小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全1

小学奥数根底教程（六年级）当两个分数的分母的最小公倍数比拟大.而分手的最小公

第1讲比拟分数的大小倍数比拟小时，可以把它们化成同分子的分数,再比拟大

第2讲巧求分数小，这种方法比通分的方法简便。

第3讲分数运算的技巧如果我们把课本里的通分称为“通分母"，那么这里

第4讲循环小数与分数讲的方法可以称为“通分子”。

第5讲工程问题（一）2.化为小数。

第6讲工程问题（二）这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

第7讲巧用单位“1”但在比拟大小时是否简便，就要看具体情况了。

第8讲比和比例3.先约分，后比拟。

第9讲百分数行时分数不是最简分数，可以先约分。

第10讲商业中的数学4.根据倒数比拟大小。

第11讲圆与扇形5.假设两个真分数的分母与分子的差相等、那么分母

第12讲圆柱与圆锥（广）大的分数较大；假设两个假分数的分与分母的差

第13讲立体图形（一）相等，那么分母（子）小的分数较大。也就是说，

第14讲立体图形（二）6.借助第三个数进行比拟。有以下几种情况：

第15讲棋盘的覆盖（1）对于分数m和n,假设m>k,k>n,那么m>n。

第16讲找规律（2）对于分数m和n,假设m-k>n-k,那么m>n。

第17讲操作问题前一.个差比拟小，所以mVn。

第18讲取整计算（3）对于分数m和n,假设k-m<k-n,那么mAn。

第19讲近似值与估算注意，（2）与（3）的差异在于，（2）中借助的数k小

第20讲数值代入法于原来的两个分数m和n：（3）中借助的数k大于原来的

第21讲枚举法两个分数m和n。

第22讲列表法（4）把两个分数的分母、分子分别相加，得到一个

第23讲图解法新分数。新分数一定介于两个分数之间，即比其中一个分

第24讲时钟问题数大，比另一个分数小。

第25讲时间问题利用这一点，当两个分数不容易比拟大小，新分数与

第26讲牛吃草问题其中一个分数容易比拟大小时，就可以借助于这个新分

第27讲运筹学初步（一）数。

第28讲运筹学初步（二）比拟分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中

第29讲运筹学初步（三）不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，

第30讲趣题巧解分子大的分数大：分子相同，分母小的分数大"这一根本

第一讲比拟分数的大小方法。

同学们从一开始接触数学，就有比拟数的大小问题。练习1

比拟整数、小数的大小的方法比拟简单，而比拟分数的大1.比拟以下各组分数的大小：

小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。小34—3236,.1715

⑴市于⑵而为⑶69167

对于两个不同的分数，有分母相同，分/相同以及分「、

分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法36616661g117207/八103217

⑷殛，丽；⑸标，砒；⑹和，丽°

是：

分母相同的两个分数，分子大的那个分数比拟大；答案与提示练习1

分子相同的两个分数，分母大的那个分数比拟小。第二讲巧求分数

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常我们经常会遇到•些分数的分子、分母发生变化的题

是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况,目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、

再比拟大小。减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新

由于要比拟的分数千差万别，所以通分的方法不一定分数，求加、减的数，或求原来的分数.这类题目变化很

是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。多，因此解法也不尽相同。

1.“通分子”。

分母应加8X2=16,

佛有一个分瓠分子加附蟒娟,分子潮可的简对,求这个分

例9将制分母聒0,要使分教的大小硕分子应触多少?

63

数。在例8中，分母应加的数是

分析：假设把这个分数的分子、分母调换位置.，原题在例9中，分子应加的数是

中的分母加、减1就变成分子加、减1,这样就可以用例由此.我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：

1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再分子应加（减）的数=分母所加（减）的数X原分数；

求倒数即可。分母应加（减）的数=分子所加（减）的数+原分数。

个分数。分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可

分析与解；因为加上和减去的数不同,所以不能用求平均以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解

数的方法求解。答。

,这个分数是多少？（2x+2）X3=（x+5]X4,

分析与解：如果把这个分数的分r与分母调换位置，6x+6=4x+20,

问题就变为:2x=14,

一个分数,它的分子加上3可约分为;，它的分子就去2股粉为（，x=7o

练习2

JW

这个分数是多少？是多少？

于是与例3类似，可以求出答案与提示练习2

在例I〜例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如5.5。解:（53+79）+（4+7）=12,a=53TX12=5。

果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？6.13。解：（67-22）+（16-7）=5,7X5-22=13.

腑分数物分子腿分聊上a,账擞静段启求自然解：设分子为x,根据分母可列方程

435第三讲分数运算的技巧

数a。对于分数的混合运算，除了掌握常规的囚那么运算法

分析与解：分子减去a,分母加上a,（约分前）分子与那么外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算

分母之和不变，等于29+43=72。约分后的分子与分母之和速度，解答较难的问题。

变为3+5=8,所以分子、分母约掉1.凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充

3X97

K0-Ff72-8=9,豹分前的分效是;777=不。由嫌出点29-27=2或分利用四那么运算法那么和运算律（如交换律、结合律、

）

5X94分配律），使局部的和、差、积、商成为整数、整十数……

45-43=2o从而使运党得到简化。

佛分群的分子腑,螂一个自就,新的分教舲雇，2.约分法

89/3.裂项法

求这个自然数。假设能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中

44

分析与解分数'的分子与分母的差是89-44=45,分子利相都减去间的分数相互抵消，那么能大大简化运算。

07例7在自然数1〜100中找出10个不同的数，使这

同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45,10个数的倒数的和等于1。

新分数约分后变分析与解：这道题看上去比拟复杂，耍求10个分子

例7一个分数的分子与分母之和是23,分母增加19为1,而分母不同的

后得到一个新分数，

獭丽孰吃队柞但题初胪!二=工"稿

把这个分数化为最简分数是最求原来的分数。

n户1n（n+l）

分子与分母的和是1+5=6,是由新分数的分子、分母同时就非常简单了。

除以42+6=7得到

分析与解：分子加10,等于分子增加了10-4-5=2（倍），

为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以

抨号.此题要求的是10个数的倒数和为1.干是做成：(2)中的分数都化成「纯循环小数.其分数的分母

没有质因数2和5。

16;)+(;-;)+(芸)+马+转)《-;)+(若)+转)

(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既

II1含有质因数2或5,又含有2和5以外的质因数，化成的

’910;10混循环小数中的不循环局部的位数与

111tl1I「1,1,1I

‘而.为+闲+扬+常布+丽・肃而+日分母帽有海中傕酸多抑教相用0to=5]X7,含秋个

11111111115,所以化成混循环小数中的不循环局部有两位。

261220304256729010于是我们得到结论：

所求的10个数是2,6,12,20,30,42,56,72,一个最简分数化为小数有三种情况；

90,10。(1)如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一

的10和30,仍是符合题意的解。定能化成有限小数，并且小数局部的位数等于分母中质因

4.代数法数2与5中个数较多的那个数的个数：

(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么

佛Q+5+5+z)xq+?+j+5)-a+Wz+5)x(5+?+N

这个分数一定能化成纯循环小数：

5.分组法(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5

11112222333以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并

例9份+寸彳+…+剂+(“工5+…+剂+(丁丁…+药)+…

且不循环局部的位数等于分母中质因数2与5中个数较多

1818、19

,1920，20的那个数的个数。

分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分例1判断以下分数中，哪些能化成有限小数、纯循环

数相加。分母为n的分数之和为小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数局部有几

原式中分母为2〜20的分数之和依次为位？能化成混循环小数的，不循环局部有几位？

练习3分析与解：上述分数都是最简分数，并且

8.在自然数1〜60中找出8个不同的数，使这8个数的32=*21=3X7,250=2X5*.78=2X3X13,

倒数之和等于10117=3叹13,850=2X52X17,

答案与提示练习3根据上面的结论，得到：

不循环局部有两位。

1.3.1

2.13-0将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，

4

同学们可能比拟熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将

8.2,6,8,12,20,30,42,56。循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环

9.5680。小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的

解：从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等方法。

于3的有2个，等于4的有3个人……一股地，分子与分1.将纯循环小数化成分数。

讨之和等于n的有(n-1)个。分子与分母之和小于9+99=108

的有1+2+3+…+106=5671(个)解：0.5X10=5.5,解：0.382X1000=382.382,

5671+9=5680(个)°

0.5=0.5o0.382=0.382。

第四讲循环小数与分数

任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，将上两式相减，得将上两式相减，得

或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环

小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样0.5X(10-1)=5,0.382X(1000-1)=382,

的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面

0.5X9=5,0.382X999=382,

的分数。

一c382

(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只0.332=—

有质因数2和5,化999

因为40=2叹5,含有3个2,1个5,所以化成的小数从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。

有三位。纯循环小数化成分数的方法：

分数的分子是一个循环节的数字组成的数.分母的各练习4

位数都是9,9的个数与循环节的位数相同。1.以下各式中哪些不正确？为什么？

/训n八\7-5719~4144162.划去小数0.27483619后面的假设干位，再添上表

例如：0.7=-,0.57=-=-,0.144=—=—,

示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，例如0.274836。

2.将混循环小数化成分数。请找出这样的小数中最大的与最小的。

3.将以下纯循环小数化成最简分数：

例40.18X100=18.8,

0.18X10=1.8。0.8,0.39,0.231,0.135。

机上两式相减，得018X(100-10)=18-1,4.将以下混循环小数化成最简分数：

0.18X90=17,0.28,0,315,0,225,0.517。

。185。

5.计算以下各式：

例50.257X1000=257.57,(1)0.253+0.513+0.413-0.180；

0.257X10=2.57(2)3.3x0,075；

籽上两式相减，得0257X(100C-10)=255,

(3)0.9168+0.4630。

0.257X990=255,答案与提示练习4

…「255171.(1)(3)(4)不正确。

0.257=——=­o

99066

2.最大是0.2碗,最小是。夕。

从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。

混循环小数化成分数的方法：,8*,13,"77・・5

3.0,8=-；0.39=-；0.231=—；0,135=-o

分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环93333337

节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所第五讲工程问题(一)

得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问

中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环局部题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，

的位数相同。....•17-1168也括行路、水管注水等许多内容。

例如0,17-=-=-.

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：

••136-11353

0.136工作量=工作效率x工作时间，

99099022'

工作时间=工作量+工作效率，

1745-17_1728_48

0.1745=9900=9900=275工作效率=工作量+工作时间。

掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一

进行循环小数的运算了。般用数1表示，也可

例6计算以下各式：以是部分工隹量,窗用分数表示儆I,工群)一半拆成;,工雌)三分

(1)0,291-0.192+0.375+0.526；

之-标*

(2)0.330X0.186.

工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干

291192-1375526-5

解:(1)原式999-990+999+990的工作量，单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，

291+375521-191也可以是时、分、秒等。

--------------+--------------

999990工作效率的单位是i个复合单位，表示成“工作量/天”，

66633021

■■+・，，=—+—=]或“工作量/时"等。但在不引起误会的情况下，一般不

99999033写工作效率的单位。

例I单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需

⑵原式嗡X186-1330X1855

959X990=81150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干

990

还需多少天？

分析与解，以全部「程量为单位U甲队单独干需100天,过多K•时间池内将积有半池水

年的工作效

分析界:嘘初防郸山1惭辔可使对取射值可使木

窣是焉;同理,沟的工做蟀是5。硼始干的工制摔是（，+

叫聊ffl,脚喝,淋龈惭池内魏

由“邛葬工惚朝琲聃”,5。郑工作量是

帐群解磅（；』所墉达骅昧碌

（，+，）X50」+3=±

'100150，2364J

例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全

策下的工作量是。-；）0日红作时间=工作量工工做蟀”，剩下的工

程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带

6

东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后

健由乙队干还需

多长时间两人相遇？

分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又

（1-6）'150=25（天）°

没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解

例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天答。甲出发5分钟后返回,路上耽误10分钟，再加上取

完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改

的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙

了多少天？先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？山此看出，

分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，这道题应该用工程问题的解法来解答。

后面的工作甲、乙两队合干需多少天？"这样一来，问题幅。-加力哧+%寸+=15（分）。

就简单多了。111

解：（1-石、18）+（前+京答：用再出发后15分钟两人相遇。

213练习5

=（1-彳）+彳=[X20=12（天）。

1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，

答:甲队干了12天。他们合干多少天才可完成工程的一半？

例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。

需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走甲队先干/6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙

了，结果一共用了6天完成这一工程,问：甲队实际工作队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作

了几天？的天数。

分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合

两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工挖12天后，剩下的乙队单独乂挖了24天挖完。这条水渠

作了由甲队单独挖需多少天？

例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做4叭乙二人擀若勒皖成则甲比助儒的加够;。若两人舒,

3。时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王

师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？那么完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵？

分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24

成需要的时间，天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相

遇。这段公路长多少米？

1，（1+高）=12（时）。

6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，

7030

单开乙管需24时注满。如果要求12时注满水池，那么甲、

秫随小用趾王搬的零件数,60-12=5Wo

乙两管至少要合开多长时间？

期求出就哪嬲5*（1-1）=300W•7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从卬地到乙地需

toVJU8时，比快车从

例5—水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5乙地狮地多吊的W跳加呆两车同时开出,那么棚M快车比|蚱多行

时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果

一开始是空池，翻开放水管1时后又制开排水管，那么再40T•米。求甲、乙两地的距离。

答案IJ提示练习例2一项丁程.甲、7,两队合作需6天完成,现在7.

1.3天。解:△+点）=3（天）。队先做7天，然后

么还要几天才能完成？

274天。皿11―分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，

解：U-^X（6+10）］+五J0=14（天）。

4836只知道他们合作

3.120天。们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转亿为“甲、乙

解：乙队的工作效率为（l・《X12）+24=1,合做4天,乙再单独

3040做3天”，这样，就可以把合作的工作效率!用上了。

0

日队单独挖需1+（%-而）=120（天）。

例3单独完成一件工作，甲按规定时间可馄前2天完

4.350棵。成，乙那么要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二

徐乙的工作蟀是甲苗,甲呜酬人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定

时间完成，问：甲、乙二人合做需多少天完成？

分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后

43

共有50+=350（棵）。乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，

即完成这件工作，乙需要的时间是甲的3位

V。

5.6000米。

,乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

解:7泌2十金・仙哈加6000的°

例4放满一个水池的水，假设同时翻开1,2,3号阀

门，那么20分钟可以完成：假设同时翻开2,3,4号阀

6.8时。门，那么21分钟可以完成；假设同时翻升1,3,4号阀

提示：甲管12时都开着,乙管开门，那么28分钟可以完成；假设同时翻开1,2,4号阀

门，那么30分钟可以完成。问：如果同时翻开1,2,3,

（1-记X12）—=8（时）。

1o乙r4号阀门，那么多少分钟可以完成？

7.280千米。分析与解：同时翻开1，2,3号阀门1分钟，再同时

船快车从次到甲跚8-（1+；）=6（时）。两辅牖翻开2,3,4号阀门1分钟，再同时翻开1,3,4号阀门

1分钟，再同时翻开1，2,4号阀门1分钟，这时，1,2,

1+（?+；）=?（时），3,4号阀门各翻开了3分钟，放水量等于一

例5某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成：

第六讲工程问题（二）由二、三、四小队合干，需要10天完成：由一、四小队

上一讲我们讲述的是工作效率的较笥单的工程问题。在合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、

较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，三、四、……的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工

这时，只要我们灵活运用根本的分析方法，问题也不难解程由哪个队最后完成？

决。分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队

例1一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20的工作效率之和是

天可完成：如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。d+4+J）+2=!’四个愀各干了6天即24天后,还剩下工程量的

如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？8101548

分析与解：此题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙1-^X6=!又因为一、二、三帆合千翻天，即一、二、三州烙干

的工作效率，我们先画出示意图：4ou

从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的1天完虹徵量的1所以工程由三小队最后完氏

工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于0

是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天"这一例6甲、乙、丙三人做一件工作，原方案按甲、乙、

条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工

（天）作的是乙，假设按乙、丙、甲的顺序轮流

用、乙合做这一工程，需用的时间为件工作，要用多少天才能完成？

分析与解，把甲、乙、丙二人每人做一天称为一轮.现在乙先比甲先要多用半天,所以甲先时.完成的天

在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以数一定是奇数，丁•是得到右上图，其中虚线左边的工作量

二种顺序前面假设干轮完成的工作量及用的天数都相同相同，右边的工作量也相同，说明乙做1天等于甲做半天，

（见以下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见以下图所以乙做17天等于甲做8.5天。

虚线右边）。第七讲巧用单位“1”

由最后一轮完成的工作量相同，得到在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许

练习6多分数应汨题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目

1.甲、乙二人同时开始加工一批零件,每人加工零件总数条件正确使用单位"I",能使解答的思路更清晰，方法

的一半。甲完成更简捷。

任务叫呢加工了45个零件,甲无,时乙完成了一卷团谢用件关分析.因为第一天、第二天都是与全书匕拟，所以应

以全书的页数为单位

有多少个？"巴如霜一天多都瓦那么正好看了笆5的!如果第二炒看3瓦

需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？14

加工一批零件，王师傅先做时李师傅再做时

3.612松陶金畤摊啊5+狐哪椭加

可完成，王师傅先做8时李师傅再做9时也可完成。现在

王师傅先做2时，剩下一的两人合做，还需要多少小时？

,觥琳口蝴巡

独修各需几天？

5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单答：这本故事书共有240页。

独灌满一池水依次需要10,12,15时。上午8点三个管分析与解：此题条件中单位“1”的量在变化，依次

同时翻开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌是“全书的页数”、”第一天看后余下的页数”、“第二

满。问：甲管在何时被关闭？天看后余下的页数"，出现了3个不同的单位“1"o按

6.单独完成某项工作，甲需9时，乙需12时。如果照常规思路，需要统一单位“1”,转化分率。但在此题

按照甲、乙、甲、乙、……的顺序轮流工作，每次1时，中，不统一单位“1"反而更方便。我们先把全书看成“1”,

那么完成这项工作需要多长时间？看成