高中数学：必修2-第二章 点、直线、平面之间的位置关系

第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

一、平面

1.平面的概念

生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象.

几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限延

展的，一个平面可以将空间分成两部分.

2.平面的画法

在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面.

（1）当平面水平放置时，如图一（1）,平行四边形的锐角通常画成45。，且横边长等于其邻边长的

2倍；当平面竖直放置时，如图（2）,平行四边形的一组对边通常画成铅垂线.

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，

也可以不画.如图（1）表示平面尸在平面。的上面，图（2）表示平面。在平面夕的前面.

3.平面的表示

为了表示平面，我们常把希腊字母a,人y等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面a,平面

尸；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶

点的大写英文字母表示.如图中的平面可以表示为：平面a、平面A8C。、平面AC或平面BD

4.点、直线、平面之间位置关系的符号表示

点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集

合.集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集•点与直线（平面）之间的位置关系用符号“w”，

“右”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“u”，表示等.点、直线、平面之间位置关

系的符号表示如下：

点尸在直线a上，记作PG”；

点。不在直线a上，记作。任公

点A在平面a内，记作Aea；

点B不在平面a内，记作B^_a；

直线a在平面a内，记作“Ua；

直线/不在平面a内，记作/<Xa；

直线a与人相交于点A,记作an%=A；

平面a,0相交于直线I,记作aC灯.

二、平面的基本性质

1.三个公理

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

符号表示：Ael,Bel,且AGa,Bsanlua.如图1所示：

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

符号表示：A,B,C三点不共线=有且只有一个平面a,使Aea,Bea,Cea.如图2所示：

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

符号表示：Pea,且Pw/naC夕=1,且Pe/.如图所示：

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.

对三个公理的理解

(1)对于公理1,我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内.

(2)“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼,如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，

但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面.由此可见，“不在一条直

线上的三点”是确定一个平面的条件.

(3)公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一.

2.公理2的三个推论

(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

符号语言：若点A任直线小则A和a确定一个平面a.如图1所示：

(2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

符号语言：有且只有一个平面a,使aua,bua.如图2所示：

(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

符号语言：a〃人=有且只有一个平面a,使aua,bua.如图3所示：

三、空间两直线的位置关系

1.异面直线

(1)异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.即若mb是异面直

线，则不存在平面a,使aUa且bua.

(2)异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：

2.空间两直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面.

(1)相交直线———同一平面内，有且只有一个公共点；

(2)平行直线——同一平面内，没有公共点：

(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.

3.空间中两直线位置关系的分类

空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式:

(1)从有无公共点的角度分类：(2)从是否共面的角度分类:

两条直线有且仅有一个公共点：相交直线相交直线

共面直线<

直线平行直线直线4平行直线

两条直线无公共点:

异面直线不共面直线：异面直线

四、公理4与等角定理

1.公理4

（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

（2）符号语言：a,6,c是三条不同的直线，a//b,b//c^=>a//c.

（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行.

公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.

用公理4证明空间两条直线a,c平行的步骤

（1）找到直线Z?；（2）证明。〃匕，b//c；（3）得到。〃c.

2.等角定理

（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

（2）符号语言：

如图（1）（2）所示，在NAOB与N/T。，"中，0A〃。/，，OB//O'B',则ZAOB=ZA'O'B'

或/AO8+/4'O'B'=180°.

五、异面直线所成的角

1.两条异面直线所成的角的定义

如图，已知两异面直线a,b,经过空间任一点。，分别作直线〃〃a,b'//b,相交直线"，〃所成的

锐角（或直角）叫做异面直线a与〃所成的角（或夹角）.

（1）在定义中，空间一点。是任取的，根据等角定理，可以判定"，〃所成的角的大小与点。的位置

无关.为了简便，点0常取在两条异面直线中的一条上.

（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求

平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.

2.异面直线所成的角的范围

异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角a的取值范围为OYaW90、

3.两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线”，

b,记作aA-b.

4.构造异面直线所成角的方法

（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；

（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条

异面直线分别平移相交于该点；

（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为

其补角.

5.求两条异面直线所成的角的步骤

（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；

（2）证明：证明作出的角就是要求的角；

（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；

（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的

补角就是所求异面直线所成的角.

六、空间中直线与平面的位置关系

1.直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种：

②直线在平面内一有无数个公共点；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；

③直线与平面平行——没有公共点.

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

2.直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

位置关系图形表示符号表示公共点

直线a在平面

aCa有无数个公共点

a内2

直线a与平面有且只有一个公

aAa二A

a相交\共点

直线a与平面-------a

没有公共点

a平行//

3.直线和平面位置关系的分类

（1）按公共点个数分类:（2）按是否平行分类:

'直线和平面相交一有且只有一个公共点「直线与平面平行

＜直线和平面平行一没有公共点直线与平面相交

直线与平面不平行

直线在平面内一有无数个公共点直线在平面内

（3）按直线是否在平面内分类:

直线在平面内

直线和平面相交.

直线不在平面内（直线在平面外）

直线和平面平行

七、平面与平面之间的位置关系

1.两个平面之间的位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线.

2.两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示

位置关系图形表示符号表示公共点

两个平面平行a//p无

%_____/

W

斜交aO/3=a有一条公共直线

两个平

面相交a

/-----7a邛,

垂直，a/有一条公共直线

//aC\fi=a

3.两个平行平面的画法

画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置.

1.三种语言的转换

学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能.

要注意：(1)正确区分点、直线、平面之间位置关系的符号表示；

(2)用图形表示时，正确区别实线和虚线.

【例1】用符号语言表示下列语句，并画出图形：

(1)三个平面a,P，y相交于一点、P,且平面a与平面厅相交于PA,平面a与平面y相交于P8,平

面£与平面y相交于PC；

(2)平面A8O与平面8OC相交于BQ,平面ABC与平面AOC相交于AC.

【解析】(1)符号语言表示：aC夕D产P,aC0=PA,aHy=PB,阳尸PC,图形表示：如图(1).

(2)符号语言表示：平面4BOC1平面BDC=BD,平面ABCC平面4OC=AC,图形表示：如图(2).

2.点、线共面问题

公理1、公理2及其推论是证明点、线共面的主要依据.常用的方法有：

(1)纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其他的元素也在此平面内.

(2)辅助平面法：先证明有关点、线确定平面a,再证明其余点、线确定平面£,最后证明a,夕重合.

【例2】求证：两两相交且交点不止一个的四条直线a、b、c、d共面.

(2)有三线共点的情况，如图(2).

设从c,d三线相交于点K,与a分别交于点N,P,M,且K《a,

因为Kca,所以K和〃确定一个平面，设为夕.因为Nea,au/3,所以Ne4.

所以NKu0,即同理，cu£,du/?.所以a,b,c,d共面.

由(I)(2)知，a,b、c、”共面.

3.平面的交线问题

根据公理3,如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平

面的两个公共点，就找出了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公

共点.

【例3】如图，直角梯形ABOC中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平

面SBD和平面SAC的交线.

【解析】很明显，点S是平面58。和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.

由于AB>C£>,则分别延长AC和8。交于点E,如图1所示.

,/点EeAC,ACu平面SAC,Ee平面SAC.同理，可证EG平面SBD

点E在平面S8。和平面SAC的交线上，则连接SE,直线SE是平面S3。和平面SAC的交线.

4.三点(多点)共线问题

点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：

(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个

平面的交线上；

(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.

【例4】已知△ABC在平面a外，它的三边所在的直线分别交平面a于P,Q,R三点、,

求证：P,Q,R三点在同一条直线上.

5.三线共点问题

证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该

点.常结合公理3,证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从

而证明三线共点.

【例5】在空间四边形A-BCO中，H、G分别是AD、C。的中点，E、尸分别是边48、BC上的点，

CFAE\

±求证：直线EH、BD、FG相交于一点.

11--3

6.空间两直线的位置关系的判断

空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题

意认真分析，进而确定它们的位置关系.

【例6】如图，在正方体ABCD-AiBiGDi中，M、N分别为棱CIQI、CiC的中点，有以下四个

结论：①直线与CG是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线8N与是异面直线;

④直线AM与。A是异面直线.其中正确的结论为（A）

【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：

1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.

2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.

4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法.

证明步骤有三步：

第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与己知条件或某一公理、定理或某一已被证

明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立.

7.公理4的应用

证明两条直线平行的方法：

（1）平行线的定义：（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平

行线分线段成比例定理等；（3）利用公理4.

【例7】如图，"3。的各边对应平行于△46G的各边，点E,F分别在边AC上，且

AE=-AB,AF=-AC,试判断E尸与劣的的位置关系，并说明理由.

33

【解析】平行.理由如下：

•：AE=-AB,AF=-AC,：.EF//BC.

33

又B、C\〃BC,：.BQEF.

8.等角定理

利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况.

【例8】空间两个角a,[3的两边分别对应平行，且«=60°,则△为（D）

A.60°B.120°C.30°D.60°或120°

9.两异面直线所成的角

通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的

一个难点.

【例9】如图，四棱锥尸一ABCD中，NA3C=N84O=90,，BC=2AD,△PAB和△口!£＞都是

等边三角形，则异面直线CD和P8所成角的大小为（A）

A.90B.75。C.60D.45°

【答案】A

10.直线与平面的位置关系

空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.

【例10］若直线a<Za,则下列结论中成立的个数是（A）

①a内的所有直线与。异面；②a内的直线与a都相交；③a内存在唯一的直线与a平行；④a内不存

在与〃平行的直线

A.0B.1

C.2D.3

【解析】•..直线aZa,；.a〃a或aAa=A.如图，显然①②③④都有反例，所以应选A.

【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑

问题要全面，即注意发散思维.

11.平面与平面的位置关系

判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是

可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系.

【例11】已知a,4是两个不重合的平面，下面说法正确的是（D）

A.平面a内有两条直线a,6都与平面少平行，那么a〃£

B.平面a内有无数条直线平行于平面£,那么a〃万

C.若直线〃与平面a和平面夕都平行，那么a〃/?

D.平面a内所有的直线都与平面夕平行，那么a〃夕

【解析】不能保证a,乃无公共点.如图1：

故A、B选项错误.当a〃a,a〃夕时，a与夕可能相交.如图2：故C选项错误.

平面a内所有直线都与平面”平行，说明a,一定无公共点，则a〃从故D选项正确.

12.应用公理或其推论时出错

【例12】已知A,B,C,D,E五点中，A,B,C,。共面，B,C,D,E共面，则A,B,C,D,E

五点一定共面吗？

【错解】因为A,B,C,。共面，所以点A在B,C,。所确定的平面内，因为8,C,D,E共面，

所以点E也在B,C,。所确定的平面内，所以点4,E都在B,C,力所确定的平面内，即A,B,C,

D,E五点一■定共面.

【错因分析】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上B,C,D三点

有可能共线.

【正解】(1)如果B,C,O三点不共线，则它们确定一个平面a.

因为A,B,C,。共面，所以点A在平面a内，

因为8,C,D,E共面，所以点E在平面a内，

所以点4,E都在平面a内，即4,B,C,D,E五点一定共面.

(2)若B,C,力三点共线于/,若ASEel,贝IJA,B,C,D,E五点一定共面；

若A,E中有且只有一个在/上，则A,B,C,D,E五点一定共面；

若A,E都不在/上，则A,B,C,D,E五点可能不共面.

【名师点睛】在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面

地思考问题.对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.

13.忽略异面直线所成的角的范围致误

【例13］如图，已知空间四边形A8CD中，AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点，且直线BC与

所成的角为30。，求8C与AQ所成的角.

【错解】如图，连接8D,并取中点E,连接EMEM,

KOEN//BC,ME//AD,

故NEW为8C与MN所成的角，

/MEN为BC与4。所成的角，

AZENM=30°.又由AD=BC,知ME=EN,

：.NEMN=NENM=30°,

AMEN=180°-30°-30°=l20°,

即8c与AO所成的角为120°.

【错因分析】在未判断出NMEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的

角，因为异面直线所成的角a的取值范围是0。<。《90,如果NMEN为钝角，那么它的补角才

是异面直线所成的角.

【正解】以上同错解，求得/MEN=120。，即BC与AZ)所成的角为60。.

【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角a的取值范围是0,<aW9(T.

14.对直线与平面相交的概念理解不透彻致误

【例14】己知：直线“〃儿an平面a=P,求证：直线6与平面a相交.

【错解】如图，因为。〃儿所以a,h确定一个平面，

设该平面为人

因为4rl平面a=P,所以PGa,P®a,

所以PG6即点P为平面a与£的一个公共点，

由此可知a与夕相交于过点P的一条直线，记为c,即aC徐C.

在平面夕内，a//b,aC\c=P.

由平面几何知识可得b与c也相交，

设“lc=。，则。eh,QeC.

因为cua,所以Qea,

所以直线。与平面a相交.

【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线和平面有

一个公共点.

【正解】因为a〃从所以a,匕确定一个平面，设该平面为少.

因为aC平面a=P,所以平面a与夕相交于过点P的一条直线，记为c,

因为在平面“内，c,和两条平行直线a,6中的一条直线a相交，

所以c必和6相交，设交点为。，即MIGQ.

又直线匕不在平面a内（若6在平面a内，则a与万过两相交直线6和c,因此a与夕重合，贝Da在

a内，与已知矛盾），

所以直线。与平面a相交.

基础

1.已知A、B、C、。四点共面，B、C、D、E四点共面，则4、B、C、D、E五点（D）

A.共面B.不共面C.共线D.不确定

2.一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（D）

A.1个或3个B.1个或4个C.3个或4个D.1个、3个或4个

3.下列说法正确的是（C）

A.过平面外一点作这个平面的垂直平面是唯一的

B.过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的

C.过平面的一条斜线作这个平面的垂直平面是唯一的

D.过直线外一点作这条直线的平行平面是唯一的

4.有关平面的说法错误的是（C）

A.平面一般用希腊字母a、夕、y…来命名，如平面a

B.平面是处处平直的面C.平面是有边界的面D.平面是无限延展的

5.两条异面直线的公垂线指的是（B）

A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线

C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段

D.和两条异面直线都垂直的所有直线

6.空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（C）

A.相等B.互补C.相等或互补D.互余

7.下列说法中，正确的个数是（B）

（1）平行于同一平面的两条直线平行.

（2）直线。平行于平面a内的一条直线儿那么直线。〃平面a.

（3）若两平行直线中的一条与平面a相交，那么另一条也与平面a相交.

（4）直线a与平面a内的无数条直线相交，那么直线a在平面a内.

A.0B.1C.2D.3

8.若不共线的三点到平面a的距离相等，则该三点确定的平面尸与a之间的关系是（C）

A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对

9.过空间三个不同的点可以确定的平面的个数是」个或无数个.

10.正方体ABCZ）-4B|CQi中，异面直线与CB|所成的角为45°.

能力

11.m,"为异面直线，P为m,"外一点，则过点P与机，〃都平行的平面有（B）

A.1个B.0或1个C.1或2个D.无法确定

12.已知小。是两条相交直线，a//a,则b与a的位置关系是（D）

A.b//aB.匕与a相交C.buaD.〃〃a或匕与a相交

13.直线。与平面a斜交