V22+I2=瓜设CF=%,

CE=y,EF=z,则/+y2=z2,由等面积法可得：：x1x2+：x=：(X+2)(丁+1),可得

y=2x,设GD="，可得HG=2x—n,同理可得：1x2(2%—n)+|n(2—x)+-2x=1(2—x+2)x2%,

222

可得TI=4X-4,GH=2X-(4X-4)=4-2X,由勾股定理可得：EH+HG=EG,再建立方程求解即

可.

【详解】解：•・•矩形4BCD,

:•乙B=4BAD=^D=Z.C=90°.AB=CD=2,

如图，连接4尸,过E作E至14。于，,

则四边形EHDC为矩形，

：.HD=EC,EH=CD=2,

*：AELEF,

：.LAEF=90°,

•:BE=1,

/./IF=V224-l2=VS>

设CF=%,CE=y,EF=z,则/+y?=z2,

由等面积法可得：|xlx2+^x>/5z+=1(x+2)(y+1),

整理得：x+2y=V5z,则/+4%丫+4y2=5z2=5/+5y2,

4x2-4xy+y2=0,即(2x—y)2=0,

.*.>>=2x,

设CD=n,

：,HG=2x-n,

由对折可得：GF=FC=x,Z-EGF=zC=90°,EG=EC=2x,而。5=2—x,

同理可得：

1x2(2x-n)+1n(2-x)4-•2x=1(2-x4-2)x2x,

整理得：x(4x—n—4)=0,

•・・xH0,

/.4%—n—4=0,即九=4x—4,

:・GH=2x—(4x-4)=4—2x,

由勾股定理可得：EH2+HG2=EG2,

・・・4+(4-2X)2=(2x)2,

解得：%=：，

4

.MD=BC=2x+l=|+iq

故答案为：!

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，作出合适的辅助线，利用等面

积法构建方程是解本题的关键.

【变式4-1]（2023春・河南南阳•九年级统考期末）如图，将边长为4的正方形纸片A8CD沿EF对折再展平,

沿折痕剪开，得至I」矩形A8Er和矩形”尸。，再将矩形4BEF绕点E顺时针方向旋转.使点A与点。重合,

点F的对应点为尸，则图②中阴影部分的周长为.

图①图②

【答案】10

【分析】首先根据已知条件判断出ABGE三△FGD(AAS),得到BG=FG,EG=DG,然后可设FG的长度为x,

则DG=4-x,根据勾股定理列方程可解出x,最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长.

【详解】解：如图，设8。交EF于G,EF旋转后交CD于点H,

由题意知，BE=FD=2,Z.B=LF=90°,

又，：乙BGE=(FGD，

•••△BGE三△"GD(AAS),

：.BG=FG,EG=DG,

设BG=FG=X,则DG=4—

在Rt△尸DG中，(4一％y=/+22,

解得：x=l，

DG=4—x=—,

VDGHEH,GE\\DH,

・•・四边形DGEH为平行四边形，

又,：EG=DG,

・・・@DGE/7为菱形，

・•・阴影部分的周长为：|x4=10,

故答案为：10.

【点睛】本题主要考杳全等三角形的判定与性质，勾股定理以及菱形的判定与性质等，解答本题的关键是勾

股定理以及菱形的判定.

【变式4-2](2023春•辽宁铁岭•九年级统考期中)如图，在矩形/18C0中，AB=3,BC=6,点E,F,G,

“分别在矩形的各边上，且力E=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为.

AHD

【答案】6V5

【分析】先证明四边形EFGH是平行四边形，延长E8,使得=连接尸口，GE',则七和口关于BC对

称，由£T+FG=E'F+尸GNE'G得，当E'、F、G共线时取等号，此时，EF+/G最小，最小值为GE'的

长，过G作GP_L48于P,贝IJ四边形8CGP是矩形，进而可得BP=CG=GP=BC=6,由勾股定理求

得E'G=3V5,则"+FG最小值为3遍，由四边形EFGH周长为2("+FG)求解即可.

【详解】解：•・•四边形4BC0是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,=ZT=乙。=90°,

'：AE=CG,BF=DIh

：,AH=CF,BE=DG,

:.AAEH=△CGF(SAS),△BEFDGH(SAS),

:・EH=GF,EF=GH,

:.四边形E尸G”是平行四边形,

延长EB,使得BE'=BE,连接尸夕，GE',则七和0关于BC对称,

：.EF=E'F,

：,EF+FG=E'F+FG>E'G,当0、F、G共线时取等号，此时，EF+FG最小，最小值为GE'的长,

过G作GP148于P,则々GPB==ZC=90°,

・•・四边形BCGP是矩形，

:,BP=CG=AE,GP=BC=6,

在Rt△GPE'中，E'P=BP+BE1=BE+AE=AB=3,

由勾股定理得E'G二VZ?T2+GP2=V32+62=36,

，EF+FG最小值为3遥，

则四边形EFGH周长的最小值为2（E尸+FG）=675,

故答案为：6V5.

【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性、最短路径问题、

勾股定理等知识，证明四边形EFGH是平行四边形，以及GE'为EF+FG的最小值是解答的关键.

【变式4-3］（2023春・广东东莞•九年级校联考期中）如图，在见48CD中，Z-BAC=90°,AB=AC,过点4作

边BC的垂线Ar交DC的延长线于点E,点尸是垂足，连接BE、DF,。尸交AC于点。.则下列结论：①四边形

A8EC是正方形；©DE=V2FC,@S^CFD=S^BEF,正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】①先证明得力B=EC,再得四边形4BEC为平行四边形，进而由4847=90。，得

四边形48。。是正方形，便可判断止误；

②艰据=DE=2月8法行推理说明便可；

③艰据正方形的性质，得出AE与BC互相垂直平分，然后利用等底等高的三角形面积相等即可解决问题.

【详解】'：AB=AC,AFIBC,

:・BF=CF,

•・•四边形/BCD是平行四边形，

：.AB\\CDt

：.LBAF=乙CEF,

在4/18/和△£1尸C中，

（Z.BAF=Z.CEF

l^BFA=Z.CFE,

（BF=CF

：.LABF^^EFC（AAS）,

•*AB=CE,

・•・四边形A8EC是平行四边形,

*：AB=AC,LBAC=90°,

，四边形A8EC是正方形，

故①正确；

\'AB=CD=EC,

：,DE=2AB,

'：AB=AC,£.BAC=90°,

：

.AB=—2BC,

：,DE=2x—BC=V2BC,

2

故②正确；

•・•四边形A8EC是正方形，

,・.BF=CF,AF=EF,BC1AE,

：-S^CFD=\CF-AF.SABEF=QBF-EF,

S&CFD=S^BEF5

故③正确；

故选：D.

【点睛】此题考杳了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角

形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键.

【题型5根据四边形的判定与性质求角度】

【例5X2023春•江苏盐城•九年级景山中学校考期末)如图，回力BCD对角线相交于点0,过点D作DEIIAC

月.DE=OC,连接CE,OE,OE=CD.

⑴求证：和1BCD是菱形；

(2)若48=4,4ABe=60。，求AE的长.

【答案】（1）证明见解析；

（2）277.

【分析】（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再通过0E=CD,得到平行四边形OCED是矩形，则4COD=

90c.得到AC±BD,然后由菱形的判定即可得出结论；

（2）根据已知证明△4BC是等边三角形，得到力。=AB=4,由勾股定理求出OD=26，然后由四边形

是矩形，可知。£=。0=26，£OCE=900,再由勾股定理可求出最后结果.

【详解】（1）证明：vDEWAC,DE=OC,

.•.四边形。是平行四边形.

•••0E=CD,

•••平行四边形。。瓦）是矩形，

•%乙COD=90°,

•••AC1BD,

・••西BCD是菱形；

（2）•••四边形48CD是菱形，

•••0A=OC,CD=AB=BC=4,AC1BD,

vZ.ABC=60°,

是等边三角形，

•0•AC=AB=4,

:.OA=OC=2,

在RtAOCD中，由勾股定理得：0D=7CD?-0C?=7e-2?=2小

由（1）可知，四边形OCED是矩形，

CE=OD=2V3,乙OCE=90°,

AE=y]AC2+CE2=。+（2而了=2夕，

即的长为2夕.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定

与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关犍.

【变式5-1]（2023春・浙江杭州•九年级期中）如图，在一正方形ABC。中，E为对角线4。上一点，连接E8、

ED.

D

(1)求证：△BEC三△DEC.

(2)延长BE交于点F,若FD=FE.求乙4/E的度数.

【答案】(1)见解析；(2)60°

【分析】(1)由正方形的性质得出C0=C8,ZDCA=ZBCA,根据SAS即可得出结论；

(2)设NFOE=NFED=x,表示出NAEF=NBEC=NDEC=135。2,利用平角的定义列出方程，求出x值即

可得到NA产£

【详解】解：(1)证明：•・•四边形A8CO是正方形，

：.CD=CB,ZDCA=ZBCA=45°,

在么BECffAOEC中，

(CD=CB

UDCA=LBCA,

(CE=CE

:.ABECq4DEC(SAS)；

(2)YFD=FE,

：.设NFDE=NFED=x,贝ljNAr£=2x,

•・•四边形A8CD是正方形

...Z.ACB=45%乙EBC=Z.AFE=2x

・•・^AEF=ZBEC=180°-2x-45°=135°-Zv,

•：ABEC/ZXDEC,

：.Z1BEC=Z1DEC=135°-Zv,

AZy4EF+ZD£:F+ZDEC=l80°,即l35°-2x+x+1350-2x=180°,

解得：A-30»

，NA止60。.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、

对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键.

【变式5-2]（2023春•广东广卅九年级统考期末）如图，在△相。中，点分别是边/IB,4c的门点，CT||8E,

CF交0E的延长线于点F,连接BF交CE于点O.

(I)求证:CF=BE；

(2)若BE=20E,Z.ACB=70°,求N8FC的度数.

【答案】(1)见解析；

(2)20°.

【分析】（1）通过证明四边形BC/E为平行四边形，即可求解；

（2）根据中位线的性质可得，BC=2DE=BE,可得平行四边形BC/E为菱形，利用菱形的性质，即可求解.

【详解】（1）证明：•・•点。，E分别是边48,4C的中点，

：.DE\\BC

又YCFUBE

...四边形•为平行四边形，

：・CF=BE

（2）解：•・•点。，E分别是边48,的中点,

・・・BC=2DE,

又•：BE=2DE,

・・・BC=2DE=BE,

・♦・平行四边形8CFE为菱形，

J.LACB=Z.ACF,Z.COF=90°,

*：LACB=70°,

AzFFC=90°-70°=20°.

【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质.

【变式5-3]（2023春.湖北孝感•九年级统考期中）在平行四边形48CD中，乙区4。的平分线交3c于点E,交

（1）如图①，求证：CE=CFx

（2）如图②，若U8C=90。,G是EF的中点，猜想BG和。G的关系,并证明;

（3）如图③，若乙48c=120。，FG//CE,FG=CE,连接08、DG,求乙80G的度数.

【答案】（1）见解析；（2）5G=DG且BG_LOG；证明见解析；（3）匕8。。=60。.

【分析】（1）根据A尸平分N84Q,可得N/34Q/D4F,利用四边形44C。是平行四边形，求证NCEF=N尸

即可；

（2）根据NA8C=90。，G是E/的中点证明ABEG三ADCG即可得到答案；

（3）延长A8、FG交于H,连接HQ.证四边形A"FZ）为为菱形得△A。“，△/为全等的等边三角形,

再证△BHD经AGFD得/BDH=NGDF,WffiZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDGnJW.

【详解】解：（1）证明：如图①，

平分NB/10

：.ABAF=ADAF,

•・•四边形力BCD是平行四边形,

J.AD//BC,AB//CD,

J.LDAF=LCEF,LBAF=ZF,

工乙CEF=ZF.

:・CE=CF；

图①

（2）解：如图②，连接“，

丁四边形ABC。为平行四边形，^ABC=90%

・•・四边形A8C0为矩形,

：4尸平分々BAD,

：.£DAF=Z.BAF=45°,

VzDCB=90°,DF//AB,

：.LDFA=45°,"0=90。

•••△E"为等腰直角三角形，

TG为EF中点,

，EG=CG=FG,CG1EF,

为等腰直角三角形，AB=DC,

:・BE=DC,

LCEF=iGCF=45。，

，乙BEG=乙DCG=135°

在八8跖与4兀。中，

(EG=CG

l£BEG=£DCG,

(BE=DC

**•ABEG=△DCG,

BG—DG,Z.DGC—Z.BGA»

*：CGLEF,

：,LDGC+Z.DGA=90°,

又：乙OGC=LBGA

,工乙8G4+4DGA=90°,

工BG1DG；

(3)如图3,延长48、FG交于H,连接HD.

*：AD//GF,AB//DF,

・•・四边形AHFD为平行四边形，

'CLABC=120°,A小平分心BAD,

J.LDAF=30°,LADC=120°,LDFA=30°,

・・・ADAF为等腰三角形，

•\AD=DF,

・••平行四边形尸。为菱形，

：,LADH,△7)，/为全等的等边三角形，

:・DH=DF,乙BHD=乙GFD=60°,

*：LCEF=Z.DAF,^DAF=^DFA=30°,

:.乙CEF=乙DFA,

：-CE=CF

,：FG=CE,CE=CF,CF=BH,

；・BH=GF,

在AB，。与△GFD中，

(DH=DF

{Z.BHD=乙GFD,

(BH=GF

：.ABHD"GFD,

，乙BDH=iGDF,

：,LBDG=乙BDH+乙HDG=乙GDF+乙HDG=60°.

图③

【点睛】此题考查四边形的综合问题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三

角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据

条件合理、以活地选择方法.

【题型6根据四边形的判定与性质求面积】

【例6】(2023春・广东佛山•九年级统考期中)如图,矩形A8C2中,AC交BD于点O,且A8=24,3c=10,

将AC绕点。顺时针旋转90。至CE.连接A£,且兄G分别为A£、EC的中点，则四边形。FGC的面积是

()

A.100B.144C.169D.225

【答案】C

【分析】先根据矩形的性质、三角形中位线定理可得FG〃/1C,FG=OC=13,再根据平行四边形的判定可得

四边形OFGC为平行四边形，然后根据旋转的性质可得4C=CE,zACE=90。，从而可得OC=CG,最后根

据正方形的判定可得四边形。尸GC为正方形，由此即可得.

【详解】解：•.•四边形A8CD为矩形，AB=24,AD=10,

BD=>JAB2+AD2=26,OC=-AC=-BD=13,

22

分别为4瓦EC的中点，

FG//AC,FG=-AC,CG=-EC,

22

:.FG=OC,

四边形OFGC为平行四边形，

又•••又绕点C顺时针旋转90。,

/.AC=CE,Z.ACE=90。，

:.0C=CG,

二平行四边形OFGC为正方形，

•••四边形OFGC的面积是。=132=169,

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握正方形的判

定与性质是解题关键.

【变式6-1］(2023春・河北邯郸•九年级统考期中)已知点E是团4BC。中8c边的中点，连接力E并延长交。。的

延长线于点F，连接AC，BF,AF=BC.

(1)求证：四边形为矩形；

(2)若是等边三角形，且边长为6,求四边形48%的面积.

【答案】(1)见解析

(2)973

［分析］(1)证4ABEFCE(AAS),得AB=尸C,再由48|尸C,证四边形力BFC是平行四边形，然后由力尸=BC

即可得出结论；

(2)由矩形的性质得乙4。产二90。，再由等边三角形的性质得4/=0尸=6,。尸=,。尸=3,然后由勾股定

理求出力C=36，即可求解.

【详解】(I)证明：•••四边形4BCD是平行四边形，

：・AB=CD,ABWCD,

:.Z.BAE=乙CFE,

•••点£是团48CD中8c边的中点，

：.BE=CE,

vZ.AEB=Z.FEC,

...△48E三△FCE(AAS),

:.AB=FC,

vABWFC,

•••四边形力是平行四边形，

XvAF=BC,

・•・平行四边形力为矩形;

(2)解：由(1)得：四边形力8FC为矩形,

:.Z.ACF=90°,

••・△A广。是等边三角形，

AF=DF=6,CF=-DF=3,

2

AC=7AF2-C尸2=7G-32=3痘,

•••四边形的面积=ACxCF=3V3x3=973.

【点睛】本题考杳了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形

的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明△48E三△尸CE是解题的关键.

【变式6-2](2023春・河南洛阳•九年级统考期中)如图，在四边形力BCD中，/IB||CD,AB=BC=2CD,I为

对角线AC的中点，F为边BC的中点,连接DE,EF.

⑴求证：四边形CDE尸为菱形；

(2)连接OF交/1C于点G,若OF=3,CD=1,求四边形CCEF的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】(1)由三角形中位线定理可得EF=EFWAB,CF=^BC,可得A8||CD||EF,EF=CF=CD,

由菱形的判定可得结论；

(2)由菱形的性质可得DG=|,DF1CE,EG=GC,由勾股定理可得EG=GC=2,得到”的长后，根据

菱形的面积公式可得答案.

【详解】(1)证明：•••£•为对角线AC的中点，F为边BC的中点，

EF=^AB,EFWAB,CF=：BC,AE=CF,

-AB||CD,

•••AB||CD||EF,

•：AB=BC=2CD,

：.EF=CF=CD,

vCD||EF,

.•.四边形。£TC是平行四边形，且EF=CF,

.•四边形8"•为菱形；

（2）如图，DF与EC交于点G,

•••四边形CDEF为菱形，。尸=3,

：.DFICE,D