2024-2025学年湖北省宜城市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析）

2024-2025学年湖北省宜城市高二上学期9月月考数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（

）.A．，，，四点不共线 B．，，，四点共面，但不共线C．，，，四点不共面 D．，，，点中任意三点不共线2．两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为，，，则（

）A．平面平面ABC B．平面平面ABCC．平面α、平面ABC相交但不垂直 D．以上均有可能3．已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（

）A． B． C． D．4．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为（

）A． B． C． D．5．已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为（

）A．2 B． C． D．16．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（

）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.757．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（

）A． B． C． D．8．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（

）A． B．是等边三角形C．点与平面的距离为 D．与所成的角为二、多选题（本大题共3小题）9．（多选）如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，以下结论正确的是（

）

A．点的坐标为B．点关于点B对称的点为C．点A关于直线对称的点为D．点C关于平面对称的点为.10．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（

）A． B．与互斥C．与相互独立 D．11．在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．B．存在点，使得C．三棱锥的体积为D．直线与平面所成角的余弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，，且，则．13．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则.

14．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为.四、解答题（本大题共5小题）15．如图所示，平行六面体中，，.(1)用向量表示向量；(2)求及.16．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：(1)这一组的频数､频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的众数和第75百分位数；(3)从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.17．如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，，四边形为矩形，平面平面，，点是线段的中点．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．18．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.(1)求甲没有获得执业医师证书的概率；(2)这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.(1)求与平面所成角的大小；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

参考答案1．【答案】B【详解】选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底.故选：B2．【答案】A【详解】设平面ABC的法向量为,则，设，则，，即由，得平面平面ABC．故选：A3．【答案】A【解析】根据题中条件，由向量夹角的坐标表示，列出等量关系求解，即可得出结果.【详解】因为向量，，与夹角的余弦值为，所以，整理得(其中)，解得（负值舍去）.故选：A.4．【答案】B【详解】由题意可知：每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为，记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A，则，所以.故选：B.5．【答案】C【详解】，，，点到直线l的距离为.则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为.故选：C6．【答案】D【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为.据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D.7．【答案】D【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯泡亮的概率为，故选D．8．【答案】C【详解】对于选项A：设的中点为，则，且，平面，可得平面，又因为平面，所以，故A正确；对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角，故，即，可知，则，所以是等边三角形，故B正确；对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，所以点与平面的距离，故C错误；又因为，且与所成的角取值范围为，可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确.故选：C.利用空间向量求点到平面距离的方法如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面α的法向量，则B到平面α的距离.9．【答案】ACD【详解】因为在长方体中，，，，所以点的坐标为，故A正确.设点关于点B对称的点为则解得：则点关于点B对称的点为,故B错误.由立体几何的特征知：点A关于直线对称的点为故C正确.由立体几何的特征知：点C关于平面对称的点为，故D正确.故选：ACD.10．【答案】ABC【详解】随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，则，“第二次为奇数”，则，“两次点数之和为奇数”，则，则，∴，A正确；为两次点数之和为偶数，与两次点数之和为奇数不可能同时发生，则与互斥，B正确；,故A与相互独立，C正确；事件A,B,C不可能同时发生，则，故D错误；故选：ABC.11．【答案】AC【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示，向量，故A正确；假设存在点，设，，所以.因为，所以.解得.故B错误；因为正三棱柱，所以，所以，所以，故C正确；设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误.故选：AC.12．【答案】【详解】由可得，又因为，，所以，解得.故答案为：13．【答案】【详解】由条件知，，，又二面角的平面角为，则，所以，所以.故答案为：14．【答案】【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为，甲队在一轮比赛中得分的概率为，乙队在一轮比赛中得分的概率为：，乙队在一轮比赛中得分的概率为：，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，所以，即在这一轮中，满足且的概率为.故答案为：15．【答案】(1)(2)，【详解】（1）如图，.（2）因为，，，所以又，，所以.16．【答案】(1)4，0.1(2)75；(3)【详解】（1）根据题意，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，则这一组的频率为，其频数为；（2）一组的频率最大，人数最多，则众数为，依题意，的频率为，而的频率为，因此第75百分位数在间，设第75百分位数为x，则：解得：，即第75百分位数估计值为（3）记“取出的人在同一分数段”为事件，因为之间的人数为，设为､､､，之间有人，设为､，从这人中选出人，有、、、､、、、、、、､、、、，共个基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，则.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）由四边形是矩形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，于是，由，，得，则，而，平面，所以平面．（2）由（1）知，直线，，两两垂直，以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，在实践考试中合格依次为，，，设甲没有获得执业医师证书的概率为.（2）甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，并且与，与，与相互独立，则，，,由于事件，，彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，概率为.19．【答案】(1)(2)存在，或【详解】（1）因为，，，平面，所以⊥平面，又平面，所以平面⊥平面，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以⊥，又平面⊥平面，两平面交线为，平面，所以⊥平面，取的中点，连接，则，因为⊥平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，⊥，故两两垂直，

以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系因为，由勾股定理得，所以，平面的法向量为，设与平面所成角的大小为，则，因为，所以；（2）设平面的法向量为，则，令得，则，连接，因为平面，平面平面，所以，不妨设，则，，设，则，即，故，设，则，即，故，设平面的法向量为，则，即解得，设，则，故，故，化简得，两边平方得，，化简得，解得或，设，设，则，解得，故，当时，，因为，所以，解得，解得，满足要求，当时，，因为，所以，解得，解得，满足要求，故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或.2024-2025学年湖北省宜城市高二上学期9月月考数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．空间向量不可以平行移动C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量2．设复数，则（

）A． B． C．1 D．3．已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．以上都不对4．两平面的法向量分别为，若，则的值是（

）A．－3 B．6C．－6 D．－125．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人调查，则抽取的高二年级学生人数为（

）A．18 B．20 C．22 D．246．如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（

）A． B．C． D．7．已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（

）A．.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足（

）A．余弦值为 B．正弦值为C．大小为 D．大小为二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题是真命题的有（

）A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则10．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（

）A．B．C．异面直线OB与AC所成角的余弦值为D．点O到直线BC的距离是11．如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（

）

A．存在点P，使B．存在点P，使C．四面体的体积为定值D．二面角的余弦值的取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，分别是直线的方向向量，若，则．13．已知，，那么向量.14．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则．四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量．(1)求(2)求向量与夹角的余弦值．16．已知正方体棱长为2，若F为的中点，则(1)求直线与直线的夹角的余弦值(2)求证：平面平面17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．(1)求(2)若，的面积为，求的周长．18．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.

(1)求证：平面；(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；(3)求点到PD的距离.19．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

(1)证明：平面；(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

参考答案1．【答案】D【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选：D.2．【答案】D【详解】解：因为复数，所以.故选：D.3．【答案】C【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标，逐项判断作答.【详解】由，，，知，即，B错误；又，因此，同理，AD错误，C正确.故选：C4．【答案】B【详解】因为两平面的法向量分别为，且，所以，所以，故选B.5．【答案】B【分析】根据分层抽样的方法，高二学生人数占总体的，所以被抽取的人数也应占，即20人.【详解】根据分层抽样的方法，应抽取高二年级学生人数为人.故选：B.6．【答案】B【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，所以,故选：B7．【答案】B【解析】两条不同的直线的方向向量不共线，两条不同的直线可能相交，可能异面；两条直线相交，则两条直线的方向向量一定不共线.【详解】由可知，与不共线，所以两条不同的直线不平行，可能相交，也可能异面，所以“”不是“直线相交”的充分条件；由两条不同的直线相交可知，与不共线，所以，所以“”是“直线相交”的必要条件，综上所述：“”是“直线相交”的必要不充分条件.故选：B.8．【答案】B【详解】设所求二面角的平面角的大小为，则，所以或，故CD错误，又因为，故A错误，B正确.故选：B.9．【答案】ABD【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；对于C，，故，可得l在α内或，C错误；对于D，，易知，故，故，D正确.故选：ABD.10．【答案】AC【详解】对于A，，，，依题意，，，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，,因为，则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确；对于D，因为，，在上的投影为，所以点O到直线BC的距离是，故D错误.故选：AC.11．【答案】AB【详解】

建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，当时，即点与点重合时，，故A正确.由知，解得，此时点与点重合，故B正确.为定值，故C错误.又，，设平面的法向量，由，令则，，，又平面的法向量，，又，，故D错误.故选：AB12．【答案】18【详解】，，所以存在实数，使得，则，解得，，..故答案为：18.13．【答案】【解析】由空间向量的线性坐标运算可得答案.【详解】因为，，所以，故答案为：.14．【答案】【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量，，.故答案为：15．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，，∴，，.（2）设与的夹角为，则，，，，，∴，∴向量与夹角的余弦值为．16．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）在正方体中，，所以直线与直线的夹角，即直线与直线的夹角，即为，在中，，，，则，所以直线