2025年天津八十二中中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年天津八十二中中考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）计算（﹣1）﹣（﹣5）的结果是（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣62．（3分）如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）A． B． C． D．3．（3分）估计的值在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中（）A． B． C． D．5．（3分）2024年政府工作报告中指出：2024年城镇新增就业将达12000000人以上，将数据12000000用科学记数法表示应为（）A．0.12×108 B．1.2×107 C．12×106 D．120×1056．（3分）的值等于（）A． B． C． D．27．（3分）计算的结果等于（）A． B． C． D．8．（3分）若点A（x1，6），B（x2，12），C（x3，﹣6）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系（）A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x29．（3分）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，总容量为3斛；大容器1个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛（）A． B． C． D．10．（3分）已知▱ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）A．∠DAE＝∠BAE B．∠DEA＝∠DAB C．DE＝BE D．BC＝DE11．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，E，且点D在AC边上，点B，D，连接CE，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AE B．BC∥AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝DE12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从A，同时停止运动，出发时间为t（t＞0，单位：s）①△PBQ面积的最大值为25cm2．②出发时间t有两个不同的值满足△PBQ的面积为9cm2．③PQ的长可以是8cm．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13．（3分）不透明袋子中装有8个球，其中有5个红球、2个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，则它是白球的概率是．14．（3分）计算a5•（﹣a）3的结果等于．15．（3分）计算：的结果等于．16．（3分）若一次函数y＝（m﹣3）x+3中，y随x的增大而增大（写出一个即可）．17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，，∠AEF＝90°．（Ⅰ）CF的长为；（Ⅱ）若M为AF的中点，连接DM，则DM的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A（Ⅰ）线段AB的长等于．（Ⅱ）若点M，N分别在圆上，满足∠MAN＝90°且AM＝AN．请用无刻度的直尺，画出点M，N，并简要说明点M（不要求证明）．三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为．20．（8分）某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中的m值为：此次抽样随机抽取了口罩枚；（Ⅱ）求统计的这些数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有多少枚？21．（10分）在⊙O中，直径BD垂直于弦AC，垂足为E，BC，CD（Ⅰ）如图①，若∠ABC＝110°，求∠BAE和∠CAD的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F．若AC＝AD，BF＝222．（10分）和平女神塑像是天津意大利风情区马可波罗广场的标志性建筑．如图，在一次数学综合性实践活动中，小明为测量雕像AB的高度，从点C处测得雕像顶端A的仰角为31°，然后沿射线DB方向前进7米到达点F处，点A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到0.1）参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，sin43°≈0.68，cos43°≈0.7323．（10分）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，张强从宿舍出发跑步去体育场，在体育场锻炼一阵后又到文具店买笔（单位：km）与时间x（单位：min）之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min1103055张强离宿舍的距离/km1.2②填空：张强从文具店回到家的平均速度为km/min；③当40≤x≤60时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；（Ⅱ）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.08km/min（直接写出结果即可）24．（10分）如图1，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点（0，6），点D在边OC上（点D不与点O，C重合），折叠该纸片，并与直线AB相交于点F，且∠CDF＝60°（Ⅰ）如图2，当折痕经过点B时，求t的值和点C′的坐标；（Ⅱ）若折叠后的图形为四边形，点B的对应点为B′，B′C′与AB边相交于点G，B′C′分别与x轴相交于点H，I．设折叠后四边形DFB′C′与矩形OABC重合部分的面积为S．①如图3，当折叠后四边形DFB′C′与矩形OABC重合部分为五边形时，试用含有t的式子表示S；②当时，直接写出S的取值范围．25．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），过抛物线的顶点D作DM⊥x轴于点M，点N在y轴正半轴上，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交直线MN于点F．（Ⅰ）若a＝﹣1，c＝3．①求抛物线顶点D和点A的坐标；②若点P在第一象限，过点P作PH垂直直线MN于点H，PH＝；（Ⅱ）若c＝﹣3a，（a＜﹣1），点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线PC交直线MN于点GMF＝7时，求顶点D的坐标．

2025年天津八十二中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BDBABCDAACD题号12答案B一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）计算（﹣1）﹣（﹣5）的结果是（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6【分析】根据有理数的减法法则计算即可．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【解答】解：（﹣1）﹣（﹣5）＝﹣7+5＝4．故选：B．2．（3分）如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）A． B． C． D．【分析】画出这个组合体的俯视图即可．【解答】解：这个组合体的俯视图为故选：D．3．（3分）估计的值在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【分析】先估算无理数的大小，从而求出答案即可．【解答】解：∵，即，∴的值在5和6之间，故选：B．4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：A．5．（3分）2024年政府工作报告中指出：2024年城镇新增就业将达12000000人以上，将数据12000000用科学记数法表示应为（）A．0.12×108 B．1.2×107 C．12×106 D．120×105【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答】解：12000000＝1.2×106．故选：B．6．（3分）的值等于（）A． B． C． D．2【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝2×+＝+＝2，故选：C．7．（3分）计算的结果等于（）A． B． C． D．【分析】首先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算即可．【解答】解：＝﹣＝．故选：D．8．（3分）若点A（x1，6），B（x2，12），C（x3，﹣6）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系（）A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．【解答】解：∵反比例函数中k＝6＞5，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，y随x的增大而减小．∵点A（x1，6），B（x3，12），C（x3，﹣6）都在反比例函数的图象上，∴x3＜x2＜x7，故选：A．9．（3分）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，总容量为3斛；大容器1个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛（）A． B． C． D．【分析】设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．【解答】解：设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，根据题意得：，故选：A．10．（3分）已知▱ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）A．∠DAE＝∠BAE B．∠DEA＝∠DAB C．DE＝BE D．BC＝DE【分析】根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、由作法可知AE平分∠DAB，故本选项不符合题意；B、∵CD∥AB∠DAB；C、无法证明DE＝BE；D、∵∠DAE＝∠DEA，∵AD＝BC，故本选项不符合题意．故选：C．11．（3分）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，E，且点D在AC边上，点B，D，连接CE，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AE B．BC∥AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝DE【分析】根据旋转的性质得到AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，∠ACB＝∠AED，则可对A选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ADB＝∠ACE，则利用∠ADB＝∠EDC得到∠EDC＝∠ACE，从而可对D选项进行判断；由于∠ADE＝∠BDC，而∠BAC与∠ACB不一定相等，所以∠ACB与∠CAE不一定相等，根据平行线的判定方法可对B选项进行判断；根据三角形外角性质得到∠ADE＞∠ACE，从而可对C选项进行判断．【解答】解：∵△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED；∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）（180°﹣∠CAE），∴∠ADB＝∠ACE，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠EDC＝∠ACE，∴ED＝EC，所以D选项符合题意；∵∠ADE＝∠BDC，∵∠BAC与∠ACB不一定相等，∴∠ACB与∠CAE不一定相等，∴BC与AE不一定平行，所以B选项不符合题意；∵∠ADE＞∠ACE，∴C选项不符合题意．故选：D．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从A，同时停止运动，出发时间为t（t＞0，单位：s）①△PBQ面积的最大值为25cm2．②出发时间t有两个不同的值满足△PBQ的面积为9cm2．③PQ的长可以是8cm．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，则S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，再由二次函数的性质即可判断①；由三角形面积公式得S△PBQ＝﹣t2+10t，再根据△PBQ的面积为9cm2，列出一元二次方程，解方程即可判断②；利用勾股定理求得PQ＝≥＞8，即可判断③．【解答】解：由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，∴S△PBQ＝BP•BQ＝5+10t）（cm2），∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣2）2+25，∵﹣2＜4，∴当t＝5时，△PBQ的面积有最大值为25；令S△PBQ＝9，则﹣t2+10t＝9，即t2﹣10t+4＝0，解得t＝1或7，∵t＝9时，BQ＞BC，故②错误；∵BQ＝2tcm，BP＝（10﹣t）cm，∴PQ＝＝＝≥＞8，∴PQ的长不可以是5cm．故③错误；故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13．（3分）不透明袋子中装有8个球，其中有5个红球、2个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，则它是白球的概率是．【分析】根据白球数量和总数，得出概率即可．【解答】解：P（白球）＝，故答案为：．14．（3分）计算a5•（﹣a）3的结果等于﹣a8．【分析】利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：a5•（﹣a）3＝a7•（﹣a3）＝﹣a8．故答案为：﹣a2．15．（3分）计算：的结果等于﹣5．【分析】先根据平方差公式进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可．【解答】解：＝（）2﹣（）2＝4﹣11＝﹣5．故答案为：﹣5．16．（3分）若一次函数y＝（m﹣3）x+3中，y随x的增大而增大4（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】根据一次函数的性质得m﹣3＞0，然后在此范围内取一个m的值即可．【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x+3中，y随x的增大而增大，∴m﹣4＞0，∴m＞3．∴m可以取7．故答案为：4（答案不唯一）．17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，，∠AEF＝90°．（Ⅰ）CF的长为；（Ⅱ）若M为AF的中点，连接DM，则DM的长为．【分析】（Ⅰ）过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质求得FG，再利用勾股定理解答即可；（Ⅱ）过点M作MH⊥BC于点H，延长HM交AD于点K，利用梯形的中位线定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．【解答】解：（Ⅰ）过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，∵△AEF为等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠BEA+∠FEG＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠FEG．在△BAE和△GEF中，，∴△BAE≌△GEF（AAS），∴BE＝FG＝，AB＝EG＝4，∴BE+EC＝EC+CG，∴BE＝CG＝．∵FG⊥BC，∴FC＝＝．故答案为：；（Ⅱ）过点M作MH⊥BC于点H，延长HM交AD于点K，∵AB⊥BC，MH⊥BC，∴AB∥MH∥FG，∵M为AF的中点，∴MH为梯形ABGF的中位线，∴MH＝（AB+FG）＝BG＝．∵∠DAB＝∠B＝90°，MH⊥BC，∴四边形ABHK为矩形，∴AK＝BH＝，HK＝AB＝4，∴MK＝HK﹣MH＝，DK＝AD﹣AK＝．∵∠MKD＝90°，∴DM＝＝．故答案为：．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A（Ⅰ）线段AB的长等于．（Ⅱ）若点M，N分别在圆上，满足∠MAN＝90°且AM＝AN．请用无刻度的直尺，画出点M，N，并简要说明点M（不要求证明）构造正方形AEBF，BE交圆于点M，延长BF交圆于点N，连接AM，BN即可．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；（Ⅱ）构造正方形AEBF，BE交圆于点M，延长BF交圆于点N，连接AM，BN即可．【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝．故答案为：；（Ⅱ）如图，点M．步骤：构造正方形AEBF，BE交圆于点M，连接AM．可以证明△AEM≌△AFN（AAS），推出AM＝AN．故答案为：构造正方形AEFBF，BE交圆于点M，连接AM．三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1，故答案为：x≥﹣2，x≤4．20．（8分）某药店有3000枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中的m值为28：此次抽样随机抽取了口罩50枚；（Ⅱ）求统计的这些数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有多少枚？【分析】（Ⅰ）根据百分比之和为1求解可得m的值，由1.0元的口罩数量及其所占百分比可得抽取的数量；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；（Ⅲ）总数量乘以样本中价格为1.8元的口罩数量所占百分比即可．【解答】解：（Ⅰ）图①中的m值为100﹣（10+8+32+22）＝28，此次抽样随机抽取了口罩5÷10%＝50（枚），故答案为：28、50；（Ⅱ）平均数为×（1×5+6.2×11+1.6×14+1.8×16+8×4）＝1.52（元），众数为5.8，中位数为；（Ⅲ）3000×32%＝960（枚），答：估计这3000枚口罩中，价格为1.8元的口罩约有960枚．21．（10分）在⊙O中，直径BD垂直于弦AC，垂足为E，BC，CD（Ⅰ）如图①，若∠ABC＝110°，求∠BAE和∠CAD的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F．若AC＝AD，BF＝2【分析】（1）先利用垂径定理得到＝，再根据圆周角定理得到∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝55°，所以∠CAD＝∠CBD＝55°，然后利用BD为直径得到BAD＝90°，则利用互余可计算∠BAE的度数；（Ⅱ）连接OC，如图②，利用垂径定理得到AE＝CE，则BD垂直平分AC，所以DA＝DC，于是可判断△ACD是等边三角形得到∠ADC＝∠CAD＝60°，根据圆周角定理得到∠FBC＝∠ADC＝60°，∠CBD＝∠CAD＝60°，接着证明△BOC是等边三角形得到BC＝OC，∠BCO＝60°，然后根据切线的性质得到∠FCO＝90°，所以∠FCB＝30°，则∠F＝90°，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出BC即可．【解答】解：（Ⅰ）∵直径BD⊥AC于E点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝，∴∠CAD＝∠CBD＝55°，∵BD为直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠CAD＝90°﹣55°＝35°；（Ⅱ）连接OC，如图②，∵BD⊥AC，∴AE＝CE，即BD垂直平分AC，∴DA＝DC，又∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠CAD＝60°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∠CBD＝∠CAD＝60°，又∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OC，∠BCO＝60°．∵FC切⊙O于点C，∴OC⊥FC，∴∠FCO＝90°，∴∠FCB＝90°﹣∠BCO＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180﹣60°﹣30°＝90°，∴BC＝2BF＝2．∴OC＝BC＝4，即⊙O半径为4．22．（10分）和平女神塑像是天津意大利风情区马可波罗广场的标志性建筑．如图，在一次数学综合性实践活动中，小明为测量雕像AB的高度，从点C处测得雕像顶端A的仰角为31°，然后沿射线DB方向前进7米到达点F处，点A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到0.1）参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73【分析】过点C作CG⊥AB于点G，设AG＝x米，解Rt△ACG求出CG，得出EG，再解Rt△AEG求出AG的长，即可解决问题．【解答】解：过点C作CG⊥AB于点G，如图所示：由题意知，∠ACG＝31°，CE＝DF＝7米，设AG＝x米，在Rt△ACG中，tan31°＝＝，∴CG＝，∴EG＝CG﹣CE＝﹣8，在Rt△AEG中，tan43°＝＝，∴EG＝，∴﹣7＝，解得：x≈11.84（米），∴AB＝AG+BG＝11.84+5.6＝13.44≈13.4（米）．答：信号塔的高度AB约为13.5米．23．（10分）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，张强从宿舍出发跑步去体育场，在体育场锻炼一阵后又到文具店买笔（单位：km）与时间x（单位：min）之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min1103055张强离宿舍的距离/km0.121.21.20.6②填空：张强从文具店回到家的平均速度为0.03km/min；③当40≤x≤60时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；（Ⅱ）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.08km/min（直接写出结果即可）【分析】（Ⅰ）①根据“速度＝路程÷时间”求出张强从宿舍出发跑步去体育场过程中的速度，再根据“路程＝速度×时间”求出他离开宿舍1min时离开宿舍的距离；根据函数图象，x＝30和x＝55分别对应的y的值即为所求；②根据“速度＝路程÷时间”作答即可；③当40≤x≤50时，利用待定系数法求出y关于时间x的函数解析式；当50＜x≤60时，y＝0.6；将它们写成分段函数的形式即可；（Ⅱ）根据题意，求出李明何时从体育场出发匀速步行直接回宿舍；根据“时间＝路程÷速度”求出李明何时从体育场到达宿舍；据此作出李明从体育场回宿舍的过程中离宿舍的距离y关于时间x的函数图象，利用待定系数法分别求出当60≤x≤80时张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式和当55≤x≤70时李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式，求出两函数图象交点的纵坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）①张强从宿舍出发跑步去体育场过程中的速度为1.2÷10＝3.12（km/min），则张强离开宿舍1min时离开宿舍的距离为0.12×6＝0.12（km）；当x＝30时，y＝1.6，y＝0.6．故答案为：3.12，1.2．②张强从文具店回到宿舍的平均速度为2.6÷（80﹣60）＝0.03（km/min）．故答案为：2.03．③当40≤x≤50时，设y关于时间x的函数解析式为y＝kx+b（k，且k≠0）．将坐标（40，1.3）和（50，得，解得，∴y＝﹣0.06x+7.6；当50＜x≤60时，y＝0.8．综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y＝．（Ⅱ）40+15＝55（min），即当x＝55时李明从体育场出发匀速步行直接回宿舍；李明从体育场到宿舍所用的时间为3.2÷0.08＝15（min），55+15＝70（min），即当x＝70时李明从体育场到达宿舍，∴李明从体育场回宿舍的过程中离宿舍的距离y关于时间x的函数图象如图所示：当60≤x≤80时，设张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y＝k5x+b1（k1、b6为常数，且k1≠0）．将坐标（60，8.6）和（801x+b4，得，解得，∴y＝﹣0.03x+2.7；当55≤x≤70时，设李明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y＝k2x+b2（k4、b2为常数，且k2≠7）．将坐标（55，1.2）和（705x+b2，得，解得，∴y＝﹣0.08x+3.6．当李明在回宿舍的途中遇到张强时，得，解得，∴他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是8.48km．24．（10分）如图1，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点（0，6），点D在边OC上（点D不与点O，C重合），折叠该纸片，并与直线AB相交于点F，且∠CDF＝60°（Ⅰ）如图2，当折痕经过点B时，求t的值和点C′的坐标；（Ⅱ）若折叠后的图形为四边形，点B的对应点为B′，B′C′与AB边相交于点G，B′C′分别与x轴相交于点H，I．设折叠后四边形DFB′C′与矩形OABC重合部分的面积为S．①如图3，当折叠后四边形DFB′C′与矩形OABC重合部分为五边形时，试用含有t的式子表示S；②当时，直接写出S的取值范围．【分析】（Ⅰ）在Rt△BCD中，利用正切定义求出CD即可，过C作C′H⊥OC于H，在Rt△HC′D中，利用余弦定义求出DH，利用勾股定理求出CH，即可求解；（Ⅱ）①解直角三角形，分别用l表示出OH，FG，AG，AI，然后S＝S梯形DOAF﹣S△ODH﹣S△AGI求解即可；②分7＜t≤4；4＜t＜5；5≤t＜三种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得∠CDB＝60°，∵矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，点，点C（0，∴，∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝∠BC＝90°，在Rt△BCD中，t＝＝，过C作CH⊥OC于H，如图2，由折叠的性质得C′D＝CD＝6，∠BDC＝∠BD′C＝60°，∴∠HDC′＝60°，在Rt△HC′D中，DH＝C′D•cos∠C′DH＝3×cos60°＝，∴C′H＝＝，OH＝OC﹣CD﹣DH＝，∴点C′的坐标为（，）；（Ⅱ）①过F作FK⊥OC于K，则四边形AOKF，CKFB都是矩形，∴FK＝OA＝3，在Rt△DFK中，DK＝＝，∴CK＝BF＝t﹣3，∵OC∥AB，∴∠BFD＝180°﹣∠CDF＝120°，∠DFG＝∠CDF＝60°，由折叠的性质得DC＝DC′＝t，B′F＝BF＝t﹣8，∴∠B'FG＝60°，∴∠B′GF＝∠AGT＝30°，在Rt△ODH中，OD＝6﹣t，∴OH＝OD•tan∠ODH＝，在Rt△B′FG中，BF＝t﹣3，∴FG＝＝2（t﹣3），∴AG＝AB﹣BF＝FG＝15﹣3t，B′G＝＝，在Rt△AGI中，AG＝15﹣3t，∴AT＝AG•tan∠AGI＝（15﹣3t），∴S＝S梯形DOAF﹣S△ODH﹣S△AGI＝（6﹣t+3﹣t+3）×﹣（7﹣t）﹣（15﹣3t）＝﹣7+18，∵折叠后BC′与AB边相交于点G，C′D，I，，∴4＜t＜5，∴S＝﹣2+18（5＜t＜5）；②当＜t≤4时，此时S＝S梯形BC'DF﹣S△BFG＝S梯形BCDF﹣S△B′FG＝（t﹣3+t）×3﹣（t﹣3）＝+6＝（t﹣6）2+7，当t＜6时，S随t的增大而增大，∴当时，S有最小值为，当t＝4时，S有最大值为7，当4＜t＜5时，S＝﹣4t﹣33+，∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，∵4＜t＜4，∴当时，∵＝，5﹣＝，当t＝3或t＝5时，S有最小值为当时，如图2，此时S＝S梯形DOAF﹣S△ODH＝（6﹣t+6﹣t+3）×7﹣（6﹣t）＝+6＝+2，当t＞3时，S随的增大而减少，∴当t＝7时，S有最大值为，当t＝时，S有最小值为