一元二次方程课件北师大版九年级数学上册

2.1.1一元二次方程第二章一元二次方程北师大版数学九年级上册授课教师：********班级：********时间：********教学重难点重点：一元二次方程的解法，实际问题中的方程建模。难点：配方法的步骤，实际问题中复杂等量关系的分析。三、教学过程1.情境导入（8分钟）问题1：展示生活问题：“一个矩形的面积是15cm²，长比宽多2cm，求长和宽。”引导学生设未知数，列出方程

x(x+2)=15，整理为

x2+2x−15=0。问题2：提问：“这个方程与之前学的一元一次方程有何不同？”引出课题：一元二次方程。2.探究新知（30分钟）活动1：一元二次方程的概念定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。一般形式：ax2+bx+c=0（a

=0），强调二次项系数不为零。练习：判断下列方程是否为一元二次方程：x2=4，3x+5=0，x3−2x=0，x(x−1)=x2+2。活动2：因式分解法解一元二次方程原理：若

ab=0，则

a=0

或

b=0。步骤：移项使右边为0。将左边因式分解。令每个因式为0，解方程。例题演示：解方程

x2−5x+6=0，分解为

(x−2)(x−3)=0，得

x=2

或

x=3。活动3：配方法解一元二次方程步骤：二次项系数化为1。移项：常数项移到右边。配方：两边加上一次项系数一半的平方。开平方求解。口诀：“一化二移三配方，四开五解六检验。”例题演示：解方程

x2+4x−1=0，配方得

(x+2)2=5，解得

。活动4：公式法解一元二次方程求根公式：由配方法推导得出

x=2a−b±

b2−4ac​

​

。判别式：Δ=b2−4ac，判断根的情况：Δ>0：两个不等实根；Δ=0：两个相等实根；Δ<0：无实根。例题演示：解方程

2x2−5x+1=0，代入公式得

x=45±

17​

​

。活动5：实际问题中的方程建模步骤：设未知数

→

找等量关系

→

列方程

→

求解

→

检验（舍去不符合实际的根）。例题分析：“某商品原价100元，连续两次降价后售价81元，求平均每次降价的百分率。”设降价率为x，列方程

100(1−x)2=81，解得

x=10%。3.例题解析（10分钟）例题1：解方程

3x2−6x=0。方法选择：因式分解法，提取公因式3x，得

x=0

或

x=2。例题2：用配方法解方程

2x2−4x−1=0。步骤演示：系数化为1→

配方

→

开平方。例题3：“一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm²，求较长直角边的长度。”设较长边为x，列方程

21​x(x−3)=9，解得

x=6（舍去负根）。4.巩固练习（15分钟）基础题：教材习题（解方程、判别式应用）。拓展题：某工厂今年一月份生产零件50万件，第一季度共生产182万件，求二、三月份平均每月的增长率。小组合作：设计一道与生活相关的一元二次方程应用题并互解，重点训练建模能力。5.课堂小结（7分钟）学生总结：一元二次方程的定义、解法步骤。实际问题中如何列方程及检验根的合理性。教师强调：因式分解法优先，配方法是基础，公式法是通法。注意二次项系数非零，实际问题中根的意义。四、作业布置基础题：教材课后习题（必做）。实践题：测量家中正方形地砖的边长，若面积减少20%后变为128cm²，求原边长。思考题：若方程

x2+mx+1=0

有两个相等实根，求m的值。能否用配方法验证？五、教学资源多媒体课件（含解方程步骤动画演示）。配方法教具（如正方形纸片辅助理解配方过程）。实物投影仪展示学生解题过程。互逆命题、互逆定理教案一、教学目标知识与技能目标理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。过程与方法目标通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。情感态度与价值观目标培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。二、教学重难点重点互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。能正确写出一个命题的逆命题。难点判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。用逻辑推理的方法证明命题的真假。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）展示一些简单的命题，如“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，“如果a=b，那么a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题——互逆命题、互逆定理。（二）讲授新课（25分钟）互逆命题给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。举例说明：如原命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”。让学生进一步理解互逆命题的概念。组织学生进行小组讨论，每个小组写出3-5个命题，并交换写出它们的逆命题。命题真假的判断引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如“如果两个角是直角，那么这两个角相等”是真命题，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。互逆定理给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。举例说明：如“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。（三）例题讲解（15分钟）例1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的对应角相等。（3）等腰三角形的两个底角相等。分析：（1）逆命题为“如果ab=0，那么a=0”，这是假命题，因为当b=0时，ab=0，a不一定为0。（2）逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。例2：证明命题“如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”是真命题。分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。证明：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共边），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）课堂练习（10分钟）写出下列命题的逆命题，并判断真假。（1）如果x=2，那么x²=4。（2）直角三角形的两个锐角互余。（3）对顶角相等。判断下列说法是否正确：（1）每个命题都有逆命题。（2）每个定理都有逆定理。（3）真命题的逆命题一定是真命题。（4）假命题的逆命题一定是假命题。（五）课堂小结（5分钟）与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。（六）布置作业（5分钟）课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。五、教学反思在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.理解并掌握一元二次方程的概念；掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.2.通过具体的实际问题，能抽象出等量关系并列出一元二次方程，培养建模能力.3.从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．旧知回顾1.什么叫做方程？曾经学过哪些方程？2.什么叫做一元一次方程？（含有未知数的等式叫做方程；一元一次方程）（只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程）同学们，今天我们来做个游戏，黑板上有3个式子：x，4,8，请同学们写成一个学过的方程，并求出方程的解；接下来老师这里还有3个式子：x²，4,8，仿照刚才写的方程，写出一个新的方程.你能发现它们有什么样的共同特征？

数字中有许多有趣而奇妙的现象，很多秘密等待着我们去探索发现！现在，我们先来做一个数字游戏：大家先计算出10、11、12三个数字的平方和，再计算出13和14的平方和，看看两个平方和相等吗？你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？试试看！

如果设中间的一个数为x，请根据这一问题列出方程.2024年世界联赛要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

（一个）（二次）（都是整式）

（是一元二次方程；二次项系数：3；一次项系数：0；常数项：-3）（是一元二次方程；二次项系数：1；一次项系数：1；常数项：-3）（不是一元二次方程）（不是一元二次方程）（不是一元二次方程）3.请同学们在完成上述任务后思考以下问题：(1)方程只要含有二次项就是一元二次方程吗?(2)方程ax²+bx+c=0是一元二次方程吗?（不是，要先将方程化简整理为一般形式后再进行判断）（不一定是，当a≠0时，是一元二次方程；当a=0时，不是一元二次方程）1.对于方程(2a-4)x²-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?

在什么条件下此方程为一元一次方程?2.下列方程中，无论a为何值，总是关于x的一元二次方程的是(

)

A.(2x-1)(x+3)=2x²-aB.ax²+2x+4=0

C.ax²+x=x²-1

D.(a²+1)x²=0（解：当

a≠2时，此方程是一元二次方程；当a=2，b≠0时，此方程是一元一次方程.）D小组讨论小组展示我提问我回答我补充我质疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越优秀知识点1：一元二次方程的定义(1)一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成ax²+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.(2)概念解析:一元二次方程必须同时满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③整式方程，即等号两边都是整式.重点知识点2：一元二次方程的一般形式(1)我们把ax²+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax²,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.注：一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.(2)要确定二次项系数、一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.重难点

【题型一】一元二次方程的定义例2：已知关于x的方程(k-3)x|k|⁻¹+(2k-3)x+4=0是一元二次方程，则k的值为()A.±3B.3

C.-3D.不能确定

点拨:由题意得|k|-1=2且k-3≠0,解得k=-3.例3：一元二次方程3x²-2=4x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A.3,-2,4B.3,-4,2

C.3,-4,-2D.3,4,-2【题型二】一元二次方程的一般形式C

解：(1)化成一般形式为3x²-x=0.二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为0.(2)化成一般形式为2x²=0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0.(3)化成一般形式为(m+n)x²+(m-n)x+p-q=0.二次项系数为

m+n，一次项系数为

m-n，常数项为

p-q.例4：根据下列问题列出方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.(1)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差2，求较长的直角边长x;(2)用一条长100cm的绳子围成一个面积为128cm²的矩形，求矩形的长x；(3)某农机厂今年四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，求该厂今年五、六月份平均每月的增长率x.【题型三】根据实际问题列一元二次方程

例5：教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计，全组共发了240条祝福短信.设全组共有x名教师，根据题意，可列方程为______________.(化为一般形式)

A返回1．下列方程中，是一元二次方程的是(

) 返回C2．[2024东莞模拟]将方程4x2＋8x＝25化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为(

) A．4，8，25B．4，2，－25 C．4，8，－25D．1，2，25 C返回3．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车1月份的售价为20万元，3月份的售价为16.2万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，列方程正确的是(

)A．16.2(1＋x)2＝20 B．16.2(1－x)2＝20 C．20(1－x)2＝16.2 D．20(1－2x)＝16.24．返回两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为______________.x(x＋2)＝995．返回已知关于x的方程(m－4)x2＋(m＋4)x＋2m＋3＝0.当m________时，是一元二次方程；当m________时，是一元一次方程.≠4＝46．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.(1)4x2＝1－3x；

解：一般式：4x2＋3x－1＝0；二次项系数：4；一次项系数：3；常数项：－1.(2)2(3x＋2)＝3