高中数学椭圆的简单几何性质教案

课题：8.2椭圆的简浩儿佝像展（一）

教学目的：

1.娴熟驾驭椭圆的范围，对称性，顶点等简洁几何性质.

2.驾驭标准方程中“也。的几何意义，以与“力,c,e的相互关系.

3.理解、驾驭坐标法中依据曲线的方程探讨曲线的几何性质的一般方法.

教学重点：椭圆的几何性质

教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程探讨几何性质

授课类型：新授课.

课时支配：1课时.

教具：多媒体、实物投影仪.

内容分析：

依据曲线的方程，探讨曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几

何的基本问题之一，依据曲线的条件列出方程，假如说是解析几何的手段，则

依据曲线的方程探讨它的性质、画图就是解析几何的目的.怎样用代数的方法

来探讨曲线原性质呢？本节内容为系统地依据方程来探讨曲线的几何性质供应

了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有特别重要的地位.

通过本节的学习，使学生驾驭应从哪些方面来探讨一般曲线的几何性质，从

而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的

基本思想有更深的了解.通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的相

识，提高画图实力；通过几何性质的简洁的应用，了解到如何应用几何性质去

解决实际问题，提高学生用数学学问解决实际问题的实力.

本节内容的重点是椭圆的几何性质一一范围、对称性、顶点、离心率、准线

方程；依据方程探讨曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是

椭圆的离心率、准线方程与椭圆的其次定义的理解，关键是驾驭椭圆的标准方

程与椭圆图形的对应关系，理解关驾驭两种椭圆的定义的等价性.

依据教学大纲的支配，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时安排

作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画

法；其次课时，椭圆的其次定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与

椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程与应用.

教学过程：

一、复习引入：

1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距

离）的动点的轨迹.

2222

2.标准方程：二+鼻=1,4+二=1（«>b>0）

abab-

3.问题：

（1）椭圆曲线的几何意义是什么？

（2）“范围"是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的

标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？

（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？

（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、

短轴长各是多少？a,b,c的几何意义各是什么？

（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个

范围内，它的改变对椭圆有什么影响？

（6）画椭圆草图的方法是怎样的？

二、讲解新课:

由椭圆方程，探讨椭圆的性质.(利用方程探讨，说明结论

与由图形视察一样)

⑴范围:

从标准方程得出《41,即有--匕4丫4"可知椭圆落在

cTb

x=±a,y=±Z＞组成的矩形中.

⑵对称性：

把方程中的x换成-X方程不变，图象关于y轴对称.y换成-y方程不变，

图象关于x轴对称.把羽y同时换成-x,-y方程也不变，图象关于原点对称.

假如曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的随意两

种，则它肯定具有第三种对称.

原点叫椭圆的对称中心，简称中心.x轴、y轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的

方程中干脆可以看出它的范围，对称的截距.

(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点.

在椭圆—y+jy=1的方程里，令y=0得x=±q,因此椭圆和x轴有两个交点

ab

22

A(-a,0),A,(a,0),它们是椭圆—了+5-=1的顶点.

'a"b'

令x=0,得y=±b,因此椭圆和y轴有两个交8(0,-垃鱼(0力)，它们也

22

是椭圆二+二=1的顶点.因此椭圆共有四个顶点：A(-a,O),A,(a,O),

ab'

B(0,4),/(0,b).

加两焦点耳(-c,0),工(c,0)共有六个特别点.

A4叫椭圆的长轴，与鱼叫椭圆的短轴.长分别为2a,2b

,6分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴

的交点.

至此我们从椭圆的方程中干脆可

以看出它的范围，对称性，顶点.因而

只需少量描点就可以较正确的作图了.

(4)离心率：

发觉长轴相等，短轴不同，扁圆程

度不同.

这种扁平性质由什么来确定呢?

概念：椭圆焦距与长轴长之比.

定义式：e=£=e

a

范围：0<e<l.

e->l,c->4,椭圆变扁，直至成为极限

位置线段FR，此时也可认为圆为椭圆在e=1时的特例.

三、讲解范例:

例1求椭圆16/+25尸=物)的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,

并用描点法画出它的图形.

解：把已知方程化成标准方程

所以，a=5,〉=4,c=后-4.=3,

因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2〃=10,力=8,离心率

e=£=。，两个焦点分别为月(-3,0),尸,(3,0),椭圆的四个顶点是

a5

A(-5,0),4(5,0),B(0,-4),层(0,4).

将已知方程变形为y=±1后二7,依据y=1疡二声，在04x45的范

围内算出几个点的坐标(x,y)：

X012345

y43.93.73.22.40

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆:

例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：

丫2”2

(1)—+^-=1⑵I4=i

2516

答：简图如下:

例3分别在两个坐标系中,画出以下椭圆的简图:

22

(1)三+汇=1(2)二+二1

944936

答：简图如下：.

四、课堂练习:

1.已知椭圆的一个焦点将长轴分为6：及两段，求其离心率.

解：由题意，(a+c):(q-c)=百：即匕=*•，解得e=5-276.

l-eV2

2.如图，求椭圆，+==1,(a>b>0)内接正方形的面积.

a-b-

解由椭圆和正方形的中心对称性知，正

方形的面积是所求正方形面积的1/4,且B

点横纵坐标相等，故设B