年高一数学人教2019A版必修 第二册7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义

人教高一数学2019A版必修

第二册7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义第七章复数7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义核心素养目标1.数学抽象：从实数的加、减运算概念出发，抽象出复数加、减运算的定义，让学生理解复数加、减运算在形式上的一般性，摆脱具体数字运算的局限，形成对复数运算本质特征的理性认识。2.直观想象：借助复平面，将复数的加、减运算直观地转化为向量的加、减运算，通过图形直观感受复数加、减运算的几何意义，培养学生利用直观图形理解抽象数学概念和运算的能力。3.逻辑推理：依据复数与向量的对应关系，以及向量加、减运算的性质，推导出复数加、减运算的相关性质和规律，使学生学会有条理地思考和推导，培养逻辑思维能力。4.数学运算：让学生熟练掌握复数加、减运算的法则，能够准确、快速地进行复数的加、减运算，提高学生的数学运算技能和运算准确性。教学目标教学重点：1.复数加、减运算的法则及运算律。

2.复数加、减运算的几何意义。教学难点：1.理解复数加、减运算的几何意义与向量运算的联系。

2.运用复数加、减运算的几何意义解决相关问题。数系扩充的基本规则复数的基本概念两个复数相等的含义复数的分类……

知识讲解复平面的概念复数的模及其应用共轭复数的概念复数与点、向量的一一对应……复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)一一对应如果z＝a＋bi，那么z＝a-bi.知识讲解

在上一节，我们把实数集扩充到了复数集.引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算.下面就来讨论复数集中的运算问题.我们规定，复数的加法法则如下∶设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的和为

很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数，特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和.

可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加.(a+bi)

+(c+di)=(a+c)+(b

+d)i.知识讲解一、复数的加法法则1、设z1=a+bⅈ,z2=c+dⅈ(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的和(a+bⅈ)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i1.两个复数的和仍然是一个确定的复数2.复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情况3.当b=d=0时，复数的加法法则与实数的加法法则一致.新知讲解注意：知识讲解若z1，z2复数的加法满足交换律、结合律吗?

设z1=a1+b1i，

z2=a2+b2i，

z3=a3+b3i.因为

z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,

z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,所以满足（交换律）

z1+z2=z2+z1因为(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,所以满足（结合律）

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)知识讲解2、复数的加法满足交换律、结合律.对任意

z1,z2,z3∈C，有：z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)复数加法的方法与向量加法类比：【向量】若m=a+2b,n=2a+3b，则m+n=3a+5b【复数】若z1=1+2i,z2=2+3i，则

z1+z2=3+5i一、复数的加法法则知识讲解3、复数加法的几何意义即对角线OZ表示的向量OZ就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量一、复数的加法法则

在复平面内，设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，则OZ1=(a,b),OZ2=(c,d).以OZ1,OZ2

为邻边作平行四边形OZ1ZZ2(如图所示)，则由平面向量的坐标运算法则,可得OZ=OZ1+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),即z=(a+c)+(b+d)i这说明两个向量

的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.知识讲解我们知道，实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？

我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b,因此

x=a-c,y=b-d，即

(a+bi)-(c+di)=(a-

c)+(b

-

d)i.说明:(1)两个复数的差是一个确定的复数.(2)两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.知识讲解二、复数的减法法则1、我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足

(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数

a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作

(a+bi)−(c+di).根据复数相等的定义,有c+x=a,d+y=b,因此x=a−c,y=b−d,所以x+yi=(a−c)+(b+d)i即(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i.这就是复数减法的法则.由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.知识讲解1.两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减；2.把复数的代数形式看成关于i

的多项式，则复数的加减法类似于实数的多项式的加减法，只需“合并同类项”即可.二、复数的减法法则注意：知识讲解2、复数减法的几何意义二、复数的减法法则

在复平面内，设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，则这两个复数的差z1-z2对应的向量，即向量如果作，那么点Z对应的复数就是z1−z2(如图所示).这说明两个向量

的差就是复数(a−c)+(b−d)i对应的向量.因此复数的加法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.知识讲解2、复数减法的几何意义类比向量减法：【向量】若m=a+2b,n=2a+3b，则m−n=−a−b二、复数的减法法则【复数】若z1=1+2i,z2=2+3i，则

z1−z2=−1−i知识讲解【例1】计算(5－6i)+(－2－i)－(3+4i).【例2】根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离.【解析】因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为

|Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2－z1|

=|(x2+y2i)－(x1+y1i)|

=|(x2－x1)+(y2－y1)i|【解析】(5－6i)+(－2－i)－(3+4i)=(5－2－3)+(－6－1－4)i=－11i知识讲解三、|z1−z2|(z1,z2∈C)的几何意义注意：复平面内两点之间的距离公式与平面直角坐标系内两点之间的距离公式具有一致性.在复平面内，设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的点分别为Z1(a,b),Z2(c,d)，则.又复数z1−z2=(a−c)+(b−d)i，则.所以|Z1Z2|=|z1−z2|，即|z1−z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点之间的距离.知识讲解例题讲解知识讲解知识讲解解题技巧复数加减法运算技巧：1、复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．2、复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．知识讲解知识讲解向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对