2024-2025学年下学期高一数学北师大版同步经典题精练之复数的概念及其几何意义

第14页（共14页）2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之复数的概念及其几何意义一．选择题（共5小题）1．（2024秋•常德校级期末）已知i为虚数单位，则复数z＝|i|+（1﹣i）2的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．﹣2i D．﹣22．（2024秋•遵义期末）已知i为虚数单位，则|1﹣i|＝（）A．22 B．2 C．1 D．3．（2024秋•洛阳期末）若复数z在复平面上对应点的坐标为(3，1)，z为z的共轭复数，则|zA．0 B．2 C．23 D．4．（2025•张家口模拟）复数z满足（z+2）i＝1﹣i（i为虚数单位），则z的共轭复数的模长是（）A．﹣3 B．1 C．2 D．105．（2025•安阳二模）已知|z|=5，A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（4，3）或（4，﹣3） D．（4，3）或（﹣4，3）二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•雷州市校级期末）已知复数z在复平面对应的点为A，且zzA．z=32+1C．z的虚部为-12i （多选）7．（2024秋•迎江区校级期末）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则（）A．若z＝z1+z2，则z=B．若z1，z2均不为0，则|zC．若z=z2，则|z1z2|＝|z1D．若|OZ1→+OZ2（多选）8．（2024秋•内蒙古期末）已知复数z满足z＝1+2i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z|＝|z| B．1z=-C．z3的虚部为﹣2 D．z2﹣2z+5＝0（多选）9．（2024秋•聊城期末）已知复数z=A．z=-2-3B．|z|＝5 C．zi＝3﹣2i D．z在复平面内对应的点位于第一象限三．填空题（共3小题）10．（2024秋•连云港期末）在复平面内，复数z＝1﹣2i的模为．11．（2025•新余校级模拟）请写出一个非0复数z满足zz=|z|：12．（2024秋•上海校级期末）若复数z满足|z+2i|＝1（其中i为虚数单位），则|z|的最小值为．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•浦东新区校级期中）已知复数z＝3+mi其中m∈R．（1）设z1＝（1+3i）z，若z1是纯虚数，求实数m的值；（2）设m＝﹣1，分别记复数z，z2在复平面上对应的点为A、B，求OA与OB的夹角大小．14．（2024春•固始县校级期末）已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．（1）当复数z为实数时，求m的值；（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；15．（2024春•共和县校级期中）在复平面内，复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a﹣4）i（其中a∈R）．（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复数z为纯虚数，求a的值．

2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之复数的概念及其几何意义参考答案与试题解析题号12345答案DBBDC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•常德校级期末）已知i为虚数单位，则复数z＝|i|+（1﹣i）2的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．﹣2i D．﹣2【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】利用乘方运算和模长计算可得z＝1﹣2i，可知虚部为﹣2．【解答】解：根据题意可得z＝|i|+（1﹣i）2＝1+12﹣2i+i2＝1﹣2i，易知z＝1﹣2i的虚部是﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查乘方运算和模长计算，属于基础题．2．（2024秋•遵义期末）已知i为虚数单位，则|1﹣i|＝（）A．22 B．2 C．1 D．【考点】复数的模．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】利用复数的模求解即可．【解答】解：|1﹣i|=1+1故选：B．【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．3．（2024秋•洛阳期末）若复数z在复平面上对应点的坐标为(3，1)，z为z的共轭复数，则|zA．0 B．2 C．23 D．【考点】共轭复数；复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】由已知求得z，进一步得到z，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵复数z在复平面上对应点的坐标为(3∴z=3+i，则z=3-∴|z故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．4．（2025•张家口模拟）复数z满足（z+2）i＝1﹣i（i为虚数单位），则z的共轭复数的模长是（）A．﹣3 B．1 C．2 D．10【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】利用复数乘除运算化简，求出z和z，再根据复数模的公式求出z的模．【解答】解：由（z+2）i＝1﹣i，得zi+2i＝1﹣i，∴z=∴z=-3+i，则故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．5．（2025•安阳二模）已知|z|=5，A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（4，3）或（4，﹣3） D．（4，3）或（﹣4，3）【考点】复数对应复平面中的点；共轭复数．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），根据已知求出a、b可得z，再根据复数z的几何意义可得答案．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由|z得a2+b2=5，a+bi+a﹣bi＝8，解得a＝4，b＝3，或a＝4则z＝4+3i，或z＝4﹣3i，则z在复平面内的坐标是（4，3）或（4，﹣3）．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•雷州市校级期末）已知复数z在复平面对应的点为A，且zzA．z=32+1C．z的虚部为-12i 【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BD【分析】利用复数的四则运算化简复数z，利用共轭复数的定义判断A；利用复数的模长公式判断B；利用复数的概念判断C；利用复数的几何意义判断D．【解答】解：由zz+1=2+故z=-32|z|=(-z的虚部为-12，故由复数的几何意义可得A(-3故选：BD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．（多选）7．（2024秋•迎江区校级期末）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则（）A．若z＝z1+z2，则z=B．若z1，z2均不为0，则|zC．若z=z2，则|z1z2|＝|z1D．若|OZ1→+OZ2【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），则z1=a对于A，z＝z1+z2＝（a+c）+（b+d）i，z1则z=z1+z对于B，z1z2＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i，OZ1→=(a则|z1z2|=|对于C，|=(z即|z1z2|2-|z1z|2=0，即|对于D，若|O即OZ1→⋅OZ2→=0，z故选：AC．【点评】本题主要考查复数的四则运算，向量的坐标运算，以及向量模公式，属于基础题．（多选）8．（2024秋•内蒙古期末）已知复数z满足z＝1+2i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z|＝|z| B．1z=-C．z3的虚部为﹣2 D．z2﹣2z+5＝0【考点】复数的实部与虚部；复数的模．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】利用复数的运算逐项判断即可．【解答】解：由z＝1+2i，得|z|=1+22=51z=1z3＝（1+2i）（1+2i）2＝（1+2i）（﹣3+4i）＝﹣11﹣2i，则z3的虚部为﹣2，故C正确；z2﹣2z+5＝（1+2i）2﹣2（1+2i）+5＝0，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．（多选）9．（2024秋•聊城期末）已知复数z=A．z=-2-3B．|z|＝5 C．zi＝3﹣2i D．z在复平面内对应的点位于第一象限【考点】复数对应复平面中的点；共轭复数；复数的模．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BD【分析】由复数的运算判断A，C，由复数模的运算判断C，由复数的几何意义判断D．【解答】解：因为z=所以z=4-3i，故A错误；|z|＝5，故zi＝﹣3+4i，故C错误；z在复平面内对应的点为（4，3），位于第一象限，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024秋•连云港期末）在复平面内，复数z＝1﹣2i的模为5．【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】5．【分析】根据复数的模长公式即可求解．【解答】解：z＝1﹣2i，故|z故答案为：5．【点评】本题主要考查复数的模，属于基础题．11．（2025•新余校级模拟）请写出一个非0复数z满足zz=|z|：1【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】12【分析】先设复数，再根据共轭复数及复数的乘法运算得出a2【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，a，b不同时为0），则zz=a由于z≠0，所以a2故答案为：12+3【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．12．（2024秋•上海校级期末）若复数z满足|z+2i|＝1（其中i为虚数单位），则|z|的最小值为1．【考点】复数的模．【专题】数形结合．【答案】见试题解答内容【分析】由题意画出复数z对应点的轨迹，数形结合可得答案．【解答】解：由|z+2i|＝1，得|z﹣（﹣2i）|＝1，∴复数z对应的点在以（0，﹣2）为圆心，以1为半径的圆周上，如图，∴当z＝﹣i时其模最小，此时|z|＝1．故答案为1．【点评】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•浦东新区校级期中）已知复数z＝3+mi其中m∈R．（1）设z1＝（1+3i）z，若z1是纯虚数，求实数m的值；（2）设m＝﹣1，分别记复数z，z2在复平面上对应的点为A、B，求OA与OB的夹角大小．【考点】复数对应复平面中的点；纯虚数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）1；（2）arccos3【分析】（1）由已知可得z1，根据z1是纯虚数即可求解；（2）当m＝﹣1时求解z，z2，可得复平面上对应的点A、B的坐标，利用向量夹角公式即可求解．【解答】解：（1）∵z＝3+mi，∴z1＝（1+3i）z＝（1+3i）（3+mi）＝（3﹣3m）+（m+9）i，由z1是纯虚数，得3-3m=0m（2）当m＝﹣1时，z＝3﹣i，则z2＝（3﹣i）2＝8﹣6i，可得A（3，﹣1），B（8，﹣6），∴OA→=(3，则cos＜OA∴OA→与OB→的夹角为arccos31010，即OA【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，是基础题．14．（2024春•固始县校级期末）已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．（1）当复数z为实数时，求m的值；（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m＝0或m＝2；（2）m＝3．【分析】（1）由复数的概念列出方程即可求；（2）由复数z为纯虚数得到m的关系式即可求．【解答】解：（1）∵复数z为实数，∴m2﹣2m＝0，∴m＝0或m＝2；（2）∵复数z为纯虚数，∴m2-5m+6=0【点评】本题考查复数的概念和计算能力，属于基础题．15．（2024春•共和县校级期中）在复平面内，复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a﹣4）i（其中a∈R）．（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复数z为纯虚数，求a的值．【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）a＝4或a＝﹣1；（2）a＝2．【分析】（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣4＝0，求解即可；（2）复数z为纯虚数，则a2【解答】解：（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣4＝0，即a＝4或a＝﹣1；（2）若复数z为纯虚数，则a2-3a-【点评】本题考查了复数的概念，属基础题．

考点卡片1．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中2．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．3．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．4．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且5．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ