第一课时抛物线的简单几何性质-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

2.4抛物线

抛物线的简单几何性质(第一课时)1.

抛物线有哪些几何性质?2.

抛物线的离心率是怎样定义的?与椭圆和双曲线比较有什么不同?3.

抛物线标准方程中的字母常数p

的大小变化使抛物线的形状发生什么样的变化?学习要点由定义和方程,可以得到抛物线的简单几何性质.Fxyoly2=2px(p>0)1.范围x≥0,y∈R.2.对称性以-y

代y,方程不变,抛物线关于x

轴对称,3.顶点抛物线与它的轴的交点叫抛物线的顶点,4.离心率

抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比叫抛物线的离心率,离心率

e=1.抛物线的对称轴叫抛物线的轴.顶点坐标(0,0).

问题1.

双曲线的离心率的大小能引起开口大小的变化,抛物线的率心率有这个特性吗?引起抛物线开口大小变化的是抛物线方程中的什么数?抛物线的离心率是个定值,e=1,没有变化.我们观察几条抛物线(练习第2题):y2=xy2=2xy2=4xxy4444

2

4x41oy2-2-44-11y2=xy2=2xy2=4xx

的系数大,抛物线开口大.xyop

抛物线y2=2px(p>0),p

逐渐增大,抛物线的开口逐渐增大.·Fl

例3.

已知抛物线关于x

轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,),求它的标准方程.xoyM2·解:如图,由点M的位置知抛物线的焦点在x

轴正半轴点上,∴可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),∵抛物线经过点M,所以有解得p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.

例2.

一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m,求抛物线的标准方程和焦点坐标.xyOABF解:因为轴截面是抛物线,如图,以抛物线的轴为x

轴,抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系.则A点的坐标为A(0.5,2.4).设抛物线的方程为y2=2px.将点A的坐标代入方程解得p=5.76,∴抛物线的方程为y2=11.52x,焦点的坐标为(2.88,0).练习:(课本72页)第1题.练习:(课本72页)1.

求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1)

顶点在原点,关于x

轴对称,并且经过点

M(5,-4);

(2)

顶点在原点,焦点是F(0,5);

(3)

顶点在原点,准线是x

=4;(4)

焦点是F(0,-8),准线是y

=8.解:由M的位置知,焦点在x

轴正半轴上,设抛物线方程为y2=2px(p>0),将点M(5,-4)代入方程得16=2p

5,∴抛物线的方程为(1)练习:(课本72页)1.

求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1)

顶点在原点,关于x

轴对称,并且经过点

M(5,-4);

(2)

顶点在原点,焦点是F(0,5);

(3)

顶点在原点,准线是x

=4;(4)

焦点是F(0,-8),准线是y

=8.解:(2)由焦点坐标知焦点在y

轴正半轴上,∴抛物线的方程为得2p=20,x2=20y.练习:(课本72页)1.

求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1)

顶点在原点,关于x

轴对称,并且经过点

M(5,-4);

(2)

顶点在原点,焦点是F(0,5);

(3)

顶点在原点,准线是x

=4;(4)

焦点是F(0,-8),准线是y

=8.解:(3)由准线方程知焦点在x

轴负半轴上,∴抛物线的方程为得2p=16,y2=-16x.练习:(课本72页)1.

求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1)

顶点在原点,关于x

轴对称,并且经过点

M(5,-4);

(2)

顶点在原点,焦点是F(0,5);

(3)

顶点在原点,准线是x

=4;(4)

焦点是F(0,-8),准线是y

=8.解:(4)焦点在y

轴负半轴上,∴抛物线的方程为得2p=32,x2=-32y.由焦点坐标与准线方程知抛物线顶点在原点,【课时小结】1.

抛物线的几何性质y2=2px(p>0),x≥0,y∈R.(1)范围y2=-2px(p>0),x≤0,y∈R.x2=2py(p>0),y≥0,x∈R.x2=-2py(p>0),y≤0,x∈R.【课时小结】1.

抛物线的几何性质(2)对称性y2=

2px(p>0),抛物线关于x

轴对称.x2=

2py(p>0),抛物线关于y

轴对称.抛物线的对称轴叫抛物线的轴.【课时小结】1.

抛物线的几何性质(3)顶点抛物线与它的轴的交点叫抛物线的顶点,标准方程中,抛物线的顶点是原点.(4)离心率

抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比叫抛物线的离心率,离心率

e=1.【课时小结】2.

抛物线方程的系数p(1)焦点到准线的距离等于p.(2)p

增大时,抛物线开口增大;p

减小时,抛物线开口减小.习题2.4A组第3、4、5、7、8题.

3.

抛物线y2=2px(p>0)上一点M

与焦点F

的距离|MF|=2p,求点M

的坐标.解:·2p2pFl··xyoM如图,∵|MF|=2p,∴xM

=代入抛物线方程得解得y

=∴点M的坐标为习题2.4A组xoy-6

4.

根据下列条件,求抛物线的方程,并画出图形:

(1)

顶点在原点,对称轴是x

轴,并且顶点与焦点的距离等于6;

(2)

顶点在原点,对称轴是y

轴,并经过点P(-6,-3).解:由题设知,焦点在x

轴正半轴或负半轴上,则2p=24,∴抛物线的方程为y2=24x,或y2=-24x.6y2=24x,y2=-24x,-1212前一条抛物线过点(6,12)与(6,-12),后一条抛物线与前一条反方向.(1)

4.

根据下列条件,求抛物线的方程,并画出图形:

(1)

顶点在原点,对称轴是x

轴,并且顶点与焦点的距离等于6;

(2)

顶点在原点,对称轴是y

轴,并经过点P(-6,-3).解:(2)由点P

的坐标知,焦点在y

轴负半轴上,∴抛物线方程可设为x2

=-2py,将点P

的坐标代入方程得(-6)2=-2p(-3),解得p=6,∴抛物线方程为x2

=-12y.xoy-3-6即得2p=12,5.

如图,M是抛物线y2=4x

上一点,F是抛物线的焦点,以Fx

为始边,FM

为终边的角∠xFM=60

,求|FM|.FxyoMlKHB解:如图,作准线l

交x

轴于K,由抛物线定义知|FM|=|MH|=|KB|=|KF|+|FB|=

p

+|FM|cos∠xFM,则|FM|=2+|FM|cos60,

MB⊥x

轴于B,MH⊥l于H,由题设得p=2,∠xFM=60,解得|FM|=4.

7.

如图,吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线,宽7m,高为0.7m,求这条抛物线的方程.70.7AOBxy解:以抛物线的轴为y

轴,以顶点为原点建立坐标系,于是,抛物线方程可为x2

=2py,由题设知,抛物线过点B(3.5,0.7),代入方程得3.52=1.4p,解得p

=8.75,∴所求抛物线的方程为x2

=17.5y(0≤y≤0.7).

8.

图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水下降1m后,