小学奥数教程-加乘原理教师手册

7-3-1.加乘原理之综合运用

目隔

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.

3.让学生懂得并运用加法、荚法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题.

在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分

步.并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合.

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中

的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加

法原理来解决.

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方

法.要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决.

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的

不司方法数等于各类方法数之和.

⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘

积.

⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原

理，综合分析，正确作出分类和分步.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问

题可以使用加法原理解决.我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不

可的，这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.

【例1】商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：苹果味、梨味、橙味.小明想买一些糖

送给他的小朋友.

⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？

⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各I种，他有几种选法？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答

【解析】⑴小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从2种巧克力糖中选一种

有2种办法；第二类是从3种水果糖中选一种，有3种办法.因此，小明有2+3=5种选糖的方法.

⑵小明完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，因此有3x2=6种方法.

【答案】(D5(2)6

【例2】从2,3,5,7,11这五个数中，任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分母，这样的分数有

________个，其中的真分数有________________个。

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，二试，第7题

【解析】第一问要用乘法原理，当分子有5种可能时，分母有4种可能，即5x4=20种，所以这样的分数有

20个。第二问中，分母为3的真分数有1个，分母为5的真分数有2个，分母为7的真分数有3

个，分母为11的真分数有4个，所以真分数共有1+2+3+4=10个。

【答案】10个

【例3］从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上

海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车.问，从北京到广州一共

有多少种交通方式供选择？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答

【解析】从北京转道上海到广州一共有3x3=9种方法，从北京转道武汉到广州一共也有3x3=9种方法供选

择，从北京直接去广州有2种方法，所以一共有9+9+2=20种方法.

【答案】20

【例4】从学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学校到张老师

家有3条路可走，那么从学校到张老师家共有多少种走法？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答

【解析】根据乘法原理，经过王明家到张老师家的走法一共有3x2=6种方法，从学校直接去张老师家

一共有3条路可走，根据加法原理，一共有6+3=9种走法.

【答案】9

【巩固】如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到

丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答

【解析】从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有4x2=8种

方法，；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有3x3=9种方法.根据加法原理，一共有8+9=17

种走法.

【答案】17

【巩固】王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京.他从重

庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图.那么王老师从重

庆到南京有多少种不同走法呢？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答

【解析】从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，根据乘法原理，有2x3=6（种）走法；

第二类不经过武汉，有2种走法.根据加法原理，从重庆到南京一共有2+6=8种不同走法.

【答案】8

［例5］某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往

返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】1、新站为起点，旧站为终点有3x7=21张，2、旧站为起点，新站为终点有7x3=21张，3、起点、

终点均为新站有3x2=6张，以上共有21+21+6=48张.

【答案】48

1例61如右图所示，每个小正三角形边长为1.小虫每步走过1.从A出发，走4步恰好回到A的路有

（）条.（途中不再回A）

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，四年级，初赛，第8题，五年级，初赛，第12题

【解析】因为第一、三步到的点一定是以A为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数：

【解析】总共有45种，分三类：

只有一种颜色的有：3种；

有两种颜色的有：3x8=24；

有3种颜色的有：6x3=18

所以共有：3+24+18=45（种）

【答案】45种

【例10】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，

那么共有多少种不同的选择？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答

【解析】因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学:3x4=12;来自语文、外语：

3x5=15;来自数学、外语：4x5=20;所以共有12+15+20=47.

【答案】47

【例11］过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件,其中姐姐的儿子小强想

从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件.那么妈妈送出

这5件礼物共有种方法.

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，中年级，决赛，7题

【解析】假如给小强的是智力拼图，则有2x5x4x3=120（种）方法.

假如给小强的是遥控汽车，则有1x5x4x3=60（种）方法.

总共有120+60=180（种）方法.

【答案】180种

［例12］某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成,现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都

会.从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】分两类情况讨论：

⑴都会的这1人被挑选中，则有：

①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种方法，再选2名电工也有3种方

法；所以有3x3=9种方法：

②同样，这人做电工，也有9种方法.

⑵都会的这一人没有被挑选，则从3名钳工中选2人，有3种方法；从3名电工中选2人，也有3

种方法，一共有3x3=9种方法.

所以，根据加法原理，一共有9+9+9=27种方法.

【答案】27

［例13］某信号兵用红，黄，蓝，球四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位量表示信号.每次可挂一

囿，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号.一共可以表示出多少种不同的信

号？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：

第一类第二类第三类

►►►

>►

I>

第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法；

第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第

二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法.根据乘法原理，共有4x3=12种表示法；

第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第

二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一

种，有2种选法.根据乘法原理，共有4x3x2=24种表示法.

根据加法原理，一共可以表示出4+12+24=40种不同的信号.

【答案】40

【巩固】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种

不同的信号？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】分3种情况：

⑴取出一面，有5种信号；

⑵取出两面：可以表示5x4=20种信号；

⑶取出三面：可以表示：5x4x3=60种信号；

由加法原理，一共可以表示：5+20+60=85种信号.

【答案】85

【例14】五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少

种不同的信号？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类

(D一种颜色：5种可能；

(2)两种颜色:(5x4)x3=6O

⑶三种颜色：5x4x3=60

所以，一共可以表示5+60+60=125种不同的信号

方法二：每一个位置都有5种颜色可选，所以共有5x5x5=125种.

【答案】125

【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2,2,3,3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一

种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】(一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类

第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能；

第二类，两种颜色：（4X3）X3=36

第三类，三种颜色：4x3x2=24

所以，根据加法原理，一共可以表示2+36+24=62种不同的信号.

（二）白棋打头的信号，后两面旗有4x4=16种情况.可以白棋不打头的信号有62-16=46种.

【答案】46

【例15】小红和小明举行象棋比赛按比赛规定，谁先胜头两局谁赢加果没有胜头两局，谁先胜三局谁赢.共

有种可能的情况.

【考点】加乘原理之综合运用【难度】1星【题型】解答

【关键词】清华附中

【解析】小红和小明如果有谁胜了头两局，则胜者嬴，此时共2种情况；如果没有人胜头两局，即头两局中

两人各胜一局，则最少再进行两局、最多再进行三局，必有一人胜三局，如果只需再进行两局，则

这两局的胜者为同一人，对此共有2x2=4种情况；如果还需进行三局，则后三局中有一人胜两局，

另一人只胜一局，且这一局不能为最后一局，只能为第三局或第四局，此时共有2x2x2=8种情况，

所以共有2+4+8=14和情况.

【答案】14

【例16］玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色・这家厂共可生产种

颜色不同的玩具棒.

【考点】加乘原理之综合运用【难度】4星【题型】解答

【解析】每节有3种涂法，共有涂法3x3x3x3=81（种）.但上述81种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因

为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次.

可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有

3x3xlxl=9（种）.故玩具棒最多有⑻+9）+2=45种不同的颜色.

【答案】45

【例17］奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由5个字母b、c、d、e组

成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母e不打头，⑵单词中每个字母。后边必然紧跟着字

母〃，⑶。和d不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】4星【题型】解答

【解析】分为三种：

第一种：有两个。的情况只有血曲1种

第二种，有一个〃的情况，又分3类

第一类，在第一个位置，则人在第二个位置，后边的排列有4x4=16种，减去c、d同时出现的两

种，总共有14种，

第二类，在第二个位置，则力在第三个位置，总共有3x4-2=10种.

第三类，在第三个位置，则力在第四个位置，总共有3x4-2=10种.

第三种，没有。的情况：

分别计算没有c的情况:2x3x3x3=54种.

没有d的情况：2x3x3x3=54种.

没有。、”的情况：Ix2x2x2=8种.

由容斥原理得到一共有54+54-8=100种.

所以，根据加法原理，一共有1+14+10+10+100=135种.

【答案】135

【例18】从6名运动员中选出4人参加4xl(X)接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：

⑴甲不能跑第一棒和第四棒；

⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】⑴先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下的

四人中随意选择2个人跑第二、第三棒，有4x3=12种，由乘法原理，共有：5x4x12=240种参赛

方案

⑵先不考虑甲乙的特殊要求，从6名队员中随意选择4人参赛，有6x5x4x3=360种选择.考虑若甲

跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应5x4x3=60种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应

5乂4乂3=60种选择，但是从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第

二棒的情况这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的4x3=12

种方案，所以，一共有360-60x2+12=252种不同参赛方案.

【答案】252

7-3-3加乘原理之图论

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.

3.让学生懂得并运用加法、荚法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题.

在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分

步.并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合.

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中

的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加

法原理来解决.

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方

法.要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决.

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的

不司方法数等于各类方法数之和.

⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘

积.

⑶在很多题目中，加法原埋和乘法原埋都不是单独出现的,这就需要我们能够熟绦的运用好这两大原

理，综合分析，正确作出分类和分步.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问

题可以使用加法原理解决,我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不

可的，这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.

〃毋1T目:

[例1915条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为

顶点能构成几个三角形？

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：5条直线一共形成5x4+2=10个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，每条直线上另

外有3个点，此外还有三个不共线的点，以这个点为顶点的三角形就有

3x3+3x3+3x3+3x2+个三角形，以10个点分别为定点的三角形一共有300个三角形，但

每个三角形被重复计算3次，所以一共有100个三角形.

方法二：只要三点不共线就能构成三角形，所以我们先求出10个点中取出3个点的种数，再减去3

点共线的情况.这10个点是由5条直线互相相交得到的，在每条直线上都有4个点存在共线的情

况，这4个点中任意三个都共线，所以一共有5x[4x3x2+(3x2xl)]=20个三点共线的情况，除此

以外再也没有3点共线的情况(用反证法可证明之)，

所以一共可以构成10x9x8+(3x2x1)-20=100种情况.

【答案】100

【例20]如图，有这样的两条线，请问从这5个点中任选三个点可以构成个不同的三角形.

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】填空

【解析】只要三点不共线，就能两成三角形。《-2=8个

【答案】8个

【例21】直线a,b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第6题

【解析】画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况:

⑴在。线上找一个点，有5种选取法，在匕线上找两个点，有4x3+2=6种

根据乘法原理，一共有：5x6=30个三角形；

⑵在〃线上找一个点，有4种选取法，在〃线上找两个点，有5x4+2=10种

根据乘法原理，一共有：4x10=40个三角形；

根据加法原理，一共可以画出：30+40-70个三角形.

【答案】70

【巩固】直线a,b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？

---•---•----b

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【解析】画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：

⑴在。线上找一个点，有4种选取法，在。线上找两个点，有1种，根据乘法原理，一共有：4x1=4

个三角形；

⑵在〃线上找一个点，有2种选取法，在。线上找两个点，有4x3+2=6种，根据乘法原理，一共有：

2x6=12个三角形；

根据加法原理，一共可以画出：4+12=16个三角形.

【答案】16

【巩固】直线a,b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【解析】画四边形需要在每条线上取2个点，

在。线上取2个点共有5x4+2=10种，

在〃线上取2个点共有4x3+2=6种，

根据乘法原理，一共可以画出6x10=60个四边形.

【答案】60

【巩固】三条平行线上分别有2,4,3个点（下图），已知在不同直线上的任意三个点都不共线.问：以这些

点为顶点可以画出多少个不同的三角形？

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】（方法一）本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况

⑴三个顶点在两条直线上，

一共有4x3+2x2+3x2+2x2+3x2+2x4+4x3+2x3+4+3=55个

⑵三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线，

所以一共有：2x4x3=24个

根据加法原理，一共可以画出55+24=79个三角形.

（方法二）9个点任取三个点有9x8x7+（3x2xl）=84种取法，其中三个点都在第二条直线上有4

种，都在第三条直线上有1种，所以一共可以画出84-4-1=79个三角形.

【答案】79

[例22]一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【解析】第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有7x6x5+（3x2xD=35种；

第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7x6+QxDx5=105种；

第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7x5x4+QxD=70种；

根据加法原理，一共可以画出35+105+70=210种.

【答案】210

【例23】在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：

由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果

圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）.

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取3个点，就可以画

出一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较

小的圆周上，则这三个点构成钝角三角形，这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点

之间仅相隔一个点，这样的三角形有10x1=10个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角

形有10x2=20个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10x3=30个，所以一共可

以画出10+20+30=60个钝角三角形.

【答案】60

【例24】从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字

之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出种不同的挑法来.（六个数字相同、排列次

序不同的都算同一种）

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶，因此，应从2,4,6,8中选3个数填入3个不相邻

的圆圈中，下面就按此分类列举：

⑴填入2,4,6,这时3丐9不能同时填入（否则总有一个丐6相邻，3I6或9（6能被3整除），没

有3,9的有1种：1,5,7,经试填，不成立；有3或9的，其它3个奇数1,7中选一个，5必

选，有2种选法，因此有2x2=4种.

⑵填入2,4,8,这时1,7不能填入（因为7+2,7+8,1+2,1+8都能被3整除），从其余3个

奇数中选出1个，有1种选法.

⑶填入2,6,8,这时1,7不能填入，故无法填.

⑷填入4,6,8，这时3与9只能任选一个，1与7也只能任选1个，第三个数是5,因而有2x2=4

种选法.

根据加法原理，总共有4+1+0+4=9种选法.

【答案】9

7-3-3.加乘原理之数字问题（二）

目混

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.

3.让学生懂得并运用加法、灵法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题.

在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分

步.并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合.

，国意

一、加乘原理概念

牛活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法,在具体做的时候，只要采用其中某一类中

的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加

法原理来解决.

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方

法.要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决.

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的

不司方法数等于各类方法数之和.

⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘

积.

⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原

理，综合分析，正确作出分类和分步.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问

题可以使用加法原埋解决.我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不

可的，这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.

画题睛进

【例25】用数字1,2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】将4个1看成一个整体，其余4个数有5种情况：4个2、3个2、2个2、1个2利没有2;

①4个2时，4个1可以有5种插法；

②3个2时，3个2和1个1共有4种排法，每一种排法有4种插法，共有4x4=16种；

③2个2时，2个2和2个1共有6种排法，每一种排法有3种插法，共有6x3=18种；

④1个2时，1个2和3个1共有4种排法，每一种排法有2种插法，共有4x2=8种;

⑤没有2时，只有1种；

所以，总共有：5+16+18+8+1=48个.

答：至少连续四位都是1的有48个.

【答案】48

【例26】七位数的各位数字之利为60，这样的七位数一共有多少个？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】七位数数字之和最多可以为9x7=63.63-60=3.七位数的可能数字组合为：

①9,9,9,9,9,9,6.

第一种情况只需要确定6的位置即可.所以有6种情况.

②9,9,9,9,9,8,7.

第二种情况只需要确定8和7的位置，数字即确定.8有7个位置，7有6个位置.所以第二种情

况可以组成的7位数有7x6=42个.

③9,9,9,9,8,8,8,

第三种情况，3个8的位置确定即7位数也确定.三个8的位置放置共有7x6x5=210种.

三个相同的8放置会产生3x2xl=6种重复的放置方式.

所以3个8和4个9组成的不同的七位数共有210+6=35种.

所以数字和为60的七位数共有35+42+7=84.

【答案】84

【例27］从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】2个数的和能被4整除，可以根据被4除的余数分为两类：

第一类：余数分别为0：0.1~40中能被4整除的数共有4（）+4=1（）（个），10个中选2个，有

10x9+2=45（种）取法；

第二类：余数分别为1,3.1~40中被4除余1，余3的数也分别都有10个，有10x10=100

（种）取法；

第三类：余数分别为2,2.同第一类，有45种取法.

根据加法原理，共有45+100+45=190（种）取法.

【答案】190

【例28】从1,3,5,7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的有

个。

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，二试，第9题

【解析】一个数能被3整除，它的各位数之和就能够被3整除，从1,3,5,7中任选3个数可以是1,3,

5;1,3,7;1,5,7;3,5,7o和能被3整除的有：1,3,5和3,5,7,共能组成3!=12

个数。

【答案】12个数

【例29】从1,234,5,6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数,那么共有种

不同的选取方法.

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级，初赛，5题

【解析】从1口6这些数中选取的数的和小于21,满足条件的和数有3、6、9、12、18、21

分别有2、4、5、5、2、1种选取方法，共2+4+5+5+2+1=19种选取方法.

【答案】19种

【例1】在1至300的全部自然数中，是3的倍数或5的倍数的数共有（）个。

4139B、140C、141D、142

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】选择

【关键词】华杯赛，五年级，初赛

【解•析】3的倍有100个，5的倍数有60个，既是3又是5的倍数有20个，则是3或者5的倍数的数共

有100+60-20=140个。

【答案】B

【例30］在1~1。这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有一种不同的

取法。

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，5年级，第7题

【解析】两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1,另一个除以

3余2。1~10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余

2的有3个数，各取1个有12种取法。所以共有取法3+12=15（种）。

【答案】15种

【巩固】从1到20中，最多能取个数，使任意两个数不是3倍关系。

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空

【解析】1和3共存，2和6不能共存，3和9不能共存，4和12不能共存，5和15不能共存，6和18不能共

存。要破坏这些组合，至少要去掉4个数，例如3,4,5,6

【答案】16个

【巩固】从1~25个自然数这25个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是4的倍数，共有

中不同的取法。

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题

【解析】1到25中，除以4,余数是1的数有7个，余数是2的数有6个，余数是3的数有6个，余数是0的数

有6个，所以共有6x7+6x5+2x2=72（种卜

【答案】72种

【例31】在1〜100的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】将1~100按照除以3的余数分为3类：第一类，余数为1的有1,4,7,…100,一共有34个；

第二类，余数为2的一共有33个；第三类，可以被3整除的一共有33个.取出两个不同的数其和

是3的倍数只有两种情况：第一种，从第一、二类中各取一个数，有34x33=1122种业法；第二种，

从第三类中取两个数，有33乂32+2=528种取法.根据加法原理，不同取法共有：1122+528=1650

种.

【答案】1650

【巩固】在1~10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取

法？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1,另一个除以

3余2.1~10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余

2的有3个数，各取1个有3x4=12种取法.根据加法原理，共有取法：3+12=15种.

【答案】15

【巩固】在1~1。这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】三个不同的数和为3的倍数有四种情况：三个数同余1,三个数同余2,三个数都被3整除，余1余

2余。的数各有1个，四类情况分别有4种、1种、1种、4x3x3=36种，所以一共有4+1+1+36=42

种.

【答案】42

【巩固】从7,8,9,…，76,77这71个数中，选取两个不同的数，使其和为3的倍数的选法总数是多少?

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】两个数和为3的倍数情况有两种：两个被3整除的数却是3的倍数，一个被3除余1的数和一个被

3除余2的数相加也能被3整除这71个数中被3整除，被3除余1,被3除余2的数分别有23、

24、24个，选取两个数只要是符合之前所说的两种情况就可以，，选取两个被3整除的数的方法有

23x22：QxD=253种，从被3除余1和被3除余2的数中各取1个的方法共有24x24=576种，

所以一共有253+576=829种选取方法.

【答案】829

【例32］从这些数中选取两个数，使其和被3除余1的选取方法有多少种？被3除余2的选取方法有多少种？

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答

【解析】两个数的和被3除余1的情况有两种：两个被3除余2的数相加，和一个被3整除的数和一个被3

除余1的数相加，所以选取方法有24x23+QxD+24x23=828种.

同样的也可以求出被3除余2的选取方法有24x23+Qx1)+24x23=828种.

【答案】828

［例33］1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选