高中数学数列测试题

数学高中必修5习题

第二章数列

1.｛诙｝是首项m=1,公差为"=3的等差数列，如果斯=2005,则序号〃等于（）.

A.667B.668C.669D.670

2.在各项都为正数的等比数列｛诙｝中，首项勾=3,前三项和为21,则仅+如+。5=（）.

A.33B.72C.84D.189

3.如果〃2，…,为各项都大于零的等差数列，公差1W0,则（）.

A.B.C.8V。4+〃5D.。1〃8=〃4。5

4.已知方程（/—2元+用）（好一2x+而=0的四个根组成一个首项为工的等差数列，则

4

m-n1等于（）,

A.1B.-C.-D.-

428

5.等比数列｛斯｝中，“2=9,〃5=243,则｛斯｝的前4项和为（).

A.81B.120C.168D.192

6.若数列｛斯｝是等差数列，首项〃1〉0,。2003+。2004>0,42003•。2004<0，则使前〃项和S〃>0成立的最大自然数〃

是（).

A.4005B.4006C.4007D.4008

7.已知等差数列｛斯｝的公差为2,若的，的，44成等比数列，则。2=（）.

A.-4B.-6C.-8D.-10

设S"是等差数列｛”“｝的前〃项和，若&=3,则邑=（）.

8.

%9S5

A.1B.-1C.2D.-

2

9.已知数列一1,由，。2,—4成等差数列，一1,bl,历，回，一4成等比数列，则上幺的值是（）

打

1n1c1T1

A.—B.——C.——或一D.—

22224

10.在等差数列｛斯｝中，斯#0,斯-i—a；+斯+1=0（〃22）,若52.-1=38,则”=（）.

A.38B.20C.10D.9

二、填空题

11.设了⑺=一」，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得了(-5)4-/(-4)+-+/(0)+-+/(5)

2”+亚

+/(6)的值为.

12.已知等比数列｛斯｝中，

(1)若〃3•〃4•45=8,贝！J〃2•〃3•〃4•〃5•〃6=・

(2)若1+72=324,〃3+〃4=36,则〃5+〃6=.

(3)若S4=2,§8=6,贝!J417+〃18+〃19+〃20=.

13.在号和旦之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为一.

32

14.在等差数列｛“”｝中,3(俏+。5)+2(.7+。10+。13)=24,则此数列前13项之和为.

15.在等差数列｛斯｝中，怒=3,“6=—2,则cu+a5H---Haio=.

16.设平面内有〃条直线(〃23),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用/(〃)表示这〃

条直线交点的个数，则/(4)=；当〃>4时，/(“)=.

三、解答题

17.(1)已知数列打“｝的前w项和S“=3〃2—2”，求证数列｛念｝成等差数列.

(2)已知工，工成等差数列，求证叱，三，史也也成等差数列.

abcabc

18.设｛斯｝是公比为g的等比数列，且的，“2成等差数列.

(1)求q的值；

⑵设仍"｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前“项和为S“当"?2时，比较S,与儿的大小，并说明理由.

ri_1_0

19.数列｛斯｝的前〃项和记为已知〃i=l,斯+1=--S〃(几=1,2,3…).

n

求证：数列｛2｝是等比数列.

n

20.已知数列｛斯｝是首项为〃且公比不等于1的等比数列，豆为其前几项和，2a7,3。4成等差数列，求证：12S3,

S6，S12一每成等比数歹!J.

第二章数列

参考答案

一、选择题

1.C

解析：由题设，代入通项公式斯=ai+(w—l)d,即2005=1+3("—1),“=699.

2.C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力.

设等比数列｛斯｝的公比为q(q>0),由题意得。1+。2+的=21,

即见(1+4+夕2)=21,又的=3,/.1-\-q-\-q2=l.

解得4=2或g=-3(不合题意，舍去)，

・'.。3+。4+。5=。1/(1+,+/)=3X22X7—84.

3.B.

解析：由的+〃8=。4+。5，・,・排除C.

=2

又•〃8=〃i(ai+7d)a\~\~7aid9

.*.624*〃5=(〃i+3d)(〃i+4d)=。/+7〃团

4.C

解析：

解法1：设〃1=,，〃2=工+"，〃3='+2d,〃4=，+3d,而方程—2x+m=0中两根之和为2,x2—2%+〃=0中

4444

两根之和也为2,

.•・。1+〃2+〃3+〃4=l+6d=4,

：.d=-,ai=~,。4=工是一个方程的两个根，的=3,的=9是另一个方程的两个根.

24444

,”分别为小或小

1616

Im—nI=—,故选C.

2

解法2：设方程的四个根为Xl，X2,%3，%4，且为+%2=乃+冗4=2,X1,X2=m,%3•X4=n.

由等差数列的性质：若/+S=p+",则如+处=%+的，若设阳为第一项，X2必为第四项，则12=:，于是可得等差

数列为工，-57

14

444

7.15

..mn

1616

£

m—n

2,

5.B

〃

解析:•.•2=9,“5=243,&=“3=^12=27,

-a29

・・q=3,a、q=9,〃i=3,

3—35240

.*.S4=^-=—=120.

1-32

6.B

解析:

解法1：由〃2003+。2004>。，。2003•〃2004<。，知〃2003和。2004两项中有一正数一负数，又。1>0,则公差为负数，否

则各项总为正数，故。2003>〃2004，即〃2003>0，〃2004<0.

_4006(%+%oo6)_4006(4003+a2004)

»•04006-------------------------------------------------------------->U

._4007,,x_4007.…

・・Dc4007------------,十。40077-------------,004、U，

22

故4006为导>0的最大自然数.选B.

解法2:由〃1>0,。2003+。2004>0，"2003•42004<0，同解法1的分析得42003>0,

〃2004<0，

，S2003为S”中的最大值.

••.S"是关于"的二次函数，如草图所示，

A2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，

...±些在对称轴的右侧.

根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧,4007,4008

都在其右侧，5〃>0的最大自然数是4006.

7.B

解析：丁｛斯｝是等差数列，・・・。3=。1+4,〃4=。1+6,

又由。1，的，。4成等比数列，

；・(。1+4)2=〃1(〃i+6),解得。1=—8,

•・・〃2=-8+2——6.

8.A

9(。1+%)

解析：...当9%_9

2—=1,・••选A.

$55(%+%)59

2

9.A

解析：设d和夕分别为公差和公比，则一4=—1+3"且一4=(—1)/,

d——1,甲=2,

.出一Gd_1

Z?2—q?2

10.C

解析：•.•｛〃〃｝为等差数列，・•・〃；=〃〃―I+Q〃+I，♦・.Q；=2Q〃,

又Q〃W0,・•・斯=2,｛〃〃｝为常数数歹！J,

而an—邑1,即2n~l=-=19,

2n-l2

・"=10.

二、填空题

11.3A/2.

1

解析：・・T(x)

2X+J2

]2工

1•/(I—x)=

2『尤+收2+V2-2"亚+2」

1+；2

.VW+/(l-x)=——+平—=—

V2+2XV2+2XV2+2%V2+2X2

设S=/(-5)+/(-4)H——b/(0)H——F/(5)+/(6),

则S=/(6)+/(5)+-+/(0)+-+/(-4)+/(-5),

/.2S=[/(6)+/(-5)]+次5)+/(-4)]+-+[/(-5)+/(6)]=6后，

.\S=/(-5)+/(-4)+-+/(0)+-+/(5)+/(6)=3亚.

12.(1)32；(2)4；(3)32.

解析：(1)由〃3・〃5=。3得44=2,

(12•〃3*〃4*〃5°〃6==32.

[%+%=32421

[(〃i+〃2)q=369

••.〃5+〃6=(〃1+。2)44=4.

,4=。1+。2+%+。4=24c

(3)<=>4=2,

58—…+々8=84+844

/.Q17+Q18+419+〃20=S4ql6=32.

13.216.

解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与N同号，由等比中项的

32

中间数为1户•2=6,•••插入的三个数之积为§X幺X6=216.

V3232

14.26.

解析：•.•〃3+〃5=2〃4，〃7+〃13=2〃10，

，6(04+010)=24,〃4+〃IO=4,

,_13(%+%3)—13(。4+。10)_13X4

•.013------------------------ZO

222

15.-49.

解析：。5=—5,

•二〃4+。5+••,+。10

_7(〃4+。10)

2

_7(%—d+%+5d)

2

=7(。5+2〃)

=-49.

16.5,—(n+1)(n-2).

2

解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，・・・/&)=/(左

—1)+(%—1).

由/(3)=2,

/(4)=/(3)+3=2+3=5,

/(5)=/⑷+4=2+3+4=9,

fM=于(〃-1)+(〃-1),

相加得/(〃)=2+3+4H-----F(n—1)=g(n+1)(n—2).

三、解答题

17.分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数.

证明：(1)〃=1时，QI=SI=3—2=1,

1=2—

当时,an—Sn—3层—2n—[3(n—1)—2(n1)]=6〃-5,

〃=1时，亦满足，・••斯=6〃-5(〃CN*).

首项为=1,an—an-i=6n—5—[6(〃-1)—5]=6(常数)(〃CN*),

・・・数列｛斯｝成等差数列且〃1=1,公差为6.

(2):工，1,工成等差数列，

abc

711

———+—化简得2ac=b(a~\-c).

bac

b+cia+bbc+c2+a2+abb(a+c)+a2+c2(tz+c)2(a+c/一？.a+c

acacacac伙〃+c)b

2

••・比，士，一也成等差数列.

abc

18.解：(1)由题设2的=〃1+〃2，即2〃iq2=a]+〃]q,

TaiWO,・・・2/一夕一1=0,

'.q=\或一，.

2

〃(“一1)n2+3n

(2)右q=l,则S〃=2〃T

22

(〃一1)(几+2)

当〃22时，Sn—b〃=S〃-i=>0,故当>。〃.