2024-2025学年下学期高二数学人教A版同步经典题精练之正态分布

第24页（共24页）2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高二同步经典题精练之正态分布一．选择题（共5小题）1．（2024秋•保山期末）已知随机变量ξ～N（3，σ2）且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），则1x+4a-x（A．9 B．53 C．95 D2．（2025•昆明一模）某次测试成绩X～N（105，225），记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（）参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545．A．31.73% B．15.87% C．4.55% D．2.28%3．（2024秋•济南期末）已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当b＜x＜A．1+24 B．3+224 C．74．（2025•厦门模拟）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，则a＝（）A．﹣1 B．-12 C．0 D5．（2024秋•青岛校级期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm）服从正态分布N（200，σ2），且P（ξ≥220）＝0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在（180，220）的人数为X，则（）A．P（180＜ξ＜220）＝0.9 B．P（X≥1）＝0.488 C．E（X）＝2.4 D．D（X）＝0.16二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•安徽期末）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则下列结论正确的是（）A．若P（μ＜X＜μ+σ）＝m，则P(B．P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ） C．若μ＝σ，则P（X＞﹣σ）＝P（X＜2σ） D．2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）（多选）7．（2025•四川模拟）芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间（5.35，5.55），则下列说法正确的是（）（参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974）A．P（B）＞P（B|A） B．P(C．P（5.35＜ξ＜5.55）≈0.84 D．P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为54（多选）8．（2024秋•洛阳期末）设随机变量X～N（3，m），且P（2≤X＜5）＝0.6，则下列结论正确的有（）A．P（1≤X＜2）＜0.2 B．P（2≤X＜4）＜0.4 C．P（3≤X＜5）＜0.4 D．P（X≥5）＞0.25（多选）9．（2024秋•吉安期末）已知X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b）（a，b均为正数），则（）A．0＜ab≤1 B．4aC．|a﹣1|＞|b﹣1| D．a2+b2﹣ab≥1三．填空题（共3小题）10．（2024秋•丽水期末）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，则P（1＜X≤1.5）＝．11．（2024秋•日照期末）假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量X服从正态分布N（500，σ2），对于X≥502的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用Y表示这100包中质量X位于区间（498，502）的包数，则随机变量Y的方差是．12．（2025•武汉模拟）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[5.12，5.28]内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分析N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为．四．解答题（共3小题）13．（2024•江西模拟）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91．（1）计算样本平均数x和样本方差s2；（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数x和样本方差s2，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据：23附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．14．（2024•四川模拟）新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．15．（2025•仁寿县校级模拟）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．（1）若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；（2）设随机变量ξ服从二分布B（n，p），记η=ξ-npnp(1-p))，则当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N（0附：若η∼N（0，1），则P（η＜1.28）＝0.9，P（η＜1.645）＝0.95．

2024-2025学年下学期高中数学人教A版（2019）高二同步经典题精练之正态分布参考答案与试题解析题号12345答案CBBCC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•保山期末）已知随机变量ξ～N（3，σ2）且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），则1x+4a-x（A．9 B．53 C．95 D【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；运用“1”的代换构造基本不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】利用正态分布曲线的对称性可知a＝5，所以0＜x＜5，即5﹣x＞0，所以1x+45-x=15（1x+4【解答】解：因为随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），所以1+a2解得a＝5，因为0＜x＜5，所以5﹣x＞0，所以1x+45-x=15（1x+45-x）[x+当且仅当5-xx=4所以1x+4a-x（0＜故选：C．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于基础题．2．（2025•昆明一模）某次测试成绩X～N（105，225），记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（）参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545．A．31.73% B．15.87% C．4.55% D．2.28%【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据正态分布的对称性，结合题中参考数据，即可求得优秀率．【解答】解：因为测试成绩X～N（105，225），所以μ＝105，σ＝15，因为120＝105+15＝μ+σ，所以由正态分布性质得120分以上的概率为12故优秀率约为15.87%．故选：B．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．3．（2024秋•济南期末）已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当b＜x＜A．1+24 B．3+224 C．7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用正态曲线关于直线x＝2对称，得出a+2b＝4，即a﹣2x+2（x﹣b）＝4，再利用基本不等式，即可求出结果．【解答】解：因为随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），所以a-3即a﹣2b＝4，所以a﹣2x+2（x﹣b）＝4，因为b＜x＜a2，所以b＜x且则a﹣2x＞0，x﹣b＞0，所以1a当且仅当2(x所以1a-2故选：B．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．4．（2025•厦门模拟）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，则a＝（）A．﹣1 B．-12 C．0 D【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：因为X～N（1，σ2），P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，所以P（X≤a+2）＝P（X≤a）+P（a≤X≤a+2）＝0.3+0.4＝0.7，所以P（X≥a+2）＝1﹣0.7＝0.3，又因为P（X≤a）＝0.3，所以1=a解得a＝0．故选：C．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．5．（2024秋•青岛校级期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm）服从正态分布N（200，σ2），且P（ξ≥220）＝0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在（180，220）的人数为X，则（）A．P（180＜ξ＜220）＝0.9 B．P（X≥1）＝0.488 C．E（X）＝2.4 D．D（X）＝0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，ξ在（180，220）的概率为P（180＜ξ＜220）＝0.8，则X∼B（3，0.8），从而求得期望，方差及概率．【解答】解：对于A，因为ξ∼N（200，σ2），所以P（ξ≥220）＝P（ξ≤180）＝0.1，所以P（180＜ξ＜220）＝1﹣P（ξ≥220）﹣P（ξ≤180）＝0.8，故A错误；对于B，ξ在（180，220）的概率为P（180＜ξ＜220）＝0.8，则X∼B（3，0.8），所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣0.23＝1﹣0.008＝0.992，故B错误；对于C，由B知，X∼B（3，0.8），所以E（X）＝3×0.8＝2.4，故C正确；对于D，由B知，X∼B（3，0.8），所以D（X）＝3×0.8×（1﹣0.8）＝0.48，故D错误．故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点和二项分布的期望与方差，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•安徽期末）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则下列结论正确的是（）A．若P（μ＜X＜μ+σ）＝m，则P(B．P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ） C．若μ＝σ，则P（X＞﹣σ）＝P（X＜2σ） D．2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABD【分析】根据正态分布的对称轴，性质及特点可判断各选项正误．【解答】解：因为X～N（μ，σ2）（σ＞0），关于x＝μ对称，对于选项A，因为P（μ＜X＜μ+σ）＝m，则P（X＞μ﹣σ）＝P（μ＞X＞μ﹣σ）+P（X＞μ）=P(μ对于选项B，P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ）+P（μ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ）+P（μ＜X＜μ+3σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ），故B正确；对于选项C，因为μ＝σ，则P（X＞﹣σ）＝P（μ＞X＞﹣μ）+P（X＞μ），P（X＜2μ）＝P（2μ＞X＞μ）+P（X＜μ），则P（X＞﹣σ）＞P（X＜2σ），故C错误；对于选项D，因为X～N（μ，σ2）（σ＞0），所以P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）﹣2P（X＞μ﹣2σ）＝P（μ﹣2σ＞X＞μ﹣3σ）﹣P（μ﹣σ＞X＞μ﹣2σ），又因为P（μ﹣2σ＞X＞μ﹣3σ）＜P（μ﹣σ＞X＞μ﹣2σ），所以P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）﹣2P（X＞μ﹣2σ）＜0，即得2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ），故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．（多选）7．（2025•四川模拟）芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间（5.35，5.55），则下列说法正确的是（）（参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974）A．P（B）＞P（B|A） B．P(C．P（5.35＜ξ＜5.55）≈0.84 D．P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为54【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】A选项，由条件概率的定义进行判断；B选项，在A选项基础上，推出P（AB）＞P（A）P（B），结合P(AB)+P(C选项，利用正态分布的对称性和3σ原则得到答案；D选项，m∼B（M，0.84），P(m=45)=CM450.8445×0.16M-45，令f(x)=【解答】解：根据题意，A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），对于A选项，由条件概率的定义可知，P（B|A）＞P（B），A错误；对于B选项，因为P（B|A）＞P（B），所以P（A）P（B|A）＞P（A）P（B），其中P(B|A)=P(AB)P(A)又P(于是P(即P(即P(AB)[1-P(B)]＞P(所以P(AB)P(B)对于D选项，m∼B（M，0.84），P(设f(令f(解得x＜110421≈52.6，故f（53）＞令f(解得x＞3757=53+47，即f（所以P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为53，D错误；对于C选项，指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），故μ＝5.40，σ＝0.05，则μ﹣σ＝5.35，μ+3σ＝5.55，因为P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974，所以P(μ-故选：BC．【点评】本题考查正态分布曲线性质以及对立事件，条件概率相关知识，属于中档题．（多选）8．（2024秋•洛阳期末）设随机变量X～N（3，m），且P（2≤X＜5）＝0.6，则下列结论正确的有（）A．P（1≤X＜2）＜0.2 B．P（2≤X＜4）＜0.4 C．P（3≤X＜5）＜0.4 D．P（X≥5）＞0.25【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：不妨记P（2≤X＜3）＝t，则P（3≤X＜4）＝t，P（4≤X＜5）＝0.6﹣2t，由P（3≤X＜4）＞P（4≤X＜5）可知t＞0.2，对于A，P（1≤X＜2）＝P（4≤X＜5）＝0.6﹣2t＜0.2，故A正确；对于B，P（2≤X＜4）＝P（2≤X＜3）+P（3≤X＜4）＝2t＞0.4，故B错误；对于C，P（3≤X＜5）＝P（3≤X＜4）+P（4≤X＜5）＝0.6﹣t＜0.4，故C正确；对于D，P(X≥5)＜1-故选：AC．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．（多选）9．（2024秋•吉安期末）已知X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b）（a，b均为正数），则（）A．0＜ab≤1 B．4aC．|a﹣1|＞|b﹣1| D．a2+b2﹣ab≥1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】AD【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：∵随机变量X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b），由正态曲线的对称性，可得a+b＝2，对于选项A，∵a＞0，b＞0可得a+b≥2ab，可得2ab≤2，∴0＜ab≤1，当且仅当a对于选项B，由4a∵0＜ab≤1，∴41ab≥4，当且仅当a＝b＝1对于选项C，令a=12，b=32，则|a﹣1|＝|b﹣对于D，0＜ab≤1，且a+b＝2，则a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝4﹣3ab≥1，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，属于基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024秋•丽水期末）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，则P（1＜X≤1.5）＝0.38．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.38．【分析】根据正态分布的特点即可得到答案．【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，所以P（1＜X≤1.5）＝0.5﹣P（X＞1.5）＝0.5﹣0.12＝0.38．故答案为：0.38．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．11．（2024秋•日照期末）假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量X服从正态分布N（500，σ2），对于X≥502的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用Y表示这100包中质量X位于区间（498，502）的包数，则随机变量Y的方差是9．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】9．【分析】由正态分布曲线的对称性可得Y～B（100，0.9），再利用二项分布的方差公式求解．【解答】解：由题意可知，X～N（500，σ2），P（X≥502）＝0.05，所以P（498＜X＜502）＝1﹣2P（X≥502）＝1﹣2×0.05＝0.9，所以Y～B（100，0.9），所以DY＝100×0.9×（1﹣0.9）＝9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．12．（2025•武汉模拟）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[5.12，5.28]内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分析N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为840．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】840．【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：∵X～N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，∴P（5.12≤X≤5.28）＝1﹣2P（X＞5.28）＝1﹣2×0.08＝0.84，∴估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为1000×0.84＝840．故答案为：840．【点评】本题主要考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024•江西模拟）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91．（1）计算样本平均数x和样本方差s2；（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数x和样本方差s2，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据：23附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）x=84，s2＝（2）分数小于或等于80.54的为参与奖，分数大于80.54且小于或等于87.46的为二等奖，分数大于87.46且小于或等于90.92的为一等奖，分数大于90.92的为特等奖．【分析】（1）由平均数，方差的计算公式计算可得；（2）结合问题中给出的概率和正态分布的性质，确定各等级的分数线即可．【解答】解：（1）x=s2（2）该市所有参赛者的成绩X近似服从正态分布N（84，12），设竞赛成绩达到a以上为特等奖，成绩达到b以上但小于或等于a为一等奖，成绩达到c以上但小于或等于b为二等奖，成绩小于或等于c为参与奖，则P（X＞a）＝2.28%，P（b＜X≤a）＝13.59%，P（c＜X≤b）＝68.26%，P（X≤c）＝15.87%．因为1-P所以a≈μ+2σ≈90.92，因为P(所以b≈μ+σ≈87.46，因为P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，所以c≈μ﹣σ≈80.54，综上，分数小于或等于80.54的为参与奖，分数大于80.54且小于或等于87.46的为二等奖，分数大于87.46且小于或等于90.92的为一等奖，分数大于90.92的为特等奖．【点评】本题主要考查了平均数和方差的定义，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．14．（2024•四川模拟）新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）60；（2）①3274人；②不可信．【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；（2）①根据参考数据求得P（190≤X≤355），再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得P（X＞μ+3σ），估计成绩高于410分的人数，即可判断．【解答】解：（1）甲、乙两名学生必选语文、数学、外语．若另一门相同的为物理、历史中的一门，有C2在生物、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门，则有C42C22=6种，共若另一门相同的为生物、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有A2所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为12+48＝60．（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X∼N（245，552）．由题知μ＝245，σ＝55，μ+2σ＝245+110＝355，μ﹣σ＝245﹣55＝190，则P(190所以4000×0.8186＝3274.4≈3274．所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．②不可信．μ+3σ＝245+3×55＝410＜425，则P(4000名学生中成绩大于410分的约有4000×0.00135＝5.4人，这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于中档题．15．（2025•仁寿县校级模拟）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．（1）若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；（2）设随机变量ξ服从二分布B（n，p），记η=ξ-npnp(1-p))，则当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N（0附：若η∼N（0，1），则P（η＜1.28）＝0.9，P（η＜1.645）＝0.95．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；条件概率．【专题】转化思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）12（2）至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于90%．【分析】（1）直接利用条件概率计算公式求解；（2）根据题意得P（0.4≤ξn＜0.6【解答】解：（1）记该同学投篮4次，投中2次为事件A，第二次没投中为事件B，则P（A）=CP（AB）=1∴在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率为P（B|A）=P（2）设至少投n次，其中投中的次数ξ∼B（n，0.5），若保证投中的频率在区间[0.4，0.6）的概率不低于90%，即P（0.4≤ξn＜0.6即P（0.4n＜ξ＜0.6n）≥0.9，由已知条件可知P（-0.1n0.5又∵P（η＜1.645）＝0.95，0.2n≥1.645，解得n≥67.6∴至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于90%．【点评】本题考查条件概率及其计算公式，考查正态分布曲线的特点及其几何意义，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．2．运用“1”的代换构造基本不等式【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．【命题方向】运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案为：1+33．条件概率【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是29解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：2典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是2（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P12414112414数学期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P4．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度函数A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质