电场、磁场与麦克斯韦方程课件

電場、磁場與麥克斯韋方程2.1電場力、電場強度與電位1.電場力庫侖定律適用條件

兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力;

無限大真空情況(式中F/m)可推廣到無限大各向同性均勻介質中2.電場強度

庫侖定律還可以換一種方式來闡述：假定電荷q=1C，於是電場力即為q1對單位電荷的作用力,我們將這個特定大小的電場力稱為電場強度向量由電場強度向量可以得出兩個或多個彼此相對靜止的電荷之間的作用力，所以電場強度表示了電場力。結論如果電荷是沿一曲線連續分佈的線電荷

線電荷密度定義為dq在空間產生的電場強度為整個線電荷在空間產生的電場強度為

如果電荷是沿一曲面連續分佈的面電荷

面電荷密度定義為整個面電荷在空間產生的電場強度為

如果電荷在某空間體積內連續分佈體電荷密度定義為整個體電荷在空間產生的電場強度為

3.電位

已知試驗電荷q在電場中的受力為在靜電場中欲使試驗電荷q處於平衡狀態，應有一外力與電場力大小相等，方向相反，即於是，試驗電荷q在靜電場中由A點移動到B點時外力需做的功為我們將靜電場內單位正電荷從A點移動到B點時外力所做的功稱為點B和點A之間的電位差在自由空間，如果點電荷位於原點，原點到場點A的距離為RA原點到場點B的距離為RB，則B點和A點之間的電位差為積分表明，空間兩點B和A之間的電位差只與場點所在位置有關，而與積分路徑無關。因此，在靜電場中可將下列左式改寫成一個具有普遍意義的式子（右式）

得到空間一段線元上兩端點間的電位差為若單位正電荷是從無窮遠處出發移到B點的，則電位差為或寫成可得電位與電場強度的關係為

此式提供了求解靜電場中電場強度的一種方法，即把求解電場強度的問題變成先求解電位而後再通過微分關係求電場強度。一般情況下，用這種方法比直接求解電場強度要簡便。由式（1.95）可知2.2磁場力、磁感應強度與磁位1.磁場力

當電荷之間存在相對運動，比如兩根載流導線，會發現另外一種力，它存在於這兩線之間，是運動的電荷即電流之間的作用力，我們稱其為磁場力。

假定一個電荷q以速度在磁場中運動，則它所受到磁場力為這表明：一個單位電流與另外一個電流的作用力可以用一個磁感應強度來描述。

2.磁感應強度

磁場的特徵是能對運動電荷施力，其施力的情況雖然比較複雜，但我們可以用一個磁感應強度來描述它,即將其定義為一個單位電流受到另外一個電流的作用力。已知磁場力考慮磁場中載流線元的受力情況，由於

所以如圖：電流元和之間的作用力為比較可得畢奧-薩伐爾定律

運用疊加原理，可得閉合回路1在空間所產生的磁感應強度上式是計算線電流周圍磁感應強度的公式。磁感應強度的單位為牛頓/（安培米），在國際單位制中的單位為特斯拉。如果電流是分佈在某一曲面上時，若面電流密度為，則面電流在空間產生的磁感應強度為

如果電流是分佈在某一體積內時，若面電流密度為，則體電流在空間產生的磁感應強度為

3.向量磁位穿過某一曲面S的磁感應強度的通量稱之為穿過該曲面的磁通量由畢奧-沙伐爾定律根據梯度規則上式中的被積函數變成根據高斯定律即利用向量恒等式可得因為根據稱為向量磁位單位是韋伯/米根據庫倫規範，有約束可得向量磁位採用面電流密度表示採用體電流密度表示這表明整個積分為零，即4.標量磁位但在沒有電流分佈的區域內，恒定磁場的基本方程變為這樣，在無源區域內，磁場也成了無旋場，具有位場的性質，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個標量函數，即標量磁位函數注意：標量磁位的定義只是在無源區才能應用。即令對於恒定磁場，安培環路定律表明磁場是一個有旋場，在有電流處磁場的旋度不為零。

當一個電荷既受到電場力同時又受到磁場力的作用時，我們稱這樣的合力為洛倫茲力。我們也可以用這個運算式作為電場強度和磁場強度的定義式。即2.3洛倫磁力重要特性：電荷在電場中會受到力(稱電場力)的作用。E取決於源(帶電體)的電量、形狀及分佈情況,它可以是時變的點電荷產生的場及所受的力是計算其他複雜情況的基礎電場實驗證明：電場力大小與電荷所在位置的電場強度大小成正比，即：重要特性：在磁場中運動的電荷(電流)會受到力(稱磁場力)的作用。磁感應強度向量B:描述空間磁場的分佈(大小和方向)。B的方向由磁場力和速度的方向確定。B取決於源(帶電體)的電量、形狀及運動分佈情況磁場2.4電偶極子兩個相距很近（距離為d）的等量異號點電荷+q與-q所組成的帶電系統。式中和分別是兩電荷到P點的距離。電偶極子的定義電偶極子在任意一點P的電位為如果兩電荷沿z軸對稱分佈並且距離P點很遠，於是近似的表示並且所以，P點電位變成當時，電偶極子平分面上的任意點處電位都為零。於是，在這個平面上如果將電荷從一點移動到另一點是沒有能量損耗的。為了便於描述電偶極子，我們定義一個電偶極矩向量，該向量的大小為而其方向則由負電荷指向正電荷，即我們可以得到電偶極子在空間任意一點的電位為2.5磁偶極子

在定義磁偶極子之前，首先來分析一個閉合電流回路在空間所產生的磁場。正如電偶極子是常見的電場源的存在形式一樣，閉合電流回路是磁場源的最常見形式。如圖所示，在電流回路所產生的磁場中，任取一閉合回路

,設P是回路上的一點，則電流回路在P點處產生的磁感應強度為計算在回路上的閉合線積分有角的積分為所張立體因此，由上式可得根據勢函數與有勢場的對應關係，可得到空間一點P處的標量磁位與磁場強度的關係為P0是標量磁位的參考點當場源電流分佈在有限區域內時，一般將參考點選在無窮遠處，此時P點的標量磁位為可得空間任意點P的標量磁位為其中的是點P對電流回路所張的立體角因為一般情況下，求任意點P對回路面積的立體角並不很容易，但是當P點與回路的距離比起電流回路的尺寸大得多的時候立體角可以近似地表示為可得到電流回路在遠區P點處產生的標量磁位其中是與的夾角。為了便於描述磁偶極子，我們定義一個磁偶極矩向量經過整理可見，磁偶極子是根據電磁對偶性派生出來的一種概念。磁偶極子與電偶極子不同，它不能在物理上實現，在工程上它是一個載有交變電流的小圓環的等效模型。大小方向由確定即2.6由電通量與高斯定律導出麥克斯韋第一方程凡是向量場，均有通量可言。電力線的數目就稱為電通量。規定一個電荷q所產生的力線條數（即電通量）等於用庫侖表示的電荷的大小。

用符號表示球面上的電通量密度，即於是，通過整個球面的電通量為電通量密度與電場強度的關係為根據高斯定律可得麥克斯韋第一方程：或若閉合曲面所包圍的電荷多於一個以上，則電通量關係應改寫為並且電場強度穿出球面的電場強度通量為2.7由法拉第電磁感應定律與斯托克斯定律導出麥克斯韋第二方程法拉第電磁感應定律可得麥克斯韋第二方程：感應電動勢閉合路徑所包圍的磁通根據斯托克斯定律2.8由磁通量與高斯定律導出麥克斯韋第三方程磁通連續性原理可得麥克斯韋第三方程：穿過開表面積S的磁通根據高斯定律1.傳導電流、運流電流和位移電流自由電荷在導電媒質中作有規則運動而形成傳導電流2.9由安培環路定律與斯托克斯定律導出麥克斯韋第四方程η為電阻率，（電場強度與電勢的關係）此式說明傳導電流密度服從於歐姆定律(ohm’slaw)，並且傳導電流為傳導電流的電流密度與電場強度的關係為：

形成運流電流的電荷在運動時並不受到碰撞阻滯作用，即使存在與其它粒子發生碰撞的機率，其作用也微乎其微，可忽略不計，因此運流電流不服從於歐姆定律。電荷在無阻力空間作有規則運動而形成運流電流假設存在一個電荷體密度為的區域，在電場作用下，電荷以平均速度v運動，在dt

時間內，電荷運動的距離為dl則如果存在一個面積元dS，當運動電荷垂直穿過面積元時，dt

時間內穿過的總電量為式中運流電流密度為通常，傳導電流與運流電流並不同時存在。則穿過的電流為所以，運流電流為則穿過閉合面S的位移電流為：電介質內部的分子束縛電荷作微觀位移而形成位移電流作一個閉合面S，假定其中所包圍的電量為q，根據高斯定律可知式中位移電流密度

傳導電流與位移電流2.電流連續性原理麥克斯韋假設，S面內自由電量q的增長應與穿出的位移電流相一致，並且若指定穿出S面的電流為正，則

在時變電磁場空間，圍繞著通電導體作一閉合面S，則穿入的傳導電流和運流電流應等於S面內自由電量q的增加率，即於是可得即

此式稱為電流連續性原理電流連續性原理表明：在時變場中，在傳導電流中斷處必有運流電流或位移電流接續。其中

通常，又將電流連續性原理稱為全電流定律，該定理揭示了不僅傳導電流激發磁場，變化的電場也可以激發磁場。它與變化的磁場激發電場形成自然界的一個對偶關係。麥克斯韋由此預言電磁波或

稱為全電流密度

傳導電流與位移電流解：忽略極板的邊緣效應和感應電場位移電流密度位移電流例:已知平板電容器的面積為S,相距為d,介質的介電常數,極板間電壓為u(t)。試求位移電流

iD；傳導電流iC

與iD

的關係是什麼?電場3.麥克斯韋第四方程

靜電場的環流為零穩恒磁場的環流如何呢？說明靜電場是保守場；

對任何向量場基本性質的研究，就是考察它的通量和環流。對穩恒磁場環流的研究形成了安培環路定理。與環路成右旋關係的電流取正。

在真空中的穩恒電流磁場中，磁感應強度

沿任意閉合曲線的線積分（也稱的環流）,等於穿過該閉合曲線的所有電流強度（即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流強度）的代數和的μ0倍。安培環路定理磁感應強度的環流只與環路內的電流有關，但環路上一點的磁感應強度是由環路內、外電流共同產生的。安培環路定理揭示了磁場的基本性質之一，磁場是有旋場，是非保守場，故磁場中不能引入勢能的概念。①②討論當電流呈面分佈時③定義自由空間用磁場強度表示的磁通密度為

則安培環路定律可寫成

在時變場中，應將安培環路定律中的電流拓廣為全電流，即

其中麥克斯韋第四方程由斯托克斯定律得

即

或2.10微分形式的麥克斯韋方程組

將上面推導出的麥克斯韋方程列寫在一起，就得到了微分形式的麥克斯韋方程組。或將電場與其場源——電荷密度聯繫了起來，實際上，它是庫侖定律的另一種形式。

第一方程表明了隨時間變化的磁場會產生電場——這是法拉第電磁感應定律的微分形式。

第二方程表明了在形成磁場的源中，不存在“點磁荷——磁力線始終閉合。

第三方程表明了產生磁場的源是電流或變化的電場——安培定律的另一種表現形式。

第四方程2.11麥克斯韋方程的積分形式

根據高斯定理和斯托克斯定理，可將微分形式的麥克斯韋方程轉化為積分形式的麥克斯韋方程。轉化為其中引出了三個媒質特性方程以上即為麥克斯韋所總結的微分形式（包括三個媒質特性方程）與積分形式（包括三個媒質特性方程）的電磁場方程組，又稱為電磁場的完整方程組。其所以稱為“完整”方程組，是因為方程組全面地描述了作為統一的電磁場的兩個方面——電場與磁場的相互關係，以及電場、磁場本身所具有的規律，和電場、磁場與其所處空間的媒質的關係。具體地說，第一方程表明，電場是有散度場，即電場可以由點源電荷所激發；第三方程表明，磁場為無散度場，即磁場不可能由單極磁荷所激發；而第二和第四方程則描述了電場與磁場相互依存、相互制約並且相互轉化。2.12麥克斯韋方程的時諧形式

時變電磁場的一種最重要的類型是時間簡諧場（time–harmonicfield）,簡稱時諧場。所謂時諧場即激勵源按照單一頻率隨時間作正弦變化時所激發的也隨時間按照正弦變化的場。線上性系統中，一個正弦變化的源在系統中所有的點都將產生隨時間按照同樣規律（正弦）變化的場。對於時諧場，我們可以用相量分析獲得單頻率（單色）的穩態回應。

在直角坐標系中，電場強度向量可用沿三個互為垂直的坐標軸的分量來表示，即其中的三個分量可表示為用複數的實部表示為即運用上述規則，可將麥克斯韋方程改寫為時諧形式微分形式的時諧表示積分形式的時諧表示2.13電磁場的能量與坡印廷向量

電磁能量符合自然界物質運動過程中能量守恆和轉化定律——坡印亭定理，坡印亭向量是描述電磁場能量流動的物理量。

由麥克斯韋方程組可以導出電磁場能量的守恆方程，該方程中包含了這樣一項，它可以用電磁場中任何一點處的能量流動速率來表示。麥克斯韋方程組如下兩式相減，可得此式稱為坡印廷定理

式中，令上式也可寫成用點乘方程（4）用點乘方程（2）