高等数学C习题答案1

高等数学(少学时)习题解答

第一章函数与极限

习题1T

1.求下列函数的定义域:

⑴y=~~A/1-x2；

x

解：x^o_a-i<x<i；

⑵y=，3-x+arctan—;

x

解：x工Ofix<3；

1

⑶y=\l6—5x—x2+

In(2-x)

解：由6-51一/2()且2-x>0,f#-6<x<l；

(4)y=arccos-------.

“l+x2

2x

解：由-——-<1,x^R.

1+x'

2.设“r)的定义域为[0,1].求f(x+〃)+f(x-〃)为>0)的定义域.

,[0<x+«<1,(-a<x<\-a,,

解：由八知《从而得

当时，定义域为[al—4当时，定义域为0.

,7t

Isinx|.|x

I,求7171

3.设(p(x)=-一、(P—卜例2)・

"Jl4

0,\x14.6J

/左、.TC1叵

解:8(——)=sin-=—。(-f)=sin(--)仪2)=0

662442

4.判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=sinx+cosx;

解：/(-x)=sin(-x)+cos(-x)=-sinx+cosx；非奇非偶;

班级姓名学号

⑵>,=1(eA+e-A);

解：/(—)=g(eT+/)=/(x)；偶函数；

(3)工”-—");

v

解：/(-x)=l(^-e)=-/W；奇函数；

(4)y=tan(cosx).

解：/(-x)=tan(cos(-x))=tan(cosx)=f(x)；偶函数.

JrTT

5.求y=2sin3x,x£——的反函数.

66

arcisn2

2；反函数为:

解：y-2sin3x,sin3x=—,x=--------y=—arcsin-^,XG[-1,1]

23

6.对于下列每组函数写出/(g(x))的表达式:

(1)/(x)=sinx,g(x)=/-1;

解：/(^U))=sin(x2-1)；

1凶<1

⑵/(x)=,0N=l，g(x)=e'・

-1N〉i

1，|g(x)|<lfl,x<0

解：/卬(创=<0，|g(x)|=l从而第Ig(x)]=<0,x=0

TM>\-x>0

7.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg时，按基本运费计算，如从

上海到某地以0.15元/kg计算基本运费，当超过50kg时，超重部分按0.25元/kg收费.

试求上海到该地的行李费y（元）与重量x（kg）之间的函数关系.

解：y=50x0.15+（X-50）x0.25

8.某产品共有1500吨，每吨定价150元，一次销售不超过100吨时，按原价出售,

若一次销售量超过100吨，但不超过500吨时，超出部分按9折出售；如果一次销售量

超过500吨，超过500吨的部分按8折出售，试将该产品一次出售的收入y表示成一次

销量的函数.

2

解：设一次销售量为X吨,

150xx<100

/(x)=«1500()+135ix-100)100<x<500

15000+135*-100)+120*-500)x>500

习题1-2

1.观察下列数列的变化趋势,判断它们是否有极限,若有极限写出它们的极限:

(1)X=14--；

〃3"

解：极限是1；

⑵x=2n+—;

〃M4〃

解：极限不存在；

(、2〃+3

(3)X,=----;

〃3〃-1

解：极限是

3

⑷^=h(-iy]—.

n

解：极限不存在；

2.判断下列各题是否正确，并说明原因.

⑴如果数列｛%｝发散，则卜/必是无界数列.

解：错,反例：*[1+(_1)”]誓

(2)数列有界是数列收敛的充分必要条件.

解：错，必要但不充分条件

(3)limyn=limz〃=且当〃>N时有y〃W<z“，贝ijlim=a.

解：对，夹逼定理

/,、「sinx[

(4)lim----=1.

x"x

解:错，极限是0

(5)lim(l+-)n=1.

n—〃

解：错，极限是e

解：W£>o,要倒3x—1—8|=*—3|<£，只驾X—3<三即可。

故V£>（）,取5=£,当0<卜-3|〈渊，恒有四一1一8|<£成立

3

所以lim（3x-1）=8

XT3

(2)lim=0.

XT+oo

解：V£>0,要使半工五<£,只要x>二即可。故取^二二,

Vx£“£~

当XW，<£成立，所以lim绊i=0

134x

5*.根据函数极限的定义证明：lim/(x)=A的充要条件是

KTX0

limf(x)=limf(x)=A.

X->XQX->AQ

证明：必要性：V£>03b>0,当0<|x—丽|〈丽，有|/(x)—A|<£。

特别的，当0<x-/<邠j,有|/(x)-A|<£成立，

XWO<x-x<^f,|f(x)-A\<£所以limf(x)=limf(x)=A

of.tfx：Xf环o

充分性：limf(x)=lim/(x)=A，则当0vx-%<必时，有|/(x)-A|<£成

XTX；

立，又有Ov与-为〈氏时，|/(X)—A|V£成立，

则取3=min｛伪,多｝,中£>0,当0V工一通|<加t,显然有\f(x)-A\<e成立。

所以limf(x)=A

习题1-4

1.判断下列各题是否正确，并说明原因.

（1）零是无穷小.

解：对，lim0=0

TfX，

（2）两个无穷小之和仍是无穷小.

解：对.

（3）两个无穷大之和仍是无穷大.

解：错，limn=4-oo,lim（一〃）=-oo,lim[n+（-〃）]=0

n—^x：

班级姓名学号

(4)无界变量必是无穷大量.

解：错

(5)无穷大量必是无界变量.

解：对

2.当x-时，指出下列函数哪些是无穷小？哪些是无穷大？

\/-I

⑴)'=—7；

x+1

解：既不是无穷大也不是无穷小

解：lim——=0,无穷小

(3)y=x+—;

x

解：lim(x+‘)=limx+lim，=8,无穷大

.v—>0x.v—>0x

X

解：lim加二1,既不是无穷大也不是无穷小

x->0X

(5)y=xsin—;

x

1

sin—

解；lim"=0,无穷小

x-01

x

(6)y=cotx.

解：limcotx=8,无穷大.

3.求下列极限：

(1)limx2sin—;

x->°x

.1.1

Ixsin—sin—

解：limx2sin—=lim——=limxlim—=0

A->0xx-01xf(XT。1

XX

x「arctanx

⑵/nhm------.

xxx

arctanx八

解：一工WarctanxW巳，lim—=0?.lim------=0

22rxX-KOr

4.函数y=xcosx在(-8,+8)内是否有界?这个函数是否为Xf+8时的无穷大？为

什,么？

6

解：y=XCOSX在（-8,+8）内无界，VM>0,在（一8,+8）内总可以找到

x=2k7v(kGZ),使得|y|=|2A7rcos(2A7r)|=|2k兀|Z|>—(keZ).

2〃

它不是x—>+8时的无穷大，取五〃=2br+工（左eZ）,女—+口时4-,但此时

TTTC

|yHQk4+—)cosQk/r+—)|=0

22

5.求函数/⑴/\=尸子4的图形的渐近线.

解：x=6,x=-41.

习题1-5

L求下列极限:

「X2+5

⑴lim---------;

.s2X-3

..X2+54+5八

解:lim--------=-------=-9

x->2x-32-3

x—4

⑵lim--------;

x->4-16

x—4

解:=lim—!—=-

lim2

A->4.I-16x->4x+45

V2,x—1―yfx

⑶lim

XTlx-\

lim叵三五=lim(2,x—1)—x1

解:

.r->lx-1xf1(x—1)(J2x—1+y/~X^2

lim14--2

A->OCX八X2)

g)=(l+())(2-0)=2

解:lim(1+—2

A--X2O'X

⑸lim广+1

I00X-X+1

班级姓名学号

2

vX+1

解:lim------------=Inn=1

A-KO--x+1xt8

Xl-l±

X+X2

X2+x

(6)lim

X->O0/一3产+1'

l+i

..x~

解:Inn---------------=lim——匚「二°

x*x4-3厂+1X->OC--3+士

x4

x3+2x2

⑺lim

XT2(•"2)2

x3+2尢2/(X+2)=8

解:lim=lim

xf2U-2)2x->2(x-2)2

X

(8)lim

XT93X+1

x2

解;lim-----------00

xfoo3x4-1

13

⑼lim

1比1一x1-x3

131+x+x~—3

解:lim=lim=-1

1人］-X\-x,3XTI(1-x)(l+X+X")

2九一

(10)lim(x+31).

2

解:lim(x+3x-l)=co

2.求下列极限:

smoiY

(1)lim

A-X)x

sin..sinair

解：lim=lim®=3

A->0■v->oair

8

⑵lim四主;

»->ox

A,2rtan3xsin3x1oo

JOT：lim-----=hm------.-------3=3

Dx戈->0cos3x

l-cos2.r

⑶lim---------;

Dxsinx

2

vl-cos2x2sinx3

解:lim---------=Inn---；——=2

A—>oxsinxsor.sinr

/八i-isinx

⑷hmIn----;

・7X

存〃[..sinx,「1.sinx].[八

解：hmIn----=Inlim-----=In1=0

X|_v->0x

(5)lim(l+2x)x；

解：lim(l+2x)x=lim(1+lx)2x=e2

A->0A->0

习题1-6

1.当x-0时，与相比，哪一个是较高阶的无穷小?

..X2-X3X2(l-x)

々刀lim---------=lim------------=0

用军：x-+o2x-x-7XT。x(2-x)

・・・当x->«，/是较高阶的无穷小。

2.当X71时，无穷小1-X和是否是同阶无穷小？是否是等价无穷小？

解：•••lim------=lim(1+幻07)=]...当工_>i时」。一』)等价于1一丫，

XTI1-x<->12(1-x)2

所以2(1_/)等价于]7

2

2

x

3.证明：当x-0时，有secx-l---.

2

班级姓名___________学__号______

、Tn口「secx-1..1/cosx-l2(1-cosx)1

I止明：hm=iim----=lim———-------

•2°x~/2x-*0x~/2-'->o厂cosx

A.2X

4sin—secld

=lim---^-2-=lo所以当xf0时,

x->0xC0SX2

4.利用等价无穷小的性质求下列极限:

/、sin3A

(1)hm----;

x->。tan5x

..sin3x..3x3

用牛：hm-----=lim——=—

A->Otan5x-v^o5x5

/c\..tanx-sinx

⑵lim----------.

x-^sinx

x(—x~)

..tanx-sinx..tanx(l-cosx)21

：lim------------=lim---------------=lim—=-——=—

iosinxx_0sinx—0r2

习题1-7

1.判断下列各题是否正确，并说明原因.

(1)/(X)在其定义域(。1)内一点X。处连续的充分必要条件是/(X)在Ao既左连

续又右连续.

解：正确，连续定义。

(2)/(x)在x=x0连续，g(x)在x=/不连续，则/(x)+g(x)在与一定不连

解：正确。

(3)/(X)在兀0处连续,g(x)在％处不连续,则/O).g(x)在10一定不连续.

解：错误，不一定。

2.讨论/(尢)=<，一一，的连续性，并画出其图形.

2-x,1<x<2

解：v/(1-0)=limx2=1;/(1+0)=lim(2-x)=1

x-»l-XTI+

又丁〃1)=1,1./(幻祗=1处连续。总之，/3在2,2］上连续。

3.指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去问断点，则补充或改变函数的定义

使其连续.

..—1

⑴y=—：------------,x=l,x=2;

x~3x+2

解：

X2—1(x-l)(x+1)

hm—：-----------=hm-----------------=-2

ix--3x+2(x-l)(x-2)

・・.x=l为可去间断点，补充定义：引产-2即可.

x2—1(x+1)

hm—：------------=lim---------=oo,

XT2x2-3x+2f(x_2)

.♦.x=2为无穷间断点.

,\\x-\x<\

(2)y=<,x=L

3-xx>1

解：vlimy=lim(A-1)=0

x->l-A->1-

limy=lim(3-x)=2

.V—>1+A->1+

X=1为其跳跃间断点。

4.求函数/(x)=*+产——11的连续区间，并求lim/(x),limf(x).

X+X-6刀->0x+3

解：由x?+x—6=0得：X]=2,x2=—3

二.连续区间为(-co,-3)5—3,2)52,+oo)

I吧/(I

山土U心

XT—31-3(X+3)(X-2)X+3X-25

5.求下列极限：

(1)lim>1x2-2x+5;

A->0

解：limy/x2-2x+5=0

x->0

(2)lim(sin2a丫；

_\3

sin—=1

2j

(3)limarcsin

XT-i

2

解：limarcsin71-x2=limarcsin—=-

23

2

班级姓名学号

3rv<()

6.设函数<?应怎样选择〃，可使/(x)在(一8,+8)内连续。

[Q+X,x>0

解：/(0)=a»/(0-0)=limex=1

.v->0-

a=l时，/*)在(-8,4-oo)内连续.

7.证明方程/一3x-1=0在1与2之间至少有一个根.

证明：^/(X)=X5-3X-1,则显然/(x)在［1,2］上连续,

/(1)=15-3-1<0,/(2)=25-3X2-1>0,

由零点定理可以得到，/*)=/—3x-l在1与2之间至少有一个根。

8.证明：若/(x)在㈤上梭，a<x1<x2<..<xn<bf贝胜国，七』上必有J,使

%)=/(Xi)+/(X2)+・4(ZJ

n

证明：/(©在卜，/捱续，m最大值M与最小值〃!，使〃24/34M,1=1,2,...,〃

〃

...run<f&)《几M,即机<卫-----<M

i=ln

由介值定理，*w［不/阀⑹="*)+，(々)+…+”4)

n

习题1-8

I.熟悉MATLAB的窗口操作：利用“demo”命令演示MATLAB的使用方法.

2.通过上机练习，熟悉数组的各种输入方式，了解各种数组运算符的含义.

3.某零售店9种商品的进价(元)、售价(元)及一周的销售量如表1-6所示，问

哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；求这一周该9种商品的总收入和总利润.

表1-6

货号12345

单件进价7.158.253.2010.306.68

单件售价11.1015.006.0016.259.90

销量5681205753580395

货号6789

单件进价12.0316.8517.519.30

单件售价18.2520.8024.1515.50

销量21041538810694

12

4.画出尢3/6»9»30',」,_:的图形，由此总结塞函数的性质.

XXy/x

5.在极坐标系中画出心形线/・=a(l—cos。，阿基米德螺线尸=3,对数螺线

r=ear,三叶玫瑰线r=acos3f的图形.

6.利用MATLAB求下列极限：

(1)limsec；_1；匕)lim(sinx)tanr；(3)lim(i+-.

1°r7nnn~

2

7.利用求极限命令说明x90时，sin(J)与si/x是等价无穷小，并画图比较它

们收敛到0的速度.

8.某顾客向银行存入本金〃元，〃年后他在银行的存款额是本金及利息之和.设

银行规定年复利率为r,试计算连续复利情况下顾客的最终存款额(连续复利即银行连

续不断地向顾客付利息).

解：设〃年后的最终存款额为匕，则匕=nmP(l+L)'〃〃=&"

第二章导数与微分

习题2T

1.设质点作变速直线运动，在/时刻的位置为s(i)=3/2—5/,求下列各值:

(1)质点从1秒到1+&秒这段时间内的平均速度；

解：I，=5(1十△/)一5(1).3(1+4)2一5(1+△/)—(3—5)二34"

ArAr、

(2)质点从秒到%+4秒这段时间内的平均速度；

(Z+5

解：v=-°^~^=3A/+6r0-5

(3)质点在1秒时的瞬时速度；

解：当△/=()时，v=\

(4)质点在，o秒时的瞬时速度.

解：v=6/0-5

2.下列各题中均假定/(%)存在，按导数定义观察下列极限，指出这些极限表示什

么，并将答案填在括号内.

班级姓名学号

⑴lim/」。一词-九）=（—八飞））：

加TOAr

⑵lim"（/'（（））），其中/（0）=0,且广（0）存在.

KTOX

⑶扁/（%”）一/&—〃）=（2/（%））.

力-＞。h

3.求下列函数的导数；

（1）y=x4;

解：

（2）y=y[x^;

2--

解：）/=一工3

⑶T；

Vx

1_2

解：y'----x2

-2

（4）y=x3Mx.

招16

解：yr--X5

5

，兀1、

4.求曲线y=85上点可,彳处的切线方程和法线方程.

132,

hi

解：y'=-sinx,y—,所以切线方程为y——=-一丁

22

化简得JIx+2），一（1+日））=0,法线方程为y—g=5（x—?）

化简得3x+2百y—（6+））=0

5.曲线y=/上哪一点处的切线与直线），=4x-1平行，求过这一点的切线方程.

解：y'=2x,2x=4所以=2,当x=2时，y=4,

所以过点（2,4）的切线方程与直线y=4x-l平行，切线方程是：

y-4=4（%-2）,y=-4。

I2.1

/Xxsin—n

6.讨论函数/（x）=《x在点x=0处的连续性与可导性.

0,x=0

解：因为^⑼点/而^^/团二/⑺语界量乘以无穷小）

A->0X

所以函数在x=0处连续

A2•!

Sin

r/（0+Ar）-/（0）rxrA.1八

因为hm---------------=hm---------=limArsin—=0

Ai。Ar-AxAr

所以函数在%=0处可导.

/、fsinx,x<0,,，/、

7.设=<讨论取何值时，/（x）在点x=（）处可导.

[ax+b,x>0,

解：要使得/（x）在点x=0处可导，则必有/（（）+（））=/（0-0）,而

sinx

广（0+0）=lim（依+勿―〃=々；/\o-O）=lim-0=1

'）D+x-o）D-x-0

所以。=1,又因为/（x）在点元=（）连续，既左连续又右连续，所以人=0

8.设Q=Q（7j表示重1单位的金属从0℃加热到FC时所吸收的热量，当金属从

/℃升温到（7'+A/ye时，所需热量为AQ=Q（7'+A/）-C（/），AC与△'/.之比称为/

到T+4T的平均比热，试解答下列问题：

（1）如何定义在rc时金属的比热y；

解：FC时金属的比热既0时的平均比热，Y=limg（r+A7）-g（n

ADAT

(2)当°(7)="+。72（其中4〃均为常数）时，求比热丫'.

班级姓名学号

解：Hm6r(T+AT)+Z?(T+AT)2-aT-hT2

Qd)=lim

△DATAT

=a+2bT

习题2-2

1.求下列函数的导数：

(1)J=X3-3x2+4A-5;

解：y'=3x2-6x+4

47

⑵--4-12；

X4犬

解：y,=-20^-28x-5+2x-2

(3)y=5x3-2v+3eA;

解：y'=15f-2、ln2+3,

(4)y=2tanx+secA-l;

解:5j,=2sec2x+sectan%

(5)y=lnx-21gx+31og2x;

123

解：V-----------1------

xx\n10x\n2

l+ev

(6)y=

l-eA,

,ex(\-ex)+(\+ex)ex2e

解:y=

(I-"(I-//

4x2

(7)＞，=：­；

14-X

,8x(1+x)-4x28x+4x2

解:

(1+x)2(1+x)2

(8)y=arctanx+arccotx;

解:y=―-

J.2.2=0

\+x1+厂

arcsinx

⑼y

arccosx

f1[arccosx-7=^=-arcsinx(--!——)]=-------------

解:y=

(arccosx)2yjl-x2Jl-/2V1-X2(arccosx)2

(10)y=x2Inxcosx.

角4：y'=2xln%cosx4-x2-cos%-^2Inxsinx

x

16

=2x\nxcosx+xcosx-x2Inxsinx

geos。,求dp

2.已知p=(psin(p+

d。Y

4

解：因为女=sine+ecose—gsin。

d(p

V2V21V2V2V2

所以-I____%-1_----

2---4222-8’4

3.求下列函数的导数:

(1)y=(2x+5)4;

解：)，，=8(2x+5)3

(2)y=e-3?;

解：yr=-6xe~3x

(3)y=\la2-x2;

解:，-

y=iogG+1+1)

(4)

,2x+1

解:y=y--------v---

(x2+x+l)lna

(5)y=cos(4-3x);

解:yf=3sin(4-3/)

>^=ln(l+x2);

(6)

，2x

解：y~\-

1+JT

(7)y=\ncosx;

fCOSX

解：y=^^=-tanx

cosx

(8)y=tan(%2);

解：y=2xsec2(x2)

(9)y=arcsin(1-2x);

1

解:yr=----

\lx-x2

(10)y=arctan(e)

班级姓名学号

(exy_ex

解:

1+(废尸1+e2x

4.求下列函数的导数:

(1)y=(arcsin£);

2arcsin

Tro

解:y'=2arcsin—(arcsin—)'=—/」

.22VZZ7

_arctan77.

(2)y-cA，

/rctagG

_^arctaih/x

解:1+A2G)2y[x[\+x)

(3)y=In[in(inx)];

解：y'=--------------------)=----------------

ln(lnx)Inxxxlnxin(lnx)

(4)=Incos—;

x

解：yr=sec—(-sin—)(一一=-Vtan—

xx厂厂x

-sin2—

(5)y=ex；

解：y'=sec—(-sin-)(y)=^-tan—

xx厂厂x

(6)y=sin"xcosnx;

解：y1=〃sin"jxcos几T+sin"x(-nsinztv)

=〃sin〃1xcos(7?+1)JV

(7)y=sin2x-sin(x2)；

解：y'=2sinxcosxsin(x2)+sin2XCQS(X1)2X

=sin2xsin*2)+2xsin:xcos(.M)

(8)y=ch(sh.r)；

解：yf=sh(shx)-chx

(9)y=th(lnx)；

解："三"!——

ch~(}nx)x

(10)y=arsh(l+%2)

2x

解：y=.

VX4+2X2+2

18

5.设/(x)可导，求下列函数的导数位：

dr

(1)k/⑹；

解：孚=2犷(丁)

ax

(2)y=/(sin2x)+/(cos2x).

解；—=f'(sin?%)・2sinxcosx-f'(cos2%)2cosxsinx

dx

=sin2x[/*(sin2x)-f\cox2x)]

6.求下列方程所确定的隐函数y的导数*:

(1)x3+y3-9xy=0;

解：方程两边关于工求导得：

3产+3)，2包一9)，-9%@=0

dxdx

所以包二至二二

dxy/-ax

(2)y=1-xe';

解：方程两边关于无求导得：

力—/由dy

--——e—Ac--

dxdx

所以华

ax\+xe

(3)x=yln(xyj)>

解：方程两边关于x求导得：

华In(孙)+y—(y+x-^)=l

dxxydx

虫=(>马，

dxxln(A)?)

(4)xy=ex+y.

解：方程两边关于工求导得：

力二e“-y

7.求曲线工3+yl=U在点(①仁在j处的切线方程和法线方程.

I44J

解：方程两边关于工求导得：2/；+2)「；虫=()

33dx

班级姓名学号

所以◎〜立=_33从而：

dx4vx

y3

切线斜率匕=电厂厂=-1，法线斜率&二一!=1，

'以亭亭)k、

所以切线方程为y-^-a=-(x-Y^a),即y-a=0;

44-2

法线方程为)，一直〃=x—受〃，即工一y二0。

,44^

8.用对数求导法求下列函数的导数d里v：

dr

x

(1)y-

IT%

解：方程两边同时求导得:

.vln——Y

一"高尸心⑶一⑺心肝

(GT-占

解：In|y|=—RnI-51--(x2+2)]

北士总署所以小君^士12x

)

25X2+2

Y—tTT

9.求由参数方程■所确定的曲线在，处的切线方程和法线方程.

y=cos2t4

解：华=心型电),，|“-2后

公cos/M

当■时，％=*,北=(),所以切线方程是：2底工+)，-2=0

42

法线方程是：V2x-4y-l=0

10;注水入深8m,上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3/min.当水深为

5m时,其表面上升的速率为多少？

解：设水面高度为h米，水面圆半径是r米，上顶半径R=4〃?，、

20

由相似三角形得。=±/='/2,所以旷=」m2〃=_!_就3,

482312

匕，=4用/他=4且〃=5,所以纳=-^~a0.204(m/min)

z4dtdt254

H:一人以2m/s的速度通过一座高为20m的桥,在此人的正下方有一小船以

±m/s的速度与桥垂直方向前进，求5s末人与小船的分离速度.

3

解：设时间为t秒，则在t秒内船走过路程人走过路程是2,

3

又因为是空间的，所以人船相距$2=3产+400+4/=乡产+400,

99

所以S=匡/+4oo,分离速度口=竺，代入匚5得到□=生。

V9dt21

习题2-3

1.求下列函数的二阶导数：

(1)y=2/+inx；

解：y=4x+Lyn=4—

xx"

(2)y=e~1sint；

解：y'=sint+e~fcost=e~{(cost-sint)

(cosr-sinr)4-^-(-sinz-cosr)=-2e~cost

(3)y=ln(x+Jl+f)

12x

解:八F_Vl+X2+X_1

x+\/i+4-X"4-1Jl+X2

y-=--(l+x2)2.t2x=3

(1+f)2

(4)y=(1+x2)arctanx.

解：y1=2xarctanx+1

2x

yn=2xarctanx+—

1十公

4)

2.设丁=e'cosx滦y(*

解：逐项求导得：)产)=:一2ci(sinx+cosx+cosA-sinx)=-4excosx

班级姓名学号

3.求下列函数的n阶导数的一般表达式:

(1)j=ln(l+x)；

解：y(〃)=(_l)l"叫

(1+幻〃

(2)y=sin2x.

解：y(,,)=2nsin(2x+-y)

⑶y=^—；;

x-1

解：/=(-1)〃组？

•^C

(4)y=sin-x.

解：*=2"Tsin(2x+(〃-呜)

4.求由方程y=tan(x+y)所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数?

(tV

解：两边同时关于x的导数，得到y=sec()+.、)，

1-sec'(x+y)

yn=2sec2(x+y)tan(x+y)(]+y')2+ynsec2(xy)

=-2CSC2(X+y)cot3(x+y)°

d2y

5.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数T:

x=l-r

(1)4

y=t-t3

解：x'=-2/,x*=-2,yr=1-3r,y*=-6t

d?y_1+3产

dx14〃

x=acost,

⑵

y=asint.

解：x==-acost,y'=bcost,y"=-/7sinr

d2yb

97.3

dtx~a~sint

习题2-4

1.已知y=--x,求当/=2,Ar分别为1,0.1,0.01时的Ay,dy.

22

解：Ay=[(x+Ar)3-(x+Av)]-(x3-x)=(3x