高考真题与模拟训练 专题23 抛物线（解析版）

专题23抛物线

第一部分真题分类

1.（2021•全国高考真题）抛物线V=2px（〃>0）的焦点到宜线产工+1的距离为及，贝”=（）

A.1B.2C.272D.4

【答案】B

【解析】抛物线的焦点坐标为9o，

4-0+1

其到直线“—y+i=o的距离：2

a一=&'

Vf+T

解得：〃=2（〃=-6舍去）.

故选：B.

2.（2020•北京高考真题）设抛物线的顶点为0,焦点为产，准线为/.尸是抛物线上异于。的一点，过

尸作PQ_L/于。，则线段尸。的垂直平分线（）.

A.经过点OB.经过点P

垂直于直线OP

因为线段尸。的垂直平分线上的点到尸，。的距离相等，又点尸在抛物线上，根据定义可知，|pQ|=|pq,

所以线段FQ的垂直平分线经过点P.

故选：B.

3.⑵电全国高考真题（文））若抛物线收“⑺。）的焦点是椭圆小小的一个焦点’则"

A.2B.3

C.4D.8

【答案】D

【解析】因为抛物线y=2px（p>0）的焦点（与,0）是椭圆三+2=1的一个焦点，所以3〃-〃=（小，解得

23Pp2

〃=8,故选D.

i

4.(2021•北京高考真题)已知抛物线。:9=以，焦点为尸，点M为抛物线。上的点，且|产M|=6,则

”的横坐标是______;作MN_Lx轴于N,则5.衲=_

【答案】5475

【解析】因为抛物线的方程为9=4”，故0=2且尸(1,0).

因为|Mr|=6,xM+-^=6,解得%=5,故为=±2不，

所以S/MV=?(5-1)X2正=4。，

故答案为：5,4^5.

5.(2021•全国高考真题(文))抛物线。的顶点为坐标原点0.焦点在*轴上，直线/：x=l交。于

P,0两点，且OP_LOQ.已知点M(2,0),且0M与/相切.

(1)求C,0M的方程；

(2)设A，4,4是。上的三个点，直线A4，44均与0M相切.判断直线44与QM的位置关系，并

说明理由.

【答案】(1)抛物线。：丁二厂，0M方程为。-2)2+)，2=1；(2)相切，理由见解析

【解析】⑴依题意设抛物线C：y2=2*p>0),P(l,y°),Q(-y0),

\OPLOQ,..OPOQ=\-yl=\-2p=0,:.2p=lt

所以抛物线。的方程为丁=以

M(0,2),G)M与工=1相切，所以半径为1,

所以OM的方程为3-2)2+y2=i；

(2)设4(为m)，4(“2，)’2)，4(巧，月)

若A4斜率不存在，则A4方程为x=l或工=3,

若A4方程为工=1,根据对称性不妨设A。』)，

则过4与圆M相切的另一条直线方程为y=i,

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A，不合题意;

若A4方程为x=3,根据对称性不妨设A(3,6)，4(3,-G),

则过A与圆M相切的直线AA3为丁-石=乎。-3),

=江&=_!_=」=05=0

大一天y+必石+必3

“3=0,4(0,0),此时直线AA3,A2A3关于/轴对称,

所以直线44与圆M相切;

2

若直线A4，AA3，&A斜率均存在，

,111

则&'

所以直线44方程为y-y二一二（工一”），

y十%

整理得工一（y+%仃+凹%=°，

同理直线AA.3的方程为%-（乂+%），+%）'3=°，

直线44的方程为1一（必+为）/+%%=°，

\2+y.y1

MA•与圆M相切，”+«+/2■=]

整理得（丁；-1）货+2y/+3—y；=0,

AA与圆”相切,同理（y；T）£+2yM+3-y：=0

所以为，力为方程（y：T）y2+2“y+3-疗=0的两根,

M到直线44的距离为:

油+（%+%），+（__^1-）2

|才+||一K+1一

向-心”；4+1，

所以直线4A3与圆M相切；

综上若直线A4,A4与圆例相切，则直线44与圆河相切.

6.（2021•浙江高考真题）如图，已知尸是抛物线V=2px（〃>0）的焦点，力是抛物线的准线与*轴的交

点，且|M尸|=2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点尸的直线交抛物线与两点，斜率为2的直线/与直线蛆"8,48,x轴依次交于点月

3

0,R,N,且|RN|2=|PNHQN|,求直线，在x轴上截距的范围.

【答案】(1)/=4x；(2)(-OO,-7-4V3]U[-7+4X/3,1)U(1,+OO).

【解析】(1)因为|“q=2,故p=2,故抛物线的方程为：)，2=4乩

(2)设A8:x=(y+1,A(%,y),双"方)，N(〃,0),

所以直线/：>>〃'由题设可得"1且，小

x=ry+1,,

{y2_4x可得y_奶,_4=0,故：^…，凹+%=今，

因为|RN『=|PN|.|QM，

又MA:y=，(x+1),

2(〃+1)以

同理y=

Q2々+2_/

x=ty+\

2(〃-1)

由\=上+〃可得”

,"22-1

所以I-2("一叮=2(〃+1)%%2(〃+l)X,

2f-12X2+2-y22%1+2-y

整理得到(一丫=(力-1)2-~-7,

+(2x2+2-y2)(2xl+2-yl)

4(2/-I)2

__________________4(21)2________________(21)2

竽+(必+yJ2-必M-xy%-2(y2+x)+43+4/

士/〃+1丫_3+4/

故Ui卜即，

s+1

令s=2/-l,贝打-且SHO,

4

(空14即,

W2+14W+1>0

故\n-\"1

〃土1

解得”<-7-46或-7+4限〃<1或〃>1.

故直线/在x轴上的截距的范围为〃W-7-4后或一7+464〃<1或〃>1.

2

7.(2020•浙江高考真题)如图，已知椭圆q：5+y2=i,抛物线(72：丁2=23(“>0),点力是椭圆。厂与

抛物线。2的交点，过点力的直线/交椭圆G于点笈交抛物线G于"(笈M不同于冷.

(I)若〃=4，求抛物线G的焦点坐标;

(II)若存在不过原点的直线/使必为线段47的中点，求夕的最大值.

【答案】(I)£,0)；(II)—

3240

【解析】(1)当夕=人时，。2的方程为丁=卜，故抛物线G的焦点坐标为(4,0)；

16832

(II)设A(x，yj,8(电,y2bM(%为)，I-x=Ay+mt

由'+2y2n(2+42)#+2%犯+加一2=0,

[x=Zy+m

-2A/w-Am,2m

「J田=办'。+加=。'

22m24pmA2/n

由M在抛物线上，所以区了/=了匚/=啜二F=4〃，

又.'P'=>y2=2p(Ay+m)=>y2-2pA,y-2pm=0,

\x=A,y+m

2

：.y+y0=2pA,二X]+%=+tn+Ay0+/«=2pA+2m,

x=2nA2+2m------

112+22

IX+2-]

由｛2+)_=A：2+4px=2,：即/+4〃4_2=0

\y2=2px

5

n-2p+J4P2+2=2pA2+Itn-+=2pA2+^y+8p>16P»

所以"4p2+2N18〃,P?*击,p4鸣,

所以，〃的最大值为吟，此时A(半lg).

法2：设直线1:x=/ny+f(/nH0,"0。,A(%,%).

2

将直线/的方程代入椭圆C:5+丁=1得：(M+2)V+2m0,+产—2=0,

所以点M的纵坐标为为=~

m+2

22

将直线I的方程代入抛物线C2:y=2px得：y-2pmy-2pt=0,

所以为%=-2小.，解得+2),因此2Pg2+2厂,

mm2

由无+苏=1解得口=4(m+2]+21+勺..160,

2p-Vm)Itn)

所以当m==®时，P取到最大值为典.

540

8.(2019•北京高考真题(理))已知抛物线G义=之”经过点(2,-1).

(I)求抛物线。的方程及其准线方程；

(II)设。为原点，过抛物线。的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线。于两点MM直线*T分别交

直线〃加〃”于点力和点笈求证：以月8为直径的圆经过y轴上的两个定点.

【答案】(I)x2=-4.y,y=l；

(II)见解析.

【解析】(I)将点(2,—1)代入抛物线方程：22=2〃x(-l)可得：p=2,

故抛物线方程为：r=-4y,其准线方程为：y=l.

(II)很明显直线/的斜率存在，焦点坐标为

设直线方程为y=丘-1,与抛物线方程联立可得：丁+46-4=0.

故：+x2=-4k,xix2=-4.

设M11,-a,N彳2,-李-»则eM=-今，

直线0”的方程为尸-5,与y=T联立可得：AC，-I],同理可得从

4(X))

6

易知以月3为直径的圆的圆心坐标为:-+-,-1，圆的半径为:

X9）

且：2+2=2(^+马)=2左,2__2=2x&4中2=2环,

X1&J^XJX9

则圆的方程为：（工一2%）2+（y+l）2=4（公+i）,

令x=0整理可得：y2+2y-3=0,解得：y=—3,必=1，

即以四为直径的圆经过〃轴上的两个定点（0,-3）,（0,1）.

第二部分模拟训练

过F的直线/与抛物线相交于A，B两点,尸（6一,）•若

1.已知抛物线d=4y的焦点为产,

PB工AB，则|A月=().

35

A.-B.2C.—D.3

22

【答案】D

,尸（0,1）,设H.手）

【解析】由题意可知

则+,BF

42

因为尸且A，B，尸三点共线，则由福・丽=0可得际.而=0,

所以一W2+(,+g

=0,即％24+26/2-56=0,

解得％2=2或/2=-28（舍），所以七=±JE.

设直线4B的方程为y=^+L与抛物线方程联立,

y=kx+\、，l

得|［一4，消去y得X一4日一4=°，则//2=-4,所以百=±20.

贝Ijy「今—2.

所以|AF|=y+5=2+l=3.

故选：D.

11I9

2.已知抛物线。：丁二10%的焦点为尸，若点加在抛物线C上，且|"日=不，则点M到轴的距离为

7

A.2B.2石C.4D.2>/10

【答案】A-

【解析】根据抛物线的定义，得至川孙=%+勺如+:=，解得"2,

即点M到了轴的距离为2.

故选：A.

3.已知抛物线y2=2px（，>0）的焦点为产，准线为/,过点尸的直线交抛物线于A、B两点,过点A

作准线/的垂线，垂足为E，当A点的坐标为（3行,％）时，9为正三角形，则此时△OAB的面积为

（）

A.4行B.3百

C.56D.6G

【答案】A

【解析】由抛物线定义得：国二|4日=36+《，・

由AAE尸为正三角形知，直线A8的倾舜■角为60°,|EF|=2p,

故3>/^+*^=2〃，p-2>/3>

直线A3的方程为y=6卜一相），A（3百,6）

抛物线方程为：y2=4yf3x,

y=y/3（x-y/3}

联立，'），得：3/一106+9=0，

y?=4瓜

所以点5的坐标为（孝,一2,

所以百X|6+2|=4G.

故选：A.

3.已知以圆C：（工一1）2+尸=4的圆心为焦点的抛物线G与圆在第一象限交于A点，8点是抛物线

C2：d=8y上任意一点，8M与直线>=一2垂直，垂足为M，5MI8M|-|A8|的最大值为（）

A.1B.2C.-1D.8

8

【答案】A

【解析】因为C:（x-l『+y2=4的圆心（1,0）

所以以（1,0）为焦点的抛物线方程为V=4x,

y1=4x

由、2,，解得A（l,2）,

（X-1）24-/=4\）

抛物线。2：1=8），的焦点为尸（0,2）,准线方程为y=-2,如图,

即有怛闸一|网=忸尸卜|幽4|明=1,

当且仅当AB,尸（A在民尸之间）三点共线，可得最大值1，

故选：A

4.已知抛物线C：y2=2〃x（〃>0）的焦点为尸，。为坐标原点，AB为抛物线C上两点,

\AO\=\AF|,且|4/|+|B尸|二"，则45的斜率不可能是（）

4

A.一半B.-272C.2y[2D.[

【答案】D

【解析】因为F为抛物线C：y2=2pR（P>0）的焦点，所以尸（5,0）,

又|AO|=|W，即尸为等腰三角形，所以5=（,又点A在抛物线y2=2px上，

所以婷=2崂=。,则乃=±孕…书，土与）

所以由抛物线的焦半径公式可得：+]=（〃，

又IW+|"|=¥，所以|3尸|=好即修十齐号，所以4=〃，

则yj=2〃2,即%=±同,所以8（p,士五p）；

9

&P42p

2V2

当A£3（p,&p）时，48的斜率为原8=——~2~

4P_—

4

一夜〃一也

P_

当AB（p,一尤p）时，AB的斜率为kAB=-------------2_=-2V2；

42

P-4

V2p+&p

当AP_,网p,&p）时，AB的斜率为L=上-----=26；

P_

P-

4

-五p十-------

P_2V2

当A时，4B的斜率为&A82

4~P_"T"

P-4

故ABC都能取到，D不能取到.

故选：D.

5.已知A。,。），8（3,0）为4M。的两个顶点，点。在抛物线工2=4》上，且到焦点的距离为13,则

△A6C的面积为（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】A

【解析】解:因为点。在抛物线X2=4），上,设。（天,％）,

抛物线x2=4y的准线方程为y=-l,

根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.

由%+1=13,得%=12,

所以以.席=3*|4却・%=3乂（3-1）乂12=12.

故选:A

6.若物物线V=8x的准线与曲线三+?=1（丁之0）只有一个交点，则实数。满足的条件是

【答案】（F,0）U[4,M）

【解析】抛物线V=8x的准线为工=-2,

10

r2v2、

当a>0时，一+;=l(yNO)表示椭圆在X轴上方部分以及左右顶点

所以一&<X<y/a，

r22,

若％二—2与曲线亍+》v=1()，20)只有一个交点，

则一右工一2，解得aN4,

22

当avO时，工+看=1(),20)表示双曲线的在入轴上方部分即上支，

此时X«YO,+OO),

r22

此时满足x=—2与曲线二+£v=1()，NO)只有一个交点，所以"0，

综上所述：实数。满足的条件是。<0或。之4,

故答案为：(F,0)U[4,+8)

7.过抛物线y2=2〃x(〃>0)焦点/的直线/交抛物线于A、B两点、,其中点A(3,y),且|AF|=4,

则|朋=.

【答案】，

3

【解析】因为抛物线丁=2川的准线为4•二一§,点A(3,yJ在抛物线上，所以|A月=3+§=4,解得

P=2,所以抛物线的方程为V=4x.

设8(与,%)，由点A(3,yJ在抛物线上，可得y=±2g,

由抛物线的对称性不妨设人卜,26)，

又尸(1,0),所以直线AR的斜率A=*=6，

所以直线A尸的方程为y=G(x-1),

代入抛物线方程y2=4x得3f—iOx+3=O，所以西+々=y

所以|A8|=X+X2+p=-y.

故答案为：—

3

11

8.已知抛物线C：V=8x上的点A到。的焦点户的距离为10,点A在直线工二一2上的射影为4,点

产关于y轴的对称点为6,则四边形耳产的周长为.

【答案】32

【解析】由抛物线的方程V=8x可知，焦点尸（2,0）,直线工=-2为抛物线的准线，

所以|明|=4,四边形⑨耳尸为直角梯形.

因为|AF|=10,所以根据抛物线的定义，得|朋|二10,

过点A作AB_1_X轴于点B,

则忸耳=10-4=6.在尸中,

由勾股定理得|的=8,所以周=8,

所以四边形明耳尸的周长为10+10+8+4=32.

故答案为:32.

9.已知双曲线，营=K"℃°）的一条渐近线方程为y=gx，且一个焦点在抛物线上版的准

线上，则该双曲线的方程为

2

【答案】--/=1

3

【解析】解：•.•双曲线的一条渐近线方程为y=-^-x-»，①

3a3

•・•抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,

该双曲线一个焦点在抛物线丁=8x的准线上，

二。=2,而°=,.•.。2+从=4，②

由①②，得々2=3，及=1，

•••双曲线的方程为｛一9=].

3

2

故答案为：——y2=\.

3

10.已知抛物线C:Y=2py（p>0）的焦点为R点P（x0,3）为抛物线。上一点，月尸|=4,过点

A（〃,0）作抛物线C的切线4V（斜率不为0）,设切点为“

（1）求抛物线。的标准方程；

（2）求证：以用,为直径的圆过点4

12

【答案】(1)d=4y；(2)证明见解析.

【解析】(1)因为尸(%,3)为抛物线上一点，

所以俨目的长等于P到抛物线准线丫=_\的距离，

即1尸产|二力+畀3+勺4,解得p=2,

所以抛物线C的标准方程为：x2=4y.

(2)直线斜率不存在时，直线％=。不是抛物线的切线，

所以可设切线4V的方程为：y=k{x-a},2工0,

fx2=4y.

联立直线与抛物线方程得{iz/、，消去y可得/一4奴+43=0，

[y=k(x-a)

因为直线与抛物线相切，•••△=16妨2-16必=0，解得

x2-4ar+4«2=0=>x=2a»

所以切点N(2。,/),尸(0,1),A(«0),

222

・,•而=(-〃4)，AN=(a9a),.\AF.AN=-a+a=O-

:・/FAN=90。,以为直径的圆过点力.

11.己知动点M到直线x+2=0的距离比到点尸(1,0)的距离大1.

(1)求动点〃所在的曲线C的方程；

(2)已知点尸(1,2),48是曲线。上的两个动点，如果直线A4的斜率与直线尸3的斜率互为相反数，

证明宜线A6的斜率为定值，并求出这个定值；

(3)已知点P(l,2),A、B是曲线C上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2,证

明：直线A3过定点.

【答案】