离散型随机变量的均值课件高二下学期数学人教A版选择性2

7.3.1离散型随机变量的均值

什么是离散型随机变量的分布列及其性质？

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，则X的概率分布列为：Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.(1)离散型随机变量的分布列根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:(2)离散型随机变量的分布列的性质复习回顾思考：你还记得什么是一组数据x1，x2，…，xn的均值及其意义吗？

离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律；但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.

因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.

平均分用于体现数据的总体水平新知探究思考：算术平均数与加权平均数

某人射击10次，射中的环数分别是：7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.

则他射中的平均环数是多少？算术平均数加权平均数权数加权平均是指在计算若干个数值的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数.新知探究

某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？18元/千克24元/千克36元/千克方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克.

方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为

思考：哪种方案更合理？新知探究问题1

甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢?

分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.新知探究环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2解：

=9假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.新知探究随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.概念生成1、

已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的均值E(X)等于（

）故选A.A新知应用例1

在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？罚球1次的得分为X的均值为：E(X)＝0×0.2＋1×(0.8)＝0.8.010.20.8解：由题意：可知X的取值为0，1.

新知应用两点分布的数学期望：01一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么概念生成例2

抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则：解：

即点数X的均值是3.5.所以X的分布列为：X123456P新知应用解：2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的

均值.课本练习P66新知应用探究2

已知随机变量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及数学期望？X12345P0.10.30.40.10.1解：因为Y=3X+2，所以Y的取值为：5，8，11，14，17，分布列如下：Y58111417P0.10.30.40.10.1

E(X)=2.8思考：Y=3X+2，那E(X)与E(3X＋2)有何关系呢？E(3X＋2)=3E(X)+2新知探究

Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn新知探究

(1)当a=0时,E(b)=b.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b(3)当b=0时,E(aX)=aE(X)离散型随机变量的均值的性质：概念生成1、

设X的分布列如下表所示，又设Y＝2X＋5，则E(Y)等于()D新知应用2、(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则()

A.a＝7 B.b＝0.4C.E(aX)＝44.1D.E(bX＋a)＝2.62X4a9P0.50.1b解：由题意得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，

解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，

故ABC正确.ABC新知应用1．已知随机变量X的分布列为：X12345P0.10.30.40.10.1课本练习P66例3

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.分析：公益基金总额X的可能取值有几种情况？歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000X的可能取值为0，1000，3000，6000.新知应用歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000例3解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立X的分布列为X的均值为

由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，则X的分布列为新知应用歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000例3变式：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同?若不同，那个大?同理

当按A,C,B的顺序时

当按B,A,C的顺序时当按B,C,A的顺序时当按C,B,A的顺序时当按C,A,B的顺序时E(X)=2144,E(X)=2256，E(X)=2112E(X)=1872，E(X)=1904.当按A,B,C的顺序时E(X)=2336可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.新知应用例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。工地的领导该如何决策呢?新知应用分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：天气状况大洪水小洪水没有洪水概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。新知应用解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,

无论有无洪水，都损失3800元.因此采用方案2,遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此采用方案3，有∴因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.新知应用解：